本稿は、２桁の数の２乗の数を順列に並た際に現れる法則性を見つけようという試みです。
その法則性を用いて、何らかの形で２乗の数の計算法、即算法を考えたいと思います。
そのためには、先ずは実際に並べて観察することが第一歩と思われますので、下記に並べます。
ここでは、０から５０までの２乗 と ５１以降のもの を横並びにしてあります。
ここで具体的に注目いただきたいのが２乗の数の「下二桁の数」です。
０× ０＝ ０ ５０×５０＝２５００
１× １＝ １ ５１×５１＝２６０１
２× ２＝ ４ ５２×５２＝２７０４
３× ３＝ ９ ５３×５３＝２８０９
４× ４＝ １６ ５４×５４＝２９１６
５× ５＝ ２５ ５５×５５＝３０２５
６× ６＝ ３６ ５６×５６＝３１３６
７× ７＝ ４９ ５７×５７＝３２４９
８× ８＝ ６４ ５８×５８＝３３６４
９× ９＝ ８１ ５９×５９＝３４８１
１０×１０＝ １００ ６０×６０＝３６００
１１×１１＝ １２１ ６１×６１＝３７２１
１２×１２＝ １４４ ６２×６２＝３８４４
１３×１３＝ １６９ ６３×６３＝３９６９
１４×１４＝ １９６ ６４×６４＝４０９６
１５×１５＝ ２２５ ６５×６５＝４２２５
１６×１６＝ ２５６ ６６×６６＝４３５６
１７×１７＝ ２８９ ６７×６７＝４４８９
１８×１８＝ ３２４ ６８×６８＝４６２４
１９×１９＝ ３６１ ６９×６９＝４７６１
２０×２０＝ ４００ ７０×７０＝４９００
２１×２１＝ ４４１ ７１×７１＝５０４１
２２×２２＝ ４８４ ７２×７２＝５１８４
２３×２３＝ ５２９ ７３×７３＝５３２９
２４×２４＝ ５７６ ７４×７４＝５４７６
２５×２５＝ ６２５ ７５×７５＝５６２５
２６×２６＝ ６７６ ７６×７６＝５７７６
２７×２７＝ ７２９ ７７×７７＝５９２９
２８×２８＝ ７８４ ７８×７８＝６０８４
２９×２９＝ ８４１ ７９×７９＝６２４１
３０×３０＝ ９００ ８０×８０＝６４００
３１×３１＝ ９６１ ８１×８１＝６５６１
３２×３２＝１０２４ ８２×８２＝６７２４
３３×３３＝１０８９ ８３×８３＝６８８９
３４×３４＝１１５６ ８４×８４＝７０５６
３５×３５＝１２２５ ８５×８５＝７２２５
３６×３６＝１２９６ ８６×８６＝７３９６
３７×３７＝１３６９ ８７×８７＝７５６９
３８×３８＝１４４４ ８８×８８＝７７４４
３９×３９＝１５２１ ８９×８９＝７９２１
４０×４０＝１６００ ９０×９０＝８１００
４１×４１＝１６８１ ９１×９１＝８２８１
４２×４２＝１７６４ ９２×９２＝８４６４
４３×４３＝１８４９ ９３×９３＝８６４９
４４×４４＝１９３６ ９４×９４＝８８３６
４５×４５＝２０２５ ９５×９５＝９０２５
４６×４６＝２１１６ ９６×９６＝９２１６
４７×４７＝２２０９ ９７×９７＝９４０９
４８×４８＝２３０４ ９８×９８＝９６０４
４９×４９＝２４０１ ９９×９９＝９８０１
５０×５０＝２５００ １００×１００＝１００００
お気づきの通り、この左右２列に並んだ２乗の数、下二桁の数が同じです。
横に並んだ同士、数は５０異なるわけですが、
５０異なる２つの数の２乗の下二桁は同じ
となるのです。
となると、少なくとも５０までの数の２乗を覚えてしまえば、
５１から９９までの２乗は、半分は覚えた同じ、と言えます。（ちょっと苦しいですが）
つまり 例えば、３１×３１＝９６１ と覚えたなら、
３１ に ５０ を足した ８１×８１ は 少なくとも 「ＸＸ６１」 と判ります。
８０×８０ は ６４００ だから ６４６１ か、６５６１ あたりだ、と推測。
８０×８１ は ６４８０ だから、６４６１ はなく、６５６１、という感じです。
この気付きだけでも暗記のためには価値がありますが、話はこれだけでは終わりません。
さらに、２５×２５＝６２５ を中心として 上下に一つずつ移動しながら、二つの数の２乗の数の下二桁を比較してみて下さい。
これも同じ数になっています。
つまり、０から２４までの２乗の数の下二桁の数に現れた数は、２５を境として
２６から５０までの２乗の数の下二桁に逆順に現れる、ということなんです。
