マッキーの学習指導法：今年の開成中学入試問題「算数」・・・その２

 
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　『マッキーの学習指導法：今年の開成中学入試問題「算数」』に続いて、今年の開成中学の入試問題を取り上げ、出題意図を含め、受験対策に役立つ解説をしましょう。多くの受験生が、トップ校を受験するわけではありませんが、トップ校の入試問題には、受験生が学ぶべきポイントが象徴的に取り上げられていますので、指導する保護者の皆様には、とても参考になると思います。

　前の問題は、開成中学の算数入試問題の【問題１】を取り上げました。今日は、「仕事算」や「単位量あたりの大きさ」などの考え方と、割合の考え方を用いて解く【問題２】について取り上げましょう。取り上げる入試問題は、私なりの解き方で説明しますが、上位校の算数の解法は幾通りか考えられます。その中でも分り易い解き方を説明することにします。

【問題２】

　３人の職人Ａ、Ｂ、Ｃの１日あたりの賃金はそれぞれ６０００円、９０００円、３００００円です。ある仕事をＡ１人に頼むと６００日、Ｂ１人に頼むと４００日、Ｃ１人に頼むと２００日でちょうど完了します。職人が２人、あるいは３人で同じ日に作業したとき、それぞれの能率は１人のときと変わらず、その合計の作業がされます。また、最後の日は途中で仕事が完了しても１日と数え、１日分の賃金を支払います。以下の問いに答えなさい。

（１）どの日も、Ａ、Ｂ２人だけで作業すると、この仕事は何日で完了しますか。

（２）２１０日以内にこの仕事を完了させるとき、賃金の合計金額が一番少ないのは、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれに何日ずつ頼むときですか。また、そのときの賃金の合計金額はいくらですか。

（３）賃金の合計金額を４２０万円以内とするとき、この仕事が完了するまでにかかる日数が一番少ないのは、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれに何日ずつ頼むときですか。また、そのとき何日で仕事は完了しますか。

【解答・解説】

　最初の（１）の問題は、いわば仕事算の基本的な問題として解くことができます。仕事算とは、全体の仕事量を１と置き、それぞれの単位時間あたりの仕事量を求めて解く問題のことを言います。この問題であれば、Aの一日あたり（単位時間）の仕事量は、１/６００、Bの一日あたりの仕事量は１/４００です。

　よって求める日数は、１÷（１/６００＋１/４００）＝２４０（日）・・・（１）の答え、と出すことができます。これは、とても簡単な問題です。予習シリーズでは、こうした問題を、最小公倍数を使って整数計算させていますが、計算は簡単になりますが、子どもたちが全体を見積もって解いていくことができないので、あまり良い解き方とは言えません。

　次は（２）の問題です。（１）で求めたように、AとB二人だけでは、この作業が終わるのに２４０日かかってしまいます。したがって、AとB二人で２１０日働き、残りの作業をCにやってもらった時、『賃金の合計金額が一番少ない』という条件を満たすはず。

　よってCが働く日数は、｛１－（１/６００＋１/４００）×２１０｝÷１/２００＝２５（日）・・・Cの日数
考え方で説明した通り、AとBはそれぞれ２１０日。
賃金の合計金額＝（６０００＋９０００）×２１０＋３００００×２５＝３９０００００（円）
この問題も比較的考えやすい問題です。

　最後の（３）の問題です。A、B、Cの働く日数をそれぞれA、B、Cと置いて、与えられた条件を文字式で整理してみましょう。

　作業（仕事）の量の関係から、１/６００×A＋１/４００×B＋１/２００×C＝１・・・①

　賃金の合計金額を４２０万円以内という条件から、
　６０００×A＋９０００×B＋３００００×C=４２０００００・・・②
　（小学生は不等式が解けないので、一応４２０万円として計算します）

　①を簡単にして、２×A＋３×B＋６×C＝１２００
　②を簡単にして２×A＋３×B＋１０×C＝１４００

　中学生では、三元一次方程式ですが、小学生では消去算と呼びます。
　４×C＝２００
　　　C＝５０（日）

　上の式にC＝５０を代入すると、２×A＋３×B＝９００となります。不定方程式のようですが、２人が一緒に連続的に作業を進める時が、『仕事が完了するまでにかかる日数が一番少ない』という条件を満たしますので、A＝Bと考えます。

　よって、２×A＋３×A＝９００　　５×A=９００　　A=１８０（日）

　以上のことから、A１８０日、B１８０日、C５０日となり、１８０日でこの仕事が完了するというのが（３）の答えとなります。

　仕事算的な考え方ができること。また、与えられた条件を理解して、文字式等で条件を整理することができることが、この問題を解く条件となります。けれども、問題の意味を理解できれば、比較的解き易い問題と言えるでしょう。