楕円の接線に関する問題１ ～解析幾何学の話題より

２０２４年６月１９日（水）

 

　円・楕円・双曲線・放物線等の２次曲線は、新課程の高校数学では「数学C」に属する教材である。前回のブロ

グ

　　　２次形式の標準化　（２０２４年６月１７日）

とも関連が深い。今回は２次曲線のなかで、楕円をとりあげる。特に、楕円の接線に関する話題を取りあげてみた。

 

　本ブログでは、楕円の接線の公式を求めるのに、微分法を用いた。ただ、それは２変数の微分をおこなうので数学

Cでは扱わない。それでは、高校数学ではどう扱うのか？数研出版の教科書では必須ではなく、「研究」という発展

教材となっている。微分法でなく、下のような方法で接線の方程式が導かれている。

　数研出版『数学C』第４章「式と計算」P138から引用

 

　微分法を用いて接線の方程式の公式を導き、その接線に関する話題をとりあげよう。

 

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）６月１８日（火）のFacebook投稿より

　ナス２株とピーマン１株が青枯れ病にかかって枯れてしましました。そこで、少し前にピーマンの苗を購入し

て植えてあります。そして、昨日と今日、店で売れ残っていたナスの苗２株を購入して別の場所に植えました。

遅いことはわかっていましたが、とにかく植えてみました。

２次形式の標準化

２０２４年６月１７日（月）

 

　新課程の高校数学の数学Cの単元で、『式と曲線』の第１節「２次曲線」に関連する部分である。正確に

いうと、２次形式を標準化した式が数学Cの「２次曲線」に関連あるのだろう。

　

　２次形式

　　　　ax²＋2ｈxy+b y²

を行列の固有値を用いて標準化する方法を示したい。

　行列Aの固有値とは

　　  　Aλ＝λｘ　（x≠０）

となるλのことである。Aが２次正方行列ならば、固有多項式は２次式になるから（重解は２個と数えると）

２個の固有値が存在する。その２個の固有値に属する単位固有ベクトルPを用いて、

　　　（P^－１）AP＝D

を計算することによって、標準化するのである。ちなみにDは対角行列で、対角成分には２個の固有値が並

ぶ。

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）２０２５年度採用の岐阜県教員採用１次試験が６月１５日に実施される

　全国的な教員のなり手不足対策の一環として、教員採用試験の前倒しが行われている。岐阜県も例外でな

い。従来から、約１ヶ月の前倒しとなった。２０２５年度採用の岐阜県教員異様試験は、６月１５日（土）

に、次のような日程・な用で実施された。

　昨年度から試験問題は外注でなされている。なお、昨日の試験の結果等については、次のように募集要項に

記載されている。

　「第1次選考試験の結果は、7月5日(金)に電子メールにて通知予定。また、岐阜県教育委員会ホームページに

同日10時に掲載予定。※岐阜県庁前掲示板への掲示は行わない。」

　一次試験合格者に対する２次試験は、７月２０日（土）・２１日（日）の２日間にわたって実施される。

 

　今年度から大学３年生も受験できるようになった。ただし、下に記載されているように１次試験のみである。

　本ブログ記載の資料は、すべて岐阜県教育委員会発行の募集要項による。

　　　令和7年度採用  岐阜県公立学校教員採用選考試験案内

 

平面上の２つの三角形の面積が等しくなることに関する問題

２０２４年６月１５日（土）

 

　高校の新課程の数学Cの教材「平面のベクトル」からの出題である。本文でも述べたように、やさしい

問題である。この問題の小問（２）のポイントは、原点を含む△OABの面積の求め方である。すなわち、

　　O(0,0), A(p,q),B(r,s)のとき、△OABの面積

　　　　△ OAB=(1/2)・|ps－qr|

     となる

ことである。このことを知っていれば、小問２は容易に解ける。

　なお、三角形の３つの頂点が原点でない場合は、１点を原点に移すように他の２点を平行移動すればい

い。

 

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）６月１４日（金）のFacebook投稿より・・・学びの記録

