＜＜２乗の数即算法＞＞ 続きです。
次に、２乗の数の即算法を具体的に考えます。まずは、観察から入ります。
これまでに、２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数の求め方を考えました。
そこで、その２５以下の数の２乗を、実際に対応する数の２乗から引いて見ましょう。
先ずは、各数の２乗の数から「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数の２乗」を引いてみます。
少なくとも、下二桁は同じですから、引き算すれば下二桁は００、すなわち１００の倍数にはなるはずです。
最初に、２６を考えます
２６×２６ ： ６７６ － ５７６ ＝ １００
ここで、６７６ はもちろん ２６の２乗、
５７６ は ２４ の２乗 です。
その差を取ると １００ でした。
さらに２６から幾つか、順に見て行きます。
２６×２６ ： ６７６ － ５７６ ＝ １００
２７×２７ ： ７２９ － ５２９ ＝ ２００
２８×２８ ： ７８４ － ４８４ ＝ ３００
２９×２９ ： ８４１ － ４４１ ＝ ４００
３０×３０ ： ９００ － ４００ ＝ ５００
３１×３１ ： ９６１ － ３６１ ＝ ６００
３２×３２ ： １０２４ － ３２４ ＝ ７００
３３×３３ ： １０８９ － ２８９ ＝ ８００
３４×３４ ： １１５６ － ２５６ ＝ ９００
３５×３５ ： １２２５ － ２２５ ＝ １０００
３６×３６ ： １２９６ － １９６ ＝ １１００
。。。
こうしてみると、単に１００の倍数というだけでなく、きちんと規則的に並んでいます。
どうやら ２６ 以降の２乗の数というのは、以下の形で書き表すことが出来そうです。
（２乗の数）＝ （何か規則性のある１００の倍数）
＋ 「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」の２乗
そこで、実際にこの形に並べ直して見ましょう。
２６×２６ ＝ １００ ＋ ５７６ ＝ ６７６
２７×２７ ＝ ２００ ＋ ５２９ ＝ ７２９
２８×２８ ＝ ３００ ＋ ４８４ ＝ ７８４
２９×２９ ＝ ４００ ＋ ４４１ ＝ ８４１
３０×３０ ＝ ５００ ＋ ４００ ＝ ９００
３１×３１ ＝ ６００ ＋ ３６１ ＝ ９６１
３２×３２ ＝ ７００ ＋ ３２４ ＝ １０２４
３３×３３ ＝ ８００ ＋ ２８９ ＝ １０８９
３４×３４ ＝ ９００ ＋ ２５６ ＝ １１５６
３５×３５ ＝ １０００ ＋ ２２５ ＝ １２２５
３６×３６ ＝ １１００ ＋ １９６ ＝ １２９６
３７×３７ ＝ １２００ ＋ １６９ ＝ １３６９
。。。
これを見る限り、（なにか規則性のある１００の倍数）とは、
元の数から２５を引いた数の１００倍ではないか、と判ります。
確かめてみましょう； 元の数を ａ、ｂ を整数とします。
ここで、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」の求め方が、
元の数の範囲によって異なっていたことに注意して場合分けします。
先ず、ａ が ２５以上５０以下のとき、これを見ます。
この時、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は ５０－ａ で表わせました。
よって、上記の式にあてはめます。
元の数ａの２乗＝ １００のｂ倍の数 ＋ （５０－元の数ａ）の２乗
ａ＾２＝ ｂ×１００ ＋ （５０－ａ）＾２
ａ＾２ ＝ １００ｂ ＋ ２５００ －１００ａ ＋ ａ＾２
１００ｂ ＝ １００（ａ－２５）
すなわち ｂ ＝ ａ－２５
となります。確かに２５を引いた数になりました。
つまり、こういうことです。
２乗の数： （元の数－２５）×１００ ＋ （５０－元の数）の２乗
となります。まずは、これを覚えて下さい。
（やっと出ました、計算法）
部分的ですが、計算式を記述します。
３２×３２ ＝ （３２－２５）×１００ ＋ （５０－３２）＾２
＝ ７ ×１００ ＋ １８ × １８
＝ ７００ ＋ ３２４
＝ １０２４
