三角関数の最大最小問題です。
サービス問題ぽいがよく見ると「4θ」 えっ？
そこは東大、パターン暗記でいっちょ上がりとはいきません。
理系なら強引に行けますが、文系の諸君はさてどうしよう？
教科書をひと通りマスターしてから東大数学が始まります。
良質な問題を1つ1つ丁寧に解いていく。
学問に王道なし。
でも俺には東大なんて無理だよ、と思っている君！
確かに上位３割の指定席は予約済だが下位７割の自由席はまだ空いている。
桜で鍛えれば「偏差値40からの東大数学8割越え」も夢ではない。
好機逸すべからず！
10個の白玉と20個の赤玉が入った袋から、でたらめに1個ずつ玉を取り出す。ただし、いったん取り出した玉は袋へは戻さない。このとき、ｎ回目にちょうど4個目の白玉が取り出される確率pnを求めよ。ここで、ｎは4≦ｎ≦24を満たす整数である。
箱の中に1から10までの整数が1つずつ書いてある10枚のカードが入っている。この箱から1枚のカードを取り出し、その数を読んで、元に戻してよくかき混ぜる。この試行を3回繰り返したとき、取り出したカードに書かれている数について答えよ。1.最大値が7である確率を求めよ。2.最大値が7で最小値が3である確率を求めよ。
甲、乙2つのさいころを同時にふるとき、甲のさいころの目が乙のさいころの目より大きくなる確率を求めよ。
さいころをｎ回投げるとき、ｋ回目に出る目の数をxkとし、yn を x1,x2,・・・,xn の積とする。yn が3の倍数でない確率を求めよ。
さいころを繰り返しｎ回ふって、出た目の数をかけ合わせた積をＸとする。すなわち、ｋ回目に出た目の数をykをとすると、Ｘ＝y1y2y3・・・yn が成り立つ。Ｘが6で割り切れる確率qnを求めよ。
7人の男子と5人の女子合わせて12人のグループがある。次のＡ．Ｂ．の順で4人の委員を選ぶ。Ａ．最初にくじにより3人の委員を決める。Ｂ．Ａの結果3人とも男子であった場合には、残り1人の委員は女子の中からくじで決める。3人とも女子であった場合には、残りの1人委員は男子の中からくじで決める。それ以外の場合には、残りの1人の委員をまだ委員になっていない9人の中からくじで決める。このとき、次の問いに答えよ。1.男女各2人ずつが委員となる確率を求めよ。2.男子1人女子3人が委員となる確率を求めよ。
さいころを投げるゲームをする。1の目が出たら得点を1点、2または3の目が出たら2点、その他の目が出たら0点とする。1点または2点をとったときは続けてさいころを投げ、0点を取った時点でゲームを終了する。合計得点が3点でゲームが終了するとき、3回目でゲームが終了する確率を求めよ。
かたよりのあるＡ，Ｂ2つのタイプの硬貨を考える。Ａタイプの硬貨は表の出る確率が1/100、裏が出る確率が99/100で、Ｂタイプの硬貨は表の出る確率が99/100、裏が出る確率が1/100である。袋の中に、Ａタイプの硬貨99枚、Ｂタイプの硬貨1枚が入っている。袋の中から硬貨を1枚取って投げたとき、表が出たものとする。このとき、その硬貨がＡタイプの硬貨である確率を求めよ。
7本のくじのうち、1本だけ当たりくじがある。A,Bの2人が当たりが出るまで1本ずつこの順で交互にくじを引き続けるとき、Aの当たる確率を求めよ。ただし、引いたくじはもとに戻さないとする。
7本のくじのうち当たりくじが2本ある。
淳、敦、武の3人がこの順に元に戻さないで1本ずつくじを引くとき、淳、敦、武がそれぞれ当たる確率を求めよ。
7本のくじのうち当たりくじが3本ある。このくじをまず淳が2本引き、次に武が2本ひく。
ただし引いたくじは元に戻さないとすると淳、武がそれぞれ1本ずつ当たる確率を求めよ。
正四面体ABCDの4つの頂点を移動する点Ｐがある。
点Ｐがいずれの頂点にあるときも1ステップ後に同じ頂点にとどまる確率は2/5であり、
他の頂点に移動する確率はいずれも1/5である。
頂点Aから出発した点Ｐがｎステップ後に頂点Aにある確率をa(n)とする。（n=0,1,2,・・・）
