ねこ掛け算のブログ

そろばん暗算は出来ないな、という人たちのための掛け算暗算法
2桁・3桁同士から、そこまでやるかの4桁超までご紹介

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2桁の数の2乗 ちょっとした応用

2012-05-04 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2乗の数をせっかく暗記しましたという前提で、
平方数の積を持つ2桁掛け算をいくつか挙げてみました。
一応、見ておくと良いと思いました。

   6 × 24 =   144  (12 × 12)   
   7 × 28 =   196  (14 × 14)   
   8 × 32 =   256  (16 × 16)   
   9 × 36 =   324  (18 × 18)   

  11 × 44 =   484  (22 × 22)   
  12 × 48 =   576  (24 × 24)   
  13 × 52 =   676  (26 × 26)   
  14 × 56 =   784  (28 × 28)   

  16 × 64 =  1024  (32 × 32)   
  17 × 68 =  1156  (34 × 34)   
  18 × 72 =  1296  (36 × 36)   
  19 × 76 =  1444  (38 × 38)   

  21 × 84 =  1764  (42 × 42)   
  22 × 88 =  1936  (44 × 44)   
  23 × 92 =  2116  (46 × 46)   
  24 × 96 =  2304  (48 × 48)

   6 × 54 =   324  (18 × 18)
   7 × 63 =   441  (21 × 21)
   8 × 72 =   576  (24 × 24)
   9 × 81 =   729  (27 × 27) 
  11 × 99 =  1089  (33 × 33)


欲張らずに、片方が3桁になってしまうものは含めませんでした。

掛ける数 が 掛けられる数 の4倍、あるいは9倍になっていますが、
4倍または9倍であることにちょっと気がつきにくいとかな、
と思われるものに色を付けました。

ある数を4倍する練習、9倍する練習をしておくとピンと来やすくなるかもしれません。

応用としては、本当にちょっとしていますね。

また、9×81 などは逆にここから 27×27 を計算する
手掛りになる事例でしょう。


   
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2桁の数の2乗 暗記法 その7 個別の数 トピック

2012-05-03 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2桁の数の2乗、暗記法もこれで最終回となります。

とは言え、今回はこれまでと比べて、全く緊張感がない内容となります。非常に気楽です。

  ふぅーっ。。。

2乗の掛け算を記憶する際に多少の補足的なこと、思い付きを並べます。
かなりどうでも良いことを含みます。

どうでも良いことであっても、何か引っかかって記憶の補助になるかも知れない。

そんな主旨です。


1.2乗すると下二桁の数がもとの数と同じになるもの
→ 25 と 76

  25×25= 625
  76×76=5776

  → ちなみに 625 は2乗すると 390625 となり、
    下三桁に再び 625 が出てくる。
   

2. ぞろ目 下3桁 
→ 38 のみ
   
  38×38 = 1444
  

3. ぞろ目 下二桁 4がそろう場合あり 
   
  12×12 =  144
  38×38 = 1444
  62×62 = 3844
  88×88 = 7744


4. ぞろ目 百の位と十の位: 1,2,4,7,8 がそろう
  
  46×46 = 211

  15×25 =  22
  35×35 = 122
  65×65 = 422
  85×85 = 722

  21×21 =  44
  38×38 = 144

  76×76 = 577

  83×83 = 688


5. ぞろ目 千の位と百の位

  34×34 = 1156
  47×47 = 2209
  58×58 = 3364
  67×67 = 4489
  88×88 = 7744
  94×94 = 8836

  
6. ぞろ目キング(00は除く)

  キング: 88×88 = 7744 
  
  次点:  38×38 = 1444

  ※順番、どっちにしようか迷いましたが、やはりその数自身もぞろ目というのが
   キングの名に値すると判断しました。


7. 元の数の2つの数字が2乗の数の数字のどこか含まれる
  
  25×25
  × =  
  63×63 = 3969
  64×64 = 4096
  74×74 = 5476
  95×95 = 9025
  96×96 = 9216


8. 26の2乗には、6が2回出てくる。
  
  26×26 = 676  (だからなに。。)


9. もとの数の数字を足した合計と、2乗の数の数字の合計が等しい

  18×18=  324
  19×19=  361

  45×45= 2025
  46×46= 2116

  55×55= 3025
  90×90= 8100

  99×99= 9801


10. 2 の倍数だらけ (偶数兄弟!)

  22×22 =  484
  68×68 = 4624 (しかも真ん中の 6 と 2 を一緒にすると 484)

11. 3 の倍数だらけ

  63×63 = 3969  (これはすごい。。アホになりそう)


12. 両脇の数字が同じ
  
  22×22 =  
  68×68 = 62 (また、偶数兄弟)

  39×39 = 52
 (40×40 = 1600)
  41×41 = 68 

  75×75 = 5625
  97×97 = 9409


13. 元の数を含めて6つの数字が登場

  53×53
  54×54
  57×57
  59×59 

  72×72 = 5184
  79×79 = 6241
  84×84 = 7056


14. 数字が昇順で登場 (昇り龍!)

  13×13 = 169
  16×16 = 256
  17×17 = 289
  37×37 = 1369 4桁ではこれのみ

15. 数字が降順で登場

  29×29 = 841
  31×31 = 961

16. 逆にすると2乗も逆になる組み合わせ

  12×12 = 144
  21×21 = 441

  13×13 = 169
  31×31 = 961


17. 同じ数字が現れる組み合わせ

  ダブル

  32×32 = 1024
  49×49 = 2401

  35×35 = 1225
  39×39 = 1521

  19×19 =  361
  56×56 = 3136

  34×34 = 1156
  81×81 = 6561

  64×64 = 4096
  98×98 = 9604

  37×37 = 1369
  44×44 = 1936

  7が割り込む!
  24×24 =  576
  76×76 = 5776
  
  9が割り込む!
  23×23 =  529
  77×77 = 5929

  両脇が入れ替わる!
  42×42 = 1764
  69×69 = 4761 

  トリプル

  12×12 =  144
  21×21 =  441
  38×38 = 1444

  13×13 =  169
  14×14 =  196
  31×31 =  961

  36×36 = 1296
  54×54 = 2916
  96×96 = 9216

  16×16 =  256
  25×25 =  625
  75×75 = 5625

18. 暗記する上で、隣り合わせでややこしい。

  36×36 = 1296
  37×37 = 1369  
    ⇒ 14のトピックも合わせて覚えて間違えないようにしましょう。

  
 

以上、が「2乗の数の暗記法」となります。
最悪、ゴロ合わせもある程度ご紹介いたしましたので、御参考になさって下さい。
コメント (3)
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2桁の数の2乗 暗記用リスト(3)

2012-05-02 00:00:00 | 平方数 2乗の数

 << 1 の列 >>
   1つ少ない10の倍数 の2乗 に その数の2倍 を 足して 1 を足す。
 基準の数
  10:  11×11 =  100 +  20 + 1 =  121
  20:  21×21 =  400 +  40 + 1 =  441
  30:  31×31 =  900 +  60 + 1 =  961
  40:  41×41 = 1600 +  80 + 1 = 1681
  50:  51×51 = 2500 + 100 + 1 = 2601
  60:  61×61 = 3600 + 120 + 1 = 3721
  70:  71×71 = 4900 + 140 + 1 = 5041
  80:  81×81 = 6400 + 160 + 1 = 6561
  90:  91×91 = 8100 + 180 + 1 = 8281
 
 << 2 の列 >>
   2つ少ない10の倍数 の2乗 に その数の4倍 を 足して 4 を足す。
 基準の数
  10:  12×12 =  100 +  40 + 4 =  144
  20:  22×22 =  400 +  80 + 4 =  484
  30:  32×32 =  900 + 120 + 4 = 1024
  40:  42×42 = 1600 + 160 + 4 = 1764
  50:  52×52 = 2500 + 200 + 4 = 2704
  60:  62×62 = 3600 + 240 + 4 = 3844
  70:  72×72 = 4900 + 280 + 4 = 5184
  80:  82×82 = 6400 + 320 + 4 = 6724
  90:  92×92 = 8100 + 360 + 4 = 8464
 
 << 3 の列 >>
   3つ少ない10の倍数 の2乗 に その数の6倍 を 足して 9 を足す。
 基準の数
  10:  13×13 =  100 +  60 + 9 =  169
  20:  23×23 =  400 + 120 + 9 =  529
  30:  33×33 =  900 + 180 + 9 = 1089
  40:  43×43 = 1600 + 240 + 9 = 1849
  50:  53×53 = 2500 + 300 + 9 = 2809
  60:  63×63 = 3600 + 360 + 9 = 3969
  70:  73×73 = 4900 + 420 + 9 = 5329
  80:  83×83 = 6400 + 480 + 9 = 6889
  90:  93×93 = 8100 + 540 + 9 = 8649
 
 << 4 の列 >>
   1つ多い5の倍数 の2乗 から その数の2倍 を 引いて 1 を足す。
 基準の数
  15:  14×14 =  225 -  30 + 1 =   196
  25:  24×24 =  625 -  50 + 1 =   576
  35:  34×34 = 1225 -  70 + 1 =  1156
  45:  44×44 = 2025 -  90 + 1 =  1936
  55:  54×54 = 3025 - 110 + 1 =  2916
  65:  64×64 = 4225 - 130 + 1 =  4096
  75:  74×74 = 5625 - 150 + 1 =  5476
  85:  84×84 = 7225 - 170 + 1 =  7056
  95:  94×94 = 9025 - 190 + 1 =  8836
 
 << 5 の列 >>
   10の位の数×(その数+1) が 千の位と百の位 下2桁は 25
 
  15×15 =  1 × 2 × 100 + 25 =   225
  25×25 =  2 × 3 × 100 + 25 =   625
  35×35 =  3 × 4 × 100 + 25 =  1225
  45×45 =  4 × 5 × 100 + 25 =  2025
  55×55 =  5 × 6 × 100 + 25 =  3025
  65×65 =  6 × 7 × 100 + 25 =  4225
  75×75 =  7 × 8 × 100 + 25 =  5625
  85×85 =  8 × 9 × 100 + 25 =  7225
  95×95 =  9 ×10 × 100 + 25 =  9025
 
