【無矛盾公理】はどうしても必要です・・

（演算子として、Provableとは「証明できる」を、￢Provableとは「証明できない」を、Antiprovableとは「反証される」を、￢Antiprovableとは「反証されない」を、それぞれ意味します）


これまでに論証してきたように

１）「Ｇの定義」⊂「Ｇの定義」および「￢Ｇの定義」⊂「￢Ｇの定義」

ゆえにＧおよび￢Ｇの定義は不能・・。

２）「Ｈの定義」⊂「Ｈの定義」および「￢Ｈの定義」⊂「￢Ｈの定義」

ゆえにＨおよび￢Ｈの定義は不能・・。


【不完全性定理】の材料として定義可能なのは旧定義の山野命題だけだ！

旧定義の山野命題をＸとすると、Ｘ⇔￢Antiprovable(Ｘ)および￢Ｘ⇔Antiprovable(￢Ｘ)である！

Ｘ＝「この命題は反証されない」
⇔
Ｘ⇔￢Antiprovable(Ｘ)
⇔
（￢Ｘ∨￢Antiprovable(Ｘ）∧（Antiprovable(Ｘ)∨Ｘ）
⇔
（￢Ｘ∨Ｘ）∧（Antiprovable(Ｘ)∨￢Antiprovable(Ｘ)）
⇔
Ｔ∧Ｔ
⇔
Ｔ

途中計算および定義より、Antiprovable(Ｘ)⇔￢Ｘ⇔Antiprovable(￢Ｘ)ゆえに「￢Ｘは矛盾の定式」となりまして「￢ＸはＸ∧￢Ｘが反証の形で証明できる」が結論されました！

（ゲーデル命題関連とは違って集合関係に大小の矛盾は生じておりません・・、念のため）

￢Ｘ＝「この命題は反証される」
⇔
￢Ｘ⇔Antiprovable(￢Ｘ)
⇔
（Ｘ∨Antiprovable(￢Ｘ）∧（￢Antiprovable(￢Ｘ)∨￢Ｘ）
⇔
（Ｘ∨￢Ｘ）∧（￢Antiprovable(￢Ｘ)∨Antiprovable(￢Ｘ)）
⇔
Ｔ∧Ｔ
⇔
Ｔ

途中計算および定義より、￢Antiprovable(￢Ｘ)⇔Ｘ⇔￢Antiprovable(Ｘ)ゆえに「Ｘは不完全の定式」から「ＸはＸも￢Ｘも反証の形では証明できない」が結論されました！

「対角線論法などの直接証明としての純然たる反証によっては数学の無矛盾性を導くことはできない」（buturikyouiku）


ゆえに、やはり数学には背理法的手段による【無矛盾公理】がどうしても必要である・・。