自己言及文を述語論理を使って解析するのは間違い・・

ま、それでもとりあえずは当方の昨日のミスの訂正から・・・。

「Ｇは自己言及文のまま進展させることが可能で、たとえばＧ⇔（Ｇ⇔（Ｇ⇒￢Ｐ））とやったら⇔（Ｇ⇒￢Ｐ）だから二回に一回は定義に使えるが、￢Ｇは元が自己言及文の形でないからか、￢Ｇ⇔（￢Ｇ⇔（Ｇ⇒Ｐ））とやったら右辺が⇔Ｇ∨￢Ｐなのが原因となってＧ⇔￢Ｇになってしまうのだ。」

これは

Ｇ⇔（Ｇ⇒￢Ｐ）⇔（（Ｇ⇒￢Ｐ）⇒￢Ｐ）⇔・・・, and so on.

が正しく

￢Ｇ⇔（Ｇ⇒Ｐ）だが⇔（（Ｇ⇒￢Ｐ）⇒Ｐ）が成立しない！

ぐらいが正しいだろう。ま、自己言及性が非対称だという問題意識かな。

「もちろん述語文を命題論理のまな板に乗せていいかどうかの問題が残るとしてもゲーデル命題だって具体的な命題だったのである。具体的な数学命題がひねくれた自己言及文「この命題は証明できない」と同値だとしたら～、という世界だというのが本来の姿である。」

この件は昨日は問題提起ぐらいだったが今夜はメインである。数学命題の形で書けるもののうち「この命題は証明できない」というものがあったとして証明できるのか、否か、ってゆうゲーデルの気色悪い問題提起あたりから疑ってかかるという算段である。

Ｇ「Ｇは決定不可能」をＧ⇔（Ｇ⇒￢Ｐ）と表わすことにします。

論証により「Ｇをかように定義すること自体がＧ∧￢Ｐ」なんです！

さらに、

背反する命題として選ばれた￢Ｇ「Ｇは決定可能」は￢Ｇ⇔（Ｇ⇒Ｐ）です・・・。

論証により「￢Ｇをかように定義すること自体がＧ⇒￢Ｐ」

つまり「￢Ｇをかように定義すること自体がＧ」なんです！―――――ア）


「Ｇをかように定義してのＧ」⇔Ｇ∧（Ｇ∧￢Ｐ）⇔Ｇ∧￢Ｐ

「￢Ｇをかように定義しての￢Ｇ」⇔￢Ｇ∧（Ｇ⇒Ｐ）⇔￢Ｇ∧Ｐ―――――イ）

これで定義するだけで「Ｇであり決定可能」と「￢Ｇであり決定不可能」は可能性がなくなりました・・・。さらに「Ｇと￢Ｇとはまったくの背反」ですから論証によってＧ∧￢Ｇは導かれることがなくなりました。

ゆえに不完全性定理は証明できない！

さて、

その前にア）がありますから「￢Ｇをかように定義すること自体が決定不能」すなわちゲーデルは決定不能な定義を用いて論議を進めていたことが判明します。その意味においても不完全性は定理ではなくてゲーデルによる希望的観測の入り混じった予想に過ぎないと断言できます・・・。


また、イ）を参考にして￢Ｇの別の定義を試みると、

「￢Ｇ⇔（￢Ｇ⇒Ｐ）によって￢Ｇを定義すること自体が￢Ｇ∧Ｐ」

まったく驚くべきことに「￢Ｇは、￢Ｇは証明できると同値」としても「￢Ｇは、Ｇは証明できると同値」のいずれの定義を用いても定義される￢Ｇは集合としてまったく同一なのです・・・。おまけにゲーデルの用いた前者の定義は決定不能ですから勝手に使ってはなりません。

後者のＧと同じ構成をした自己言及文だけが同値であってしかも決定可能な定義です！


以上より、

Ｇ「Ｇは決定不能」に対して使える￢Ｇの定義は￢Ｇ「￢Ｇは決定可能」だけになり、すなわち「ゲーデル命題には述語論理の算術を使ってはならない」ことが判明したのですよ・・・。まったくこれが恐るべきことでなくてなんでしょうか？

よしんばＧ∧￢Ｇを仮定してみたところで

「Ｇは決定不能であり￢Ｇは決定可能」

これはなんら矛盾した文章ではございません・・・。


強いていえばこの最後の件について集合論的基礎を与えることが今後の課題でしょうか？