平成２９年度都立高校入試問題（９）【共通】

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日の雨から一転して、晴れのいい天気になりました。昨日には桜の開花発表があり、花見の季節が目前です。

さて、今回は平成２９年度都立高校数学入試問題を取り上げます。

問題は、共通問題に出題された大問３の１次関数のグラフの問題で、それは、
「図１で、点Ｏは原点、直線 ｌ は一次関数ｙ＝－３ｘ＋９のグラフを表している。
　直線 ｌ とｙ軸との交点をＡ、直線 ｌ とｘ軸との交点をＢとする。
　直線 ｌ 上にある点をＰとする。

▲図１．問題図（１）

次の各問に答えよ。

［問１］　次の［　］の中の「あ」「い」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
　　　　　点Ｐのｘ座標が－１のとき、点Ｐのｙ座標は、［あい］である。

［問２］　図２は、図１において、点Ｐのｘ座標が３より小さい正の数であるとき、ｘ軸上にあり、ｘ座標が－１２である点をＣとし、点Ａと点Ｃを結び、２点Ｃ、Ｐを通る直線をｍとした場合を表している。

▲図２．問題図（２）

次の①、②に答えよ。

①　直線ｍが△ＡＣＢの面積を２等分するとき、直線ｍの式を求めよ。

②　次の［　］の中の「う」「え」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
　　図２において、ｙ軸を対称の軸として点Ｂと線対称な点をＤとし、点Ｄと点Ｐを結んだ場合を考える。

△ＣＤＰの面積が△ＡＣＰの面積の２/５倍になるとき、点Ｐのｘ座標は、［う］/［え］である。」
です。

まず［問１］です。

直線 ｌ は、ｙ＝－３ｘ＋９で、点Ｐ（－１、ｐ）は、直線 ｌ 上にあるので、
ｐ＝－３×（－１）＋９
　＝１２
で、点Ｐのｙ座標は １２ です。（あ：１、い：２）

続いて［問２］の①です。

直線ｍは△ＡＣＢの面積を２等分するので、図３のように、点Ｐは線分ＡＢの中点になり、その座標は、（３/２，９/２）です。

▲図３．点Ｐは線分ＡＢの中点です

ここで、直線ｍの式をｙ＝ａｘ＋ｂとすると、これは点Ｃと点Ｐを通るので、
０＝－１２ａ＋ｂ
９/２＝３/２・ａ＋ｂ
が成り立ちます。

このａ、ｂについての連立方程式を解くと、ａ＝１/３、ｂ＝４なので、直線ｍの式は、 ｙ＝１/３・ｘ＋４ です。

最後の②です。

図４のように、点Ｄの座標は（－３，０）です。そして、点Ｐの座標（ｐ’，ｈ）としましょう。

▲図４．点Ｐのｙ座標をｈとしました

すると、
（△ＣＤＰの面積）＝９×ｈ×１/２
　　　　　　　　　　　＝９/２×ｈ
です。

一方、
（△ＡＣＢの面積）＝１５×９×１/２
（△ＣＢＰの面積）＝１５×ｈ×１/２
から、
（△ＡＣＰの面積）＝（△ＡＣＢの面積）－（△ＣＢＰの面積）
　　　　　　　　　　　＝１５×９×１/２－１５×ｈ×１/２
です。

ここで、
（△ＣＤＰの面積）＝（△ＡＣＰの面積）×２/５
なので、
９/２×ｈ＝（１５×９×１/２－１５×ｈ×１/２）×２/５
が成り立ちます。

これを整理して、
９/２×ｈ＝２７－３ｈ
１５/２×ｈ＝２７
ｈ＝１８/５
です。

ここで、点Ｐ（ｐ’，１８/５）は直線 ｌ 上の点なので、
１８/５＝－３ｐ’＋９
ｐ’＝９/５
で、点Ｐのｘ座標は ９/５ です。（う：９、え：５）


簡単な問題です。