２桁の数の２乗 ちょっとした応用

２乗の数をせっかく暗記しましたという前提で、
平方数の積を持つ２桁掛け算をいくつか挙げてみました。
一応、見ておくと良いと思いました。

　　　６　×　２４　＝　　　１４４　　（１２　×　１２）　　　
　　　７　×　２８　＝　　　１９６　　（１４　×　１４）　　　
　　　８　×　３２　＝　　　２５６　　（１６　×　１６）　　　
　　　９　×　３６　＝　　　３２４　　（１８　×　１８）　　　

　　１１　×　４４　＝　　　４８４　　（２２　×　２２）　　　
　　１２　×　４８　＝　　　５７６　　（２４　×　２４）　　　
　　１３　×　５２　＝　　　６７６　　（２６　×　２６）　　　
　　１４　×　５６　＝　　　７８４　　（２８　×　２８）　　　

　　１６　×　６４　＝　　１０２４　　（３２　×　３２）　　　
　　１７　×　６８　＝　　１１５６　　（３４　×　３４）　　　
　　１８　×　７２　＝　　１２９６　　（３６　×　３６）　　　
　　１９　×　７６　＝　　１４４４　　（３８　×　３８）　　　

　　２１　×　８４　＝　　１７６４　　（４２　×　４２）　　　
　　２２　×　８８　＝　　１９３６　　（４４　×　４４）　　　
　　２３　×　９２　＝　　２１１６　　（４６　×　４６）　　　
　　２４　×　９６　＝　　２３０４　　（４８　×　４８）

　　　６　×　５４　＝　　　３２４　　（１８　×　１８）
　　　７　×　６３　＝　　　４４１　　（２１　×　２１）
　　　８　×　７２　＝　　　５７６　　（２４　×　２４）
　　　９　×　８１　＝　　　７２９　　（２７　×　２７）　
　　１１　×　９９　＝　　１０８９　　（３３　×　３３）


欲張らずに、片方が３桁になってしまうものは含めませんでした。

掛ける数　が　掛けられる数　の４倍、あるいは９倍になっていますが、
４倍または９倍であることにちょっと気がつきにくいとかな、
と思われるものに色を付けました。

ある数を４倍する練習、９倍する練習をしておくとピンと来やすくなるかもしれません。

応用としては、本当にちょっとしていますね。

また、９×８１　などは逆にここから　２７×２７　を計算する
手掛りになる事例でしょう。


　　　

２桁の数の２乗 暗記法 その７ 個別の数 トピック

２桁の数の２乗、暗記法もこれで最終回となります。

とは言え、今回はこれまでと比べて、全く緊張感がない内容となります。非常に気楽です。

　　ふぅーっ。。。

２乗の掛け算を記憶する際に多少の補足的なこと、思い付きを並べます。
かなりどうでも良いことを含みます。

どうでも良いことであっても、何か引っかかって記憶の補助になるかも知れない。

そんな主旨です。


１．２乗すると下二桁の数がもとの数と同じになるもの
→　２５　と　７６

　　２５×２５＝　６２５
　　７６×７６＝５７７６

　　→　ちなみに　６２５　は２乗すると　３９０６２５　となり、
　　　　下三桁に再び　６２５　が出てくる。
　　　

２.　ぞろ目　下３桁　
→　３８　のみ
　　　
　　３８×３８　＝　１４４４
　　

３.　ぞろ目　下二桁　４がそろう場合あり　
　　　
　　１２×１２　＝　　１４４
　　３８×３８　＝　１４４４
　　６２×６２　＝　３８４４
　　８８×８８　＝　７７４４


４.　ぞろ目　百の位と十の位：　１，２，４，７，８　がそろう
　　
　　４６×４６　＝　２１１６

　　１５×２５　＝　　２２５
　　３５×３５　＝　１２２５
　　６５×６５　＝　４２２５
　　８５×８５　＝　７２２５

　　２１×２１　＝　　４４１
　　３８×３８　＝　１４４４

　　７６×７６　＝　５７７６

　　８３×８３　＝　６８８９


５.　ぞろ目　千の位と百の位

　　３４×３４　＝　１１５６
　　４７×４７　＝　２２０９
　　５８×５８　＝　３３６４
　　６７×６７　＝　４４８９
　　８８×８８　＝　７７４４
　　９４×９４　＝　８８３６

