算額（その2000）

算額（その2000）

(9) 滋賀県新旭町大田 大田神社 慶応4年(1868)
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円5個，外円，デカルトの円定理

外円の中に，大円，中円，小円，内円を容れる。大円，中円，小円の直径がそれぞれ 69 寸，46 寸，23 寸のとき，内円，外円の直径はいかほどか。

1.　デカルトの円定理を用いる場合

外円，大円，中円，小円，内円 の半径を r0, r1, r2, r3, r4 とおき，以下により内円，外円の半径を得る。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positiveb, r1::positive, r2::positive,
     r3::positive, r4::positive
k4 = 1/r1 + 1/r2 + 1/r3 + 2sqrt(1/(r1*r2) + 1/(r2*r3) + 1/(r3*r1))
r4 = 1/k4
k0 = 1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 2sqrt(1/(r1*r2) + 1/(r2*r3) + 1/(r3*r1))
r0 = -1/k0;

大円，中円，小円の直径がそれぞれ 69 寸，46 寸，23 寸のとき，内円，外円の直径は 6 寸と 138 寸である。
なお，答えの「外円径一二八寸」は誤記。

2r4(r1 => 69//2, r2 => 46//2, r3 => 23//2) |> println
2r0(r1 => 69//2, r2 => 46//2, r3 => 23//2) |> println

   6
   138

2.　2 円の相互関係から中心座標も求める場合

外円の半径と中心座標を R
大円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
中円の半径と中心座標を r2, (x2, y2)
小円の半径と中心座標を r3, (x3, y3)
内円の半径と中心座標を r4, (x4, y4)
とおき，以下の連立方程式を解く。

@syms R, r1, r2, x2, y2, r3, x3, y3, r4, x4, y4
(r1, r2, r3) = (69, 46, 23) .// 2
eq1 = x2^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq2 = x3^2 + y3^2 - (R - r3)^2
eq3 = x2^2 + (R - r1 - y2)^2 - (r1 + r2)^2
eq4 = x3^2 + (R - r1 - y3)^2 - (r1 + r3)^2
eq5 = (x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 - (r2 + r3)^2
(R, x2, y2, x3, y3) = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (R, x2, y2, x3, y3))[4]
#
eq6 = x4^2 + (R - r1 - y4)^2 - (r1 + r4)^2
eq7 = (x4 - x2)^2 + (y4 - y2)^2 - (r2 + r4)^2
eq8 = (x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2 - (r3 + r4)^2
(r4, x4, y4) = solve([eq6, eq7, eq8], (r4, x4, y4))[2]
(R, x2, y2, x3, y3,   r4, x4, y4)

   (69, 46, 0, 46, 69/2, 3, 36, 24)

内円，外円の直径は 138 寸, 6 寸である。
算額に描かれている図とはずいぶん違う。

その他のパラメータは以下のとおりである。

  r1 = 34.5;  r2 = 23;  r3 = 11.5;  R = 69;  x2 = 46;  y2 = 0;  x3 = 46;  y3 = 34.5

function draw(r1, r2, r3, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (R, x2, y2, x3, y3) = (69, 46, 0, 46, 69/2)
   (r4, x4, y4) = (3, 36, 24)
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g;  R = %g;  x2 = %g;  y2 = %g;  x3 = %g;  y3 = %g\n", r1, r2, r3, R, x2, y2, x3, y3)
   plot()
   circle(0, 0, R)
   circle(0, R - r1, r1, :blue)
   circle(x2, y2, r2, :magenta)
   circle(x3, y3, r3, :green)
   circle(x4, y4, r4, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, R, "R", :red, :center, :bottom, delta=delta)
       point(0, R - r1, "大円:r1,(x1,r1)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(x2, y2, "中円:r2,(x2,r2)", :magenta, :center, delta=-delta)
       point(x3, y3, "小円:r3\n (x3,r3)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(x4, y4, "内円:r4,(x4,r4)  ", :black, :right, :vcenter)
   end
end;

draw(69/2, 46/2, 23/2, true)