まるで、２５の地点で鏡に写したかのごとくです。
これは、前回２０台の数の２乗のグループの中での特徴として指摘しましたが、実はその外側にも広がっている話だったのです。
視覚的に確認しやすいように、２５から後半を逆順に並べてみます。
↓
０ × ０ ＝ ０ ５０ × ５０ ＝ ２５００
１ × １ ＝ １ ４９ × ４９ ＝ ２４０１
２ × ２ ＝ ４ ４８ × ４８ ＝ ２３０４
３ × ３ ＝ ９ ４７ × ４７ ＝ ２２０９
４ × ４ ＝ １６ ４６ × ４６ ＝ ２１１６
５ × ５ ＝ ２５ ４５ × ４５ ＝ ２０２５
６ × ６ ＝ ３６ ４４ × ４４ ＝ １９３６
７ × ７ ＝ ４９ ４３ × ４３ ＝ １８４９
８ × ８ ＝ ６４ ４２ × ４２ ＝ １７６４
９ × ９ ＝ ８１ ４１ × ４１ ＝ １６８１
１０ × １０ ＝ １００ ４０ × ４０ ＝ １６００
１１ × １１ ＝ １２１ ３９ × ３９ ＝ １５２１
１２ × １２ ＝ １４４ ３８ × ３８ ＝ １４４４
１３ × １３ ＝ １６９ ３７ × ３７ ＝ １３６９
１４ × １４ ＝ １９６ ３６ × ３６ ＝ １２９６
１５ × １５ ＝ ２２５ ３５ × ３５ ＝ １２２５
１６ × １６ ＝ ２５６ ３４ × ３４ ＝ １１５６
１７ × １７ ＝ ２８９ ３３ × ３３ ＝ １０８９
１８ × １８ ＝ ３２４ ３２ × ３２ ＝ １０２４
１９ × １９ ＝ ３６１ ３１ × ３１ ＝ ９６１
２０ × ２０ ＝ ４００ ３０ × ３０ ＝ ９００
２１ × ２１ ＝ ４４１ ２９ × ２９ ＝ ８４１
２２ × ２２ ＝ ４８４ ２８ × ２８ ＝ ７８４
２３ × ２３ ＝ ５２９ ２７ × ２７ ＝ ７２９
２４ × ２４ ＝ ５７６ ２６ × ２６ ＝ ６７６
２５ × ２５ ＝ ６２５ 同じ数が逆順で並ぶ↑
以上の様に、確かに２５で反転し、順番が逆になり同じ数が並んでいます。
ではこの数字の並びの２つの特徴に関し、何故そのようなことが言えるのか、数式で一般化してみましょう。
まず一つ目、「５０の差がある２つの２桁の整数の２乗は、下二桁が同じ」ということですが、
以下の通り考えます。
２つの数の、小さい方を ａ 、大きい方を ａ＋５０ とします。（ａは４９以下の自然数）
この二つの数の２乗の数の大きい方から小さい方を引きます。
（ａ＋５０）×（ａ＋５０）－ａ×ａ
＝（ａ＾２＋１００ａ＋２５００）－ａ＾２）
＝１００ａ＋２５００
＝１００（ａ＋２５） となります。
つまり、１００の倍数となりました。
２数の一方からもう一方を引き算したら百の倍数、すなわち下二桁が００になるということは、
元々の数の２つの数の下２桁は等しかった、ということになります。
次に、「２５で反転し同じ下２桁の数が逆順で現れる」というのはどうでしょうか。
（ここでは、０から５０までの数に限定して考えます）
これは言い換えると、「２５から等距離にある２つの整数の２乗の数は、下二桁が同じ」
となります。
そこで、この２５を挟んだ数の、小さい方を ２５－ａ 、大きい方を ２５＋ａ とします。
（ａは２４以下の自然数）
先程と同様、この二つの数の２乗の数の大きい方から小さい方を引き算します。
（２５＋ａ）×（２５＋ａ）－（２５－ａ）×（２５－ａ）
＝（６２５＋５０ａ＋ａ＾２）－（６２５－５０ａ＋ａ＾２）
＝１００ａ
となり、これも１００の倍数です。
つまり、この場合も、もともとの２つの数の下二桁の数は等しいということになります。
。。。意外な事実でしたね。
以上、２つの法則を再確認します。
「２５から等距離にある２つの整数の２乗の数は、下二桁が同じ」
「５０の差がある２つの２桁の整数の２乗の数は、下二桁が同じ」
この二つの法則を統合いたしますと、
０から２５までの２乗の数の下二桁に現れた数は、２５から５０までに逆順に現れ、
さらに、５０から７５までに再度同じ順番で現れ、再び７５から１００まで逆順に現れる
と言えます。
つまり、２乗の数の下二桁の数のパターンは、０から２５ までに全て現れてしまうのです。
