ゲーデル撃沈！続いて、ヒルベルトも・・・（特攻でなくても可能さ？）

ゲーデル命題の特徴を「数学体系内で証明されたと仮定すると矛盾する命題」とすれば「背理法で反証される命題のすべて」と置き換えることが可能です。

１）つまり、私の考えでは「√２は有理数である」などはすべてゲーデル命題Ｇであり、

２）「√２は有理数である」が証明されたと仮定すると√２＝ｐ/ｑ（ｐとｑとは互いに素）から始まって「　」内は反証されます。

３）「　」内を「√２は無理数である」としたら定義より反ゲーデル命題￢Ｇを証明したことになり、

４）「Ｇは証明できる」になるので前提と矛盾する。

５）ゆえにゲーデル命題Ｇは数学命題の姿をしているが数学体系内の命題ではない。

このように構成したしますと、決定不能命題・未解決の予想などなどのすべてを内包して行くので、もはやゲーデル命題Ｇの名で呼ぶわけにもいかない！

ゆえに

山野命題Ｙ「Ｙは反証されない」　反山野命題￢Ｙ「￢Ｙは反証される」
かつ
Ｇ⇔￢Ｙ

なのですよっ・・・・・・・・・・。

同値の取り方が難しい、ように感じるだろうけど、とにかく「Ｙも￢Ｙも自己言及命題」であることを念頭に置けば簡単です・・・。

「この命題は反証されない」
⇔
Ｙ「Ｙは反証されない」
⇔
Ｙ「Ｙは反証されない、は反証されない」
・
・
and so on,

「この命題は反証される」
⇔
￢Ｙ「￢Ｙは反証される」
⇔
￢Ｙ「￢Ｙは反証される、は反証される」
・
・
and so on.

もちろんゲーデル命題のように考えて、

￢Ｙ「￢Ｙは反証される」
⇔
￢Ｙ「Ｙは証明できる」
⇒
Ｙ

だが、これは背理法そのものの定式だからこれでいいのだ・・・。

ですが、
「一か所でも矛盾を含んでおればすべての命題を証明してしまう」
って
本当でしょうか？

Ｆ⇒Ａ（Ａは任意の命題）
⇔
Ｔ∨Ａ
⇔
Ｔ

これは論理計算であって数学体系内の“証明できる技術”じゃないですよね？

数学だったら「Ａを仮定して矛盾が導かれたら￢Ａが証明される」（背理法）だけのことですけど？

もちろん、
公理系が矛盾していたら数学としてオジャンであるわけですが・・・。

「すべての矛盾が導かれる」が本当だったら「１は０でも２でもある」「√２は有理数でも無理数でもある」などがとうに合理化されていなくては可笑しいですのに！