 << 6 の列 >>
   1つ少ない5の倍数 の2乗 に その数の2倍 を 足して 1 を足す。
 基準の数
  15:  16×16 =  225 +  30 + 1 =   256
  25:  26×26 =  625 +  50 + 1 =   676
  35:  36×36 = 1225 +  70 + 1 =  1296
  45:  46×46 = 2025 +  90 + 1 =  2116
  55:  56×56 = 3025 + 110 + 1 =  3136
  65:  66×66 = 4225 + 130 + 1 =  4356
  75:  76×76 = 5625 + 150 + 1 =  5776
  85:  86×86 = 7225 + 170 + 1 =  7396
  95:  96×96 = 9025 + 190 + 1 =  9216
 
 << 7 の列 >>
   3つ多い10の倍数 の2乗 から その数の6倍 を 引いて 9 を足す。
 基準の数
  20:  17×17 =  400 - 120 + 9 =   289
  30:  27×27 =  900 - 180 + 9 =   729
  40:  37×37 = 1600 - 240 + 9 =  1369
  50:  47×47 = 2500 - 300 + 9 =  2209
  60:  57×57 = 3600 - 360 + 9 =  3249
  70:  67×67 = 4900 - 420 + 9 =  4489
  80:  77×77 = 6400 - 480 + 9 =  5929
  90:  87×87 = 8100 - 540 + 9 =  7569
 100:  97×97 =10000 - 600 + 9 =  9409
 
 << 8 の列 >>
   2つ多い10の倍数 の2乗 から その数の4倍 を 引いて 4 を足す。
 基準の数
  20:  18×18 =  400 -  80 + 4 =   324
  30:  28×28 =  900 - 120 + 4 =   784
  40:  38×38 = 1600 - 160 + 4 =  1444
  50:  48×48 = 2500 - 200 + 4 =  2304
  60:  58×58 = 3600 - 240 + 4 =  3364
  70:  68×68 = 4900 - 280 + 4 =  4624
  80:  78×78 = 6400 - 320 + 4 =  6084
  90:  88×88 = 8100 - 360 + 4 =  7744
 100:  98×98 =10000 - 400 + 4 =  9604
 
 << 9 の列 >>
   1つ多い10の倍数 の2乗 から その数の2倍 を 引いて 1 を足す。
 基準の数
  20:  19×19 =  400 -  40 + 1 =   361
  30:  29×29 =  900 -  60 + 1 =   841
  40:  39×39 = 1600 -  80 + 1 =  1521
  50:  49×49 = 2500 - 100 + 1 =  2401
  60:  59×59 = 3600 - 120 + 1 =  3481
  70:  69×69 = 4900 - 140 + 1 =  4761
  80:  79×79 = 6400 - 160 + 1 =  6241
  90:  89×89 = 8100 - 180 + 1 =  7921
 100:  99×99 =10000 - 200 + 1 =  9801
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2桁の数の2乗 暗記法 その6 第3の計算法

2012-05-01 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2乗の数を出すための 第三 の計算法 ということで話を進めます。

まだ、あるんですか、という感じですが、実際自分が暗算するときに無意識にやっていた方法があって、
それも実際捨てがたたく、ご紹介したくなった次第です。


その方法ですが、例えば 79 の2乗を考える際に、例のごとく「4つの四角形」をつかって考えます。
その時、少し工夫をして 80 の2乗から入るのですね。



上図の様に、全体は 80×80 で 6400 なんですが、79×79 と 
それ以外のところに分解、79×79 以外の部分を取り去ってしまえば、答えが出ます、という発想なんです。

しかしその時に、ご丁寧に 
   79×1 の部分を引いて、
   1×79の部分を引いて、
   1×1 の部分を引いて、
   はい、答えです、という手順を踏むのではなく、

 80を2回引いてしまえ、そのあと、引きすぎた 1 を戻そう

という計算をするのです。



計算式にすれば、

 79×79 = 80×80 - 80 - 80 + 1
       = 6400 - 160 + 1
       = 6241

となります。

80を2回引く、というのは 頭の中のイメージ であって、もちろん計算上は、

 79×79 = 80×80 - 80 × 2 + 1
       = 6400 - 160 + 1
       = 6241

これで、良いと思います。

但し、私の場合は、この計算をするときに上記のような図を頭の中に強烈にイメージし、
実際に 下側、右側、これを「トル」、そしてカドのコマを「戻す」ということをやっているので、
どうしても「80を2回引く」という発想になってしまいます。

もっとスマートに計算出来る方なら、初めから「80×2」でいいと思います。

他の例を見ます:  67×67

もちろん、四角形としては 70×70 を考えます。
但し、前回の場合と違い、70 と 67 の差は 3 あります。



そこで、私のイメージの中では、上記の様ように、67×1 が 縦横 3本ずつ、計六本 出てきます。
右下の「コマ」の中には点線が入っていて、9コマに分かれているというイメージです。

そして、これを70として 6本分、4900 から取っ払う、という感じです。



最後に 9 を戻して計算終了、ということですが、もちろん式としては

67×67 = 70 × 70 - 70 × 6 + 9
      = 4900 - 420 + 9
      = 4480 + 9
      = 4489
となります。

慣れてくれば、四角をイメージしつつも一発で、

67×67 = 4900 - 420 + 9
      = 4489

と計算できるようになると思います。

なんだ、最初に紹介した4角形の計算方法と大して変わらないじゃないか、と思われるかも知れませんが、
それほど、4角形をイメージするという手法は、基本であり、応用が効くのだと思います。

以上、例を見た数字は、下一桁が9、7、と10に近い数でした。
もちろん、これが逆に0に近ければ、



より大きな数を考えて、トル、というのではなく、
順当に10の位 と 1の位 で分けた4角形を考えて積み上げるということで良いと思います。

 (この場合は、私は 10×3 のイメージでOKなんです 

ただ、ここでもう一つ計算例を出したいと思います。
例えば 36×36 これを (35+1)×(35+1)と考えます。



そこで、35×35 の部分は 速算が効いて 1225 とすぐに判りますから、これを使おうという発想です。

36×36 = 35×35 + 35×2 + 1
      = 1225 + 70 + 1
      = 1295 + 1
      = 1296

これを (30+6)×(30+6)として計算すると、

36×36 = 30×30 + 180×2 + 36
      = 900 + 360 + 36
      = 1260 + 36
      = 1296

となりますね。出来ないこともないですが、前者と比べるとやや忙しいでしょうか。


同様に、34×34なら、35×35を使って、

36×36 = 35×35 - 35×2 + 1
      = 1225 - 70 + 1
      = 1155 + 1
      = 1156

と計算出来ます。これは例としてあげました。



色々な計算方法をあげています。もちろん、どの計算方法が一番良いのか、ということはないと思います。
一つの計算を様々な方法で行うこと自体、面白いな、と感じますし、
新たな見かたをすることによって、違った発見があることがあります。


例えば、今回紹介した計算方法により 27×27 を計算します。

まず 30 という数字を考え、30×30 を踏まえて、

 900 から 30 を 6 回引く これに 9 を足す、だな、という形になります。

すると、900-30×6 つまり 900-180=720、プラス 9 となります。

こういう風に入って行くと、27×27=729 という暗記も何となくスムースに行きませんでしょうか。
何か、100の位の10の位の 72 というのが何か必然的に見えてきました。

そもそも 27 は 9 の倍数なので、27 の 2乗 も 9 の倍数であり、下一桁が 9 なので、
残りの720の部分も 9 の倍数、ということもありましょうが、
何と、900-180 という求め方がある、と考えたら、覚えやすいですよね。

こういう風にああでもない、こうでもないと考えていると、27の2乗は、729 以外にあり得ない
そう思えてきます。

そんなこと言ったら、どんな数だって2乗の数は決まっていて、それ以外にあり得ないのですが、ともかくも、
そういう風に思えてくるということです。

次回にこの計算方法を用いた暗記リストを提示します。
数字の動きを見ることによって、上記の 27 の例の様に、何か引っかかる部分が出てくると思います。
それが以外に暗記の役にたつのでは、と考えます。

 
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2桁の数の2乗 暗記用リスト(2) 10飛びリスト

2012-04-29 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2桁の数の2乗の数の計算を、1の位の数を移動させてその数の2乗を足す 方法によって示したリストです。
1の位の数ごとにまとめていますので、リズム良く計算してみて下さい。

 2桁の数の2乗の計算方法 (移動砲!)

 << 1 の列 >>
 右から左へ 1 移動して 1 の 2乗 を足す。
    ← 1          + 1
  11×11 = 12×10 + 1 =   121
  21×21 = 22×20 + 1 =   441
  31×31 = 32×30 + 1 =   961
  41×41 = 42×40 + 1 =  1681
  51×51 = 52×50 + 1 =  2601
  61×61 = 62×60 + 1 =  3721
  71×71 = 72×70 + 1 =  5041
  81×81 = 82×80 + 1 =  6561
  91×91 = 92×90 + 1 =  8281
 
 << 2 の列 >>
 右から左へ 2 移動して 2 の 2乗 を足す。
    ← 2          + 4
  12×12 = 14×10 + 4 =   144
  22×22 = 24×20 + 4 =   484
  32×32 = 34×30 + 4 =  1024
  42×42 = 44×40 + 4 =  1764
  52×52 = 54×50 + 4 =  2704
  62×62 = 64×60 + 4 =  3844
  72×72 = 74×70 + 4 =  5184
  82×82 = 84×80 + 4 =  6724
  92×92 = 94×90 + 4 =  8464
 
 << 3 の列 >>
 右から左へ 3 移動して 3 の 2乗 を足す。
    ← 3          + 9
  13×13 = 16×10 + 9 =   169
  23×23 = 26×20 + 9 =   529
  33×33 = 36×30 + 9 =  1089
  43×43 = 46×40 + 9 =  1849
  53×53 = 56×50 + 9 =  2809
  63×63 = 66×60 + 9 =  3969
  73×73 = 76×70 + 9 =  5329
  83×83 = 86×80 + 9 =  6889
  93×93 = 96×90 + 9 =  8649
 