２６以降、違う数は出てきません。
ここで暗記の話に戻りますが、先ほど２乗の数は５０まで覚えれば、５１から９９までは
半分覚えたも同じ、という言い方をしました。
ところが、２６から５０までの２乗の下二桁も、０から２５まで場合の繰り返しだとしたならば、
暗記する２乗の数はさらに半分で済むわけです。
ただし、逆順に現れる数字の対応関係のつかみ方に慣れる必要もありますし、百の位、千の位は依然不明です。
そこで、もう一歩踏み込んで、何か上手な形で１から２５までの２乗の数を使って、
それ以降（２６以降）の２乗の数を導き出す方法がないものか、考えてみましょう。
ここで、論を進める前に、「２乗の数の下二桁が同じとなる数のグループ」について考察を深めておきます。
これもまた、具体的に数字を並べてみましょう。
整数を２乗した場合の下二桁の数 と 対応する０から１００までの数
２乗の下二桁 対応する１００までの数（その２乗）
００： ０（ ０） ５０（２５００） １００（１００００）
０１： １（ １） ４９（２４０１） ５１（２６０１） ９９（９８０１）
０４： ２（ ４） ４８（２３０４） ５２（２７０４） ９８（９６０４）
０９： ３（ ９） ４７（２２０９） ５３（２８０９） ９７（９４０９）
１６： ４（ １６） ４６（２１１６） ５４（２９１６） ９６（９２１６）
２５： ５（ ２５） ４５（２０２５） ５５（３０２５） ９５（９０２５）
３６： ６（ ３６） ４４（１９３６） ５６（３１３６） ９４（８８３６）
４９： ７（ ４９） ４３（１８４９） ５７（３２４９） ９３（８６４９）
６４： ８（ ６４） ４２（１７６４） ５８（３３６４） ９２（８４６４）
８１： ９（ ８１） ４１（１６８１） ５９（３４８１） ９１（８２８１）
００： １０（１００） ４０（１６００） ６０（３６００） ９０（８１００）
２１： １１（１２１） ３９（１５２１） ６１（３７２１） ８９（７９２１）
４４： １２（１４４） ３８（１４４４） ６２（３８４４） ８８（７７４４）
６９： １３（１６９） ３７（１３６９） ６３（３９６９） ８７（７５６９）
９６： １４（１９６） ３６（１２９６） ６４（４０９６） ８６（７３９６）
２５： １５（２２５） ３５（１２２５） ６５（４２２５） ８５（７２２５）
５６： １６（２５６） ３４（１１５６） ６６（４３５６） ８４（７０５６）
８９： １７（２８９） ３３（１０８９） ６７（４４８９） ８３（６８８９）
２４： １８（３２４） ３２（１０２４） ６８（４６２４） ８２（６７２４）
６１： １９（３６１） ３１（ ９６１） ６９（４７６１） ８１（６５６１）
００： ２０（４００） ３０（ ９００） ７０（４９００） ８０（６４００）
４１： ２１（４４１） ２９（ ８４１） ７１（５０４１） ７９（６２４１）
８４： ２２（４８４） ２８（ ７８４） ７２（５１８４） ７８（６０８４）
２９： ２３（５２９） ２７（ ７２９） ７３（５３２９） ７７（５９２９）
７６： ２４（５７６） ２６（ ６７６） ７４（５４７６） ７６（５７７６）
２５： ２５（６２５） ７５（５６２５）
（列１） （列２） （列３） （列４）
<<観察>>
（列１の数）＋（列２の数）＝ ５０
（列１の数）＋ ５０ ＝ （列３の数） （列２の数）＋ ５０ ＝ （列４の数）
（列１の数）＋（列４の数）＝ １００
（ちょっと上記の関係を確認してから次に進んで下さい。）
上記に観察できます通り、２乗すると下二桁の数が同じとなる数のグループは基本的には４つの数で構成されます。
これは、０から２５までの２乗の下二桁に現れた数が、以後３回、逆順、正順、逆順と現れる、
すなわちトータル４回現れますので、その様になります。
ただし、００と２５については、該当する数字の数だけを言えば４つ以上になります。
これは５の倍数と１０の倍数の特性によるものですが、上記の表では便宜的に分けて表示しています。
２乗計算の即算法では、この４つの数のうち、最もも小さい数、すなわち「０から２５までの数」の２乗
を使いたかったわけです。