３３×３３ ＝ （３３－２５）×１００ ＋ （５０－３３）＾２
＝ ８ ×１００ ＋ １７ × １７
＝ ８００ ＋ ２８９
＝ １０８９
３４×３４ ＝ （３４－２５）×１００ ＋ （５０－３４）＾２ ＝ １１５６
３５×３５ ＝ （３５－２５）×１００ ＋ （５０－３５）＾２ ＝ １２２５
３６×３６ ＝ （３６－２５）×１００ ＋ （５０－３６）＾２ ＝ １２９６
３７×３７ ＝ （３７－２５）×１００ ＋ （５０－３７）＾２ ＝ １３６９
３８×３８ ＝ （３８－２５）×１００ ＋ （５０－３８）＾２ ＝ １４４４
この様に２乗の数は、「２５を引いて百倍」 と 「５０から引いて２乗」 の合計、
という形であらわすことが出来ます。
次に、同様に、元の数が５０から７５の場合を見てみましょう。
この場合、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は 元の数－５０ となります。
よって、関係式は
元の数ａの２乗＝ １００のｂ倍の数 ＋ （元の数ａ－５０）の２乗
と表わせます。
ａ＾２＝ ｂ×１００ ＋ （ａ－５０）＾２
ａ＾２ ＝ １００ｂ ＋ ２５００ －１００ａ ＋ ａ＾２
１００ｂ ＝ １００（ａ－２５）
すなわちｂ ＝ ａ－２５
となります。５０以下の数の場合と同様、元の数から２５を引いた数になりました。
つまり、こういうことです。
２乗の数： （元の数－２５）×１００ ＋ （元の数－５０）の２乗
計算例を見てみます。
５１×５１ ＝ （５１－２５）×１００ ＋ （５１－５０）＾２
＝ ２６ × １００ ＋ １ × １
＝ ２６００ ＋ １
＝ ２６０１
５２×５２ ＝ （５２－２５）×１００ ＋ （５２－５０）＾２
＝ ２７ × １００ ＋ ２ × ２
＝ ２７００ ＋ ４
＝ ２７０４
６３×６３ ＝ （６３－２５）×１００ ＋ （６３－５０）＾２
＝ ３８ × １００ ＋ １３ × １３
＝ ３８００ ＋ １６９
＝ ３９６９
正しく計算されていると思います。
では最後に、元の数が７５を超える場合を見ます。
この場合、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は １００－元の数 でした。
よって、関係式は
（元の数ａ）の２乗＝ １００のｂ倍の数 ＋ （１００－元の数ａ）の２乗
となります。これを展開すると。。
ａ＾２＝ ｂ×１００ ＋ （１００－ａ）＾２
ａ＾２＝ １００ｂ ＋ １００００－２００ａ＋ａ＾２
１００ｂ ＝ １００（２ａ－１００）
ｂ ＝ ２ａ－１００
と、ここで、１００の倍数部分の計算方法が変わってきました。
２ａ－１００ ですから ２倍して１００を引く、ということになります。
よって、７６以上の数の場合は
２乗の数： （元の数×２－１００）×１００ ＋（１００－元の数）の２乗 となります。
７６×７６ ＝ （７６×２－１００）×１００ ＋ （１００－７６）＾２
（ １５２－１００）×１００ ＋ ２４ × ２４
＝ ５２ ×１００ ＋ ５７６
＝ ５２００ ＋ ５７６
＝ ５７７６
７７×７７ ＝ （７７×２－１００）×１００ ＋ （１００－７７）＾２
（ １５４－１００）×１００ ＋ ２３ × ２３
＝ ５４ ×１００ ＋ ５２９
＝ ５４００ ＋ ５７６
＝ ５９２９
。。。
まとめると、「２倍して最初の１を取って百倍」 と 「１００から引いて２乗」 の合計、
ですね。
以上が２乗の数の計算法 その１ となります。（その２があります）
ここまでの内容に対し、以下、２、３の補足をしたいと思います。
１： １の位の数が ５ の数の２乗 は 別途即算法の対象となる
（１０の位の数）×（１０の位の数＋１）×１００ ＋ ２５
例： ６５×６５ ＝ ６×７×１００ ＋ ２５ ＝ ４２２５
２： ４０台の数の２乗、５０台の数の２乗、９０台の数の２乗については
「２桁の数の２乗 暗記法 その１」 を参照。
上記２に示された計算法とどちらが速いか、しっくり来る方を押さえれば良いと考えます。
３： 計算式の適用についての補足
２６から５０までの数を対象とした２乗の数の計算式、
