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モアレ

2010-09-07 22:56:52 | 暮らし
記事一覧

空間周波数に関する「モアレ」の Google 検索で

[1] モアレ - Wikipedia
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%AC
    http://en.wikipedia.org/wiki/Moir%C3%A9_pattern
[2] モアレの館
    http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/quadratic/moire/moire.html
[3] 【一般社団法人モアレ研究所 Moire Institute Inc.】
    http://www.moire.or.jp/moire.html

等が見つかりました.[1]の 『現時点における』 説明では,contrast が

  I1(x) = I0 sin(2πk1x)
  I2(x) = I0 sin(2πk1x)

である2枚の透明なパターンを重ねたときの resulting intensity が

  I(x) = I1(x) + I2(x)

であるとして説明されていますが,

  I1(x) = I0(1 + sin(2πk1x)) ≧ 0
  I2(x) = I0(1 + sin(2πk1x)) ≧ 0
  I(x) = I1(x) × I2(x)

の方がよいと思います.

 y 軸に平行な縦縞 I0(x, y) = 1 + cos(2π k x) の空間周波数スペクトルは

  (F I0)(μ, ν) = δ(μ, ν) + δ(μ+ k, ν)/2 + δ(μ- k, ν)/2

です.y 軸と少し斜交し,空間周波数スペクトルが

  (F I1)(μ, ν) = δ(μ, ν) + δ(μ+ k, ν+⊿k)/2 + δ(μ- k, ν-⊿k)/2
  (F I2)(μ, ν) = δ(μ, ν) + δ(μ+ k, ν-⊿k)/2 + δ(μ- k, ν+⊿k)/2

である2枚の透明なパターンを重ねたときの空間周波数スペクトル(F (I1 * I2))(μ, ν) は次のようにして計算できます.

  (Sk, k' g)(μ, ν) = g(μ- k, ν- k')

で定義される Sk, k' を用いると (g * Sk, k'δ)(μ, ν) = g(μ- k, ν- k') ですから

    (F (I1 * I2))(μ, ν)
  = δ(μ, ν) + δ(μ+ k, ν+⊿k)/2 + δ(μ- k, ν-⊿k)/2
    + δ(μ+ k, ν-⊿k)/2 + δ(μ+ 2 k, ν)/4 + δ(μ, ν-2⊿k)/4
    + δ(μ- k, ν+⊿k)/2 + δ(μ, ν+2⊿k)/4 + δ(μ- 2 k, ν)/4

蛇足: 音の場合の g(t) = sin(2πk1t) + sin(2πk2t) をg(t) = 2 sin(π k t) cos(π⊿k t) と書き換えても当然スペクトルは変わりません.{g(t)}2 = {1 - cos(2π k t)}{1 + cos(2π⊿k t)} には k や ⊿k の周波数成分が存在します.

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