　　
６.　ぞろ目キング（００は除く）

　　キング：　８８×８８　＝　７７４４　
　　
　　次点：　　３８×３８　＝　１４４４

　　※順番、どっちにしようか迷いましたが、やはりその数自身もぞろ目というのが
　　　キングの名に値すると判断しました。


７.　元の数の２つの数字が２乗の数の数字のどこか含まれる
　　
　　２５×２５
　　２７×２７　＝　　７２９
　　６３×６３　＝　３９６９
　　６４×６４　＝　４０９６
　　７４×７４　＝　５４７６
　　９５×９５　＝　９０２５
　　９６×９６　＝　９２１６


８.　２６の２乗には、６が２回出てくる。
　　
　　２６×２６　＝　６７６　　（だからなに。。）


９.　もとの数の数字を足した合計と、２乗の数の数字の合計が等しい

　　１８×１８＝　　３２４
　　１９×１９＝　　３６１

　　４５×４５＝　２０２５
　　４６×４６＝　２１１６

　　５５×５５＝　３０２５
　　９０×９０＝　８１００

　　９９×９９＝　９８０１


１０.　２　の倍数だらけ　（偶数兄弟！）

　　２２×２２　＝　　４８４
　　６８×６８　＝　４６２４　（しかも真ん中の　６　と　２　を一緒にすると　４８４）

１１.　３　の倍数だらけ

　　６３×６３　＝　３９６９　　（これはすごい。。アホになりそう）


１２.　両脇の数字が同じ
　　
　　２２×２２　＝　　４８４
　　６８×６８　＝　４６２４　（また、偶数兄弟）

　　３９×３９　＝　１５２１
　（４０×４０　＝　１６００）
　　４１×４１　＝　１６８１　

　　７５×７５　＝　５６２５
　　９７×９７　＝　９４０９


１３.　元の数を含めて６つの数字が登場

　　５３×５３
　　５４×５４
　　５７×５７
　　５９×５９　

　　７２×７２　＝　５１８４
　　７９×７９　＝　６２４１
　　８４×８４　＝　７０５６


１４.　数字が昇順で登場　（昇り龍！）

　　１３×１３　＝　１６９
　　１６×１６　＝　２５６
　　１７×１７　＝　２８９
　　３７×３７　＝　１３６９　４桁ではこれのみ

１５．　数字が降順で登場

　　２９×２９　＝　８４１
　　３１×３１　＝　９６１

１６.　逆にすると２乗も逆になる組み合わせ

　　１２×１２　＝　１４４
　　２１×２１　＝　４４１

　　１３×１３　＝　１６９
　　３１×３１　＝　９６１


１７.　同じ数字が現れる組み合わせ

　　ダブル

　　３２×３２　＝　１０２４
　　４９×４９　＝　２４０１

　　３５×３５　＝　１２２５
　　３９×３９　＝　１５２１

　　１９×１９　＝　　３６１
　　５６×５６　＝　３１３６

　　３４×３４　＝　１１５６
　　８１×８１　＝　６５６１

　　６４×６４　＝　４０９６
　　９８×９８　＝　９６０４

　　３７×３７　＝　１３６９
　　４４×４４　＝　１９３６

　　７が割り込む！
　　２４×２４　＝　　５７６
　　７６×７６　＝　５７７６
　　
　　９が割り込む！
　　２３×２３　＝　　５２９
　　７７×７７　＝　５９２９

　　両脇が入れ替わる！
　　４２×４２　＝　１７６４
　　６９×６９　＝　４７６１　

　　トリプル

　　１２×１２　＝　　１４４
　　２１×２１　＝　　４４１
　　３８×３８　＝　１４４４

　　１３×１３　＝　　１６９
　　１４×１４　＝　　１９６
　　３１×３１　＝　　９６１

　　３６×３６　＝　１２９６
　　５４×５４　＝　２９１６
　　９６×９６　＝　９２１６

　　１６×１６　＝　　２５６
　　２５×２５　＝　　６２５
　　７５×７５　＝　５６２５

１８.　暗記する上で、隣り合わせでややこしい。

　　３６×３６　＝　１２９６
　　３７×３７　＝　１３６９　　
　　　　⇒　１４のトピックも合わせて覚えて間違えないようにしましょう。

　　
　