1.a(n)をa(n-1)で表せ。（n=1,2,3,・・・）
2.数列a(n)の一般項を求めよ。（富山大）
ある町の住人を任意に3人選んで1,2,3と番号をつけ、それぞれの人の生まれた曜日を調べる。ただし、町の人口は十分多く、その中でどの曜日に生まれた人も同じ割合であるとする。3人のうち少なくとも2人が同じ曜日生まれであるという事象をＡ、1番の人が日曜日生まれであるという事象をＢとする。事象ＡとＢとは独立であることを示せ。
あるクラスの学生の通学方法をしらべたところ、バスを利用している人が３０名、自転車を利用している人が２０名、バスも自転車も利用していない人が１２名であった。このクラスの学生から任意に１人選び出すとき、その学生がバスの利用者であるという事象をＡ、自転車の利用者であるという事象をＢとすると、ＡとＢは独立事象であった。次を求めよ。1.全学生数を求めよ。2.P(A)、P(A∪B)
A,B,Cの3チームが野球のリーグ戦をすることになった。・AがBに勝つ確率は、2/3。・AがCに勝つ確率は、1/5。・BがCに勝つ確率は、3/4。Aが1勝1敗する確率を求めよ。（埼玉大）
動点Ｐは、硬貨を同時に２枚なげて、２枚とも表が出れば座標平面上をｘ軸の正の方向に１だけ動き、１枚が表で他の１枚が裏のときはＹ軸の正の方向に１だけ動き、２枚とも裏のときは動かないものとする。いま、動点Ｐの出発点を原点（0,0）とし、硬貨２枚を３回投げたとき、点Ｐが点（2,1）にある確率を求めよ。
袋の中に白玉、赤玉、黒玉が1個ずつ入っている。袋から無作為に玉を１個取り出し、白玉ならＡの勝ち、黒玉ならＢの勝ち、赤玉なら引き分けとする。取り出した玉をもとに戻し、このゲームを繰り返す。Ａ，Ｂのうち、先に３回ゲームに勝った方を優勝とするとき、５回目のゲームでＡの優勝が決定する確率を求めよ。
１個のさいころを100回続けて投げるとき、1の目がｎ回出る確率をp(n)で表すことにする。ただし、ｎは0≦ｎ≦100なる整数とする。次の問いに答えよ。1.p(n)の値を、ｎを用いて求めよ。2.ｎが0≦ｎ≦100なる整数ｎのとき、p(n)＜p(n+1)なるｎの値の範囲およびp(n)＞p(n+1)なるｎの値の範囲をそれぞれ求めよ。3.0≦ｎ≦100なる整数ｎのうち、p(n)の値を最大にするようなｎの値を求めよ。
ｘｙ平面上の原点にある点ｐは、硬貨４枚を同時に投げて、表が３枚以上出たときはｘ軸の正方向に1進み、表が２枚または１枚出たときはｙ軸の正方向に１進み、表が出ないときは動かないものとする。いま、硬貨４枚を同時に投げるという試行を３回行った。1.ｐが点(1,2)にくる確率を求めよ。2.ｐが点(1,1)にくる確率を求めよ。
ある人が４人の友人宛に４通の手紙をかき、４枚の封筒にこれら４人のあて先をかいた。手紙の内容やあて先は１人１人すべて異なっている。これらの手紙を１通ずつ無作為に封筒に入れるとき、Ｘ通だけ正しいあて先の封筒に入ったとする。Ｘを確率変数とみて、確率分布表を作れ。また、Ｘの期待値を求めよ。
区別のできる2つのさいころＡ，Ｂを同時に投げる試行を行う。さいころＡの目からさいころＢの目を引いた数Ｘの期待値を求めよ。
ｍを自然数とする。区間[0,m)にごく小さな砂粒をｎ個でたらめに落とす実験を行った。どの砂粒についても、[0,1),[1,2),・・・,[m－1,m) のいずれの区間に落ちるかは独立で同程度に確からしいとすれば、区間[0,1)に落ちる確率は1/ｍである。1.ｎ個のうち、ちょうどｋ個の砂粒が区間[0,1)に落ちる確率を求めよ。2.区間[0,1)に落ちる砂粒の個数の期待値を求めよ。
原点Ｏから出発して、数直線上を動く動点Ｐがある。さいころを投げて４以下の目が出たら点Ｐは１だけ正の方向に進み、５以上の目が出たら２だけ負の方向に進む。この試行を６回繰り返したとき、点Ｐの座標Ｘの期待値を求めよ。
