“時間”はあと50億年で終わる？

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―宇宙が誕生して約140億年。今後も延々と存在し続けると考えている人は多い。しかし、“時間”そのものがあと50億年で終わるとする新たな研究成果が発表された。偶然にも、太陽が最期を迎える時期と重なっている。

“時間”はあと50億年で終わる？

　この予測は、われわれが住むこの宇宙は多元的宇宙の一部であるとする永久インフレーション理論に基づいている。その広大な構造は無数の宇宙から構成されており、各宇宙はさらに無数の孫宇宙を生み出すことができるという。
　多元的宇宙の問題は、「起こり得ることは何回でも無限に起こり得る」としている点だ。この理論では、例えば「地球サイズの惑星が無数にある」確率を計算することなど、ほとんど無意味になってしまう。
　アメリカ、マサチューセッツ州にあるタフツ大学のケン・オルム（Ken Olum）氏はこの点について、「イベントAが2回、イベントBが4回起きる場合、イベントBの発生率はイベントAの2倍と考えるのが普通だが、この理論では違う。なぜなら2回も4回もなく、常に無限だからだ」と説明する（同氏は今回の研究に参加していない）。
　とはいえ、この多元的宇宙の確率に関する問題は、宇宙学者にとっては問題でも何でもないらしい。
　カリフォルニア大学バークレー校の理論物理学者ラファエル・ブソー（Raphael Bousso）氏らの研究チームは、「宇宙全体で無数の人が宝くじに当たるのなら、当選の確率など誰も気にしない」と今回の論文中で述べている。
　物理学の世界では、幾何学的カットオフ（geometric cutoff）と呼ぶ数学的手法でこの問題を回避してきた。無限に続く多元的宇宙を途中で打ち切り、その有限のサンプルを使って確率を計算するというものだ。
　しかしブソー氏らの研究チームは、「この手法には隠れた落とし穴がある」と述べている。
「カットオフ（宇宙の有限化）手法を単純な数学的ツールとしては使用できない。なるべく正しい予測を出そうと考案されたカットオフ手法だが、時間の終わりまで予測してしまうのである。
　つまり、永久インフレーション理論の中でカットオフ手法を使用して確率を算出すると、カットオフそれ自体、そして時間の終わりが“あり得る出来事”になってしまうのだ」。
　このような奇妙な欠点があるにはあるが、ブソー氏らは永久インフレーションを確かな概念だと考えている。同理論の根底にあるアインシュタインの相対性理論などの科学的な前提は、「どれも問題らしい問題がなく代替の見あたらない理論」だという。
　実際、多くの物理学者は永久インフレーションについて、標準のインフレーション理論から生まれるべくして生まれた当たり前の拡張版だと考えている。オリジナルのビッグバン理論にまつわる問題のいくつかは、インフレーション理論によって解決された。
　ビッグバンの初期モデルでは、宇宙の両端にある物質はあまりに遠く離れているため、相互に作用したことがないとされる。つまり初期宇宙は一様ではなかったという考え方だ。
　また、宇宙の現在の膨張率なら、宇宙の全体的な形状は時間の経過とともに屈曲していなければおかしい。さらに、宇宙誕生の瞬間、宇宙全体は重くて安定した粒子「磁気単極子」で満たされたはずである。
　しかし、数年前からビッグバンの名残である放射線が観測されているが、結果はまったく逆の内容を示している。初期宇宙は一様であり、現在の宇宙は平坦で、磁気単極子などまったく観測されていない。
　これらすべての問題を解決する標準インフレーション理論は、宇宙は誕生直後に一気に膨張した後、しだいに安定して現在観測されるような平坦で一様な宇宙が作られたとしている。
　永久インフレーションは標準インフレーション理論の次のステップであり、宇宙論の難問をいくつかクリアすることができる。例えばこの宇宙の誕生前は何が存在していたかという疑問には、「別の宇宙があった」と答えることができ、なぜこの宇宙には生命が誕生し得たのかという問いには、「あらゆることはあり得るから」と答えられる。
　しかし永久インフレーション理論も、多元的宇宙の確率の問題が示すようにまだ完璧ではない。
「多元的宇宙で確率に有効性を見出すなら、多くの宇宙を終わりに導くカットオフも現実のものと考えなければならない」と、研究チームのリーダーであるブソー氏は指摘する。カットオフを計算するために使用する公式を当てはめると、誕生から137億年の宇宙はあと50億年ほどで終わりを迎えるという。
　現実のカットオフがどのようなもので、時間の終わりがどのように訪れるのか研究チームも答えを見出せていない。ただし、もし本当に起こるとしたら、何の予兆もなく突然に訪れると予想されている。そして、カットオフの到来を人間の目で確認できるとしても、地球から見ることはできないだろう。
　誕生から45億7000万年ほど経過した太陽も、約50億年後に寿命を迎えると考えられている。その頃には太陽は中心核の燃料を失い、外層のガスを放出し始める。膨張した太陽は赤色巨星と化し、最終的に惑星状星雲となって一生を終えるのだ。
　このときに地球がどうなるのか不明だが、太陽の死後も地球上に生命が存在できると考える科学者はほとんどいない。