上記の表で見るならば、ある数字を考えた時に、その数が属しているグループの中で一番左側の数が判ればよい。
これを先ずは想起したい。
その計算法を考えます。
そこでまず、２乗をすると下二桁が同じ数になる２つの数、これにはどういう性質があったか。
ここから入ります。（２つ挙げましたね）
順序は前後しますが、先ず「２５から等距離にある」ということが一つありました。
「２５から等距離。。」といっても判りにくいですので、言い換えを一回しておきます。
２乗をすると下二桁が同じ数になる２数があり、それぞれ ａ，ｂ（ａ＞ｂ）とします。
また、ｂは２５以下であり、数ａが与えられた場合、求めたい数とします。
その２数の２５からの距離が等しかった場合、 ２５－ａ＝ｂ－２５
よって ａ＋ｂ＝５０
つまり、２数の合計が５０になる時、それぞれの２乗の数の下二桁は等しくなります。
よって、元の数をａに対し、２乗すると下二桁が同じとなる数 ｂ は ｂ＝５０－ａ の関係が成り立ちます。
また、ｂは２５以下ですので、ｂ＝＜２５ より、
５０－ａ ＝＜ ２５
２５ ＝＜ ａ
すなわち ａ は２５以上、
また、ｂは０以上であるため、０＝＜ｂ
これより ０ ＝＜ ５０－ａ
ａ ＝＜ ５０
すなわち ａ は ５０ 以下
よって、元の数が２５以上５０以下の時、
２乗すると下二桁が同じとなる数は （５０－元の数） で求められます。
では次に、「５０の差がある数」という性質から考えを展開します。
同じく、２乗をすると下二桁が同じ数になる２数があり、それぞれ ａ，ｂ（ａ＞ｂ）とします。
この２数の場合は、「５０の差」があることとします。
よって ｂ＝ａ－５０
ｂは２５以下より、ｂ＝＜２５、
よって ａ－５０ ＝＜ ２５
ａ ＝＜ ７５
すなわち ａ は７５以下
また、ｂは０以上であるため、０＝＜ｂ
これより ０ ＝＜ ａ－５０
５０ ＝＜ ａ
すなわち ａ は ５０ 以上
よって、元の数が５０以上７５以上の時、
２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数は （元の数－５０） となります。
ここで、２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数の導き方が２通り出てきました。
元の数ａ が ２５以上５０以下だったら ５０－ａ
元の数ａ が ５０以上７５以下だったら ａ－５０
何やら５０より小さければ５０から引き、５０より大きければ５０を引く、というこ
とですね。
ここで一旦、例を出して確認し、それから次に行きましょう
２７の場合 ５０－２７ ＝ ２３
６８の場合 ６８－５０ ＝ １８
確かめます ２７×２７＝ ７２９、 ２３×２３＝ ５２９、 下二桁は２９で同じ
６８×６８＝４６２４、 １８×１８＝ ３２４、 下二桁は２４で同じ
では次に、上記の場合から外れた範囲、元の数が ７５以上（１００以下）となった場合、どのように計算するのでしょうか。
元の数ａが７５以上の場合、ａ－５０ は ａと２乗した場合下二桁同じになりますが、２５ 以下にはなりません。
ただし、さらに計算して、５０から（ａ－５０）を引いた数ｂ これは２５以下になると同時に、もとの数ａとも２乗した場合に下二桁が同じ数になります。
すなわち ｂ＝５０－（ａ－５０）
＝１００－ａ
よって、元の数が７５以上１００以下の時、
２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数は （１００－元の数） です。
１００から引く、ですね。。。
例をあげると、８８の場合、１００－８８ で １２ となります。
これも確かめます： ８８×８８＝ ７７４４、 １２×１２＝ １４４、 下二桁は４４で同じ！
正しいですね。
これで「２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数の求め方」が全て揃いました。
元の数ａ が
２５以上 ５０以下だったら ５０－ａ
５０以上 ７５以下だったら ａ－５０
７５以上１００以下だったら １００－ａ