 << 4 の列 >>
 右から左へ 4 移動して 4 の 2乗 を足す。
    ← 4          + 16
  14×14 = 18×10 + 16 =   196
  24×24 = 28×20 + 16 =   576
  34×34 = 38×30 + 16 =  1156
  44×44 = 48×40 + 16 =  1936
  54×54 = 58×50 + 16 =  2916
  64×64 = 68×60 + 16 =  4096
  74×74 = 78×70 + 16 =  5476
  84×84 = 88×80 + 16 =  7056
  94×94 = 98×90 + 16 =  8836
 
 << 5 の列 >>
 右から左へ 5 移動して 5 の 2乗 を足す。
    ← 5           + 25
  15×15 =  20×10 + 25 =   225
  25×25 =  30×20 + 25 =   625
  35×35 =  40×30 + 25 =  1225
  45×45 =  50×40 + 25 =  2025
  55×55 =  60×50 + 25 =  3025
  65×65 =  70×60 + 25 =  4225
  75×75 =  80×70 + 25 =  5625
  85×85 =  90×80 + 25 =  7225
  95×95 = 100×90 + 25 =  9025
 
 << 6 の列 >>
 左から右へ 4 移動して 4 の 2乗 を足す。
   4 →            + 16
  16×16 = 12× 20 + 16 =   256
  26×26 = 22× 30 + 16 =   676
  36×36 = 32× 40 + 16 =  1296
  46×46 = 42× 50 + 16 =  2116
  56×56 = 52× 60 + 16 =  3136
  66×66 = 62× 70 + 16 =  4356
  76×76 = 72× 80 + 16 =  5776
  86×86 = 82× 90 + 16 =  7396
  96×96 = 92×100 + 16 =  9216
 
 << 7 の列 >>
 左から右へ 3 移動して 3 の 2乗 を足す。
   3 →            + 9
  17×17 = 14× 20 + 9 =   289
  27×27 = 24× 30 + 9 =   729
  37×37 = 34× 40 + 9 =  1369
  47×47 = 44× 50 + 9 =  2209
  57×57 = 54× 60 + 9 =  3249
  67×67 = 64× 70 + 9 =  4489
  77×77 = 74× 80 + 9 =  5929
  87×87 = 84× 90 + 9 =  7569
  97×97 = 94×100 + 9 =  9409
 
 << 8 の列 >>
 左から右へ 2 移動して 2 の 2乗 を足す。
   2 →            + 4
  18×18 = 16× 20 + 4 =   324
  28×28 = 26× 30 + 4 =   784
  38×38 = 36× 40 + 4 =  1444
  48×48 = 46× 50 + 4 =  2304
  58×58 = 56× 60 + 4 =  3364
  68×68 = 66× 70 + 4 =  4624
  78×78 = 76× 80 + 4 =  6084
  88×88 = 86× 90 + 4 =  7744
  98×98 = 96×100 + 4 =  9604
 
 << 9 の列 >>
 左から右へ 1 移動して 1 の 2乗 を足す。
   1 →            + 1
  19×19 = 18× 20 + 1 =   361
  29×29 = 28× 30 + 1 =   841
  39×39 = 38× 40 + 1 =  1521
  49×49 = 48× 50 + 1 =  2401
  59×59 = 58× 60 + 1 =  3481
  69×69 = 68× 70 + 1 =  4761
  79×79 = 78× 80 + 1 =  6241
  89×89 = 88× 90 + 1 =  7921
  99×99 = 98×100 + 1 =  9801

 << 9 の列 別表 >>
  1つ多い数の2乗 から 1つ多い数の2倍を 引いて 1 を足す。
  
  19×19 =  400 -  40 + 1 =   361
  29×29 =  900 -  60 + 1 =   841
  39×39 = 1600 -  80 + 1 =  1521
  49×49 = 2500 - 100 + 1 =  2401
  59×59 = 3600 - 120 + 1 =  3481
  69×69 = 4900 - 140 + 1 =  4761
  79×79 = 6400 - 160 + 1 =  6241
  89×89 = 8100 - 180 + 1 =  7921
  99×99 =10000 - 200 + 1 =  9801

  (解説別途)

 
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2桁の数の2乗 暗記用リスト(1) 順列リスト

2012-04-26 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2桁の数の2乗の数の計算を25までの2乗の数を使って計算する方法によって順列で並べたリストです。
元の数に対する100の倍数の部分の動き25までの2乗の数の動きを感覚的につかんで下さい。

 2桁の数の2乗の計算方法Ⅰ 

1. 11から25までの2乗:  暗記する

 11×11 =  121   (100+ 20+ 1)
 12×12 =  144   (100+ 40+ 4)
 13×13 =  169   (100+ 60+ 9)  
 14×14 =  196   (100+ 80+16)
 15×15 =  225   (100+100+25)
 16×16 =  256   (100+120+36)
 17×17 =  289   (100+140+49)
 18×18 =  324   (100+160+64)
 19×19 =  361   (100+180+81)
 20×20 =  400   (400+  0+ 0)
 21×21 =  441   (400+ 40+ 1)
 22×22 =  484   (400+ 80+ 4)
 23×23 =  529   (400+120+ 9)
 24×24 =  576   (400+160+16)
 25×25 =  625   (400+200+25)
       (覚えましょう)  暗算用の分解です

2. 26以上の数の2乗: 100の倍数 + 25までの数の2乗 で考える。

A. 26から50まで: 

 (元の数-25)×100 + (50-元の数)の2乗

 25×25 =    0 + 625 =  625  (← 25)
 26×26 =  100 + 576 =  676  (← 24)
 27×27 =  200 + 529 =  729  (← 23)
 28×28 =  300 + 484 =  784  (← 22)
 29×29 =  400 + 441 =  841  (← 21)

 30×30 =  500 + 400 =  900  (← 20)

 31×31 =  600 + 361 =  961  (← 19)
 32×32 =  700 + 324 = 1024  (← 18)
 33×33 =  800 + 289 = 1089  (← 17)
 34×34 =  900 + 256 = 1156  (← 16)
 35×35 = 1000 + 225 = 1225  (← 15)

 36×36 = 1100 + 196 = 1296  (← 14)
 37×37 = 1200 + 169 = 1369  (← 13)
 38×38 = 1300 + 144 = 1444  (← 12)
 39×39 = 1400 + 121 = 1521  (← 11)

 40×40 = 1500 + 100 = 1600  (← 10)

 41×41 = 1600 +  81 = 1681  (←  9)
 42×42 = 1700 +  64 = 1764  (←  8)
 43×43 = 1800 +  49 = 1849  (←  7)
 44×44 = 1900 +  36 = 1936  (←  6)
 45×45 = 2000 +  25 = 2025  (←  5)
 46×46 = 2100 +  16 = 2116  (←  4)
 47×47 = 2200 +   9 = 2209  (←  3)
 48×48 = 2300 +   4 = 2304  (←  2)
 49×49 = 2400 +   1 = 2401  (←  1)

 50×50 = 2500 +   0 = 2500  (←  0)

 ※100の倍数の部分は25×25の 0 から、100ずつ上がって行く。
 ※2乗の部分はだんだん下がって行く。
 ※36×36 を 1100+196 と暗記しておくと良いかも 
 
B. 51から75まで: 

  (元の数-25)×100 + (元の数-50)の2乗

 50×50 =  2500 +   0 = 2500  (←  0)
 51×51 =  2600 +   1 = 2601  (←  1)
 52×52 =  2700 +   4 = 2704  (←  2)
 53×53 =  2800 +   9 = 2809  (←  3)
 54×54 =  2900 +  16 = 2916  (←  4)
 55×55 =  3000 +  25 = 3025  (←  5)
 56×56 =  3100 +  36 = 3136  (←  6)
 57×57 =  3200 +  49 = 3249  (←  7)
 58×58 =  3300 +  64 = 3364  (←  8)
 59×59 =  3400 +  81 = 3481  (←  9)

 60×60 =  3500 + 100 = 3600  (← 10)

 61×61 =  3600 + 121 = 3721  (← 11)
 62×62 =  3700 + 144 = 3844  (← 12)
 63×63 =  3800 + 169 = 3969  (← 13)
 64×64 =  3900 + 196 = 4096  (← 14)
 65×65 =  4000 + 225 = 4225  (← 15)
 66×66 =  4100 + 256 = 4356  (← 16)
 67×67 =  4200 + 289 = 4489  (← 17)
 68×68 =  4300 + 324 = 4624  (← 18)
 69×69 =  4400 + 361 = 4761  (← 19)

 70×70 =  4500 + 400 = 4900  (← 20)

 71×71 =  4600 + 441 = 5041  (← 21)
 72×72 =  4700 + 484 = 5184  (← 22)
 73×73 =  4800 + 529 = 5329  (← 23)
 74×74 =  4900 + 576 = 5476  (← 24)
 75×75 =  5000 + 625 = 5625  (← 25)


 ※100の倍数の部分は50×50の 2500 から、100ずつ上がって行く。
 ※2乗の部分はだんだん上がって行く。
 ※先に 50との差 を出し、その数を25の上に乗っけても良い。 

C. 76から99まで: 

 (元の数×2-100)×100 + (100-元の数)の2乗

 75×75 =  5000 + 625 = 5625  (← 25)
 76×76 =  5200 + 576 = 5776  (← 24)
 77×77 =  5400 + 529 = 5929  (← 23)
 78×78 =  5600 + 484 = 6084  (← 22)
 79×79 =  5800 + 441 = 6241  (← 21)

 80×80 =  6000 + 400 = 6400  (← 20)

 81×81 =  6200 + 361 = 6561  (← 19)
 82×82 =  6400 + 324 = 6724  (← 18)
 83×83 =  6600 + 289 = 6889  (← 17)
 84×84 =  6800 + 256 = 7056  (← 16)
 85×85 =  7000 + 225 = 7225  (← 15)
 86×86 =  7200 + 196 = 7396  (← 14)
 87×87 =  7400 + 169 = 7569  (← 13)
 88×88 =  7600 + 144 = 7744  (← 12)
 89×89 =  7800 + 121 = 7921  (← 11)

