フェルマーの最終決着”その３”〜オイラーからジェルマン嬢の華麗なる発見へ

　前回”その2”では､フェルマー(1601-1665)によるFLT(4)の証明と､オイラー(1707-1783)によるFLT(3)の証明を紹介しました。
　以下､フェルマーの最終定理(Fermat's Last Theorem)をFLTと略します。
　そこで､FLP(5)の場合は､以下で述べる女性数学者であるジェルマンの発見を経由し､ルジャンドル(1752-1833)とディリクレ(1805-1859)により､ほぼ同時期の1825年に証明されました。
　実際には､ディリクレが先に証明したが､彼の考察から漏れた部分をルジャンドルが補ったとされる。

　以下､足立恒雄氏の著書｢フェルマーの大定理が解けた｣と｢整数論の源流｣(写真)を参考にしてます。
　前者は楕円関数論寄りで､後者は数論寄りですが､交互に読みながら進めると理解がスムーズです。これも5千字を超えますが､悪しからずです。

ディリクレによるFLP(5)の証明

　x⁵+y⁵=z⁵ー①に整数解x,y,z(≠0)が存在すると仮定する。FLP(3)と同様に､x,y,zは互いに素で､x,yが奇数zが偶数とできる。
　そこでオイラーがやった様に､x=p+q,y=p−qとおき①に代入すれば(厄介な計算ですが)､p−5q=5乗数ー②の形の式が整数解p,qを持つ事が解る。
　ここで､pが5で割れる時とそうでない時に分ける。①式のz(偶数)が5､つまり10で割り切れるか否かで決まる。
　当時若干20歳のディリクレは､zが”5で割り切れない”時を証明し､パリの学士院に提出した。
　この原稿を参考にした審査員のルジャンドルは､2週間ほどで”5で割り切れる”時の証明を完成させた。
　一方でディリクレも､後に残りを証明するが､ルジャンドルは自らの著作｢数論｣に証明を書き､ディリクレの事は一切触れなかった。故にFLP(5)の業績は､同時期の証明であってもディリクレの方に軍配が上がるとされる。

　ここでも､②式を見れば判る様に､Z[√5]での”素因数分解の一意性”が問題になる。しかし､オイラーのFLP(3)の時と同様に､”互いに素な2数の積が5乗数の時､各々が5乗数であるか”という難癖が存在するが､何とかこの本質的な壁は切り抜ける事が出来る。
　しかし､一般的な指数nに関しては､この壁は無視できなくなるのだ。

　フェルマーの最終定理(FLT)では､n=3,4,5のケースがフェルマー(1630年代)､オイラー(1770)､ディリクレ(1825)により証明されてきたが､200年近い年数が過ぎていた。
　残りはn>5のケースとなるが､実はnが素数だけを示せばいい。
　そこで全ての奇素数pに対し､FLP(p)が示せたと仮定する。n>4の自然数とすると､nがpで割り切れる時はn=pmで表わせ､xⁿ+yⁿ=zⁿが解を持つとすれば､(xᵐ)ᵖ+(yᵐ)ᵖ=(zᵐ)ᵖとみなせるので､X=xᵐ,Y=yᵐ,Z=zᵐは､Xᵖ+Yᵖ=Zᵖの解となり､FLP(p)が示せた事に矛盾する。
　一方で､nがpで割り切れない時は､(少し抽象的ですが)n>3より4で割り切れる筈である。そこで､n=4mとおけばFLT(4)は証明出来るから､FLT(4m)が正しいのは明らかですね(証明終)。

　故に上で示した様に､7以上の素数pに対し､FLT(p)だけを示すだけでいい事になる。
　つまり､オイラーのFLP(3)の証明がフェルマーの最終解決の”一刺し”になったというのはこういう事です。
　但し､自然数nは素数の積pq...rの様に一意的に分解できる事からも明白な様ですが､厳密に証明すると少しややこしいですね。

ジェルマン嬢の発見からFLP(7)の証明へ

　1832年にもディリクレはFLT(14)を証明したが､上で示した様に､nが素数である事の方が肝要であり､これはFLT(7)を証明する為の途中経過とも言える。
　FLP(7)の証明は､ラメによってなされた(1839年)とされるが､そのラメの証明に含まれる誤りを訂正し､簡潔化したのがヴィクトル･ルベーグ(1840年)であった。
　しかし､ラメの複雑で長々しい論文を眺めれば､初等的な手法で解くのは限界だという事が解る。故に､同様の手法でn=11や13の場合を研究しようと思う者はいなくなり､個別研究の時代は終ったとされる。　