袋の中に黒玉4個、白玉4個がある。この中から無作為に4個の玉を同時に取り出し、取り出された黒玉の個数を値とする確率変数をＸとする。このとき、Ｘの分散を求めよ。（慈恵医大）
トランプのカードがｎ枚（ｎ≧3）あり、その中の2枚はハートで残りはスペードである。これらのカードをよくきって裏向けに積み重ねておき、上から順に1枚ずつめくっていくことにする。初めてハートのカードが現れるのがＸ枚目であるとき、1.Ｘ＝Ｋである確率ｐｋを求めよ。（ｋ＝1,2,・・・,n－1）2.Ｘの平均およに分散を求めよ。（奈良医大）
1と書かれたカードが2枚、2と書かれたカードが2枚、4と書かれたカードが1枚、計5枚のカードがある。この中から2枚のカードを無作為に取り出し、それらに書かれている数の和をＸとするとき、確率変数Ｘの標準偏差を求めよ。（滋賀医大）
1から25までの整数がひとつずつ書いてあるカードが25枚ある。これをよくきって、1枚ずつ2回ぬきとる。最初にぬきとったカードをもとに戻してよくきってから次のカードをぬきとる場合を「戻す場合」といい、最初のカードを戻さずに次のカードをぬきとる場合を「戻さない場合」ということにする。最初にぬいたカードに書いてある整数をaとし、次にぬいたカードに書いてある整数をbとする。1.戻さない場合、a+b＝8 となる場合の数を求めよ。2.戻す場合、550＜ab＜600 となる場合の数を求めよ。（センター）
200から800までの整数のうち、8の倍数全体の集合をＡ、12の倍数全体の集合をＢとする。1. n(A),n(B) を求めよ。2. n(A∩B）, n(A∪B）を求めよ。（広島女子大）
5個の数字0,1,2,3,4から3個の数字を選んで3桁の整数を作る。このうち、偶数は何個か。（神奈川大）
0,1,2,・・・,9の札が各1枚ある。これらを並べて5桁の数をつくるとき、56789以下の5桁の数はいくつあるか。（武蔵大）
男女4名ずつ、合計8名の男女がいる。1つの円卓で会食するために、この8名の座席を抽選によって決めたい。このとき、男女が交互に座る場合の数を求めよ。（明治大）
大人2 人と子供4 人が，円形の6 人席のテーブルに着席するとき，大人2 人が隣り合わないような並び方は何通りあるか．
アルファベットの大文字Ａが3つ、小文字ａが3つある。1.これら6文字を1列に並べて得られる異なる文字列は全部で何個あるか。2.6文字のうち、3文字を1列に並べて文字列を作るとき、異なる文字列は全部で何個あるか。（日大）
赤球1個、白球2個、黒球2個の計6個のじゅず順列の総数を求めよ。（法政大）
internetのすべての文字を使ってできる順列のうち、どのｔもどのｅより左側にあるものは何通りか。（南山大）
A,B,C,D,E,F,G 7人を並べる方法のうち、A,B,Cの3人が隣り合うものは全部で何通りあるか。（西南大）
5個の黒石と4個の白石をよく混ぜてから1列に並べる。どの2つの白石も隣り合わない並べ方の総数を求めよ。（お茶大）
男子5人と女子4人がいる。この9人を、3人ずつの3室へ入れる。ただし、部屋には区別をつけない。このとき、次の問いに答えよ。1.はいり方の総数を求めよ。2.各室に女子が少なくとも1人入る方法は何通りあるか。（兵庫医大）
5個の玉を3つの箱A,B,Cに分配する方法を考える。空箱ができてもよいとして、次の問いに答えよ。1.玉に1から5の番号がうってあるとき、分け方の総数を求めよ。2.玉に区別がつかないとき、分け方の総数を求めよ。（早稲田）
5個の玉を3つの箱A,B,Cに分配する方法を考える。どの箱にも1個は玉を入れるとして、次の分け方の総数を求めよ。1.玉に区別がないとき 2.玉に区別があるとき（慶応）
5個の玉を区別がない3つの箱に分配する。どの箱にも1個は玉を入れるとして、次の場合の分け方の総数を求めよ。1.5個の玉に区別のあるとき 2.5個の玉に区別のないとき（明治）
いくつかの10円玉、50円玉、100円玉を用いて1400円を作りたい。このときの作り方は何通りあるか。ただし、用いる個数は0個でもよいとする。（慶応）
