リーマン予想と素数の謎”１の２”(20/7/17更新)〜リーマンゼータ関数の旅立ちと､オイラーからディリクレそしてリーマンヘ

　オイラーからディリクレを経由し､ゼータ関数のバトンを受け取ったリーマンは､このゼータ関数の定義域を､まず整数域から実数域へ､そして複素数域へと広げていきます。
　そこで先ずリーマンは､この謎の無限級数の”各項の絶対値を取った収束性”を考えたのです。ここら辺の発想というのが､マジ凄いですね。
　つまり､ゼータ理論とは複素数乗の理論であり､ゼータの各項(=1/nˢ)がどれ位の大きさの複素数であるかの理論なんですね。故に､絶対値をとり収束を調べるのは､鉄則なんです。
　”ゼータ”という生意気な”魔性の女”を”絶対値”というタイトロープで縛り付けにしちゃうんですが。あちこち放蕩乱舞されたら､何も出来ませんからね。

実数域でのゼータ関数の収束

　最初に､sが実数の時は各項の打ち消し合いがないから､絶対収束(各項が十分に小さくなる事で､打ち消し合いに関係なく収束)すると考えたのです。
　実数域でのゼータ関数の収束は”旧その2”でも大まかに述べましたが､ここで詳しく判りやすく説明します。
　sが実数の時､ζ(s)=1+1/2ˢ+1/3ˢ+1/4ˢ+•••はs>1で収束し､s≤1の時発散しますが。s=1での発散は有名な”オーレムの定理”から､1+1/2+1/3+1/4+•••>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+•••=1+1/2+1/2+1/2+•••=∞､ですね。
　しかし､s>1での収束は自明ではなく､オイラーマクローリンの定理(無限級数の収束性は広義積分の収束性に依存する)を使い､Σₙ[1,∞]1/nˢ<∫ₓ[1,∞]dx/xˢ=[x⁻ˢ⁺¹/(−s+1)]ₓ(1,∞)と変形できる。
　(注)､Σ(n=1,∞)=Σₙ[1,∞]､∫(x=1,∞)=∫ₓ[1,∞]と略記します。また､[x⁻ˢ⁺¹/(−s+1)]ₓ(1,∞)は,F(x)=x⁻ˢ⁺¹/(−s+1)の時,F(∞)−F(1)の事です。

　故にs>1時のみ､1/(−s+1)に収束し､s≤1の時は発散します。よって､sが実数の時､ζ(s)がs>1で収束する事が判りますね。リーマンの何でも自明にしないと気が済まない性格が表れてます。ドイツ人の実直さの典型ですね。　
　という事で､生意気な淫乱女(ゼータ)も実数域(右半分)ですが､簡単に大人しくなるんですが。

複素数域でのゼータ関数の収束

　問題はsが複素数の時ですが。リーマンは実数域と同様に､ゼータ関数の各項の絶対値を取った､1+|1/2ˢ|+|1/3ˢ|+|1/4ˢ|+•••ー①の収束性を考えた。
　収束し易い実数とは異なり､複素数はs=r(cosθ+isinθ)の極形式で示されるので､偏角θのお陰で放射線状に散らばり､2次元的に打ち消し合います。
　よって､より複雑に(振動しやすく)なる。この複雑さこそがリーマン予想の未解決の理由の一つともされるのですが。
　魔将の女もその心情の複雑さこそが男を惑わす大きな原因となってる訳でして。女の正体を一つ一つ暴いていく感じが溜まりません。　

　そこで､複素数sを実部σと虚部tを使い､s=σ+itとすると､|eˢ|=|e^(σ+it)|=|e^σ||eⁱᵗ|=e^σ*|eⁱᵗ|。
　オイラーの公式(e^(iθ)=cosθ+isinθ)を使い､|eˢ|=e^σ*|eⁱᵗ|=e^σ*|cost+isint|=e^σ*|√(cos²t+sin²t)|＝e^σと変形できる。　
　n=eˡᵒᵍⁿより､nⁱᵗ=(eˡᵒᵍⁿ)ⁱᵗ=(eⁱ)ᵗˡᵒᵍⁿ。
　これは､オイラーの公式にθ=tlognを代入したもので､nⁱᵗ=eⁱᶿですね。n=eˡᵒᵍⁿが理解できない人は､このブログ読んでも無駄ですぞ💢。両辺の対数をとれば明らかね。
　すると､|nˢ|=|n^(σ+it)|＝n^σ*|nⁱᵗ|=
n^σ*|eⁱᶿ|=n^σ*|√(cos²θ+sin²θ)|=n^σ。
　故に､|1/nˢ|=1/n^σです。つまり､nの複素数s乗も､sの実部σを使えば絶対値(タイトロープ)が外れると。全く､魔性の女も本心(実部)を見抜けば､素直なんですな。

　よって､①=ζ(σ)=1+1/2^σ+1/3^σ+•••となり､σ(=Re(s))は実数より､ζ(σ)はσ>1の時に収束します。故に､ζ(s)が”絶対収束”する複素数sの領域は､”sの実部が1より大きい領域”となる事が証明できた。
　因みに､σの上付き文字があれば､もう少しスッキリするんですが。Unicodeも絵文字ばっか作らずね💢それにアイフォンの数式Unicodeはアンドロイドでは不具合が出るし､PCでは文字化けするし､全くヤりきれませんね。それに”eⁱᶿ”なんかがPCでは非常に見にくい。
　

ゼータを全領域へ〜解析接続という魔法

　でも､魔性の女が大人しくなるのは､実数域でも複素数域でも限られてますね。
　そこで､ゼータの領域をRe(s)=1から左側に広げたいんです。そこで”解析接続”という”魔法”を使うんです。
　ここで､解析接続の1つのツールである”複素素関数論における一致の定理”を使います。
　”複素数平面内に広い領域Eと､その中の狭い領域Dがある時､2つの正則関数がD上で一致すれば､E上でも一致する”というものです。

　以下､1つの例を上げます。
　ζ(−1)=−1/12をオイラーが証明した時に使った1−s+s²−s³+•••=1/(1+s)(公比−sの無限等比級数の公式､但し|s|＜1)を2乗した式に､その範囲外の数字であるs=1を代入しました(”旧4の3”も参照)。
　しかしこの公式をよく見ると､左辺が収束するのは､|s|<1に限られる一方､右辺の1/(1+s)は､s≠−1なる全ての複素数に対して存在する。つまり､左辺と右辺で領域が異なる。
　しかし､この無限級数の等式は狭い領域D(s∈C､|s|<1)で一致してるので、その領域外E(s∈C､s≠−1)でも一致する。故に､s=1を代入しても正解な値が得られるのです。
　こうして､1−s+s²−s³+•••=1/(1+s)の領域を､|s|<1からs≠−1なる全ての複素数にまで広げる事に成功しました。この様にして､関数の定義域を拡張する事を”解析接続”といいます。

　つまり､このゼータ関数が仮の無限大という姿とは別の”本来の値”を持つという事は､”特殊な美しさ”を持つという事です。値そのものより､”値を持つ”という事が大切だと。
　「リーマン教授とインタビューする」(小山信也著)の中でリーマン教授は述べておられます。

　エロい言い方をすれば､一見淫乱(発散)に見える魔性の女も､見方を大きく広げれば､特殊な美しさ(本来の値＝収束値)を持つ。

　ゼータ関数を､オイラーが確立した整数の領域から実数(r>1)にまで拡張し､更に複素数の領域(Re(s)>1)にまで拡張した所で､今日は終わりにします。
　次回は､このゼータという魔性の女を､解析接続という魔術？を使って､複素数全体にまで拡張していきます。