というわけで時間はあと50億年で終わるという論文が発表されたようです。
正直言ってこの論文を読んでもわからないですけどね。原点の取り方でなんとでも言えるような気がしますがね、どうなのでしょうね?ほんとうによくわかりません
この言い方だと50億光年先だと始まっている感じですよね。まぁ普通の人が生きているうちにはなんの影響もない話ですね。誰かこの話がわかる方是非とも教えてください

重力は存在しない＝オランダ物理学者

重力は存在しない＝オランダ物理学者 - (大紀元)

オランダのアムステルダム大学理論物理学院のエリック・ベルリンド(Erik Verlinde)教授はこのほど、「重力は存在しない」という学説を発表した。重力が単なる熱力学の法則の必然の結果だというベルリンド教授の主張は、科学３００年来の理論を覆し、多くの物理学者たちの反響を呼んでいる。７月１２日付けのニューヨークタイムズ紙が伝えた。
　通常、素粒子物理学では自然界には４つの力（強い力、弱い力、電磁気力、重力）が存在し、重力はその基本的な力の一つとされている。しかし同教授はこれを誤った見方と指摘し、重力はもっと自然的な現象で、例えば、株式市場が個々の投資家の集団行動から作られることや、ゴムがもつ弾性が原子の力学から現れるようなものだと説明した。
　理論の核心は熱力学的なエントロピー(状態の雑然さ、すなわち自由度の多さ)と関連している。ベルリンド教授は、自然にカールする髪の毛を例にしてこう解説している。多湿な環境で髪の毛が縮むのは、真っ直ぐになるよりも縮むほうが多くの状態（自由度）を持っているからである。従って、縮んだ髪の毛を真っすぐにするには力を必要とする。重力は、エントロピーを最大限にしようとするという熱力学の法則の副産物に過ぎず、自然の傾向だと教授は主張する。
　重力は存在しない、という理論は物理学者の間で大変な反響があった。ハーバード大学弦理論学者アンドリュー・ストロミンガー(Andrew Strominger)氏は、「この理論は極めて正確であることは我々も知っている。とても興味深い理論だ」　と述べた。
　現代科学は、宇宙研究において重力理論が基本となっている。しかし重力が存在しないのであれば、銀河系や宇宙構造に対する認識も必然的に誤っていることになる。天文学者は、はるか遠くにある天体の運動を重力理論では説明できないから、限りなく強い重力をもつ「ブラックホール」理論を導入せざるを得ないのかも知れない。事実、「ブラックホールは存在しない」と唱える物理学者もいる。
　新理論は、科学者らの宇宙に対する全く新しい認識への追求を促している。

