算額（その2001）

算額（その2001）

(7) 滋賀県 吉田博氏宅　p.116
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円4個，長方形，斜線2本

長辺 50 間，短辺 30 間の長方形の田がある。上，中，下の（円形の）田と接する2本の斜線を引くとき，中田の直径はいかほどか。

長方形の長辺，短辺を 2a, b
上田の半径と中心座標を r1, (0, b - r1)
中田の半径と中心座標を r2, (a - r2, r2)
下田の半径と中心座標を r3, (0, r3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms a::positive, b::positive, r1::positive, r2::positive, r3::positive
eq1 = (a - r2)^2 + (r2 - r3)^2 - (r2 + r3)^2
eq2 = dist2(0, 2r3, a, b, 0, b - r1, r1)
eq3 = dist2(0, 2r3, a, b, a - r2, r2, r2)
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, r2, r3))[4]

   (-a*sqrt(b^2*(2*a - 3*b)^2 + (-a^2 + a*b + a*sqrt(a^2 + 4*b^2) + 2*b^2 - b*sqrt(a^2 + 4*b^2))^2)/(b*(2*a - 3*b)) + a*(-a^2 + a*b + a*sqrt(a^2 + 4*b^2) + 2*b^2 - b*sqrt(a^2 + 4*b^2))/(b*(2*a - 3*b)), a/2 + b - sqrt(a^2 + 4*b^2)/2, (a^2 - a*b + a*sqrt(a^2 + 4*b^2) + 2*b^2 - b*sqrt(a^2 + 4*b^2))/(8*b))

2res[1](a => 50/2, b => 30).evalf() |> println
2res[2](a => 50/2, b => 30).evalf() |> println
2res[3](a => 50/2, b => 30).evalf() |> println

   16.6666666666667
   20.0000000000000
   11.2500000000000

上田，中田，下田の直径はそれぞれ 50/3, 20, 45/4 である。

function draw(a, b, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   t = sqrt(a^2 + 4b^2)
   u = 2a - 3b
   (r1, r2, r3) =(-a*sqrt(b^2*u^2 + (-a^2 + a*b + a*t + 2b^2 - b*t)^2)/(b*u) + a*(-a^2 + a*b + a*t + 2*b^2 - b*t)/(b*u), a/2 + b - t/2, (a^2 - a*b + a*t + 2b^2 - b*t)/(8b))
   @printf("a = %g;  b = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g\n", a, b, r1, r2, r3)
   plot([a, a, -a, -a, a], [0, b, b, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(0, b - r1, r1)
   circle2(a - r2, r2, r2, :blue)
   circle(0, r3, r3, :magenta)
   segment(0, 2r3, a, b, :orange)
   segment(0, 2r3, -a, b, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, b, "b", :green, :center, :bottom, delta=delta)
       point(0, b - r1, "上:r1,(0,b-r1)", :red, :center, delta=-delta)
       point(a - r2, r2, "中:r2,(a-r2,r2)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(0, r3, "下:r3,(0,r3)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

draw(50/2, 30, true)