以上、が「２乗の数の暗記法」となります。
最悪、ゴロ合わせもある程度ご紹介いたしましたので、御参考になさって下さい。

２桁の数の２乗 暗記用リスト（３）

　<<　１　の列　>>
　　　１つ少ない１０の倍数　の２乗　に　その数の２倍　を　足して　１　を足す。
　基準の数
　　１０：　　１１×１１　＝　　１００　＋　　２０　＋　１　＝　　１２１
　　２０：　　２１×２１　＝　　４００　＋　　４０　＋　１　＝　　４４１
　　３０：　　３１×３１　＝　　９００　＋　　６０　＋　１　＝　　９６１
　　４０：　　４１×４１　＝　１６００　＋　　８０　＋　１　＝　１６８１
　　５０：　　５１×５１　＝　２５００　＋　１００　＋　１　＝　２６０１
　　６０：　　６１×６１　＝　３６００　＋　１２０　＋　１　＝　３７２１
　　７０：　　７１×７１　＝　４９００　＋　１４０　＋　１　＝　５０４１
　　８０：　　８１×８１　＝　６４００　＋　１６０　＋　１　＝　６５６１
　　９０：　　９１×９１　＝　８１００　＋　１８０　＋　１　＝　８２８１
　
　<<　２　の列　>>
　　　２つ少ない１０の倍数　の２乗　に　その数の４倍　を　足して　４　を足す。
　基準の数
　　１０：　　１２×１２　＝　　１００　＋　　４０　＋　４　＝　　１４４
　　２０：　　２２×２２　＝　　４００　＋　　８０　＋　４　＝　　４８４
　　３０：　　３２×３２　＝　　９００　＋　１２０　＋　４　＝　１０２４
　　４０：　　４２×４２　＝　１６００　＋　１６０　＋　４　＝　１７６４
　　５０：　　５２×５２　＝　２５００　＋　２００　＋　４　＝　２７０４
　　６０：　　６２×６２　＝　３６００　＋　２４０　＋　４　＝　３８４４
　　７０：　　７２×７２　＝　４９００　＋　２８０　＋　４　＝　５１８４
　　８０：　　８２×８２　＝　６４００　＋　３２０　＋　４　＝　６７２４
　　９０：　　９２×９２　＝　８１００　＋　３６０　＋　４　＝　８４６４
　
　<<　３　の列　>>
　　　３つ少ない１０の倍数　の２乗　に　その数の６倍　を　足して　９　を足す。
　基準の数
　　１０：　　１３×１３　＝　　１００　＋　　６０　＋　９　＝　　１６９
　　２０：　　２３×２３　＝　　４００　＋　１２０　＋　９　＝　　５２９
　　３０：　　３３×３３　＝　　９００　＋　１８０　＋　９　＝　１０８９
　　４０：　　４３×４３　＝　１６００　＋　２４０　＋　９　＝　１８４９
　　５０：　　５３×５３　＝　２５００　＋　３００　＋　９　＝　２８０９
　　６０：　　６３×６３　＝　３６００　＋　３６０　＋　９　＝　３９６９
　　７０：　　７３×７３　＝　４９００　＋　４２０　＋　９　＝　５３２９
　　８０：　　８３×８３　＝　６４００　＋　４８０　＋　９　＝　６８８９
　　９０：　　９３×９３　＝　８１００　＋　５４０　＋　９　＝　８６４９
　
　<<　４　の列　>>
　　　１つ多い５の倍数　の２乗　から　その数の２倍　を　引いて　１　を足す。
　基準の数
　　１５：　　１４×１４　＝　　２２５　－　　３０　＋　１　＝　　　１９６
　　２５：　　２４×２４　＝　　６２５　－　　５０　＋　１　＝　　　５７６
　　３５：　　３４×３４　＝　１２２５　－　　７０　＋　１　＝　　１１５６
　　４５：　　４４×４４　＝　２０２５　－　　９０　＋　１　＝　　１９３６
　　５５：　　５４×５４　＝　３０２５　－　１１０　＋　１　＝　　２９１６
　　６５：　　６４×６４　＝　４２２５　－　１３０　＋　１　＝　　４０９６
　　７５：　　７４×７４　＝　５６２５　－　１５０　＋　１　＝　　５４７６
　　８５：　　８４×８４　＝　７２２５　－　１７０　＋　１　＝　　７０５６
　　９５：　　９４×９４　＝　９０２５　－　１９０　＋　１　＝　　８８３６
　
　<<　５　の列　>>
　　　１０の位の数×（その数＋１）　が　千の位と百の位　下２桁は　２５
　
　　１５×１５　＝　　１　×　２　×　１００　＋　２５　＝　　　２２５
　　２５×２５　＝　　２　×　３　×　１００　＋　２５　＝　　　６２５
　　３５×３５　＝　　３　×　４　×　１００　＋　２５　＝　　１２２５
