こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
昨晩は強い風が吹きました。朝、ラジオで今年最初の木枯らしと言っていました。今も少し北風が吹いていて、夕方から冷え込むようですが、明日は穏やかな天気になるようです。
さて、今回は都立御三家の確率問題を取り上げます。
問題は、平成２６年度日比谷のもので、それは、
「１から６までの目が出る大小１つずつのさいころを同時に１回投げる。
大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとするとき、座標が（－３，ａ）、（－３，－ｂ）である点をそれぞれＡ、Ｂとする。
点Ｏは原点とし、原点から点（１，０）までの距離、および原点から点（０，１）までの距離をそれぞれ１ｃｍとする。
３点Ｏ、Ａ、Ｂを頂点とする△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる確率を求めよ。
ただし、大小２つのさいころはともに、１から６までどの目が出ることも同様に確からしいものとする。」
です。
確率や平面座標の話が出てきて問題の意味が判り難いと感じる人もいるかと思いますが、そんなときには図を描いて調べてみることが大切です。
さいころの目の数ａ、ｂはともに１から６までの数ですから、
Ａの座標は、（－３，１）、（－３，２）、（－３，３）、（－３，４）、（－３，５）、（－３，６）、
Ｂの座標は、（－３，－１）、（－３，－２）、（－３，－３）、（－３，－４）、（－３，－５）、（－３，－６）
を取ることになります。
そして、原点と上記のＡが取り得る座標の１つの点とＢが取り得る座標の１つの点を結んでできる三角形の面積が６ｃｍ2となるＡとＢの組合せの場合の数を求めればよいことが判ります。
ここで有難いことに、ＡとＢのｘ座標の値がどちらも－３なので、図１のように、線分ＡＢはｙ軸に平行で、それを底辺とした場合、△ＯＡＢの高さは３となります。
▲図１．Ａ（緑色の点）、Ｂ（黄色の点）の取り得る座標と△ＯＡＢ
例えば図１では、Ａ（－３，４）、Ｂ（－３，－３）で、△ＯＡＢの面積は、７×３÷２＝２１/２ｃｍ2です。
そこで、１から６までのａ、ｂに対応する△ＯＡＢの面積を計算した表を作りましょう。
▲表．ａ、ｂに対応する△ＯＡＢの面積
表から、すべての場合の数は６×６＝３６通り、△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる場合の数は３通りなので、
（△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる確率）＝（△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる場合の数）/（すべての場合の数）
＝３/３６
＝１/１２
で、これが答えです。
次に表を作らないで解く方法を調べましょう。
△ＯＡＢの面積＝線分ＡＢの長さ×３÷２＝６ｃｍ2から、線分ＡＢの長さ＝４ｃｍです。
ところが、線分ＡＢの長さは、Ａのｙ座標－Ｂのｙ座標＝ａ－（－ｂ）＝ａ＋ｂなので、
ａ＋ｂ＝４ （１）
で、ここで
１≦ａ≦６，ａは正の整数 （２）
１≦ｂ≦６，ｂは正の整数 （３）
です。
そこで（１）から
ｂ＝４－ａ （４）
として、（４）と（３）から
１≦４－ａ≦６
－２≦ａ≦３ （５）
となります。
さらに（２）と（５）から
１≦ａ≦３
で、結局、
ａ＝１、２、３
です。
以上から（１）（２）（３）を満たすａ、ｂの組合せ［ａ，ｂ］は、［１，３］、［２，２］、［３，１］になり、それぞれに対応するＡ、Ｂは、図２に示すように（－３，１）と（－３，－３）、（－３，２）と（－３，－２）、（－３，３）と（－３，－１）になります。
▲図２．△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2となるＡ、Ｂの組合せ
ここで、ａが１、２または３になる確率はそれぞれ１/６、
ｂが３、２または１になる確率はそれぞれ１/６なので、
［ａ，ｂ］が［１，３］、［２，２］または［３，１］になる確率はそれぞれ１/３６です。
したがって、［ａ，ｂ］が［１，３］、［２，２］または［３，１］のいずれかになる確率は、
１/３６＋１/３６＋１/３６＝３/３６＝１/１２
となり、表を使って求めた答えと一致しました。