　それでもラメは､p次円文体(有理数と1の原始p乗根を含む四則ができる数の集合)を用いて､全ての奇素数pに対しFLT(p)が成立すると主張します。そして同時期に､コーシーも同じ事を主張した。
　これが有名なラメ=コーシー論争(1847年)ですが､この論争の詳細は次回に述べるとして､先に進みます。

　ディリクレとルジャンドルによるFLT(5)の証明の僅か前に､個々の数nではなく､ある条件を満たす奇素数pに対し､FLT(p)が成立する事を初めて示したのが､フランスの女性数学者ソフィー･ジェルマン(1776-1831)である。
　彼女は自分が女だと蔑視されるのを恐れ､ルブランを名乗り､ガウスと文通しますが､その手紙の中で書いた定理(1823年)が凄かった。　
　今では｢ソフィー･ジェルマンの定理｣と呼ばれるが､これは2p+1が素数である様な奇素数p(ジェルマン素数)に対し､xyzがpで割り切れない時においてのみ､FLT(p)が成立するというものです。
　つまり､xᵖ+yᵖ=zᵖ､(x,y)=1においてxyz≢0(mod p)なる自然数解が存在しない。
　因みに､2つ目はxyzがpで割り切れる(xyz≡0(mod p))場合は証明するのが非常に難しいので､1つ目のケースを｢フェルマーの大定理の第1の場合｣と呼ぶ。

ソフィー･ジェルマンの定理

　この定理の証明は省略しようかと思いましたが､ジェルマン嬢の貢献を讃え､大まかに紹介します。
　まず､n:奇数､a,b:互いに素な整数((a,b)=1)とし､a+b≠0の時､Qₙ(a,b)=(aⁿ+bⁿ)/(a+b)とおくと(但し(a,b)は最大公約数)､Qₙ(a,b)は自然数で､(Qₙ(a,b),a+b)=(n,a+b)ー[補題1]が成立。
　次に､x,y,zがxᵖ+yᵖ+zᵖ=0を満たす整数とすると､x+y,y+z,z+y及びQₚ(x,y),Qₚ(y,z),Qₚ(z,x)は全てp乗数となる。つまり､(−z)ᵖ=xᵖ+yᵖ=(x+y)Qₚ(x,y)が成立ー[補題2]。
　これは､補題1とフェルマーの小定理(xᵖ≡x(mod p))を使い､xᵖ+yᵖ≡x+y(mod p)⇒(p,x+y)=1より(Qₚ(x,y),x+y)=1となり､(−z)ᵖ=xᵖ+yᵖ=(x+y)Qₚ(x,y)からx+yとQₚ(x,y)がp乗数であるを導ける。y+z,z+yも同様です。

　ここで､ソフィー･ジェルマンの定理を示す為の2つの条件を提示(仮定)します。
　p,qを以下の2つの条件を満たす奇素数とすると､(1)pは法qに関しどの整数のq乗とも合同ではない。(2)x,y,z:整数､xᵖ+yᵖ+zᵖ≡0(mod q)を取るならば､xyz≡0(mod q)。
　この時､｢FLT(p)の1stケース｣は指数pに対して正しい。
　もしxᵖ+yᵖ+zᵖ=0､(x,y)=1と仮定すると､条件(2)より､qはx,y,zのどれか1つを割り切る。
　補題2よりx+y=tᵖ,y+z=rᵖ,z+x=sᵖと表せ､x=(−rᵖ+sᵖ+tᵖ)/2,y=(rᵖ−sᵖ+tᵖ)/2,z=(rᵖ+sᵖ−tᵖ)/2と書ける。故に､−rᵖ+sᵖ+tᵖ=2x≡0(mod q)から､以下､法は全てqとする。
　(2)により､xyz≡rst≡0(mod q)を得る。補題2より､tᵖQₚ(x,y)=−zᵖ,z≢0､よってy≡−z。
　ここで､t₁ᵖ=(xᵖ+yᵖ)/(x+y)=Qₚ(x,y)とすると､(x+y)t₁ᵖ≡(xᵖ+yᵖ),x≡0よりt₁ᵖ≡yᵖ⁻¹。また､r₁ᵖ=(yᵖ+zᵖ)/(y+z)=Qₚ(y,z)とすると､r₁ᵖ≡pyᵖ⁻¹≡pt₁ᵖ。z≡0⇒t₁≢0。
　そこで､t₁t'≡1なるt'を取ればp≡(r₁t')ᵖとなり､(1)の条件に反する。最初に仮定したxᵖ+yᵖ+zᵖ=0､(x,y)=1なる整数解は存在しないから､FLTは成立する。
　つまり､上の2つの条件が正しい事が証明できた。