　　４５×４５　＝　　４　×　５　×　１００　＋　２５　＝　　２０２５
　　５５×５５　＝　　５　×　６　×　１００　＋　２５　＝　　３０２５
　　６５×６５　＝　　６　×　７　×　１００　＋　２５　＝　　４２２５
　　７５×７５　＝　　７　×　８　×　１００　＋　２５　＝　　５６２５
　　８５×８５　＝　　８　×　９　×　１００　＋　２５　＝　　７２２５
　　９５×９５　＝　　９　×１０　×　１００　＋　２５　＝　　９０２５
　
　<<　６　の列　>>
　　　１つ少ない５の倍数　の２乗　に　その数の２倍　を　足して　１　を足す。
　基準の数
　　１５：　　１６×１６　＝　　２２５　＋　　３０　＋　１　＝　　　２５６
　　２５：　　２６×２６　＝　　６２５　＋　　５０　＋　１　＝　　　６７６
　　３５：　　３６×３６　＝　１２２５　＋　　７０　＋　１　＝　　１２９６
　　４５：　　４６×４６　＝　２０２５　＋　　９０　＋　１　＝　　２１１６
　　５５：　　５６×５６　＝　３０２５　＋　１１０　＋　１　＝　　３１３６
　　６５：　　６６×６６　＝　４２２５　＋　１３０　＋　１　＝　　４３５６
　　７５：　　７６×７６　＝　５６２５　＋　１５０　＋　１　＝　　５７７６
　　８５：　　８６×８６　＝　７２２５　＋　１７０　＋　１　＝　　７３９６
　　９５：　　９６×９６　＝　９０２５　＋　１９０　＋　１　＝　　９２１６
　
　<<　７　の列　>>
　　　３つ多い１０の倍数　の２乗　から　その数の６倍　を　引いて　９　を足す。
　基準の数
　　２０：　　１７×１７　＝　　４００　－　１２０　＋　９　＝　　　２８９
　　３０：　　２７×２７　＝　　９００　－　１８０　＋　９　＝　　　７２９
　　４０：　　３７×３７　＝　１６００　－　２４０　＋　９　＝　　１３６９
　　５０：　　４７×４７　＝　２５００　－　３００　＋　９　＝　　２２０９
　　６０：　　５７×５７　＝　３６００　－　３６０　＋　９　＝　　３２４９
　　７０：　　６７×６７　＝　４９００　－　４２０　＋　９　＝　　４４８９
　　８０：　　７７×７７　＝　６４００　－　４８０　＋　９　＝　　５９２９
　　９０：　　８７×８７　＝　８１００　－　５４０　＋　９　＝　　７５６９
　１００：　　９７×９７　＝１００００　－　６００　＋　９　＝　　９４０９
　
　<<　８　の列　>>
　　　２つ多い１０の倍数　の２乗　から　その数の４倍　を　引いて　４　を足す。
　基準の数
　　２０：　　１８×１８　＝　　４００　－　　８０　＋　４　＝　　　３２４
　　３０：　　２８×２８　＝　　９００　－　１２０　＋　４　＝　　　７８４
　　４０：　　３８×３８　＝　１６００　－　１６０　＋　４　＝　　１４４４
　　５０：　　４８×４８　＝　２５００　－　２００　＋　４　＝　　２３０４
　　６０：　　５８×５８　＝　３６００　－　２４０　＋　４　＝　　３３６４
　　７０：　　６８×６８　＝　４９００　－　２８０　＋　４　＝　　４６２４
　　８０：　　７８×７８　＝　６４００　－　３２０　＋　４　＝　　６０８４
　　９０：　　８８×８８　＝　８１００　－　３６０　＋　４　＝　　７７４４
　１００：　　９８×９８　＝１００００　－　４００　＋　４　＝　　９６０４
　
　<<　９　の列　>>
　　　１つ多い１０の倍数　の２乗　から　その数の２倍　を　引いて　１　を足す。
　基準の数
　　２０：　　１９×１９　＝　　４００　－　　４０　＋　１　＝　　　３６１
　　３０：　　２９×２９　＝　　９００　－　　６０　＋　１　＝　　　８４１
　　４０：　　３９×３９　＝　１６００　－　　８０　＋　１　＝　　１５２１
　　５０：　　４９×４９　＝　２５００　－　１００　＋　１　＝　　２４０１
　　６０：　　５９×５９　＝　３６００　－　１２０　＋　１　＝　　３４８１
　　７０：　　６９×６９　＝　４９００　－　１４０　＋　１　＝　　４７６１
　　８０：　　７９×７９　＝　６４００　－　１６０　＋　１　＝　　６２４１
　　９０：　　８９×８９　＝　８１００　－　１８０　＋　１　＝　　７９２１
　１００：　　９９×９９　＝１００００　－　２００　＋　１　＝　　９８０１