 90×90 =  8000 + 100 = 8100  (← 10)

 91×91 =  8200 +  81 = 8281  (←  9)
 92×92 =  8400 +  64 = 8464  (←  8)
 93×93 =  8600 +  49 = 8649  (←  7)
 94×94 =  8800 +  36 = 8836  (←  6)
 95×95 =  9000 +  25 = 9025  (←  5)
 96×96 =  9200 +  16 = 9216  (←  4)
 97×97 =  9400 +   9 = 9409  (←  3)
 98×98 =  9600 +   4 = 9604  (←  2)
 99×99 =  9800 +   1 = 9801  (←  1)

100×100 = 10000 +  0 = 10000 (←  0)

 ※100の倍数の部分は75×75の 5000 から、200ずつ上がって行く。
 ※2乗の部分はだんだん下がっていく。

 
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2桁の数の2乗 暗記法 その5 第2の計算法

2012-04-25 00:00:00 | 平方数 2乗の数
さて、この暗記法のその2において、2乗の掛け算の速算法をご紹介しました。

それは、25までの数の2乗 を使って下記の様に考えるものでした。

A. 26から50まで: 
 (元の数-25)×100 + (50-元の数)の2乗

  例: 37×37 = 1200 + 169 = 1369

B. 51から75まで: 
  (元の数-25)×100 + (元の数-50)の2乗

 例: 74×74 =  4900 + 576 = 5476

C. 76から99まで: 
 (元の数×2-100)×100 + (100-元の数)の2乗

 例: 77×77 =  5400 + 529 = 5929

これは、2乗の数では同じ下二桁の数が繰り返し出てくることを使ったものでしたが、
はたと気がつきました。

 下一桁だけで同じようなことが出来ないだろか?

例によって、数式を並べて考えてみました。そして、気がつきました。
まだ、計算方法があった。。。

 

今回は結論だけ申し上げます。詳しくは知りませんが、計算方法自体は
インド式として紹介されている中などにもあるものだと思います。
 
例えば、34×34 という計算があったとします。

 これを4つの4角形で考えます。



 そうすると、
 
 30×30 + 4×30 + 30×4 + 4×4
 
 と表現出来ます。
 この3つの項のうち、最初の3つを 30でくくってしまいます

  (30+4+4)×30 + 4×4
 = 38 × 30 + 4 × 4
 = 1146 + 16 
 = 1156  計算出来ました。

この 34×34 を 38×30+4×4 に書き換えた部分だけを見ると、

一方の 34 から 他方の34 へ 4 移動し、移動した分の2乗 を加えた
とも見えます。実際、その考え方で計算してOKです。

   34 × 34  ⇒  38 × 30 + 4×4
                 ←4←
                 移動!   移動した分の2乗!
 
だから、例えば 62×62 だったら、片方から片方へ 2 移動 して 64×60、
これに その 2乗 を加える

 つまり 62 × 62 = 64 × 60 + 2 × 2
             = 3840 + 4
             = 3844
となります。


 (これ、速い!)


ここで一点確認します。この数字が移動出来るという方法、
基本はあくまでも10の位の数が同じという前提なんですね。
10の位が同じだから、4つの四角形で考えた時に、
最初の三つの項をまとめることが出来る
のです。

    62 × 62 = 60 × 60 + 2 × 60 + 60 × 2 + 2×2
            = (60+2+2)×60 + 2 × 2
            = 64 × 60 + 2 × 2
            = 3840 + 4
            = 3844

では次に、68×68 で考えて見ましょう

右から左へ 8 移動しすると。。。

    68 × 68 = 76 × 60 + 8 × 8
            = 4520 + 64
            = 4624

  これも、結構速く計算できますね。

しかしここで、68 は (70から2 少ない数) と考えると。。。

   68 × 68 = (70-2) × (70-2)
           = 70×70 - 2×70 - 2 ×70 + (-2)×(-2)
           = (70-2-2)× 70 + 2 × 2
           = 66 × 70 + 4
           = 4620 + 4
           = 4624

  こういう風にも計算出来ます。

つまり、左から右へ 2 移動しました。
移動した数が小さい分、2乗の計算の部分も小さくなり、繰り上がりもないので楽ですね。
やや、こちらの方が 8 移動させる場合より速いでしょう

 ※本来は移動の量を -2 として表現すべきかもしれませんが、
  2乗されて結局同じにことなるのでここでは深く立ち入りません。
  但し、この計算方法を一般化する際には、考え方として正負を意識する必要があります。


例を続けます。

   79×79 = 80×78 + 1×1 
         =  6240 +  1 
         =  6241

これも速く計算出来ます。後から足す2乗の部分が1となり、
繰り上がりがないのが確実なので、安心して 80×78 の計算が出来ますよね。

お気づきの通り、79×79 を見た時に、

  9 移動させて 88×70+9×9 とするか、
  1 移動させて 80×78+1×1 とするか、という判断ですが、

もちろん、移動させる数の小さい方を選んで計算したほうが良いと考えます。
すなわち、70に合わせるか、80に合わせるか、については、どちらか近い方に合わせれば良いわけです。


 

まとめます。37 の 2乗 を例にとります。

  37×37 = 34×40 + 3×3 (左から右へ3移動)
        = 1360 + 9
        = 1369

  37×37 = 44×30 + 7×7 (右から左へ7移動)
        = 1320 + 49
        = 1369

  37×37 = (37-25)×100 + (50-37)^2
        = 1200 + 169 (37から25引き、13の2乗)
        = 1369

どれをとっても計算できますね。計算する数の範囲にによって、もっとも簡単な計算方法があるかと思いますで、
一度確認してみると良いと思います。
いずれにせよ、暗記してしまうまでの過程ですので色々やり方があって良いと考えます。

最終的には 

 37×37 = 1369 

と暗記してしまう、これは一番速いわけです。

 


ここで、一つ注意すべき点があります。今ご紹介申し上げた、
一方から一方へ数字を移動させて移動した数の2乗を足す方法ですが、
取りあえず、この2乗計算の場合のみに適用すると考えておいて下さい。

2乗でなくとも、10の位が同じ数同士の掛け算なら、考え方としては応用が効くのですが、
そのままやってしまうと変な計算になります。

例えば 78×75 という計算があったときに、

 右から左へ 2 移動で 78×75 = 80×73 + 2×2 
                   = 5840 + 2×2
                   = 5844 ???

正しくは 5850 となります。方法論に若干の調整が必要です。

この、10の倍数でくくる計算方法の一般展開については、別途ご案内したいと思います。

 

さて、次回に「暗算用リスト」というものをご案内いたします。

2乗の数の計算のリストで、順列のリスト、10飛びのリスト 2種類のものです。
それぞれ、計算法を変えて 2乗の数を 計算しています。

順列のリストは、25までの2乗の数を使う計算法、
10飛びのリストは 今回の第二の計算法(移動法?)をつかっています。

2種類のリストに対し、それぞれ異なる計算法でアプローチすることにより、
記憶もより進むのではないかと考えます。


 


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2桁の数の2乗 暗記法 その4 10飛びリスト のとらえ方

2012-04-24 00:00:00 | 平方数 2乗の数
さて、前回までは2乗の数の計算式が連番に並んでいる場合を見てきました。

 

今回は、「暗記法 その1」 でふれた 「10飛びリスト」に関してです。

下1桁の数字ごとにまとめ、数が10飛びになっているリストを観察してみます。
すると、また違った発見があります。

これを仮に <<列>> という言葉つかってグループ分けしてみましょう。
尚、ここでは便宜的に1桁×1桁の計算も含めます。

また、下記のリストでは左右にならんだ数同士、2乗の数の下二桁の数は同じになっています。
今までの記事を読まれた方なら、何故そうなっているのか、お分かりになるかと考えます。

<<1 の列>>

    1× 1=    1   51×51= 26
   11×11=  11   61×61= 371 
   21×21=  41   71×71= 501 
   31×31=  91   81×81= 651 
   41×41= 161   91×91= 821 

  ※ 1の位の数は1
  ※ 10の位の数は、0,2,4,6,8 という順(全て偶数)
  ※ 100の位以降の数、左側は元の数の10の位の数の2乗、右側はそれにプラス1


<<2 の列>>

    2× 2=    4   52×52= 274 
   12×12=  14   62×62= 384 
   22×22=  44   72×72= 51
   32×32= 104   82×82= 67
   42×42= 174   92×92= 844 

  ※ 1の位の数は4
  ※ 10の位の数は、0,4,8,2,6 という順(全て偶数)


<<3 の列>>

    3× 3=    9   53×53= 28
   13×13=  19   63×63= 39
   23×23=  59   73×73= 53
   33×33= 109   83×83= 68
   43×43= 189   93×93= 86

  ※ 1の位の数は9
  ※ 10の位の数は、0,6,2,8,4 という順(全て偶数)

  →0(ゼロ)を除くと<<2の列>>と逆!?


