算額（その2006）

算額（その2006）

(25) 兵庫県太子堂町鵤 鵤太子堂 明治26年(1893)
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円3個，円弧

円弧（外円）の中に大円　1　個，中円　2　個，小円　2　個を容れる。外円の直径が 225 寸，大円の直径が 81 寸のとき，小円の直径はいかほどか。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
中円の半径と中心座標を r2, (x2, R - y1 + r2)
小円の半径と中心座標を r3, (x3, R - y1 + r3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R::positive, r1::positive,
     r2::positive, x2::positive,
     r3::positive, x3::positive
eq1 = x2^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = x3^2 + (r1 - r3)^2 - (r1 + r3)^2
eq3 = (x2 - x3)^2 + (r2 - r3)^2 - (r2 + r3)^2
eq4 = x2^2 + (R - 2r1 + r2)^2 - (R - r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (r2, x2, r3, x3))[1]

   (-r1*(-R + r1)/R, 2*r1*sqrt(R - r1)/sqrt(R), -2*R^(3/2)*sqrt(R - r1)/r1 + 2*sqrt(R)*sqrt(R - r1) + 2*R^2/r1 - 3*R + r1, 2*sqrt(R)*sqrt(R - r1) - 2*R + 2*r1)

res[3](R => 225/2, r1 => 81/2).evalf() |> println

   8.00000000000000

外円の直径が 225 寸，大円の直径が 81 寸のとき，小円の直径は 16 寸である。

「術」では，小円の直径を求める式は以下のようになっている。

外径 = 225; 大径 = 81
甲 = 外径 - 大径
(sqrt(甲*外径) - 甲)^2/大径

   16.0

甲を代入すると以下のようになる。
SymPy では，自動ではこのような式まで簡約化できない。

@syms 外径, 大径, R, r1
小径 = (sqrt((外径 - 大径)*外径) - (外径 - 大径))^2/大径;
小径(外径 => 225, 大径 => 81) |> println

   16

function draw(R, r1, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r2, x2, r3, x3) = (-r1*(-R + r1)/R, 2*r1*sqrt(R - r1)/sqrt(R), -2*R^(3/2)*sqrt(R - r1)/r1 + 2*sqrt(R)*sqrt(R - r1) + 2*R^2/r1 - 3*R + r1, 2*sqrt(R)*sqrt(R - r1) - 2*R + 2*r1)
   @printf("外円，大円の直径が %g，%g のとき，小円の直径は %g である（中円の直径は %g)。\n", 2R, 2r1, 2r3, 2r2)
   @printf("R = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  x2 = %g  r3 = %g;  x3 = %g\n", R, r1, r2, x2, r3, x3)
   y = R - 2r1
   x = sqrt(R^2 - y^2)
   θ = atand(y/x)
   plot()
   circle(0, 0, R, :green, beginangle=θ, endangle=180−θ)
   circle(0, R - r1, r1)
   circle(x2, y + r2, r2, :blue)
   circle(x3, y + r3, r3, :magenta)
   segment(-x, y, x, y, :green)
   segment(0, 0, x, y, :gray90)
   segment(0, 0, -x, y, :gray90)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R - r1, "大円:r1,(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, y + r2, "中円:r2\n(x2,y+r2)", :blue, :center, :bottom, delta=delta)
       point(x3, y + r3, " 小円:r3,(x3,y+r3)", :magenta, :left, :vcenter)
       point(0, R, "R", :green, :center, :bottom, delta=delta)
       point(0, y, " y=R-2r1", :green, :center, delta=-delta)
       point(√(R^2-y^2), y, "(√(R^2-y^2),y)", :green, :right, delta=-delta)
   end
end;

draw(225/2, 81/2, true)