正三角形を作って解く図形問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝は本降りでしたが少し落ち着いたようです。しかし、夕方から強く降るようで鬱陶しい日が続きます。

昨日は図形問題の解法パターンの一つとして、正三角形や正方形を作る方法があることを述べましたが、今日はその実例を紹介します。

問題は愛読している月刊誌「理系への数学（現、現代数学」に連載されていた「幾何大王からの挑戦状」に出題されたものです。以前にも紹介しましたが、ここに出題される問題は、超難問で入学試験問題とは全くレベルが違い、幾何学好きの人や数学オリンピックを目指す人向きの問題でしょう。

問題は、「図１のような凸四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ上に点Ｅがあり、ＢＥ＝ＢＣ、∠ＡＢＥ＝１０°、∠ＥＢＣ＝２０°、∠ＡＣＤ＝１５°、∠ＤＡＣ＝５５°のとき、∠ＡＥＤを求めよ」というものです。

▲図１．問題

角度についての手掛かりは、
（１）∠ＡＢＥ＝１０°で∠ＣＢＥ＝２０°の２倍になっている
（２）∠ＡＢＣ＝３０°で∠ＤＣＥ＝１５°の２倍になっている
（３）ＢＡの延長線上のＢと反対側にＧを取った場合、∠ＤＡＧ＝５５°で、直線ＡＤが∠ＥＡＧの２等分線になる
（４）∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ＝８０°で、これは、６０°－２０°（∠ＣＢＥ）＝４０°の２倍になっている
（５）ＢＣ＝ＢＥ
あたりでしょうか。

上記の手掛かりから、「点Ｂが当面の問題の主役だな」と、あたりを付けます。刑事ドラマなら重要な容疑者のようなもので（外れる場合もままあるのですが）、この点Ｂを中心に試行錯誤を進めて行きます。

まず、ＢＥを１辺とする正三角形ＢＦＥをＢＥから見てＣと同じ側に作ります。

▲図２.正三角形を作ります

次に、直線ＢＡと直線ＦＣとの交点をＧとします。

これらの準備ができたところでスタートしましょう。

∠ＣＢＦ＝６０°－∠ＥＢＣ＝４０°、ＢＣ＝ＢＥなので、∠ＣＥＦ＝２０°（△ＢＣＥは二等辺三角形）

さらに、ＢＥ＝ＢＣ＝ＢＦなので、Ｂが△ＥＦＣの外心であることから、∠ＣＦＥ＝∠ＣＢＥ/２＝１０°（弧ＣＥとする中心角と円周角の関係）

また、∠ＡＣＧ＝∠ＥＦＣ＋∠ＣＥＦ＝３０°なので、直線ＣＤは∠ＥＣＧの２等分線で、直線ＡＤも∠ＥＡＧの２等分線なので、Ｄは△ＡＣＧの内心となります。

あとは、直線ＥＧ上にＤがあることを言えればＯＫです。そのためには直線ＧＥが∠ＢＧＦの２等分線であることを示せば良いのですが、都合の良いことに、∠ＧＢＦ＝∠ＧＦＢなので△ＧＢＦは二等辺三角形で、かつ△ＥＢＦも正三角形で、△ＧＢＥ≡△ＧＦＥとなり、∠ＢＧＥ＝∠ＦＧＥより、Ｄは直線ＧＥ上にあることが判ります。

以上より、∠ＡＥＤ＝１８０°－∠ＤＧＡ－∠ＧＡＣ＝５０°　と正解にたどり着きました。

▲図３．解答

このように、２倍角（半角）があると中心角と円周角を思い浮かべたり、長さの等しい辺があれば、それを１辺とする正三角形や正方形を作ってみるテクニックを覚えておくと良いかもしれません。（入学試験には役立たないかも知れませんが）

明日は、正方形を作って解く問題を紹介したいと思います。