工学系のラグランジュ方程式の話part1

以前テンソルの話の解にお世話になった方が解析力学とは切っても切り離せないラグランジュの運動方程式について書いてくれたので転載します。あくまで工学系の人向けです
ジャンルが栃木県なのは本人の希望です。

ちなみにテンソル好きの方はこちら
http://blog.goo.ne.jp/fmdwtip03101b/c/98c24bca5a66cbce0a4cea7530648e5e

※物理大好きな変態のための

体系だった物理学の分野を語るには、数学と、「原理」が必要である。
数学だけでは物理は語れない。どこかしらに自然の情報を数式に直したものを承認する必要があって、それは数学的に証明できない。なぜなら導出する手がかりが無いから。

ニュートン形式の力学では、「原理」としてニュートンの三法則が要請された。力学を語るゆきかたは、もちろんこの方法に限らない。原理の取り方は人間の自由だが、なるべく納得しやすいもの、自然なものがいい。

自然の現象には、ある時間積分
S=∫［a→b］Ldt　（aは現象の始点の時刻、bは終点の時刻）
を最小にする、という形で述べられるものが多数ある。
変数を明示的にL（q,q'；t）としておく。q'はqの時間微分。

もう少し数学的に書くと
S（L）なるスカラーをKとおくと
SはL（関数）→K（スカラー）という写像である。
スカラーをスカラーに写すのが関数であるが、写像Sはその範疇を出ている。
関数をスカラーに写す写像を汎関数という。

汎関数の微分法に当たる「変分法」という数学的テクニックを用いれば
S：極値⇒d/dt（∂L/∂q'）＝∂L/∂q
となる。

さて、力学に戻ろう。力学ではなぜかL=T（運動エネルギー）-U（ポテンシャル）　とすればつじつまがあう！
したがって、L=T-U（ラグランジアンと呼ぶ）とした上でS：極値を原理ととっても良い。
この行き方をラグランジュ形式の力学という。

本当にニュートン力学とつじつまが合うのか確かめてみよう。
カルテシアンを用いれば
L=（m/2）（x'＾2+y'＾2+z'＾2）-U（x,y,z）
これに変分法を用いる。x座標について
d/dt（∂L/∂x'）＝∂L/∂x
すなわち
d/dt（mx'）＝-∂U/∂x
これはニュートンの運動方程式である！
変分法を用いて作った式はラグランジュの運動方程式という。

これでは、まだラグランジュ形式のおいしさが分からない。
次は二次元極座標（r,φ）を使って、ケプラー問題を解こう。
L=（m/2）（r'＾2+r＾2*φ'＾2）-U（r）
d/dt（mr'）＝-∂U/∂r+mr*φ'^2
d/dt（mr^2*φ'）＝0
この方程式は見覚えがあるはずだ。ニュートン力学でケプラー問題を解こうとしたときに作った式だ。この方程式を出すのにどんな苦労をしたか思い出して欲しい。ラグランジュ形式では機械的にすぐに出る。
しかも、後者の式は角運動量保存則になっている。
ポテンシャルにφが含まれていないことから、ラグランジュの運動方程式の右辺が0になるのはすぐに予想される結果である。ラグランジュ形式は、保存則を見つけるのにも力を発揮するのである。

束縛条件付きの問題を考えよう。
水平なテーブルに穴が空いていて、テーブル上に質点mがあり手で固定している。質点mには紐の一端がつけられている。紐はテーブルの穴を通り、もう一端にはやはり質点Mが取り付けられている。床は十分遠いので、質点Mは紐にぶら下がっている。
mの運動を論じよう。ラグランジアンはテーブルの穴を原点とする極座標を用いて
L=（m/2）（r'＾2+r＾2*φ'＾2）+（M/2）r'＾2-Mgr
ここからラグランジュ形式の運動方程式を立てることは容易であろう。あとは皆さんの得意な微分方程式の問題である。
ニュートン力学の方法で論じようとすると、面倒な事になるのは目に見えている。ラグランジュ形式は、束縛条件つきの問題を論じるのも得意なのだ！