<<4 の列>>

    4× 4=   6   54×54= 29
   14×14=  16   64×64= 40
   24×24=  56   74×74= 54
   34×34= 116   84×84= 70
   44×44= 196   94×94= 88

  ※ 1の位の数は9
  ※ 10の位の数は、1,9,7,5,3 という順
    (全て奇数で、9のあと、2ずつ下がって行く)

<<5 の列>>

    5× 5=   25   55×55= 3025
   15×15=  225   65×65= 4225
   25×25=  625   75×75= 5625
   35×35= 1225   85×85= 7225
   45×45= 2025   95×95= 9025

  ※ 下2桁の数は全て25
  ※ 100の位以降の数は、元の数の10の位の数とその数に1を足した数の積
    例: 65→ 6×7=42: 4225


<<6 の列>>

    6× 6=   6   56×56= 31
   16×16=  26   66×66= 43
   26×26=  66   76×76= 57
   36×36= 126   86×86= 73
   46×46= 216   96×96= 92

  ※ 1の位の数は3
  ※ 10の位の数は、3,5,7,9,1 という順
    (全て奇数で、3のあと、2ずつ上がって行く)

<<7 の列>>

    7× 7=   9   57×57= 32
   17×17=  29   67×67= 44
   27×27=  79   77×77= 59
   37×37= 139   87×87= 75
   47×47= 229   97×97= 94

  ※ 1の位の数は9
  ※ 10の位の数は、4,8,2,6,0 という順(全て偶数)

  → 2の列で出た、4、8、2、6が出てきました。
    ただし、0がここでは後回しですね。


<<8 の列>>

    8× 8=   4   58×58= 33
   18×18=  34   68×68= 46
   28×28=  74   78×78= 60
   38×38= 144   88×88= 77
   48×48= 234   98×98= 96

  ※ 1の位の数は4
  ※ 10の位の数は、6,2,8,4,0 という順(全て偶数)

  → 3の列で出た、6、2、8、4が出てきました。
    同じく、0がここでも後回しですね。


<<9 の列>>

    9× 9=   1   59×59= 34
   19×19=  31   69×69= 47
   29×29=  81   79×79= 62
   39×39= 151   89×89= 79
   49×49= 241   99×99= 98

  ※ 1の位の数は1
  ※ 10の位の数は、8,6,4,2,0 という順
    (全て偶数で、8のあと、2ずつ下がって行く)

  

連番で並べた場合ほどの綺麗な規則ではないですが、それでも、クセ、というか傾向がでていますよね。

これはもともと法則のあった連番リストを、規則的に並べ変えたリストとも言えるので、
何らかの法則があったとしても、当然と言えば当然です。

その法則を意識しながら、この「10飛びリスト」による暗記を進める、
これが「連番リスト」による暗記との相乗効果で記憶もより定着する、というのが狙いでした。

2乗したら下一桁の数は幾つか、10の位の数に関しは、少なくとも偶数であるのか、奇数であるのか、
ということを意識しただけでも違うと思います。

※ 2乗した数の10の位が奇数になるのは、元々の数の下一桁が 4 と 6 の場合です。
 というのも 4 と 6 自体を2乗した場合、それぞれ 16、36 と 10の位が奇数になるわけです。

 (10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2 ということを考えると、
 2乗の10の位を奇数にする要素は b^2 の部分からの繰り上がりしかなく、
 そうなると 4 か 6 の場合しかないということになります。

 




 
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2桁の数の2乗 暗記法 その3 計算法(1) その2

2012-04-23 00:00:00 | 平方数 2乗の数
 <<2乗の数即算法>> 続きです。 

 

次に、2乗の数の即算法を具体的に考えます。まずは、観察から入ります。

これまでに、2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数の求め方を考えました。
そこで、その25以下の数の2乗を、実際に対応する数の2乗から引いて見ましょう。

先ずは、各数の2乗の数から「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数の2乗」を引いてみます。

少なくとも、下二桁は同じですから、引き算すれば下二桁は00、すなわち100の倍数にはなるはずです。

最初に、26を考えます
               
 26×26 :   676 - 576 =  100
     
  ここで、676 はもちろん 26の2乗、
  576 は 24 の2乗 です。
  その差を取ると 100 でした。

さらに26から幾つか、順に見て行きます。

 26×26 :   676 - 576 =  100
 27×27 :   729 - 529 =  200
 28×28 :   784 - 484 =  300
 29×29 :   841 - 441 =  400
 30×30 :   900 - 400 =  500
 31×31 :   961 - 361 =  600
 32×32 :  1024 - 324 =  700
 33×33 :  1089 - 289 =  800
 34×34 :  1156 - 256 =  900
 35×35 :  1225 - 225 = 1000
 36×36 :  1296 - 196 = 1100
 。。。

こうしてみると、単に100の倍数というだけでなく、きちんと規則的に並んでいます。

どうやら 26 以降の2乗の数というのは、以下の形で書き表すことが出来そうです。

 (2乗の数)= (何か規則性のある100の倍数)
       + 「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数」の2乗

そこで、実際にこの形に並べ直して見ましょう。

 26×26 =  100 + 576 =  676
 27×27 =  200 + 529 =  729
 28×28 =  300 + 484 =  784
 29×29 =  400 + 441 =  841
 30×30 =  500 + 400 =  900
 31×31 =  600 + 361 =  961
 32×32 =  700 + 324 = 1024
 33×33 =  800 + 289 = 1089
 34×34 =  900 + 256 = 1156
 35×35 = 1000 + 225 = 1225
 36×36 = 1100 + 196 = 1296
 37×37 = 1200 + 169 = 1369
 。。。
 
これを見る限り、(なにか規則性のある100の倍数)とは、

元の数から25を引いた数の100倍ではないか、と判ります。



確かめてみましょう; 元の数を a、b を整数とします。

ここで、「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数」の求め方が、
元の数の範囲によって異なっていたことに注意して場合分けします。

先ず、a が 25以上50以下のとき、これを見ます。

この時、「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数」は 50-a で表わせました。
よって、上記の式にあてはめます。

元の数aの2乗= 100のb倍の数 + (50-元の数a)の2乗

 a^2= b×100 + (50-a)^2

 a^2 = 100b + 2500 -100a + a^2
 100b = 100(a-25)

すなわち b = a-25

となります。確かに25を引いた数になりました。

つまり、こういうことです。

2乗の数: (元の数-25)×100 + (50-元の数)の2乗

となります。まずは、これを覚えて下さい。

 (やっと出ました、計算法)

部分的ですが、計算式を記述します。

 32×32 = (32-25)×100 + (50-32)^2 
       =    7   ×100 +  18 × 18 
       =       700   +    324
       = 1024

 33×33 = (33-25)×100 + (50-33)^2
       =    8   ×100 +  17 × 17 
       =       800   +    289
       = 1089

 34×34 = (34-25)×100 + (50-34)^2 = 1156
 35×35 = (35-25)×100 + (50-35)^2 = 1225
 36×36 = (36-25)×100 + (50-36)^2 = 1296
 37×37 = (37-25)×100 + (50-37)^2 = 1369
 38×38 = (38-25)×100 + (50-38)^2 = 1444

この様に2乗の数は、「25を引いて百倍」 と 「50から引いて2乗」 の合計、
 という形であらわすことが出来ます。



次に、同様に、元の数が50から75の場合を見てみましょう。

この場合、「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数」は 元の数-50 となります。

よって、関係式は

元の数aの2乗= 100のb倍の数 + (元の数a-50)の2乗

と表わせます。

 a^2= b×100 + (a-50)^2

 a^2 = 100b + 2500 -100a + a^2
 100b = 100(a-25)

すなわちb = a-25

となります。50以下の数の場合と同様、元の数から25を引いた数になりました。

つまり、こういうことです。

2乗の数: (元の数-25)×100 + (元の数-50)の2乗

計算例を見てみます。

 51×51 = (51-25)×100 + (51-50)^2
       =  26 × 100   +  1 × 1
       =  2600       +    1 
       =  2601

 52×52 = (52-25)×100 + (52-50)^2
       =  27 × 100   +  2 × 2
       =  2700       +    4 
       =  2704
 
 63×63 = (63-25)×100 + (63-50)^2
       =  38 × 100   + 13 × 13
       =  3800       +   169 
       =  3969

正しく計算されていると思います。


 
では最後に、元の数が75を超える場合を見ます。

この場合、「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数」は 100-元の数 でした。

よって、関係式は

(元の数a)の2乗= 100のb倍の数 + (100-元の数a)の2乗

となります。これを展開すると。。

 a^2= b×100 + (100-a)^2
 a^2= 100b + 10000-200a+a^2
 100b = 100(2a-100)
 b = 2a-100

と、ここで、100の倍数部分の計算方法が変わってきました。
2a-100 ですから 2倍して100を引く、ということになります。

よって、76以上の数の場合は

2乗の数:  (元の数×2-100)×100 +(100-元の数)の2乗 となります。

 76×76 = (76×2-100)×100 + (100-76)^2
         ( 152-100)×100 +  24 × 24
       =        52 ×100 +  576
       =  5200 + 576        
       =  5776

 77×77 = (77×2-100)×100 + (100-77)^2
         ( 154-100)×100 +  23 × 23
       =        54 ×100 +  529
       =  5400 + 576        
       =  5929
 。。。

まとめると、「2倍して最初の1を取って百倍」 と 「100から引いて2乗」 の合計
ですね。

  

  
以上が2乗の数の計算法 その1 となります。(その2があります)

ここまでの内容に対し、以下、2、3の補足をしたいと思います。

1: 1の位の数が 5 の数の2乗 は 別途即算法の対象となる

       (10の位の数)×(10の位の数+1)×100 + 25

   例:  65×65 =  6×7×100 + 25 = 4225
 
2: 40台の数の2乗、50台の数の2乗、90台の数の2乗については
     「2桁の数の2乗 暗記法 その1」 を参照。
   上記2に示された計算法とどちらが速いか、しっくり来る方を押さえれば良いと考えます。

3: 計算式の適用についての補足

26から50までの数を対象とした2乗の数の計算式、

  (元の数-25)×100 + (50-元の数)の2乗

この計算式自体は、50を超える数、75を超える数でも 実は 正しい答えを導けます。
   
 例1: 51以上75までの数
       68×68 = (68-25)×100 + (50-68)^2
             =  43 × 100 + (-18) × (-18)
             =  4300 + 324
             =  4624
 
 この場合、「50-元の数」の部分でマイナスの数になってしまいますが、
 2乗するので結局同じことになるのです。

 ただし、考え方としては、「元の数-50」から入るのが正しいと思います。 

 例2: 75を超える数
       83×83 = (83-25)×100 + (50-83)^2
             =  58 × 100 + (-33) × (-33)
             =  5800 + 1089
             =  6889