そこで次回は いよいよこの求め方を用いた２乗の数の計算方法に入ります。
その法則性を用いて、何らかの形で２乗の数の計算法、即算法を考えたいと思います。
そのためには、先ずは実際に並べて観察することが第一歩と思われますので、下記に並べます。
ここでは、０から５０までの２乗 と ５１以降のもの を横並びにしてあります。
ここで具体的に注目いただきたいのが２乗の数の「下二桁の数」です。
０× ０＝ ０ ５０×５０＝２５００
１× １＝ １ ５１×５１＝２６０１
２× ２＝ ４ ５２×５２＝２７０４
３× ３＝ ９ ５３×５３＝２８０９
４× ４＝ １６ ５４×５４＝２９１６
５× ５＝ ２５ ５５×５５＝３０２５
６× ６＝ ３６ ５６×５６＝３１３６
７× ７＝ ４９ ５７×５７＝３２４９
８× ８＝ ６４ ５８×５８＝３３６４
９× ９＝ ８１ ５９×５９＝３４８１
１０×１０＝ １００ ６０×６０＝３６００
１１×１１＝ １２１ ６１×６１＝３７２１
１２×１２＝ １４４ ６２×６２＝３８４４
１３×１３＝ １６９ ６３×６３＝３９６９
１４×１４＝ １９６ ６４×６４＝４０９６
１５×１５＝ ２２５ ６５×６５＝４２２５
１６×１６＝ ２５６ ６６×６６＝４３５６
１７×１７＝ ２８９ ６７×６７＝４４８９
１８×１８＝ ３２４ ６８×６８＝４６２４
１９×１９＝ ３６１ ６９×６９＝４７６１
２０×２０＝ ４００ ７０×７０＝４９００
２１×２１＝ ４４１ ７１×７１＝５０４１
２２×２２＝ ４８４ ７２×７２＝５１８４
２３×２３＝ ５２９ ７３×７３＝５３２９
２４×２４＝ ５７６ ７４×７４＝５４７６
２５×２５＝ ６２５ ７５×７５＝５６２５
２６×２６＝ ６７６ ７６×７６＝５７７６
２７×２７＝ ７２９ ７７×７７＝５９２９
２８×２８＝ ７８４ ７８×７８＝６０８４
２９×２９＝ ８４１ ７９×７９＝６２４１
３０×３０＝ ９００ ８０×８０＝６４００
３１×３１＝ ９６１ ８１×８１＝６５６１
３２×３２＝１０２４ ８２×８２＝６７２４
３３×３３＝１０８９ ８３×８３＝６８８９
３４×３４＝１１５６ ８４×８４＝７０５６
３５×３５＝１２２５ ８５×８５＝７２２５
３６×３６＝１２９６ ８６×８６＝７３９６
３７×３７＝１３６９ ８７×８７＝７５６９
３８×３８＝１４４４ ８８×８８＝７７４４
３９×３９＝１５２１ ８９×８９＝７９２１
４０×４０＝１６００ ９０×９０＝８１００
４１×４１＝１６８１ ９１×９１＝８２８１
４２×４２＝１７６４ ９２×９２＝８４６４
４３×４３＝１８４９ ９３×９３＝８６４９
４４×４４＝１９３６ ９４×９４＝８８３６
４５×４５＝２０２５ ９５×９５＝９０２５
４６×４６＝２１１６ ９６×９６＝９２１６
４７×４７＝２２０９ ９７×９７＝９４０９
４８×４８＝２３０４ ９８×９８＝９６０４
４９×４９＝２４０１ ９９×９９＝９８０１
５０×５０＝２５００ １００×１００＝１００００
お気づきの通り、この左右２列に並んだ２乗の数、下二桁の数が同じです。
横に並んだ同士、数は５０異なるわけですが、
５０異なる２つの数の２乗の下二桁は同じ
となるのです。
となると、少なくとも５０までの数の２乗を覚えてしまえば、
５１から９９までの２乗は、半分は覚えた同じ、と言えます。（ちょっと苦しいですが）
つまり 例えば、３１×３１＝９６１ と覚えたなら、
３１ に ５０ を足した ８１×８１ は 少なくとも 「ＸＸ６１」 と判ります。
８０×８０ は ６４００ だから ６４６１ か、６５６１ あたりだ、と推測。
８０×８１ は ６４８０ だから、６４６１ はなく、６５６１、という感じです。
この気付きだけでも暗記のためには価値がありますが、話はこれだけでは終わりません。
さらに、２５×２５＝６２５ を中心として 上下に一つずつ移動しながら、二つの数の２乗の数の下二桁を比較してみて下さい。
これも同じ数になっています。
つまり、０から２４までの２乗の数の下二桁の数に現れた数は、２５を境として
２６から５０までの２乗の数の下二桁に逆順に現れる、ということなんです。
まるで、２５の地点で鏡に写したかのごとくです。