２桁の数の２乗 暗記法 その６ 第３の計算法

２乗の数を出すための　第三　の計算法　ということで話を進めます。

まだ、あるんですか、という感じですが、実際自分が暗算するときに無意識にやっていた方法があって、
それも実際捨てがたたく、ご紹介したくなった次第です。


その方法ですが、例えば　７９　の２乗を考える際に、例のごとく「４つの四角形」をつかって考えます。
その時、少し工夫をして　８０　の２乗から入るのですね。



上図の様に、全体は　８０×８０　で　６４００　なんですが、７９×７９　と　
それ以外のところに分解、７９×７９　以外の部分を取り去ってしまえば、答えが出ます、という発想なんです。

しかしその時に、ご丁寧に　
　　　７９×１　の部分を引いて、
　　　１×７９の部分を引いて、
　　　１×１　の部分を引いて、
　　　はい、答えです、という手順を踏むのではなく、

　８０を２回引いてしまえ、そのあと、引きすぎた　１　を戻そう

という計算をするのです。



計算式にすれば、

　７９×７９　＝　８０×８０　－　８０　－　８０　＋　１
　　　　　　　＝　６４００　－　１６０　＋　１
　　　　　　　＝　６２４１

となります。

８０を２回引く、というのは　頭の中のイメージ　であって、もちろん計算上は、

　７９×７９　＝　８０×８０　－　８０　×　２　＋　１
　　　　　　　＝　６４００　－　１６０　＋　１
　　　　　　　＝　６２４１

これで、良いと思います。

但し、私の場合は、この計算をするときに上記のような図を頭の中に強烈にイメージし、
実際に　下側、右側、これを「トル」、そしてカドのコマを「戻す」ということをやっているので、
どうしても「８０を２回引く」という発想になってしまいます。

もっとスマートに計算出来る方なら、初めから「８０×２」でいいと思います。

他の例を見ます：　　６７×６７

もちろん、四角形としては　７０×７０　を考えます。
但し、前回の場合と違い、７０　と　６７　の差は　３　あります。



そこで、私のイメージの中では、上記の様ように、６７×１　が　縦横　３本ずつ、計六本　出てきます。
右下の「コマ」の中には点線が入っていて、９コマに分かれているというイメージです。