（元の数－２５）×１００ ＋ （５０－元の数）の２乗
この計算式自体は、５０を超える数、７５を超える数でも 実は 正しい答えを導けます。
例１： ５１以上７５までの数
６８×６８ ＝ （６８－２５）×１００ ＋ （５０－６８）＾２
＝ ４３ × １００ ＋ （－１８） × （－１８）
＝ ４３００ ＋ ３２４
＝ ４６２４
この場合、「５０－元の数」の部分でマイナスの数になってしまいますが、
２乗するので結局同じことになるのです。
ただし、考え方としては、「元の数－５０」から入るのが正しいと思います。
例２： ７５を超える数
８３×８３ ＝ （８３－２５）×１００ ＋ （５０－８３）＾２
＝ ５８ × １００ ＋ （－３３） × （－３３）
＝ ５８００ ＋ １０８９
＝ ６８８９
（５０－元の数）の２乗の部分が、２乗すると下二桁が同じになる数のうち、２５以下ではない、
２番目に大きい数の２乗と等しくなっています。
これも、一旦マイナスの数として計算されるものの、２乗するためにプラスになり、その様になります。
よって、この２乗の部分が ３３×３３＝１０８９、いう形で、
本来適用すべき計算式である １７×１７＝２８９ よりも ８００ 大きくなっています。
しかし、逆に１００の倍数部分は ５８００ と計算され、（８３×２－１００）×１００ と計算する
６６００ よりも ８００ 少なくなっています。
だから、結局同じ結果になっているのです。
一見、不思議かも知れませんが、これは逆に導けない方がおかしいわけです。
以上を踏まえると、場合分けに関しても簡素化することも出来ます。
つまり、５０から７５までの数の計算においては、５０以下の計算方法を用いても、
発生するマイナスの数は２乗されプラスに戻って結局同じ、という風に考えれば、
この計算法も単純に７５以下とそれ以上に分けて、
７５以下の場合、２５を引いて１００倍、それに ５０から引いた数の２乗を足す 、
７５以下の場合、２倍して左の１を取って１００倍、それに１００との差の２乗を足す、
この様にしても良いかも知れません。
次に、２乗の数の即算法を具体的に考えます。まずは、観察から入ります。
これまでに、２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数の求め方を考えました。
そこで、その２５以下の数の２乗を、実際に対応する数の２乗から引いて見ましょう。
先ずは、各数の２乗の数から「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数の２乗」を引いてみます。
少なくとも、下二桁は同じですから、引き算すれば下二桁は００、すなわち１００の倍数にはなるはずです。
最初に、２６を考えます
２６×２６ ： ６７６ － ５７６ ＝ １００
ここで、６７６ はもちろん ２６の２乗、
５７６ は ２４ の２乗 です。
その差を取ると １００ でした。
さらに２６から幾つか、順に見て行きます。
２６×２６ ： ６７６ － ５７６ ＝ １００
２７×２７ ： ７２９ － ５２９ ＝ ２００
２８×２８ ： ７８４ － ４８４ ＝ ３００
２９×２９ ： ８４１ － ４４１ ＝ ４００
３０×３０ ： ９００ － ４００ ＝ ５００
３１×３１ ： ９６１ － ３６１ ＝ ６００
３２×３２ ： １０２４ － ３２４ ＝ ７００
３３×３３ ： １０８９ － ２８９ ＝ ８００
３４×３４ ： １１５６ － ２５６ ＝ ９００
３５×３５ ： １２２５ － ２２５ ＝ １０００
３６×３６ ： １２９６ － １９６ ＝ １１００
。。。
こうしてみると、単に１００の倍数というだけでなく、きちんと規則的に並んでいます。
どうやら ２６ 以降の２乗の数というのは、以下の形で書き表すことが出来そうです。
（２乗の数）＝ （何か規則性のある１００の倍数）
＋ 「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」の２乗
そこで、実際にこの形に並べ直して見ましょう。
２６×２６ ＝ １００ ＋ ５７６ ＝ ６７６