以上見たように、具体的問題の解決にもラグランジュ形式は便利である。
実はそれだけでなく、運動の一般論を引き出すのにも使えるのである。
こちらはいい加減眠くなってきたので割愛する。興味があればランダウ=リフシッツ「力学」（生協で平積みにされていたから買え）を読めばよろしい。

剛体の回転運動でもラグランジュ形式は便利らしいが、こっちは勉強していないのでよく知らない。私の不勉強でラグランジュ形式の素晴らしい一例を示せなくて残念だから、同志諸君は是非私を乗り越えて力学すべきだ。

というわけで、ラグランジュ形式はとても素敵なものなので、いやしくも理系を名乗る者ならば、勉強しない手はありません。電電のみんな（特に品川のように微分方程式大好きな変態）も、電磁場中での電荷の運動を記述するのにラグランジュ形式を使ったらとてもカッコいいので（事実使える）ぜひランダウ=リフシッツ「力学」買いましょう。ほらこんなに薄いんだからすぐできるに决まってるヨ…。

テンソルの話

最近テンソルを勉強しようと思い「場の古典論」を購入。
そんな折、友人がテンソルについてmixi日記を書いたのでその転載です。




テンソルを勉強し始めたという友人への前途のために！
というより自分自身の復習と纏めのために。



----直交テンソル----

任意のn個のベクトルを1つの実数に対応させる関数Tが、
それぞれのベクトルに関して線形性を持つとする。
その関数Tをn階のテンソルと呼ぶ。

テンソルは、それぞれのベクトルの基本ベクトルに対する値によって対応付けられる。
（∵線形性）
したがって、テンソルはΠ[k=1~n]（k個目のベクトル空間の次元）個の成分によって一意に定まる。

具体例として、1階のテンソルについて考えよう。
T(a)=K　（aは3次元ベクトル、Kは実数）　aのi成分をa_iとすれば
a=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3 (=a_ie_i 重なった添字に関して1~3までの和をとる記法を用いればこうもかける。これをアインシュタインの記法という。以降の議論では断りなき限りこれを用いる。)

よってK=T(a)=T(a_ie_i)=a_iT(e_i) つまり、この関数は基底e_iのもとでT(e_i)という3つの値によって、必要十分に特徴付けられる。
では、これをテンソルTのi成分と呼び、T(e_i)=T_i　と書くことにする。

ところで、1階のテンソルは、ベクトルの標準内積と同様の計算をしている。
では、テンソルの和とスカラー倍をベクトルと同様に定義すれば、1階のテンソルはベクトルと何も変わるところが無いのではないか。
実際、定ベクトルと任意ベクトルの内積を関数と見たとき、それは1つのベクトルを1つの実数値に対応させる関数であるのだから、ベクトルは一階のテンソルと言える。
逆に、一階のテンソルならばベクトルであることも、上記から明らかであろう。

内積について、今度は2階のテンソルgを
g(u,v)=u・v　(uとvはベクトル)
で定義しよう。(多線形性は確認するまでも無い)
ユークリッド空間においては、gは対角成分のみ1のテンソルである。
このテンソルgを計量テンソル(metric tensor)という。

----一般のテンソル----
以上、基底が直交していることを前提に語った。
次に、基底{e_1,e_2,e_3}が直交していないことを考える。

このとき、{e^1,e^2,e^3}を、e_i・e^j=δ_i^jで定義する。前者の基底を共変基底、後者を反変基底という。（記号^は上付きの添字を表現するものであって、冪ではない。）
ベクトルAを共変基底を用いて表現しよう。基底e_iに関する成分をA^i（:=A・e_i）とすれば
A=A^i*e_i
となる。
さて、共変基底を取り替えてみよう。このとき、成分は線形変換される。つまり
e_j=a_j^i*e'_i が存在し、(逆変換 b_i^j*e_j= e'_i も存在するとしておく)
こうすれば
A=A^je_j=A^j*a_j^i*e'_i
つまり
A'^i=A^j*a_j^i　（あ）
e'_i=b_i^j*e_j　（い）
以上の議論で、上付きの添字は（あ）のように変換され、下付きの添字は（い）のように変換されている。前者が反変量の変換則で、後者が共変量の変換則である。