そして、これを７０として　６本分、４９００　から取っ払う、という感じです。



最後に　９　を戻して計算終了、ということですが、もちろん式としては

６７×６７　＝　７０　×　７０　－　７０　×　６　＋　９
　　　　　　＝　４９００　－　４２０　＋　９
　　　　　　＝　４４８０　＋　９
　　　　　　＝　４４８９
となります。

慣れてくれば、四角をイメージしつつも一発で、

６７×６７　＝　４９００　－　４２０　＋　９
　　　　　　＝　４４８９

と計算できるようになると思います。

なんだ、最初に紹介した４角形の計算方法と大して変わらないじゃないか、と思われるかも知れませんが、
それほど、４角形をイメージするという手法は、基本であり、応用が効くのだと思います。

以上、例を見た数字は、下一桁が９、７、と１０に近い数でした。
もちろん、これが逆に０に近ければ、



より大きな数を考えて、トル、というのではなく、
順当に１０の位　と　１の位　で分けた４角形を考えて積み上げるということで良いと思います。

　（この場合は、私は　１０×３　のイメージでＯＫなんです　）

ただ、ここでもう一つ計算例を出したいと思います。
例えば　３６×３６　これを　（３５＋１）×（３５＋１）と考えます。



そこで、３５×３５　の部分は　速算が効いて　１２２５　とすぐに判りますから、これを使おうという発想です。

３６×３６　＝　３５×３５　＋　３５×２　＋　１
　　　　　　＝　１２２５　＋　７０　＋　１
　　　　　　＝　１２９５　＋　１
　　　　　　＝　１２９６

これを　（３０＋６）×（３０＋６）として計算すると、

３６×３６　＝　３０×３０　＋　１８０×２　＋　３６
　　　　　　＝　９００　＋　３６０　＋　３６
　　　　　　＝　１２６０　＋　３６
　　　　　　＝　１２９６

となりますね。出来ないこともないですが、前者と比べるとやや忙しいでしょうか。


同様に、３４×３４なら、３５×３５を使って、

３６×３６　＝　３５×３５　－　３５×２　＋　１
　　　　　　＝　１２２５　－　７０　＋　１
　　　　　　＝　１１５５　＋　１
　　　　　　＝　１１５６

と計算出来ます。これは例としてあげました。



色々な計算方法をあげています。もちろん、どの計算方法が一番良いのか、ということはないと思います。
一つの計算を様々な方法で行うこと自体、面白いな、と感じますし、
新たな見かたをすることによって、違った発見があることがあります。


例えば、今回紹介した計算方法により　２７×２７　を計算します。

まず　３０　という数字を考え、３０×３０　を踏まえて、

　９００　から　３０　を　６　回引く　これに　９　を足す、だな、という形になります。

すると、９００－３０×６　つまり　９００－１８０＝７２０、プラス　９　となります。

こういう風に入って行くと、２７×２７＝７２９　という暗記も何となくスムースに行きませんでしょうか。
何か、１００の位の１０の位の　７２　というのが何か必然的に見えてきました。

そもそも　２７　は　９　の倍数なので、２７　の　２乗　も　９　の倍数であり、下一桁が　９　なので、
残りの７２０の部分も　９　の倍数、ということもありましょうが、
何と、９００－１８０　という求め方がある、と考えたら、覚えやすいですよね。

こういう風にああでもない、こうでもないと考えていると、２７の２乗は、７２９　以外にあり得ない、
そう思えてきます。

そんなこと言ったら、どんな数だって２乗の数は決まっていて、それ以外にあり得ないのですが、ともかくも、
そういう風に思えてくるということです。

次回にこの計算方法を用いた暗記リストを提示します。
数字の動きを見ることによって、上記の　２７　の例の様に、何か引っかかる部分が出てくると思います。
それが以外に暗記の役にたつのでは、と考えます。

　

２桁の数の２乗 暗記用リスト（２） １０飛びリスト

２桁の数の２乗の数の計算を、１の位の数を移動させてその数の２乗を足す　方法によって示したリストです。
１の位の数ごとにまとめていますので、リズム良く計算してみて下さい。