２７×２７ ＝ ２００ ＋ ５２９ ＝ ７２９
２８×２８ ＝ ３００ ＋ ４８４ ＝ ７８４
２９×２９ ＝ ４００ ＋ ４４１ ＝ ８４１
３０×３０ ＝ ５００ ＋ ４００ ＝ ９００
３１×３１ ＝ ６００ ＋ ３６１ ＝ ９６１
３２×３２ ＝ ７００ ＋ ３２４ ＝ １０２４
３３×３３ ＝ ８００ ＋ ２８９ ＝ １０８９
３４×３４ ＝ ９００ ＋ ２５６ ＝ １１５６
３５×３５ ＝ １０００ ＋ ２２５ ＝ １２２５
３６×３６ ＝ １１００ ＋ １９６ ＝ １２９６
３７×３７ ＝ １２００ ＋ １６９ ＝ １３６９
。。。
これを見る限り、（なにか規則性のある１００の倍数）とは、
元の数から２５を引いた数の１００倍ではないか、と判ります。
確かめてみましょう； 元の数を ａ、ｂ を整数とします。
ここで、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」の求め方が、
元の数の範囲によって異なっていたことに注意して場合分けします。
先ず、ａ が ２５以上５０以下のとき、これを見ます。
この時、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は ５０－ａ で表わせました。
よって、上記の式にあてはめます。
元の数ａの２乗＝ １００のｂ倍の数 ＋ （５０－元の数ａ）の２乗
ａ＾２＝ ｂ×１００ ＋ （５０－ａ）＾２
ａ＾２ ＝ １００ｂ ＋ ２５００ －１００ａ ＋ ａ＾２
１００ｂ ＝ １００（ａ－２５）
すなわち ｂ ＝ ａ－２５
となります。確かに２５を引いた数になりました。
つまり、こういうことです。
２乗の数： （元の数－２５）×１００ ＋ （５０－元の数）の２乗
となります。まずは、これを覚えて下さい。
（やっと出ました、計算法）部分的ですが、計算式を記述します。
３２×３２ ＝ （３２－２５）×１００ ＋ （５０－３２）＾２
＝ ７ ×１００ ＋ １８ × １８
＝ ７００ ＋ ３２４
＝ １０２４
３３×３３ ＝ （３３－２５）×１００ ＋ （５０－３３）＾２
＝ ８ ×１００ ＋ １７ × １７
＝ ８００ ＋ ２８９
＝ １０８９
３４×３４ ＝ （３４－２５）×１００ ＋ （５０－３４）＾２ ＝ １１５６
３５×３５ ＝ （３５－２５）×１００ ＋ （５０－３５）＾２ ＝ １２２５
３６×３６ ＝ （３６－２５）×１００ ＋ （５０－３６）＾２ ＝ １２９６
３７×３７ ＝ （３７－２５）×１００ ＋ （５０－３７）＾２ ＝ １３６９
３８×３８ ＝ （３８－２５）×１００ ＋ （５０－３８）＾２ ＝ １４４４
この様に２乗の数は、「２５を引いて百倍」 と 「５０から引いて２乗」 の合計、
という形であらわすことが出来ます。
次に、同様に、元の数が５０から７５の場合を見てみましょう。
この場合、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は 元の数－５０ となります。
よって、関係式は
元の数ａの２乗＝ １００のｂ倍の数 ＋ （元の数ａ－５０）の２乗
と表わせます。
ａ＾２＝ ｂ×１００ ＋ （ａ－５０）＾２
ａ＾２ ＝ １００ｂ ＋ ２５００ －１００ａ ＋ ａ＾２
１００ｂ ＝ １００（ａ－２５）
すなわちｂ ＝ ａ－２５
となります。５０以下の数の場合と同様、元の数から２５を引いた数になりました。
つまり、こういうことです。
２乗の数： （元の数－２５）×１００ ＋ （元の数－５０）の２乗
計算例を見てみます。
５１×５１ ＝ （５１－２５）×１００ ＋ （５１－５０）＾２
＝ ２６ × １００ ＋ １ × １
＝ ２６００ ＋ １
＝ ２６０１
５２×５２ ＝ （５２－２５）×１００ ＋ （５２－５０）＾２
＝ ２７ × １００ ＋ ２ × ２
＝ ２７００ ＋ ４
＝ ２７０４
６３×６３ ＝ （６３－２５）×１００ ＋ （６３－５０）＾２
＝ ３８ × １００ ＋ １３ × １３
＝ ３８００ ＋ １６９
＝ ３９６９
正しく計算されていると思います。
では最後に、元の数が７５を超える場合を見ます。