これは、前回２０台の数の２乗のグループの中での特徴として指摘しましたが、実はその外側にも広がっている話だったのです。
視覚的に確認しやすいように、２５から後半を逆順に並べてみます。
↓
０ × ０ ＝ ０ ５０ × ５０ ＝ ２５００
１ × １ ＝ １ ４９ × ４９ ＝ ２４０１
２ × ２ ＝ ４ ４８ × ４８ ＝ ２３０４
３ × ３ ＝ ９ ４７ × ４７ ＝ ２２０９
４ × ４ ＝ １６ ４６ × ４６ ＝ ２１１６
５ × ５ ＝ ２５ ４５ × ４５ ＝ ２０２５
６ × ６ ＝ ３６ ４４ × ４４ ＝ １９３６
７ × ７ ＝ ４９ ４３ × ４３ ＝ １８４９
８ × ８ ＝ ６４ ４２ × ４２ ＝ １７６４
９ × ９ ＝ ８１ ４１ × ４１ ＝ １６８１
１０ × １０ ＝ １００ ４０ × ４０ ＝ １６００
１１ × １１ ＝ １２１ ３９ × ３９ ＝ １５２１
１２ × １２ ＝ １４４ ３８ × ３８ ＝ １４４４
１３ × １３ ＝ １６９ ３７ × ３７ ＝ １３６９
１４ × １４ ＝ １９６ ３６ × ３６ ＝ １２９６
１５ × １５ ＝ ２２５ ３５ × ３５ ＝ １２２５
１６ × １６ ＝ ２５６ ３４ × ３４ ＝ １１５６
１７ × １７ ＝ ２８９ ３３ × ３３ ＝ １０８９
１８ × １８ ＝ ３２４ ３２ × ３２ ＝ １０２４
１９ × １９ ＝ ３６１ ３１ × ３１ ＝ ９６１
２０ × ２０ ＝ ４００ ３０ × ３０ ＝ ９００
２１ × ２１ ＝ ４４１ ２９ × ２９ ＝ ８４１
２２ × ２２ ＝ ４８４ ２８ × ２８ ＝ ７８４
２３ × ２３ ＝ ５２９ ２７ × ２７ ＝ ７２９
２４ × ２４ ＝ ５７６ ２６ × ２６ ＝ ６７６
２５ × ２５ ＝ ６２５ 同じ数が逆順で並ぶ↑
以上の様に、確かに２５で反転し、順番が逆になり同じ数が並んでいます。
ではこの数字の並びの２つの特徴に関し、何故そのようなことが言えるのか、数式で一般化してみましょう。
まず一つ目、「５０の差がある２つの２桁の整数の２乗は、下二桁が同じ」ということですが、
以下の通り考えます。
２つの数の、小さい方を ａ 、大きい方を ａ＋５０ とします。（ａは４９以下の自然数）
この二つの数の２乗の数の大きい方から小さい方を引きます。
（ａ＋５０）×（ａ＋５０）－ａ×ａ
＝（ａ＾２＋１００ａ＋２５００）－ａ＾２）
＝１００ａ＋２５００
＝１００（ａ＋２５） となります。
つまり、１００の倍数となりました。
２数の一方からもう一方を引き算したら百の倍数、すなわち下二桁が００になるということは、
元々の数の２つの数の下２桁は等しかった、ということになります。
次に、「２５で反転し同じ下２桁の数が逆順で現れる」というのはどうでしょうか。
（ここでは、０から５０までの数に限定して考えます）
これは言い換えると、「２５から等距離にある２つの整数の２乗の数は、下二桁が同じ」
となります。
そこで、この２５を挟んだ数の、小さい方を ２５－ａ 、大きい方を ２５＋ａ とします。
（ａは２４以下の自然数）
先程と同様、この二つの数の２乗の数の大きい方から小さい方を引き算します。
（２５＋ａ）×（２５＋ａ）－（２５－ａ）×（２５－ａ）
＝（６２５＋５０ａ＋ａ＾２）－（６２５－５０ａ＋ａ＾２）
＝１００ａ
となり、これも１００の倍数です。
つまり、この場合も、もともとの２つの数の下二桁の数は等しいということになります。
。。。意外な事実でしたね。
以上、２つの法則を再確認します。
「２５から等距離にある２つの整数の２乗の数は、下二桁が同じ」
「５０の差がある２つの２桁の整数の２乗の数は、下二桁が同じ」
この二つの法則を統合いたしますと、
０から２５までの２乗の数の下二桁に現れた数は、２５から５０までに逆順に現れ、
さらに、５０から７５までに再度同じ順番で現れ、再び７５から１００まで逆順に現れる
と言えます。
つまり、２乗の数の下二桁の数のパターンは、０から２５ までに全て現れてしまうのです。
２６以降、違う数は出てきません。
