オイラーの積の公式とは以下の等式を言う。
1より大きい変数をs、正整数をn、素数をpとするとき、
1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+1/5^s+1/6^s+・・・・+1/n^s+・・・・・
={1/(1-2^-s)}{1/(1-3^-s)}{1/(1-5^-s)}{1/(1-7^-s)}・・・・{1/(1-p^-s)}・・・・・・
このテの話に慣れていない人は上式を見ただけでウンザリするだろうが、この式が成立することの証明は、たぶん大学受験レベルの問題となるだろう。
***
『素数に憑かれた人々』(ジョン・ダービーシャー著、日経BP社)という本があって、この等式について面白いことが書いてある。著者は此の式の証明が書かれた数学の教科書を調べあげ、一番理解し易い証明方法を見つけたそうである。
そこで、一応、念のため、オイラーの原本での証明を調べてみたところ、なんとオイラー自身の証明のほうが遥かに簡潔で理解が容易であることが分かったそうである。
この本では此のオイラーの証明方法によって上式を証明・解説している。
それを読むとナルホド・ナルホドと大納得してしまう。このオイラーの証明は中学生でも容易に理解できるだろう。
著者は、こう書いている。
『原典に当たるに越したことはないとは、やはり真実である。』
これは一般的な教訓でもある。モノゴトを真に理解していない人間ほど、そのモノゴトを晦渋に説明する、という教訓である。
ちなみに、上式はsを変数とするζ(ゼータ)関数といって、知る人ぞ知る超難問：リーマン予想の主題の式である。上記の本はリーマン予想に関しての一般読者向けのお勧めの本である。
1より大きい変数をs、正整数をn、素数をpとするとき、
1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+1/5^s+1/6^s+・・・・+1/n^s+・・・・・
={1/(1-2^-s)}{1/(1-3^-s)}{1/(1-5^-s)}{1/(1-7^-s)}・・・・{1/(1-p^-s)}・・・・・・
このテの話に慣れていない人は上式を見ただけでウンザリするだろうが、この式が成立することの証明は、たぶん大学受験レベルの問題となるだろう。
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『素数に憑かれた人々』(ジョン・ダービーシャー著、日経BP社)という本があって、この等式について面白いことが書いてある。著者は此の式の証明が書かれた数学の教科書を調べあげ、一番理解し易い証明方法を見つけたそうである。
そこで、一応、念のため、オイラーの原本での証明を調べてみたところ、なんとオイラー自身の証明のほうが遥かに簡潔で理解が容易であることが分かったそうである。
この本では此のオイラーの証明方法によって上式を証明・解説している。
それを読むとナルホド・ナルホドと大納得してしまう。このオイラーの証明は中学生でも容易に理解できるだろう。
著者は、こう書いている。
『原典に当たるに越したことはないとは、やはり真実である。』
これは一般的な教訓でもある。モノゴトを真に理解していない人間ほど、そのモノゴトを晦渋に説明する、という教訓である。
ちなみに、上式はsを変数とするζ(ゼータ)関数といって、知る人ぞ知る超難問：リーマン予想の主題の式である。上記の本はリーマン予想に関しての一般読者向けのお勧めの本である。
