マッキーの一問必答（１０）：二等辺三角形の性質を利用する問題（２）

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　「一問必答」は、「一問一答」に掛けた造語として、今回のシリーズで用います。中学受験した学校に合格するために、ぜひ正解してほしい問題の中で、特に経験的に修得すべき基礎的知識を含む２６年度の問題を取り上げ、ポイントを解説します。

　今回は、前回に引き続いて二等辺三角形の性質を利用する問題です。ただ、ちょっと変形されているので、条件をよく整理して考えましょう。


【２６年度の入試問題】　（分数の表記および記号が、実際の入試問題と若干異なります。）

　今回取り上げる中学校は、女子美術大学付属中学校・頌栄女子学院中学校・鴎友学園女子中学校の３校です。いずれも２６年度の入試問題です。

１．女子美術大学付属中学校

　２６年度の女子美の算数は、問題１が計算３題を含む小問１０題、後は幾つかの小問を含む大問４題で構成されています。今回取り上げた問題は、問題１の小問の一つです。

【問題】下の図で、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ、角ＡＯＣの大きさが１４０°のとき、角ＡＢＣの大きさを求めなさい。




２．頌栄女子学院中学校

頌栄の２６年度入試問題は、問題１が計算問題を含む小問６題、その後大問４題の構成です。取り上げた問題は、問題１の小問の一つです。

【問題】下の図の三角形ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形です。ｘの角の大きさを求めなさい。




３．鴎友学園女子中学校

２６年度の問題は、小問に近い問題が２題、問題３から問題７までは、小問２～３題で構成された大問５題でできていて、計算は出題されていません。そのうち今回の問題は、最初から２番目の問題です。

【問題】図のように、平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣで三角形ＡＢＣを折り返してできる三角形を三角形ＡＥＣとします。ＡＢ＝ＡＣのとき、角アの大きさを求めなさい。



　このシリーズで取り上げる今春の中学入試問題は、私が作成した解説および解答を見ずに、まずは自力で解いてみることをお勧めします。大人には頭の体操になりますし、また受験生は、算数に対する興味や面白さが、倍増するはずです！


【解答と理解しておくべきポイント】

１．女子美術大学付属中学校の解答

2つの二等辺三角形が組み合わされた図形です。
この問題と同じように解く問題を、以下のブログで最近取り上げました。

マッキーの一問必答（８）：慶應中等部の図形問題

三角形OABと三角形OBCの頂角の和が１４０度です。
下の図のように、等しい底角に印を付けます。
すると、求める角ABCは、２つの二等辺三角形の底角一つずつの和になっています。

２つの二等辺三角形の底角の和は、１８０×２－１４０＝２２０
よって求める角ABCは、２２０÷２＝１１０度
　



２．頌栄女子学院中学校の解答

この問題は、太線で示した四角形の角Bを求めることからスタートします。
これは一般的には、角Bの大きさが出ていて、１３０度の角を求めさせる問題として出題されます。
三角形の内角の和と、外角の定理を用いて角Bを出します。
公立小学校の５年生の算数指導を行ったとき、この角Bを求める方法をみんなに考えてもらいましたが、様々な解き方を考えてもらい、有意義な授業を行うことができました。

今日は、最も基本的な考え方を使って説明しますと、角１３０度と隣り合う内側にある角の大きさを、３６０－１３０＝２３０度として求めます。
すると太線で示した四角形の３つの角の大きさが分かりますから、求める残りの角Bの大きさは、
３６０－（２３０＋３８＋３４）＝５８度と簡単に求めることができます。

三角形ABCは二等辺三角形でその底角の大きさが５８度。
よって、その頂角BACの大きさは、１８０－５８×２＝６４（度）
求める角Xは、６４－３８＝２６度




３．鴎友学園女子中学校の解答

下の図形で、折り重ねて重なった部分の三角形が二等辺三角形になっていることが分かるでしょうか。
角BACと角EACは折った同じ図形の頂角ですから等しいのは当然です。
また、角BACと角DCAは、平行線の錯角ですので、大きさは等しくなります。

このことより角EACと角DCAの大きさが等しくなリますので、角EAC＝（１８０－８８）÷２＝４６度
頂角４６度の二等辺三角形の一つの底角の大きさは、角AEC＝（１８０－４６）÷２＝６７度
三角形の外角の定理（角AEC＋角ア＝８８度）から求める角アは、８８－６７＝２１度



学校で小学４年に学習する二等辺三角形の性質を使う問題でしたが、その基本的な性質を入試問題で使えるためには、こうした問題を経験的に知識として習得する必要があります。

二回にわたって説明してきた二等辺三角形の問題は、その角度に注目して解く問題でもありました。次回は、特殊な角度に注目して解く問題について取り上げて解説しましょう。