この場合、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は １００－元の数 でした。
よって、関係式は
（元の数ａ）の２乗＝ １００のｂ倍の数 ＋ （１００－元の数ａ）の２乗
となります。これを展開すると。。
ａ＾２＝ ｂ×１００ ＋ （１００－ａ）＾２
ａ＾２＝ １００ｂ ＋ １００００－２００ａ＋ａ＾２
１００ｂ ＝ １００（２ａ－１００）
ｂ ＝ ２ａ－１００
と、ここで、１００の倍数部分の計算方法が変わってきました。
２ａ－１００ ですから ２倍して１００を引く、ということになります。
よって、７６以上の数の場合は
２乗の数： （元の数×２－１００）×１００ ＋（１００－元の数）の２乗 となります。
７６×７６ ＝ （７６×２－１００）×１００ ＋ （１００－７６）＾２
（ １５２－１００）×１００ ＋ ２４ × ２４
＝ ５２ ×１００ ＋ ５７６
＝ ５２００ ＋ ５７６
＝ ５７７６
７７×７７ ＝ （７７×２－１００）×１００ ＋ （１００－７７）＾２
（ １５４－１００）×１００ ＋ ２３ × ２３
＝ ５４ ×１００ ＋ ５２９
＝ ５４００ ＋ ５７６
＝ ５９２９
。。。
まとめると、「２倍して最初の１を取って百倍」 と 「１００から引いて２乗」 の合計、
ですね。
以上が２乗の数の計算法 その１ となります。（その２があります）
ここまでの内容に対し、以下、２、３の補足をしたいと思います。
１： １の位の数が ５ の数の２乗 は 別途即算法の対象となる
（１０の位の数）×（１０の位の数＋１）×１００ ＋ ２５
例： ６５×６５ ＝ ６×７×１００ ＋ ２５ ＝ ４２２５
２： ４０台の数の２乗、５０台の数の２乗、９０台の数の２乗については
「２桁の数の２乗 暗記法 その１」 を参照。
上記２に示された計算法とどちらが速いか、しっくり来る方を押さえれば良いと考えます。
３： 計算式の適用についての補足
２６から５０までの数を対象とした２乗の数の計算式、
（元の数－２５）×１００ ＋ （５０－元の数）の２乗
この計算式自体は、５０を超える数、７５を超える数でも 実は 正しい答えを導けます。
例１： ５１以上７５までの数
６８×６８ ＝ （６８－２５）×１００ ＋ （５０－６８）＾２
＝ ４３ × １００ ＋ （－１８） × （－１８）
＝ ４３００ ＋ ３２４
＝ ４６２４
この場合、「５０－元の数」の部分でマイナスの数になってしまいますが、
２乗するので結局同じことになるのです。
ただし、考え方としては、「元の数－５０」から入るのが正しいと思います。
例２： ７５を超える数
８３×８３ ＝ （８３－２５）×１００ ＋ （５０－８３）＾２
＝ ５８ × １００ ＋ （－３３） × （－３３）
＝ ５８００ ＋ １０８９
＝ ６８８９
（５０－元の数）の２乗の部分が、２乗すると下二桁が同じになる数のうち、２５以下ではない、
２番目に大きい数の２乗と等しくなっています。
これも、一旦マイナスの数として計算されるものの、２乗するためにプラスになり、その様になります。
よって、この２乗の部分が ３３×３３＝１０８９、いう形で、
本来適用すべき計算式である １７×１７＝２８９ よりも ８００ 大きくなっています。
しかし、逆に１００の倍数部分は ５８００ と計算され、（８３×２－１００）×１００ と計算する
６６００ よりも ８００ 少なくなっています。
だから、結局同じ結果になっているのです。
一見、不思議かも知れませんが、これは逆に導けない方がおかしいわけです。
以上を踏まえると、場合分けに関しても簡素化することも出来ます。
つまり、５０から７５までの数の計算においては、５０以下の計算方法を用いても、
発生するマイナスの数は２乗されプラスに戻って結局同じ、という風に考えれば、
この計算法も単純に７５以下とそれ以上に分けて、
７５以下の場合、２５を引いて１００倍、それに ５０から引いた数の２乗を足す 、
７５以下の場合、２倍して左の１を取って１００倍、それに１００との差の２乗を足す、
この様にしても良いかも知れません。