都立御三家の確率問題は、本問のような図形問題や整数問題に関連させて少し捻ってあることが多いので、問題の意味を取り違えないように図表などを利用して対処しましょう。
昨晩は強い風が吹きました。朝、ラジオで今年最初の木枯らしと言っていました。今も少し北風が吹いていて、夕方から冷え込むようですが、明日は穏やかな天気になるようです。
さて、今回は都立御三家の確率問題を取り上げます。
問題は、平成２６年度日比谷のもので、それは、
「１から６までの目が出る大小１つずつのさいころを同時に１回投げる。
大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとするとき、座標が（－３，ａ）、（－３，－ｂ）である点をそれぞれＡ、Ｂとする。
点Ｏは原点とし、原点から点（１，０）までの距離、および原点から点（０，１）までの距離をそれぞれ１ｃｍとする。
３点Ｏ、Ａ、Ｂを頂点とする△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる確率を求めよ。
ただし、大小２つのさいころはともに、１から６までどの目が出ることも同様に確からしいものとする。」
です。
確率や平面座標の話が出てきて問題の意味が判り難いと感じる人もいるかと思いますが、そんなときには図を描いて調べてみることが大切です。
さいころの目の数ａ、ｂはともに１から６までの数ですから、
Ａの座標は、（－３，１）、（－３，２）、（－３，３）、（－３，４）、（－３，５）、（－３，６）、
Ｂの座標は、（－３，－１）、（－３，－２）、（－３，－３）、（－３，－４）、（－３，－５）、（－３，－６）
を取ることになります。
そして、原点と上記のＡが取り得る座標の１つの点とＢが取り得る座標の１つの点を結んでできる三角形の面積が６ｃｍ2となるＡとＢの組合せの場合の数を求めればよいことが判ります。
ここで有難いことに、ＡとＢのｘ座標の値がどちらも－３なので、図１のように、線分ＡＢはｙ軸に平行で、それを底辺とした場合、△ＯＡＢの高さは３となります。
▲図１．Ａ（緑色の点）、Ｂ（黄色の点）の取り得る座標と△ＯＡＢ
例えば図１では、Ａ（－３，４）、Ｂ（－３，－３）で、△ＯＡＢの面積は、７×３÷２＝２１/２ｃｍ2です。
そこで、１から６までのａ、ｂに対応する△ＯＡＢの面積を計算した表を作りましょう。
▲表．ａ、ｂに対応する△ＯＡＢの面積
表から、すべての場合の数は６×６＝３６通り、△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる場合の数は３通りなので、
（△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる確率）＝（△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2になる場合の数）/（すべての場合の数）
＝３/３６
＝１/１２
で、これが答えです。
次に表を作らないで解く方法を調べましょう。
△ＯＡＢの面積＝線分ＡＢの長さ×３÷２＝６ｃｍ2から、線分ＡＢの長さ＝４ｃｍです。
ところが、線分ＡＢの長さは、Ａのｙ座標－Ｂのｙ座標＝ａ－（－ｂ）＝ａ＋ｂなので、
ａ＋ｂ＝４ （１）
で、ここで
１≦ａ≦６，ａは正の整数 （２）
１≦ｂ≦６，ｂは正の整数 （３）
です。
そこで（１）から
ｂ＝４－ａ （４）
として、（４）と（３）から
１≦４－ａ≦６
－２≦ａ≦３ （５）
となります。
さらに（２）と（５）から
１≦ａ≦３
で、結局、
ａ＝１、２、３
です。
以上から（１）（２）（３）を満たすａ、ｂの組合せ［ａ，ｂ］は、［１，３］、［２，２］、［３，１］になり、それぞれに対応するＡ、Ｂは、図２に示すように（－３，１）と（－３，－３）、（－３，２）と（－３，－２）、（－３，３）と（－３，－１）になります。
▲図２．△ＯＡＢの面積が６ｃｍ2となるＡ、Ｂの組合せ
ここで、ａが１、２または３になる確率はそれぞれ１/６、
ｂが３、２または１になる確率はそれぞれ１/６なので、
［ａ，ｂ］が［１，３］、［２，２］または［３，１］になる確率はそれぞれ１/３６です。
したがって、［ａ，ｂ］が［１，３］、［２，２］または［３，１］のいずれかになる確率は、
１/３６＋１/３６＋１/３６＝３/３６＝１/１２
となり、表を使って求めた答えと一致しました。
都立御三家の確率問題は、本問のような図形問題や整数問題に関連させて少し捻ってあることが多いので、問題の意味を取り違えないように図表などを利用して対処しましょう。