　昨日（６月１４日）に岐阜学習センターに自習のために出かけました。

　朝ちょっとした用事があって出かけるのが遅くなりましたので、OKBふれあい会館の駐車場に到着したのは

９時少し前でした。会館入り口のに近いところの駐車スペースは空きがありませんでした。そこで南端の、道

路をはさんで岐阜県教育総合センター向かいの駐車場に停めました。

　学生控え室でちょっと休息をして、９時１５分頃に視聴覚スペースにはいりました。まず学位授与機構への

提出するためのレポートにむけて、微積分の学習をしました。高校数学では扱わない微分可能な一変数関数の

回転体の側面積の面積を求める公式を復習しました。詳しくは私のブログ

　　回転体の表面積（側面積）

　　https://blog.goo.ne.jp/.../57c309e91b59ae5fee2668b2ad165995

を見てください。

　休息をはさんで、１０時３０分から『樋口一葉の世界'23』の第１４講『『通俗書簡文』と、現実への回路｣

を聴講しました。手紙のやりとりをまとめた文で、一葉生前の唯一の単行本です。手紙のやりとりと言っても、

すべて一葉の創作です。書簡文は単なる書簡でなく、小説のような創作です。

　１１時３０分頃に昼食をとって,１２時には視聴覚スペースに入りました。『物理の世界'24』の印刷教材を

持っていましたが、時間の関係で『枕草子の世界'24』を聴講することにしました。印刷教材は、視聴覚スペー

スの本棚にそろえられているものを借りました。第６講「中の関白家と、一条天皇の宮廷文化」を聴講しまし

た。詳しいことは、省略します。中の関白家とは、藤原兼家とその同じ母親の三男道長の間の関白という意味

です。兼家の長男、道隆のことです。

　１３時過ぎには、学習センターを後にしました。

擬内積について（4次元ミンコフスキー計量）

２０２４年６月１３日（木）

 

　４次元ミンコフスキー空間は、アインシュタインの特殊相対性理論の数学的基礎を与える。特殊相対性理

論は、周知の通り次の２つを公理（原則）としている。

（１）運動は、相対的である。すなわち、物理法則に関してすべての慣性系は対等である。

（２）真空中の光の速さは。光源の運動状態に無関係である。すなわち、光速度不変の原理である。

　特殊相対性理論については、これ以上深入りをしない。専門書やWikipediaなどのネット上の情報を参照に

していただきたい。

 

　本ブログは、ミンコフスキー空間での内積、すなわちミンコフスキー計量について整理したものである。

周知のように、ミンコフスキー空間での内積は、普通の内積の公理を満たさない。そのために、擬内積と呼

ばれている。なお、内積の公理とは、実内積（ベクトルが実数成分の内積）の場合について次を言う。

＜内積の公理＞

　実ベクトル空間 V （任意のx,y,z∈V）上の二変数の写像 ⟨,⟩: V × V → ℝ に対して、

　（ⅰ）＜ｘ,ｘ＞≧０　　　　

　（ⅱ）＜ｘ,ｘ＞＝０⇔ｘ＝０

　（ⅲ）＜ｘ,ｙ＞＝＜ｙ,ｘ＞

　（ⅳ）＜λｘ＋φ y,ｚ＞＝λ＜ｘ,ｚ＞＋φ＜ｙ,ｚ＞

を満たす＜,＞を内積という、

　ミンコフスキー空間での内積は、この内積の公理の一部が満たされないのである。

　

　ミンコフスキー計量についてできるだけ基礎的なことに重点を置いて整理したので、高校生でもよく

読めば理解できると思う。

　なお、本ブログは現在閉講となっている放送大学の２つの印刷教材を参照にした。

　　　松本幸夫・川崎徹郎著『空間とベクトル'09』（放送大学教育振興会、2009.0329）

　　　橋本義武著『非ユーグリッド幾何と時空』（放送大学教育振興会、2015.0320）

 

放送大学教材『物理の世界'24』について

２０２４年６月１１日（火）

 

 　私が２０１４年４月に放送大学の選科履修生として入学した理由のひとつに、高校時代にあまりわからなかっ

た物理を再履修してある程度理解できるようにしようということがあった。実際、２０１４年１学期には、

　   　初歩からの物理学―物理へようこそ'12　　　　　物理の世界'11

を履修した。ただ、この年の４月から急にある私立高校の数学の非常勤講師として勤めることになったので、

履修した２科目はほとんど学習できなかった。２学期に再履修してもう放棄しようと思ったが、２学期もじっく

り学習できるわけがないので、とにかく５月には一夜漬けで通信課題を解いて郵送した。

　７月の単位認定試験は、今と違ってその科目の決まった日時と時間に岐阜学習センターで全国一斉に受験する

しくみであった。もちろん、印刷教材の持ち込みは不可であった。『初歩からの物理学―物理へようこそ'12』の

方は基礎的な問題が多かったので何とかなったが、『物理の世界'11』の方はさっぱりわからなかった。択一式で

あったので、適当にマークシートにマークした。結果は、次の通りであった。

　これを見ればわかるように、２つの科目は現在と違って「自然と環境」コースの入門科目でなく、基盤科目となっ

ている。十分できなかったこの物理学の入門２科目を再履修しようとずっと考えていたが、履修制限があってかな

わなかった。履修制限が外れて再履修できたのは、２０２２年２学期に履修した『初歩からの物理'22』からである。

そして、『物理の世界'24』も履修制限が外れて再履修できるようになった。２０２５年１学期に履修しようと考え

ている。現在は新しいこの２科目は、「自然と環境」コースの入門科目となっている。

 