ここで暗記の話に戻りますが、先ほど２乗の数は５０まで覚えれば、５１から９９までは
半分覚えたも同じ、という言い方をしました。
ところが、２６から５０までの２乗の下二桁も、０から２５まで場合の繰り返しだとしたならば、
暗記する２乗の数はさらに半分で済むわけです。
ただし、逆順に現れる数字の対応関係のつかみ方に慣れる必要もありますし、百の位、千の位は依然不明です。
そこで、もう一歩踏み込んで、何か上手な形で１から２５までの２乗の数を使って、
それ以降（２６以降）の２乗の数を導き出す方法がないものか、考えてみましょう。
ここで、論を進める前に、「２乗の数の下二桁が同じとなる数のグループ」について考察を深めておきます。
これもまた、具体的に数字を並べてみましょう。
整数を２乗した場合の下二桁の数 と 対応する０から１００までの数
２乗の下二桁 対応する１００までの数（その２乗）
００： ０（ ０） ５０（２５００） １００（１００００）
０１： １（ １） ４９（２４０１） ５１（２６０１） ９９（９８０１）
０４： ２（ ４） ４８（２３０４） ５２（２７０４） ９８（９６０４）
０９： ３（ ９） ４７（２２０９） ５３（２８０９） ９７（９４０９）
１６： ４（ １６） ４６（２１１６） ５４（２９１６） ９６（９２１６）
２５： ５（ ２５） ４５（２０２５） ５５（３０２５） ９５（９０２５）
３６： ６（ ３６） ４４（１９３６） ５６（３１３６） ９４（８８３６）
４９： ７（ ４９） ４３（１８４９） ５７（３２４９） ９３（８６４９）
６４： ８（ ６４） ４２（１７６４） ５８（３３６４） ９２（８４６４）
８１： ９（ ８１） ４１（１６８１） ５９（３４８１） ９１（８２８１）
００： １０（１００） ４０（１６００） ６０（３６００） ９０（８１００）
２１： １１（１２１） ３９（１５２１） ６１（３７２１） ８９（７９２１）
４４： １２（１４４） ３８（１４４４） ６２（３８４４） ８８（７７４４）
６９： １３（１６９） ３７（１３６９） ６３（３９６９） ８７（７５６９）
９６： １４（１９６） ３６（１２９６） ６４（４０９６） ８６（７３９６）
２５： １５（２２５） ３５（１２２５） ６５（４２２５） ８５（７２２５）
５６： １６（２５６） ３４（１１５６） ６６（４３５６） ８４（７０５６）
８９： １７（２８９） ３３（１０８９） ６７（４４８９） ８３（６８８９）
２４： １８（３２４） ３２（１０２４） ６８（４６２４） ８２（６７２４）
６１： １９（３６１） ３１（ ９６１） ６９（４７６１） ８１（６５６１）
００： ２０（４００） ３０（ ９００） ７０（４９００） ８０（６４００）
４１： ２１（４４１） ２９（ ８４１） ７１（５０４１） ７９（６２４１）
８４： ２２（４８４） ２８（ ７８４） ７２（５１８４） ７８（６０８４）
２９： ２３（５２９） ２７（ ７２９） ７３（５３２９） ７７（５９２９）
７６： ２４（５７６） ２６（ ６７６） ７４（５４７６） ７６（５７７６）
２５： ２５（６２５） ７５（５６２５）
（列１） （列２） （列３） （列４）
<<観察>>
（列１の数）＋（列２の数）＝ ５０
（列１の数）＋ ５０ ＝ （列３の数） （列２の数）＋ ５０ ＝ （列４の数）
（列１の数）＋（列４の数）＝ １００
（ちょっと上記の関係を確認してから次に進んで下さい。）
上記に観察できます通り、２乗すると下二桁の数が同じとなる数のグループは基本的には４つの数で構成されます。
これは、０から２５までの２乗の下二桁に現れた数が、以後３回、逆順、正順、逆順と現れる、
すなわちトータル４回現れますので、その様になります。
ただし、００と２５については、該当する数字の数だけを言えば４つ以上になります。
これは５の倍数と１０の倍数の特性によるものですが、上記の表では便宜的に分けて表示しています。
２乗計算の即算法では、この４つの数のうち、最もも小さい数、すなわち「０から２５までの数」の２乗
を使いたかったわけです。
