ふ、ふ、ふ～ん･･･。とりゃ～。分かった！
ＨＩＮＴ。
1.連続3整数の積は、6の倍数
2.6ｍ、6ｎ（ｍ：整数、ｎ：自然数）と置いて与式を変形→場合分け→計算
余りは上のように、1から4までの、5より1小さいところまでの整数が並びますね。次に、この列に5とは公約数を持たない（「互いに素」である）別の適当な整数を掛けてみます。たとえばそれを「7」としましょう。
そのうえで、このあらたにできた数の列について、それぞれ除数に対する余りを考えますが、このとき次のことがいえます。それは上の「？」に入る余りは、順番は分からないが1から4までの余りのどれかが1回づつ入る ということです。
なぜでしょうか。理由は、もしもこのパターンのうち、どれかふたつの余りが同じ数で一致するなら、以下の合同式が成立しますが、この式は7が5と互いに素であるという条件から、合同式の割り算の公式が適用できますので、そこで矛盾になるからです。
また、5が素数であり、7とも互いに素であることから、余りが0である（左辺が5を約数に持ち、5で割り切れる）可能性もありません。従って、上の「？」の部分の余りは、それぞれすべて違う値であり、式は4つですので、法の5がとりうる4つの余りがひとつづつばらばらにどこかに入ることになります。実際に計算してみると、
となります。以上を踏まえたうえで、次にこの合同式の辺々を積の公式を使って全部掛け合わせます。すると、
となり、あとは、また合同式の除法の公式を使って共通部分を割り算すれば、あら不思議、フェルマーの小定理の公式のできあがり、というわけです。この話が成り立つポイントは、上からわかるように、除数が素数であり、累乗される基数とも互いに素（coprime）であることです。その条件が維持されれば、5と7以外のどんな数のセットでも、同じように成り立ちます。
それから、フェルマーの小定理とは直接関係はありませんが、数学の中では、上記のように、ある整数をひとつづつ減らしながらすべて掛け合わせる という計算がときどき出てくることがあり、このパターンの計算をあらかじめ決めておくと便利です。この計算を「階乗（factorial）」と呼び、感嘆符（ビックリマーク）を使って次のように表します。
この階乗の表現を使うと、上の最後の式は、以下のようにすっきりと表現できます。
素数は自身と1以外の因数を持たず、従って、そこから 1 引いた数の階乗とは互いに素ですので、上記の合同式はその条件を満たせば常に階乗の部分を払えます。