 (50-元の数)の2乗の部分が、2乗すると下二桁が同じになる数のうち、25以下ではない、
 2番目に大きい数の2乗と等しくなっています。
 
 これも、一旦マイナスの数として計算されるものの、2乗するためにプラスになり、その様になります。

 よって、この2乗の部分が 33×33=1089、いう形で、
 本来適用すべき計算式である 17×17=289 よりも 800 大きくなっています。

 しかし、逆に100の倍数部分は 5800 と計算され、(83×2-100)×100 と計算する 
 6600 よりも 800 少なくなっています。

 だから、結局同じ結果になっているのです。
 
 一見、不思議かも知れませんが、これは逆に導けない方がおかしいわけです。

 
 以上を踏まえると、場合分けに関しても簡素化することも出来ます。

 つまり、50から75までの数の計算においては、50以下の計算方法を用いても、
 発生するマイナスの数は2乗されプラスに戻って結局同じ、という風に考えれば、
 
 この計算法も単純に75以下とそれ以上に分けて、

   75以下の場合、25を引いて100倍、それに 50から引いた数の2乗を足す  、
   75以下の場合、2倍して左の1を取って100倍、それに100との差の2乗を足す、

この様にしても良いかも知れません。


  
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2桁の数の2乗 暗記法 その2 計算法(1) その1 

2012-04-22 00:00:00 | 平方数 2乗の数
本稿は、2桁の数の2乗の数を順列に並た際に現れる法則性を見つけようという試みです。
その法則性を用いて、何らかの形で2乗の数の計算法、即算法を考えたいと思います。

そのためには、先ずは実際に並べて観察することが第一歩と思われますので、下記に並べます。
ここでは、0から50までの2乗 と 51以降のもの を横並びにしてあります。

ここで具体的に注目いただきたいのが2乗の数の「下二桁の数」です。

    0× 0=   0     50×50=2500
    1× 1=   1     51×51=2601
    2× 2=   4     52×52=2704
    3× 3=   9     53×53=2809
    4× 4=  16     54×54=2916
    5× 5=  25     55×55=3025
    6× 6=  36     56×56=3136
    7× 7=  49     57×57=3249
    8× 8=  64     58×58=3364
    9× 9=  81     59×59=3481

   10×10= 100     60×60=3600
   11×11= 121     61×61=3721
   12×12= 144     62×62=3844
   13×13= 169     63×63=3969
   14×14= 196     64×64=4096
   15×15= 225     65×65=4225
   16×16= 256     66×66=4356
   17×17= 289     67×67=4489
   18×18= 324     68×68=4624
   19×19= 361     69×69=4761

   20×20= 400     70×70=4900
   21×21= 441     71×71=5041
   22×22= 484     72×72=5184
   23×23= 529     73×73=5329
   24×24= 576     74×74=5476
   25×25= 625     75×75=5625
   26×26= 676     76×76=5776
   27×27= 729     77×77=5929
   28×28= 784     78×78=6084
   29×29= 841     79×79=6241
   30×30= 900     80×80=6400

   31×31= 961     81×81=6561
   32×32=1024     82×82=6724
   33×33=1089     83×83=6889
   34×34=1156     84×84=7056
   35×35=1225     85×85=7225
   36×36=1296     86×86=7396
   37×37=1369     87×87=7569
   38×38=1444     88×88=7744
   39×39=1521     89×89=7921
   40×40=1600     90×90=8100

   41×41=1681     91×91=8281
   42×42=1764     92×92=8464
   43×43=1849     93×93=8649
   44×44=1936     94×94=8836
   45×45=2025     95×95=9025
   46×46=2116     96×96=9216
   47×47=2209     97×97=9409
   48×48=2304     98×98=9604
   49×49=2401     99×99=9801
   50×50=2500    100×100=10000

お気づきの通り、この左右2列に並んだ2乗の数、下二桁の数が同じです。
横に並んだ同士、数は50異なるわけですが、

 50異なる2つの数の2乗の下二桁は同じ

となるのです。

となると、少なくとも50までの数の2乗を覚えてしまえば、
51から99までの2乗は、半分は覚えた同じ、と言えます。(ちょっと苦しいですが)

  つまり 例えば、31×31=961 と覚えたなら、
  31 に 50 を足した 81×81 は 少なくとも 「XX61 と判ります。

  80×80 は 6400 だから 6461 か、6561 あたりだ、と推測。

  80×81 は 6480 だから、6461 はなく、6561、という感じです。

  

この気付きだけでも暗記のためには価値がありますが、話はこれだけでは終わりません。

さらに、25×25=625 を中心として 上下に一つずつ移動しながら、二つの数の2乗の数の下二桁を比較してみて下さい。
これも同じ数になっています。

つまり、0から24までの2乗の数の下二桁の数に現れた数は、25を境として
    26から50までの2乗の数の下二桁に逆順に現れる
、ということなんです。

    まるで、25の地点で鏡に写したかのごとくです。


これは、前回20台の数の2乗のグループの中での特徴として指摘しましたが、実はその外側にも広がっている話だったのです。

視覚的に確認しやすいように、25から後半を逆順に並べてみます。

               ↓
    0 × 0 =      50 × 50 = 2500
    1 × 1 =      49 × 49 = 2401
    2 × 2 =      48 × 48 = 2304
    3 × 3 =      47 × 47 = 2209
    4 × 4 =  16   46 × 46 = 2116
    5 × 5 =  25   45 × 45 = 2025
    6 × 6 =  36   44 × 44 = 1936
    7 × 7 =  49   43 × 43 = 1849
    8 × 8 =  64   42 × 42 = 1764
    9 × 9 =  81   41 × 41 = 1681
  10 × 10 = 100   40 × 40 = 1600
  11 × 11 = 121   39 × 39 = 1521
  12 × 12 = 144   38 × 38 = 1444
  13 × 13 = 169   37 × 37 = 1369
  14 × 14 = 196   36 × 36 = 1296
  15 × 15 = 225   35 × 35 = 1225
  16 × 16 = 256   34 × 34 = 1156
  17 × 17 = 289   33 × 33 = 1089
  18 × 18 = 324   32 × 32 = 1024
  19 × 19 = 361   31 × 31 =  961
  20 × 20 = 400   30 × 30 =  900
  21 × 21 = 441   29 × 29 =  841
  22 × 22 = 484   28 × 28 =  784
  23 × 23 = 529   27 × 27 =  729
  24 × 24 = 576   26 × 26 =  676
  25 × 25 = 625     同じ数が逆順で並ぶ↑

以上の様に、確かに25で反転し、順番が逆になり同じ数が並んでいます。

  

ではこの数字の並びの2つの特徴に関し、何故そのようなことが言えるのか、数式で一般化してみましょう。


まず一つ目、「50の差がある2つの2桁の整数の2乗は、下二桁が同じ」ということですが、
以下の通り考えます。

2つの数の、小さい方を a 、大きい方を a+50 とします。(aは49以下の自然数)

この二つの数の2乗の数の大きい方から小さい方を引きます。

  (a+50)×(a+50)-a×a
 =(a^2+100a+2500)-a^2)
 =100a+2500
 =100(a+25)  となります。

つまり、100の倍数となりました。

2数の一方からもう一方を引き算したら百の倍数、すなわち下二桁が00になるということは、
元々の数の2つの数の下2桁は等しかった
、ということになります。



次に、「25で反転し同じ下2桁の数が逆順で現れる」というのはどうでしょうか。
(ここでは、0から50までの数に限定して考えます)

これは言い換えると、「25から等距離にある2つの整数の2乗の数は、下二桁が同じ」
となります。

そこで、この25を挟んだ数の、小さい方を 25-a 、大きい方を 25+a とします。
(aは24以下の自然数)

先程と同様、この二つの数の2乗の数の大きい方から小さい方を引き算します。

  (25+a)×(25+a)-(25-a)×(25-a)
 =(625+50a+a^2)-(625-50a+a^2)
 =100a

となり、これも100の倍数です。

つまり、この場合も、もともとの2つの数の下二桁の数は等しいということになります。

。。。意外な事実でしたね。



以上、2つの法則を再確認します。

 
 「25から等距離にある2つの整数の2乗の数は、下二桁が同じ」
 「50の差がある2つの2桁の整数の2乗の数は、下二桁が同じ」

この二つの法則を統合いたしますと、

 0から25までの2乗の数の下二桁に現れた数は、25から50までに逆順に現れ、
 さらに、50から75までに再度同じ順番で現れ、再び75から100まで逆順に現れる


と言えます。

つまり、2乗の数の下二桁の数のパターンは、0から25 までに全て現れてしまうのです。
26以降、違う数は出てきません。

ここで暗記の話に戻りますが、先ほど2乗の数は50まで覚えれば、51から99までは
半分覚えたも同じ、という言い方をしました。

ところが、26から50までの2乗の下二桁も、0から25まで場合の繰り返しだとしたならば、
暗記する2乗の数はさらに半分で済むわけです。

ただし、逆順に現れる数字の対応関係のつかみ方に慣れる必要もありますし、百の位、千の位は依然不明です。

そこで、もう一歩踏み込んで、何か上手な形で1から25までの2乗の数を使って、
それ以降(26以降)の2乗の数を導き出す方法
がないものか、考えてみましょう。


  


ここで、論を進める前に、「2乗の数の下二桁が同じとなる数のグループ」について考察を深めておきます。
これもまた、具体的に数字を並べてみましょう。

整数を2乗した場合の下二桁の数 と 対応する0から100までの数

2乗の下二桁  対応する100までの数(その2乗)
00:  (  0) 50(2500)         100(10000)
01:  (  1) 49(2401) 51(2601) 99(9801)
04:  (  4) 48(2304) 52(2704) 98(9604)
09:  (  9) 47(2209) 53(2809) 97(9409)
16:  ( 16) 46(2116) 54(2916) 96(9216)
25:  ( 25) 45(2025) 55(3025) 95(9025)
36:  ( 36) 44(1936) 56(3136) 94(8836)
49:  ( 49) 43(1849) 57(3249) 93(8649)
64:  ( 64) 42(1764) 58(3364) 92(8464)
81:  ( 81) 41(1681) 59(3481) 91(8281)
00: 10(100) 40(1600) 60(3600) 90(8100)
21: 11(121) 39(1521) 61(3721) 89(7921)
44: 12(144) 38(1444) 62(3844) 88(7744)
69: 13(169) 37(1369) 63(3969) 87(7569)
96: 14(196) 36(1296) 64(4096) 86(7396)
25: 15(225) 35(1225) 65(4225) 85(7225)
56: 16(256) 34(1156) 66(4356) 84(7056)
89: 17(289) 33(1089) 67(4489) 83(6889)
24: 18(324) 32(1024) 68(4624) 82(6724)
61: 19(361) 31( 961) 69(4761) 81(6561)
00: 20(400) 30( 900) 70(4900) 80(6400)
41: 21(441) 29( 841) 71(5041) 79(6241)
84: 22(484) 28( 784) 72(5184) 78(6084)
29: 23(529) 27( 729) 73(5329) 77(5929)
76: 24(576) 26( 676) 74(5476) 76(5776)
25: 25(625)          75(5625)
    (列1)    (列2)    (列3)    (列4)
<<観察>>
  (列1の数)+(列2の数)= 50 
  (列1の数)+ 50 = (列3の数)  (列2の数)+ 50 = (列4の数)
  (列1の数)+(列4の数)= 100
 (ちょっと上記の関係を確認してから次に進んで下さい。)

