平均について (2)

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一般化平均 [2]

(1) 三人の体重が 55 kg，65 kg，90 kg であったとき平均値 68.33 kg にどの程度の意味があると思いますか．
(2) 平均速度を調和平均で求めています．速度の平均はいつも調和平均で計算するのでしょうか．
(3) 「m = 2 の場合の一般化平均」のようなものを考えたくなる背景は何でしょうか．

に対する回答例です（正しいという保証はありません）．

(1) 数値が 55.0 kg，65.0 kg，90.0 kg と 68 kg であってもデータが少なすぎて統計的な価値はない．

「統計的な価値はない」＝「データは無意味」とは違います．ボートに乗る人数と総重量をチェックするときは(55, 65, 90) でなく，圧縮したデータの (3, 68.33) で十分です．このときは 68 より 68.33 の方が高精度に計算できます．小学校のときから平均について熱心に教えるのは，多分 [3] の期待値や分散のような概念より，理工学での決定論的なモデルへの発展に重点を置いているからだと思います．[2] でベクトルの加重平均として例示されている質点系の重心は各質点の質量に極端な差があるときでも運動方程式を解くには正確な計算が必要です．電気工学の分野でも瞬時電力の代わりに平均電力を考えることにより計算を簡単化しています．平均電力は正弦波交流のように決定論的なものにも雑音のように期待値や分散を考えるものにも使われます．

(2) 調和平均は等しい距離を異なる速さで進むときの組合せにしか使えない．

速さ v_k で時間 t_k 進んだときの距離を x_k とします（1 ≦ k ≦ n）．各選手が 200 m ずつ走る 800 m リレーのような場合は走行時間の和を
    x_k = x₀ ,   n / v₀ = 1 / v₁ + ... + 1 / v_n ,    t_k + ... + t_n = n x₀ / v₀
で計算できますが，各選手が 1 時間ずつ走って走行距離の和を競う競技があれば，そのときの計算式は
    t_k = t₀ ,   n v₀ = v₁ + ... + v_n ,     x_k + ... + x_n = n t₀ v₀
になります．前者では単位距離あたりの所要時間が 1 / v₀，後者では単位時間当たりの走行距離が v₀ です．平均速度の一般形は [2] のような積分を用いた式になりますが，区分線形近似では
    v₀ = (x₁ + ... + x_n) / (t₁ + ... + t_n)
で概算します．

(3) 「単位○○当たりの△△」を用い，「○○が n 倍になれば△△も n 倍」として概算する線形近似．

運動エネルギー等を考えるときに使う「m = 2 の場合の一般化平均」は

  一般化平均はさらに一般化が可能で、《 上図 》という平均が定義できる。恒等関数 f(x)= x により相加平均が、
  逆数 f(x)= 1/x により調和平均が、対数関数 f(x)= log x により相乗平均がそれぞれ表わされている。

の f(x) = x² の場合です．一般化平均が f(x_i) の相加平均になっていることから，f(x_i) の総和を n f(μ_f) で近似したいという意図が表れています．仕掛品の抜き取り検査で「歩留まり 98 %」というのは 100 個作れば 2 個，1000 個作れば 20 個が不合格になるという概算です．浮動金利の複利計算では n 倍でなく n 乗で概算しますが，対数をとれば n 倍です．対数をとって線形近似することは，多段接続したときの信号対雑音電力比の劣化をデシベルで計算する等，工学で広く用いられています．

補足： 平均値は集団を評価するためのデータです．個人にとっては平均値より中央値の方が参考になります．（例．上記 800 m リレーの選手の  1 / v_k ）

[2](再掲) 平均 - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87
[3] 平均値と標準偏差
  http://heartland.geocities.jp/ecodata222/ed/edj1-1-2.html
[4] 電気回路理論/電力回路 - Wikibooks
  http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%9B%BB%E6%B0%97%E5%9B%9E%E8%B7%AF%E7%90%86%E8%AB%96/%E9%9B%BB%E5%8A%9B%E5%9B%9E%E8%B7%AF
  この式は時間変動しているが・・・時間平均を計算することができる。
[5] 速さの平均をなぜ相加平均で解いたらダメなのか?教えてくださ...
  http://okwave.jp/qa/q2718093.html
[6] 4-2-1-1 運動エネルギー わかりやすい高校物理の部屋
  http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/4-2-0-0/4-2-1-1unndouenerugi-.html