ある市場調査に300人のモニターが回答し、家電製品A,B,Cを持っているかどうかが調べられた。Aを持ってる人、Bを持ってる人、Cを持ってる人はそれぞれ、100人、120人、130人であった。3種類とも持っている人は10人、3種類とも持っていない人は60人であった。どれか2種類だけ持っているのは何人か。（立教）
8個の異なる品物をA,B,Cの3人に分ける方法を考える。1.Aが少なくとも1個の品物をもらう分け方は何通りか。2.A,B,C がいずれも、少なくとも1個の品物をもらう分け方は何通りか。（筑波）
1辺の長さがｎの正方形の各辺をｎ等分した網目状の図形を考える。この図形に含まれる線分を辺とする四角形の個数を求めよ。
方程式 x+y+z＝28 を満たす非負整数の組 (x,y,z) の個数を求めよ。（東海大）
方程式 x+y+z＝28 を満たす正整数の組 (x,y,z) の個数を求めよ。
次の問いに答えよ。1.正５角すいの各面を赤、青、黄、緑、白、黒の6色すべてを使って色を塗るとき、何通りの塗り方があるか。
2.正５角柱の各面を赤、青、黄、緑、白、黒、茶の7色すべてを使って色を塗るとき、何通りの塗り方があるか。（龍谷大）
立方体の各面に、異なる6色をすべて使って、色を塗りたい。ただし、立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。何通りの塗り方があるか。（鹿児島大）
集合ｘ＝｛1,2,3,・・・,9,10｝の部分集合の個数を求めよ。（浜医大）
さいころを4回投げてｋ回目に出た目を ak (k=1,2,3,4) とする。1.a1＜a2＜a3＜a4 となる目の出方は何通りあるか。2.a1≦a2＜a3≦a4 となる目の出方は何通りあるか。（福岡大）
1から9までの9個の数字から、相異なる3個を用いて作られる3桁の整数の総和を求めよ。（日本女子大）
箱の中に白玉4個、青玉6個入っている。この箱の中から4個の玉を同時に取り出すとき、その中に白玉2個、青玉2個入っている確率を求めよ。
3つのさいころを投げるとき、すべて異なる目が出る確率を求めよ。
5つのさいころを投げるとき、すべて異なる目が出る確率を求めよ。
35年間未解決で、世界中の数学者を悩ませてきた数学の超難問「ABC予想」を、京都大数理解析研究所の望月新一教授（51）が証明した。
7年半に及ぶ検証を経て、証明論文の正しさが認められ、国際的な数学誌への掲載が決まった。京大が3日、発表した。数学のノーベル賞と言われるフィールズ賞級の業績だ。
ABC予想は、1、2、3…と無限に続く整数の性質を研究する「整数論」の難問。1985年にスイスとフランスの数学者により提示された。整数aと整数bの和がcの時に成立する特別な関係を示す。整数を統制する包括的な問題のため、証明されると他の様々な数学の難問を一挙に解決に導く。「フェルマーの最終定理」（95年解決）、「ポアンカレ予想」（2006年解決）に匹敵する超難問とされる。
望月さんは、00年にABC予想の証明に本格的に着手。ドイツの数学者タイヒミュラーが考案した空間論に、独自の考え方を導入した新理論「宇宙際（うちゅうさい）タイヒミュラー理論（IUT理論）」を10年以上かけて1人で築き上げた。ここでいう宇宙とは、月や太陽がある宇宙ではなく、足し算などの計算や定理などの証明をするための「舞台」のこと。普段は、一つの宇宙（舞台）を使うが、IUT理論は複数の宇宙を使うことが最大の特徴で、その宇宙同士の関係（際）を調べるため宇宙際と呼ぶ。数学の最も基本的な要素である足し算とかけ算を分離して新しい数の世界を捉える理論で、その考え方の斬新さから「数学の相対性理論」と称される。これを用いて証明に挑んだ。
望月さんは12年8月、「証明した」とする論文を自身のホームページで公開し、数理研が発行する世界有数の数学誌「PRIMS」に投稿。同誌が複数の専門家に依頼して、論文に間違いがないかを確かめる検証作業が始まった。