  
  

上記に観察できます通り、2乗すると下二桁の数が同じとなる数のグループは基本的には4つの数で構成されます。
これは、0から25までの2乗の下二桁に現れた数が、以後3回、逆順、正順、逆順と現れる、
すなわちトータル4回現れますので、その様になります。

ただし、00と25については、該当する数字の数だけを言えば4つ以上になります。
これは5の倍数と10の倍数の特性によるものですが、上記の表では便宜的に分けて表示しています。

2乗計算の即算法では、この4つの数のうち、最もも小さい数、すなわち「0から25までの数」の2乗 
を使いたかったわけです。

上記の表で見るならば、ある数字を考えた時に、その数が属しているグループの中で一番左側の数が判ればよい。
これを先ずは想起したい。


その計算法を考えます。




そこでまず、2乗をすると下二桁が同じ数になる2つの数、これにはどういう性質があったか。
ここから入ります。(2つ挙げましたね)

順序は前後しますが、先ず「25から等距離にある」ということが一つありました。

「25から等距離。。」といっても判りにくいですので、言い換えを一回しておきます。

2乗をすると下二桁が同じ数になる2数があり、それぞれ a,b(a>b)とします。
また、bは25以下であり、数aが与えられた場合、求めたい数とします。

その2数の25からの距離が等しかった場合、 25-a=b-25
よって a+b=50

つまり、2数の合計が50になる時、それぞれの2乗の数の下二桁は等しくなります。

よって、元の数をaに対し、2乗すると下二桁が同じとなる数 b は b=50-a の関係が成り立ちます。

また、bは25以下ですので、b=<25 より、
  50-a =< 25
  25 =< a

すなわち a は25以上、

また、bは0以上であるため、0=<b
これより 0 =< 50-a
     a =< 50

すなわち a は 50 以下

よって、元の数が25以上50以下の時、
2乗すると下二桁が同じとなる数は (50-元の数)
 で求められます。

  
では次に、「50の差がある数」という性質から考えを展開します。

同じく、2乗をすると下二桁が同じ数になる2数があり、それぞれ a,b(a>b)とします。
この2数の場合は、「50の差」があることとします。

よって b=a-50

bは25以下より、b=<25、
よって a-50 =< 25
    a =< 75

すなわち a は75以下

また、bは0以上であるため、0=<b
これより 0 =< a-50
    50 =< a

すなわち a は 50 以上

よって、元の数が50以上75以上の時、
2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数は (元の数-50)
 となります。


ここで、2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数の導き方が2通り出てきました。
 
 元の数a が 25以上50以下だったら 50-a
 元の数a が 50以上75以下だったら a-50

何やら50より小さければ50から引き50より大きければ50を引く、というこ

とですね。

ここで一旦、例を出して確認し、それから次に行きましょう

 27の場合  50-27 = 23
 68の場合  68-50 = 18

確かめます 27×27= 729、 23×23= 529、 下二桁は29で同じ
      68×68=4624、 18×18= 324、 下二桁は24で同じ



では次に、上記の場合から外れた範囲、元の数が 75以上(100以下)となった場合、どのように計算するのでしょうか。

元の数aが75以上の場合、a-50 は aと2乗した場合下二桁同じになりますが、25 以下にはなりません。
ただし、さらに計算して、50から(a-50)を引いた数b これは25以下になると同時に、もとの数aとも2乗した場合に下二桁が同じ数になります。

すなわち  b=50-(a-50)
       =100-a
    
よって、元の数が75以上100以下の時、
2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数は (100-元の数)
 です。


100から引く、ですね。。。
 
例をあげると、88の場合、100-88 で 12 となります。
これも確かめます: 88×88= 7744、 12×12= 144、 下二桁は44で同じ!

正しいですね。


これで「2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数の求め方」が全て揃いました。

 元の数a が 

   25以上 50以下だったら 50-a
   50以上 75以下だったら a-50
   75以上100以下だったら 100-a



そこで次回は いよいよこの求め方を用いた2乗の数の計算方法に入ります。


  


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2桁の数の2乗 暗記法 その1 導入

2012-04-21 00:00:00 | 平方数 2乗の数
これから、「2桁の数の2乗」を暗記するコツについて述べます。

2桁の九九全部を覚えよう、というわけではありません。それは膨大な数となります。


やろうとしているのは2乗だけです。その数 81通り です。


これは、大体、九九の数と同じですので、そう思えば、暗記も可能、ですね。

2桁の掛け算全体の中では少ないとも言える81通りの計算ですが、暗記にメリットはあります。
もちろん暗記の過程で頭の体操になるということもありますが、
2乗の数の差 を利用した 即算法(かかし掛け算) が出来るようになるのです。

繰り返しにはなりますが、例えば

   76 × 72 などは  74×74 引く 2×2 で 5472 
  
と即算できるようになります。

個人差はあるかと思いますが、相当なバターンの計算をこれで行えるようになります。


そこで、「やってみようか」と思われる方、是非、まずはこの暗記法を通読して見て下さい、
半分は2乗の数の暗記に成功したような「気分」になれるはずです。それ以降は努力、ということですね。



それで「暗記法」、基本的には
 
 11×11= 121
 12×12= 144
  。。。
  。。。。

 99×99=9801

という連番のリストに基づいて覚えるのが良いです。


(何だ、そのまんま。。。)





これを、通常の九九同様、「インイチ ひゃくにじゅういち」なり
「じゅういち イチニイイチ」なり自分なりに呼びやすい形で唱える。
唱えるのに突っかかったら暗算するなり、答えを見るなりして、覚え直す。。

これです。

しかし、その際、気をつけることが一つあります。

この2乗の数というものは、順番に並べていくと色々と規則性、法則が見受けられるのです。
その規則性を意識しながら暗記に取り組むのです。

そうすることによって、無味乾燥に見えていた3桁あるいは4桁の数が「親しみのある」あるいは
「意味のある」数字に見えてきます。これが記憶の一助となります。

しかし、規則性を見ながら覚えるというのは、一方で記憶の想起の補助にはなるが、
逆に「規則性に頼らなければ思い出せない」という結果に陥りかねません。
また、リストが一つだけだと、「この順番でなければ思い出せない」という形になることもあり得ます。


そこで、2乗の数の「リスト」は、上記に挙げた「連番」のものと同時に、
下ひと桁の数が同じ数でまとめた、「10飛び」リストも用意します。

「10飛びのリスト」とは具体的に、例えば下ひと桁が2のリストなら、

    2× 2=    4   52×52= 2704 
   12×12=  144   62×62= 3844 
   22×22=  484   72×72= 5184
   32×32= 1024   82×82= 6724
   42×42= 1764   92×92= 8464 


というものです。

ぱっと見ただけでも、2乗の下ひと桁は4だな、と判りますが、それ以外にも多少の法則があります。
よってその法則を意識しながら暗記に取組みます。

そしてこの「連番」と「10飛び」のリストを交互に利用し、縦横、別の視点から規則性を考えつつ暗記に取り組めば、
弱点を補い合い、相乗効果によってより確実に記憶が定着出来る、というのが主旨です。


最初は、雑紙の裏にでも計算練習を兼ねて暗算しながらリストを2種類つくってみるとよいと思います。
以降は、その紙を使って練習する、これで良いでしょう。

また、今回は2乗の数の計算方法を2種類提示致します。それぞれのリストを暗記する際、検算する際に、
違った計算方法をとることにより、別の角度から数字に取り組みます。


いずれにせよ、完全に暗記出来てしまえば、これから述べることは不要となるわけです。
「完全暗記」とは九九並みに「瞬時に」想起出来ることです。ゴールはそこにおいて頑張って下さい。

 


では先ず、連番のリストについて考えます。


まず手始めに、10の位が同じ数のグループごとに分けてその数字の動きが判りやすいものを挙げてみます。
順番に並んだ式を取りあえず見てみて下さい。


<<20台の数、70台の数>> 
   下二桁に注目すると、前半で出てきた数が、後半では逆順で現れる。
   
   すなわち 418429 76257629 8441

   21×21= 441    71×71= 5041
   22×22= 484    72×72= 5184
   23×23= 529    73×73= 5329
   24×24= 576    74×74= 5476
   25×25= 625    75×75= 5625
   26×26= 676    76×76= 5776
   27×27= 729    77×77= 5929
   28×28= 784    78×78= 6084
   29×29= 841    79×79= 6241

 
<<40台の数>> 上2桁は 15に1の位の数を足す。
        下2桁は 10から1の位の数を引いた数同士の積

   41×41= 1681  → 15+1 と 9×9 
   42×42= 1764  → 15+2 と 8×8 
   43×43= 1849  → 15+3 と 7×7 
   44×44= 1936  → 15+4 と 6×6 
   45×45= 2025  → 15+5 と 5×5 
   46×46= 2116  → 15+6 と 4×4 
   47×47= 2209  → 15+7 と 3×3 
   48×48= 2304  → 15+8 と 2×1 
   49×49= 2401  → 15+9 と 1×1

 
<<50台の数>> 上2桁は 25に1の位の数を足す。
        下2桁は 1の位の数同士の積

   51×51= 2601  → 25+1 と 1×1
   52×52= 2704  → 25+2 と 2×2
   53×53= 2809  → 25+3 と 3×3
   54×54= 2916  → 25+4 と 4×4
   55×55= 3025  → 25+5 と 5×5
   56×56= 3136  → 25+6 と 6×6
   57×57= 3249  → 25+7 と 7×7
   58×58= 3364  → 25+8 と 8×8
   59×59= 3481  → 25+9 と 9×9