　『物理の世界'24』について書いておこう。この科目は、「自然と環境」コースの物理学の専門３科目へのつなぎ

の科目である。専門３科目とは、現行

　　　　力と運動の物理'19          場と時間空間の物理'20           量子物理学’21

の科目の基礎となる内容だと考えられる。私は、上の専門３科目はすべて履修した。難しい内容であったが、十分

とはとても言えないが、何とか単位を修得した。（これら専門３科目の再履修は、全く考えていない。）

 

 

　『物理の世界'24』については、放送大学の「科目履修案内」について次のように記述されている。

 

　

　『物理の世界'24』は、専門３科目への橋渡しの科目であるから、その内容はそれぞれの分野を網羅している。

具体的には、次のように１５回の講義が構成されている。

　第１章～第３章・・・・力学　（岸根順一郎先生）

　　１．力と運動　　　　　　２．力学的エネルギー　　　　　３．古典力学のひろがり

　第４章～第７章・・・・電磁気学　（岸根順一郎先生）

　　４．ベクトル場　　　　　５.　電場と磁場　　　　　　　　６．マックスウエル方程式　　　７．光と時空

　第８章～第９章・・・・熱力学　（清水明先生）

　　８．マクロ世界の論理　　９．エントロピー　　　　　　１０．不可逆性

　第１０章～第１４章・・量子論　（清水明先生）

　１１．古典論から量子論　１２．量子論を記述する数学　　１３．量子論の定式化　　　　１４．ベルの不等式

　第１５章・・・まとめとこの先の展望　（岸根順一郎先生・清水明先生）

　１５．物理の世界：この先の展望

 

　「第８章～第９章・・・・熱力学　（清水明先生）」の熱力学の分野は、物理学の専門３科目へつながらない。

熱力学は、放送大学では化学の分野に組入れられている。『エントロピーから始める熱力学'20』が「自然と環境」

コースの専門科目として開講されている。余談であるが、ひと言触れた。

　さて、私は『物理の世界'24』の放送授業を第５講まで聴講した。印象として、岸根先生の授業がわかりやすかっ

たし、思わず授業に引き込まれた。『初歩からの物理'22』も比較的わかりやすい授業であったが、『物理の世界

'24』と違って数式が全面的に前に出てくることはなかった。しかし、 『物理の世界'24』は第４章「ベクトル場」

や第１２章「量子論を記述する数学」のような章が置かれていることからもわかるが、理論の裏付けとして数式が

重要視されている。私は数学が得意であるので、ことばによる物理概念の説明より数式を用いた説明の方がわかり

やすい。その意味で、『物理の世界'24』は私に合っていると思う。是非、２０２５年１学期には履修したいと思っ

ている。

　

　私は放送大学では「自然と環境」コースで、数学以外に教科で言う「理科」の領域として物理・地学を主に学ん

できた。学びとして「理科」の領域全部をカバーしようと思わないが、物理・地学を中心に学んで興味・関心があ

る範囲で化学・生物にも触れていきたい。

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）６月１０日（月）のfacebook投稿より・・・「選択的夫婦別姓」について

　経団連が「選択的夫婦別姓」を求める提言を公表しました。

　

　　　　「一刻も早く」　経団連が選択的夫婦別姓求める異例の提言を公表（毎日新聞） - Yahoo!ニュース　

　　

　現行では「結婚した際に夫婦が必ず同じ姓に統一するよう法律で規定している」唯一の国となっています。この

 

ことが、国際ビジネスの第一線で活躍女性にとって大きな障害になっているとのことです。

 

　「選択的夫婦別姓」を阻んできたのは、自民党内の保守派やその他の保守的な団体です。その理由は、時代遅れ

 

な「伝統的な家族観」に固持しているからです。個人の人権が尊重される現代にあって、「伝統的な家族観」を理

 

由に家族構成員の人権が侵害されることがあってはならないと思います。

 

　一刻も早く、民法を改正して「選択的夫婦別姓」が認められるようにすべきだと思います。最高裁には、現行の

 

｢夫婦同一の性を強制する」民法に対して、違憲判決を出してもらいたいと思っています。