上記の表で見るならば、ある数字を考えた時に、その数が属しているグループの中で一番左側の数が判ればよい。
これを先ずは想起したい。
その計算法を考えます。
そこでまず、２乗をすると下二桁が同じ数になる２つの数、これにはどういう性質があったか。
ここから入ります。（２つ挙げましたね）
順序は前後しますが、先ず「２５から等距離にある」ということが一つありました。
「２５から等距離。。」といっても判りにくいですので、言い換えを一回しておきます。
２乗をすると下二桁が同じ数になる２数があり、それぞれ ａ，ｂ（ａ＞ｂ）とします。
また、ｂは２５以下であり、数ａが与えられた場合、求めたい数とします。
その２数の２５からの距離が等しかった場合、 ２５－ａ＝ｂ－２５
よって ａ＋ｂ＝５０
つまり、２数の合計が５０になる時、それぞれの２乗の数の下二桁は等しくなります。
よって、元の数をａに対し、２乗すると下二桁が同じとなる数 ｂ は ｂ＝５０－ａ の関係が成り立ちます。
また、ｂは２５以下ですので、ｂ＝＜２５ より、
５０－ａ ＝＜ ２５
２５ ＝＜ ａ
すなわち ａ は２５以上、
また、ｂは０以上であるため、０＝＜ｂ
これより ０ ＝＜ ５０－ａ
ａ ＝＜ ５０
すなわち ａ は ５０ 以下
よって、元の数が２５以上５０以下の時、
２乗すると下二桁が同じとなる数は （５０－元の数） で求められます。
では次に、「５０の差がある数」という性質から考えを展開します。
同じく、２乗をすると下二桁が同じ数になる２数があり、それぞれ ａ，ｂ（ａ＞ｂ）とします。
この２数の場合は、「５０の差」があることとします。
よって ｂ＝ａ－５０
ｂは２５以下より、ｂ＝＜２５、
よって ａ－５０ ＝＜ ２５
ａ ＝＜ ７５
すなわち ａ は７５以下
また、ｂは０以上であるため、０＝＜ｂ
これより ０ ＝＜ ａ－５０
５０ ＝＜ ａ
すなわち ａ は ５０ 以上
よって、元の数が５０以上７５以上の時、
２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数は （元の数－５０） となります。
ここで、２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数の導き方が２通り出てきました。
元の数ａ が ２５以上５０以下だったら ５０－ａ
元の数ａ が ５０以上７５以下だったら ａ－５０
何やら５０より小さければ５０から引き、５０より大きければ５０を引く、というこ
とですね。
ここで一旦、例を出して確認し、それから次に行きましょう
２７の場合 ５０－２７ ＝ ２３
６８の場合 ６８－５０ ＝ １８
確かめます ２７×２７＝ ７２９、 ２３×２３＝ ５２９、 下二桁は２９で同じ
６８×６８＝４６２４、 １８×１８＝ ３２４、 下二桁は２４で同じ
では次に、上記の場合から外れた範囲、元の数が ７５以上（１００以下）となった場合、どのように計算するのでしょうか。
元の数ａが７５以上の場合、ａ－５０ は ａと２乗した場合下二桁同じになりますが、２５ 以下にはなりません。
ただし、さらに計算して、５０から（ａ－５０）を引いた数ｂ これは２５以下になると同時に、もとの数ａとも２乗した場合に下二桁が同じ数になります。
すなわち ｂ＝５０－（ａ－５０）
＝１００－ａ
よって、元の数が７５以上１００以下の時、
２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数は （１００－元の数） です。
１００から引く、ですね。。。
例をあげると、８８の場合、１００－８８ で １２ となります。
これも確かめます： ８８×８８＝ ７７４４、 １２×１２＝ １４４、 下二桁は４４で同じ！
正しいですね。
これで「２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数の求め方」が全て揃いました。
元の数ａ が
２５以上 ５０以下だったら ５０－ａ
５０以上 ７５以下だったら ａ－５０
７５以上１００以下だったら １００－ａ
そこで次回は いよいよこの求め方を用いた２乗の数の計算方法に入ります。