<<90台の数>> 上2桁は 80に1の位の数の2倍の数を足す。
        下2桁は 10から1の位の数を引いた数同士の積

   91×91= 8281  → 80+1×2 と 9×9 
   92×92= 8464  → 80+2×2 と 8×8
   93×93= 8649  → 80+3×2 と 7×7
   94×94= 8836  → 80+4×2 と 6×6
   95×95= 9025  → 80+5×2 と 5×5
   96×96= 9216  → 80+6×2 と 4×4
   97×97= 9409  → 80+7×2 と 3×3
   98×98= 9604  → 80+8×2 と 2×2
   99×99= 9801  → 80+9×2 と 1×1

40、50、90の台の数の規則については、これは言わば即算法です。
この規則を覚えてしまえば、あえて個別の数の暗記する必要もない程です。


以上、ざっと法則を4つ見ました。これだけでも、十分記憶に役立ちますよね。

ところでこの一見バラバラに見える4つの法則ですが、実はさらに大きな一つの法則の中でつがなっているのです。

次回、これについて考えます。

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二桁の数の2乗 その2  語呂合わせ

2012-04-13 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2桁の数の2乗のゴロ合わせによる覚え方。いわゆる平方数。

以降、留意点
 ※ 21はニンジン、61は老人とすることがある
 ※ 1の位が5の数は即算法で対応するのが良い・
 ※ 同じく50台並びに90台の数も即算法にて対応
 ※ その他、思い浮かばないものは断念。

 ※ 気合いを入れて覚えたい方は別途「暗記法」の記事を読まれることをお勧めします。

 

 11×11:   121 一本でもニンジン
 12×12:   144 
 13×13:   169 いざ 一郎君
 14×14:   196 いよいよ ひと苦労
 15×15:   225 1×2 と 25
 16×16:   256 色、にごろ
 17×17:   289 いいな、二泊
 18×18:   324 いいや、壬生市で (すみません、壬生の方。。)
 19×19:   361 行く、三老人 (別バージョン: 行く、サーロイン)
 20×20:   400
 
 21×21:   441 ニンジン よし一本
 22×22:   484 
 23×23:   529 兄さん 小肉 (こ憎い)
 24×24:   576 西 コナろく
 25×25:   625 2×3 と 25
 26×26:   676 
 27×27:   729 次男、何喰う?
 28×28:   784 庭 の 菜っ葉よ
 29×29:   841 肉、はよ炒めて
 30×30:   900 

 31×31:   961 サイ、黒い
 32×32:  1024 さん、にい、いち、ぜろ、24時
 33×33:  1089 さんざん、投薬
 34×34:  1156 写真、いい頃
 35×35:  1225 3×4 と 25
 36×36:  1296 三郎 一人に苦労 あり
 37×37:  1369 みんな 一人で三郎君
 38×38:  1444 散髪 いいよ よし
 39×39:  1521 さんきゅう 以後ニンジン
 40×40:  1600
 
 41×41:  1681 良い 色は一つ
 42×42:  1764 世にも 異な虫


 43×43:  1849 シーザー 卑しく
 44×44:  1936 志士 戦録
 45×45:  2025 4×5 と 25
 46×46:  2116 城  ニンジン
 47×47:  2209 品 にふた置く
 48×48:  2304 夜は にいさんオシッコ
 49×49:  2401 ショック によわい



 50×50:  2500  25+0 と 0×0
 51×51:  2601  25+1 と 1×1
 52×52:  2704  25+2 と 2×2
 53×53:  2809  25+3 と 3×3
 54×54:  2916  25+4 と 4×4 
 55×55:  3025  25+5 と 5×5 / 5×6 と 25
 56×56:  3136  25+6 と 6×6
 57×57:  3249  25+7 と 7×7
 58×58:  3364  25+8 と 8×8 
 59×59:  3481  25+9 と 9×9 
 60×60:  3600 

 61×61:  3721 老人 みなニンジン



 62×62:  3844 六時に 散髪よし / 無事、散髪 獅子



 63×63:  3969 無残 さくろく
 64×64:  4096 虫、 四匹 送ろう
 65×65:  4225 6×7 と 25
 66×66:  4356 碌々、資産転がし
 67×67:  4489 むな しい予約

 68×68:  4624 牢屋 城に四つ



 69×69:  4761 無垢、シナ老人
 70×70:  4900 

 71×71:  5041 ないなら これよい



 72×72:  5184 なんつー か こぉぅ、イヤヨ  / ナニ? 来い! ヤーヨ。


        

 73×73:  5329 奈々さん ゴミ拭く
 74×74:  5476 梨、 こよなむ
 75×75:  5625 7×8 と 25
 76×76:  5776 南路 航南南路
 77×77:  5929 なんなら 高級肉

 78×78:  6084 悩む、大家よ



 79×79:  6241 泣く、 老武士一人


 80×80:  6400 
 81×81:  6561 はい、 老後老人
 82×82:  6724 ハニー ろくななにいよん  (全く無意味)
 83×83:  6889 ばーさん ロバ焼く



 84×84:  7056 箸 なら驕ろう



 85×85:  7225 8×9 と 25
 86×86:  7396 波浪、波苦労

 87×87:  7569 バナ ナ5本むく



 88×88:  7744 パパは 名無しよ

 89×89:  7921 焼く な、 9本ニンジン



 90×90:  8100

 91以降の即算法

 まず  元の数と100との差を出す  そして 
   その数を元の数から引く これが千の位と百の位
   その百との差の2乗   これが十の位と一の位
 以上をつなげる

 91×91: 91-9 で 82、 9×9 で 81 つなげて 8281
 92×92: 92-8 で 84、 8×8 で 64 つなげて 8464
 93×93: 93-7 で 86、 7×7 で 49 つなげて 8649
 94×94: 94-6 で 88、 6×6 で 36 つなげて 8836
 95×95: 95-5 で 90、 5×5 で 25 つなげて 9025
 96×96: 96-4 で 92、 4×4 で 16 つなげて 9216
 97×97: 97-3 で 94、 3×3 で  9 つなげて 9409
 98×98: 98-2 で 96、 2×2 で  4 つなげて 9604
 99×99: 99-1 で 98、 1×1 で  1 つなげて 9801

 100×100:  10000

 
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二桁の数の2乗 その1

2012-04-12 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2桁の数の2乗の数について暗記したいと考えた。
そんなもの覚えてどれだけの意味があるのか。




およそ2桁同士の掛け算の暗算を考えたときに、何通りあるのか?ということに対し、よく90×90で約8100通りとか大げさに言われることもある。

しかし10の倍数を含んでいれば、実際には2桁×1桁の暗算と同等と考えられるし、かける数とかけられる数を入れ替えれば同じ計算なので、
そこのダブりを相殺したりすると実際のパターン数としてはぐっと少なくなる。

数えると3321通りということになります。これを攻略すれば良い、ということですな。

2年前の春から夏休みにかけて私は小学三年生の息子にこの3321通りの掛け算を全てやらせてみた。

最初は世に言うインド式の計算法なるものも教えようとしたがが、悲しいかなそのパターンに当てはまる式が全体からしてあまりにも少ない。
また、例えばそのパターンに当てはまる数式を並べて計算させたとしても、計算練習にはなっていないという感覚がした。

確かにほぼ一瞬で答えは出る。しかし本人は何の掛け算をやっているのか、どうしてその計算が正しい答えとなるのか分からない。
これではあまり意味がない、時間をかけても筆算をやらせた方が良いと感じた。



そこで何とか自前で納得のいく計算方法を考え出し、全て解かせていったのだが、後半近くには自然と暗算が出来るようになっていた。

その計算方法というのは紙に書きながら行うものだが、思考の過程そのものが暗算に適するようになっている。
よって何回もその計算方法により計算練習を行っていると、段々と頭の中に2桁の数を暗算で掛け算する思考回路が出来て来て、
最後には紙と鉛筆が要らなくなるというものだ。

毎日ではないが1日10題ほど計算させて、6週間くらいでそんな感じになっていたと記憶している。
(もちろん大人が取り組めば、ほんの1、2分で理解できる内容かと思う。)


それら計算方法を色々と試行錯誤するなかで、2乗の数の暗記ということを考えた。

これを掛け算の九九並みに覚えてしまうと実は3321通りの掛け算のなかで約400通りの掛け算はある程度即算できるようになる。
全体の約8分の1をカバーするわけです。


例えば 78×78を6084と暗記していれば、

 77×79 は 6083、
 73×83 は 6059、と即算できます。

(これを子供向けには「かかし掛け算」と命名した。詳細については別途機会を改めたいと思う)


では、2乗の数を暗記するにはどうすればよいか?

  「ゴロ合わせがいいかな?」

そう思って、色々考え、息子に見せてみたが「かえって分からない」ということであった。


どうやら子供の頭の中ではゴロ合わせという言語の感覚と実際の計算のための数字の感覚というものがうまくリンクしないようだった。


例えばゴロ合わせで「いい国つくろう鎌倉幕府」という感じで1192という年号を覚えるというのは、そこで完結している話だ。

しかし、これを引き続いて計算に使おうとすると、そこから先があり、一旦頭の切り替えが必要になる。
つまり「イイクニ」という語感を数としての「1192」に変換しなければならないのである。
これが負担なのであろう、という説を立てた。


それでゴロ合わせはボツにした。
また、「かかし掛け算」も計算方法としてはサブということで横に置いた。

しかしせっかく考えたゴロ合わせであるから、世の中には気に入ってくれる人もいるかも知れないとおもい、ブログに乗せることにしました。


ちなみに今では息子は2桁の掛け算の暗算は出来ない。そろばんを習い始めたので敢えて自分の考えた計算方法を止めさせた。

そしたら、全て忘れてしまったみたい。子供は覚えるのも早いが、忘れるのも早い。

もう一度、教えればすぐに出来るかもしれないが、まあ、いいかという感じ。


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