今見たように、ベクトルは共変基底を用いて反変量として表現（ベクトルの反変成分、反変ベクトルとも言う）することも出来たし、反変基底を用いて共変量として表現することも出来た。
この後すぐ述べるように、この表現は互いに移ることができる。
テンソルもベクトルの拡張であるからには、事情は同様である。

1階テンソルをもう一度見直そう。T(a)=K　（aは3次元ベクトル、Kは実数）として。
K=T(a)=T(a_ie_i)=a_iT(e_i) つまり、この関数は基底e_iのもとでT(e_i)という3つの値によって、必要十分に特徴付けられた。 T(e_i)=T_i　と書くのであった。
T_j=T(e_j)=T(a_j^i*e'_i)=a_j^i*T'_i
これは、共変量の変換法則であり、テンソルの共変成分、あるいはT_iを共変テンソルという。

次に、計量テンソルgについて考える。
g(u,v):=u・v
g(u,v)=g(u^i*e_i,v^j*e_j)
=g_ij*u^i*v^j
計量テンソルを2つの共変添字を持つテンソル(2階共変テンソル)として表現した。
内積はベクトルを入れ替えても同じ値になるので明らかにg_ij=g_jiである。

さて、A^i（:=A・e_i）であるが、計量テンソルを用いれば、
A^i:=A・e_i=g(A,e_i)=g(A^j*e_j,e_i)=A^j*g(e_j,e_i)=A^j*g_ji
となる。ベクトルの反変成分と計量テンソルの共変成分を添字を重ねてアインシュタインの方法で和をとれば（「縮約する」という）、ベクトルの共変成分が現れる。
テンソルに関しても同様である。証明抜きにいうと、テンソルTに対して
T^ij*g_jk=T^i_k
というように、添字を下げる効果がある。逆に計量テンソルの反変成分には
T_ij*g^jk=T_i^k
というように、添字を上げる効果がある。
また、g_ijとg^ijは逆行列の関係である。

相対性理論で扱う四次元空間における距離（というより内積）の定義はユークリッド空間のそれと異なる。
特殊相対性理論においては、(0,0)成分のみ-1で他の対角成分は1である。(流儀によってはこれに-1を乗じたものであるかもしれない。たとえば、ランダウ「場の古典論」ではそうである。)量gがユークリッド空間と異なる以上、この空間はもはやユークリッド空間とは呼べない。gが先に述べたように定義される空間をミンコフスキー空間という。

一般相対性理論では、独立な成分が10個にまで増える。重力場をこのテンソルで表現するのである。(ニュートン力学では重力場は1つの関数によって表現された事を思い出そう)
このような空間を、（擬）リーマン空間という。アインシュタインは、それまでの物理学が空間をあらかじめユークリッド幾何学が成立することを自明として、神から与えられたものとして扱っていたのに対し、空間自信を物理学が扱う対象へと引きずり下ろしたのである。これこそが一般相対性理論が革命的である所以である。

あああ、一番言いたいことを忘れていた。
スカラーとベクトルが座標に関係無い量であるということが了解出来たとしよう。
テンソルが、いくつかのベクトルを一つのスカラーに対応させるものであるなら、
テンソルは座標変換に関係ない量でなくてはならない。

このことこそ、「テンソルとは何か」という問の答えではないだろうか。
テンソルは、座標変換に関係ない量であるから、物理的な量はテンソルで表現されねばならない（らしい）。