ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（８４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝から雲が多く、昼前には雨が降り始めました。気温も１６℃までしか上がらず寒い日になりそうです。風邪などひかぬよう暖かくして過ごしましょう。

さて、今回は２００３年ジュニア数学オリンピックに出題された約数の問題を取り上げます。

問題は、
「１以上２００３以下の整数のうち、正の約数の個数が偶数であるものはいくつあるか。
　例えば、６の正の約数は１、２、３、６の４個なので、６はこの条件をみたしている。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ある整数Ｎが、

と素因数分解されるとき、Ｎの正の約数の個数は、
　　　　（＊）
になります。（約数と式の展開）

このとき、Ｎが平方数の場合、α1、α2、・・・、αnは偶数なので、（＊）は奇数になり、α1、α2、・・・、αnのなかで少なくとも１つ奇数がある場合（つまり、非平方数）、（＊）は偶数になります。

これを利用すれば簡単です。

まず、１以上２００３以下の整数のうちの平方数の個数を求めると、√２００３＝４４．７・・・から、それは４４個になります。

つまり、１以上２００３以下の整数のうち、正の約数の個数が奇数のものは４４個あり、それ以外のものは偶数です。

したがって、正の約数の個数が偶数のものは、２００３－４４＝１９５９個で、これが答えです。


平方数と非平方数の約数の個数が、それぞれ奇数および偶数であることを知っていれば簡単な問題です。