　最後に､ジェルマンの定理の証明ですが､”オイラーの規準”{(a/q)≡a^((q-1)/2)(mod q)}を使います。因みに､(a/q)は平方剰余の記号です。
　p:素数､q=2q+1:素数､p≡aᵖ(mod q)とすると､±1=(a/q)=a^((q-1)/2)=aᵖ≡p。故に､p≡±1(mod q)となりq=2q+1に矛盾。よって､上の条件(1)が成立。
　次に､xᵖ+yᵖ+zᵖ≡0(mod q)､xyz≢0(mod q)とする。上のオイラーの規準より得たxᵖ=x^((q-1)/2)で､x^(q-1)≢0(mod q)よりxᵖ≡±1(mod q)､同様にyᵖ≡±1､zᵖ≡±1から､0≡xᵖ+yᵖ+zᵖ≡±1±1±1となり､明らかに矛盾する。よって､条件(2)が成立し､｢ソフィー･ジェルマンの定理(1stケース)｣が成立する(証明終)。

ジェルマン嬢の栄光と悲劇

　ルジャンドルは､このジェルマン嬢の定理を使い､以下の拡張を得た。
　奇素数pに対し､2p+1,4p+1,8p+1,10p+1,14p+1,16p+1のうち､1つでも素数であれば､pに対し｢FLT(p)の1stケース｣が成立する。
　このルジャンドルの判定法で証明できるのは197よりも小さい素数とされる。

　しかし､彼女の伝記を書いたデル･センチナによると､実際にジェルマンが自身の結果を用い､100より小さい全ての奇素数pについて｢1stケース｣の証明を行い､197よりも小さい素数までをも既に証明していたと。
　その上､FLT(5)に対する反例は全て"その大きさが想像力を脅かす"数であるべきで､”それは約40桁である”事も､未発表の原稿で示していた。
　この華麗なるジェルマンの定理ですが､ルジャンドルの｢数論｣の脚注によってのみ知られ､そこでは彼がFLT(5)の証明(後半部)するのに使われた。
　上述のデル･センチナは､”200年もの間､彼女の発想はフェルマーの大定理の研究の中心にあった”とも述べている。しかし結局は､彼女の方法はうまくは働かなかった。
　だが､彼女の華麗な定理はFLT(5)の完全証明に結びつき､後のクンマーに繋がる(全ての奇素数における)フェルマーの大定理の決着へ向け､大きく前進します。

　元々裕福の出だった彼女ですが､不運は更に続きます。
　ジェルマン嬢は敬愛するガウスの命を救った事でも有名ですが､ガウスと文通するうちに女性である事がバレてしまいます。
　その後､得意な数論研究での手紙でのやり取りが続きます。しかし､当時のガウスは数論から離れ､殆ど興味を示しませんが､彼女の事は高く評価してました。
　ガウスの”証明も反証も出来ない命題(定理)は幾つでも書き出せる”と友人に送った言葉にも､フェルマーの大定理に対する無関心さが伺えますね。
　

最後に〜偉大なる女性数学者

　ジェルマン嬢はこうした数論の研究だけでなく､弾性理論の先駆者の1人でもありました。
　敬愛するガウスとの文通が一旦終わり､1809年頃からルジャンドルの援助もあり､弾性理論の研究に没頭します。そして､1816年には弾性体の研究論文で､パリ科学アカデミーから女性初の大賞を受賞する。
　その後､アカデミーがフェルマーの大定理(FLT)に関する賞を提案した。これにより数論に対する興味が再び呼び起こされ､ガウスに10年ぶりに手紙を書く。
　彼女は､FLTの一般的な証明に向けた戦略の概要をガウスに説明したが､ガウスは返答しなかった。
　晩年は､乳がんを患ってるにもにも関わらず､彼女は1人で研究を続け､1831年に”弾性体表面の曲率”についての論文を発表したが､その年に亡くなった(享年55歳)。

　この様に､フェルマーの大定理の証明の基礎を築いたとも言える数論の研究者であり､弾性理論の先駆者の1人でもあった彼女だが､当時は性別に対する厳しい偏見があった。
　故に､数学のキャリアを歩む事はできなかった為､一生を通し1人で研究を行った。
　彼女の生前に､ガウスは彼女に対し､”ジェルマンは女性であっても､自然科学の世界で価値あるものを達成出来る事を世界に証明した。よって名誉学位を与えるに値する人物であるのは間違いない”と､名誉学位を授与する事を勧めていたが､実現には至らなかった。

　以上､ジェルマン嬢の物語はウィキを参考にしました。
　本来ならクンマーの研究(イデアル=理想数)にまで一気に行きたかったんですが。長くなりすぎたので今日はここまでです。