　２桁の数の２乗の計算方法　（移動砲！）

　<<　１　の列　>>
　右から左へ　１　移動して　１　の　２乗　を足す。
　　　　←　１　　　　　　　　　　＋　１
　　１１×１１　＝　１２×１０　＋　１　＝　　　１２１
　　２１×２１　＝　２２×２０　＋　１　＝　　　４４１
　　３１×３１　＝　３２×３０　＋　１　＝　　　９６１
　　４１×４１　＝　４２×４０　＋　１　＝　　１６８１
　　５１×５１　＝　５２×５０　＋　１　＝　　２６０１
　　６１×６１　＝　６２×６０　＋　１　＝　　３７２１
　　７１×７１　＝　７２×７０　＋　１　＝　　５０４１
　　８１×８１　＝　８２×８０　＋　１　＝　　６５６１
　　９１×９１　＝　９２×９０　＋　１　＝　　８２８１
　
　<<　２　の列　>>
　右から左へ　２　移動して　２　の　２乗　を足す。
　　　　←　２　　　　　　　　　　＋　４
　　１２×１２　＝　１４×１０　＋　４　＝　　　１４４
　　２２×２２　＝　２４×２０　＋　４　＝　　　４８４
　　３２×３２　＝　３４×３０　＋　４　＝　　１０２４
　　４２×４２　＝　４４×４０　＋　４　＝　　１７６４
　　５２×５２　＝　５４×５０　＋　４　＝　　２７０４
　　６２×６２　＝　６４×６０　＋　４　＝　　３８４４
　　７２×７２　＝　７４×７０　＋　４　＝　　５１８４
　　８２×８２　＝　８４×８０　＋　４　＝　　６７２４
　　９２×９２　＝　９４×９０　＋　４　＝　　８４６４
　
　<<　３　の列　>>
　右から左へ　３　移動して　３　の　２乗　を足す。
　　　　←　３　　　　　　　　　　＋　９
　　１３×１３　＝　１６×１０　＋　９　＝　　　１６９
　　２３×２３　＝　２６×２０　＋　９　＝　　　５２９
　　３３×３３　＝　３６×３０　＋　９　＝　　１０８９
　　４３×４３　＝　４６×４０　＋　９　＝　　１８４９
　　５３×５３　＝　５６×５０　＋　９　＝　　２８０９
　　６３×６３　＝　６６×６０　＋　９　＝　　３９６９
　　７３×７３　＝　７６×７０　＋　９　＝　　５３２９
　　８３×８３　＝　８６×８０　＋　９　＝　　６８８９
　　９３×９３　＝　９６×９０　＋　９　＝　　８６４９
　
　<<　４　の列　>>
　右から左へ　４　移動して　４　の　２乗　を足す。
　　　　←　４　　　　　　　　　　＋　１６
　　１４×１４　＝　１８×１０　＋　１６　＝　　　１９６
　　２４×２４　＝　２８×２０　＋　１６　＝　　　５７６
　　３４×３４　＝　３８×３０　＋　１６　＝　　１１５６
　　４４×４４　＝　４８×４０　＋　１６　＝　　１９３６
　　５４×５４　＝　５８×５０　＋　１６　＝　　２９１６
　　６４×６４　＝　６８×６０　＋　１６　＝　　４０９６
　　７４×７４　＝　７８×７０　＋　１６　＝　　５４７６
　　８４×８４　＝　８８×８０　＋　１６　＝　　７０５６
　　９４×９４　＝　９８×９０　＋　１６　＝　　８８３６
　
　<<　５　の列　>>
　右から左へ　５　移動して　５　の　２乗　を足す。
　　　　←　５　　　　　　　　　　　＋　２５
　　１５×１５　＝　　２０×１０　＋　２５　＝　　　２２５
　　２５×２５　＝　　３０×２０　＋　２５　＝　　　６２５
　　３５×３５　＝　　４０×３０　＋　２５　＝　　１２２５
　　４５×４５　＝　　５０×４０　＋　２５　＝　　２０２５
　　５５×５５　＝　　６０×５０　＋　２５　＝　　３０２５
　　６５×６５　＝　　７０×６０　＋　２５　＝　　４２２５
　　７５×７５　＝　　８０×７０　＋　２５　＝　　５６２５
　　８５×８５　＝　　９０×８０　＋　２５　＝　　７２２５
　　９５×９５　＝　１００×９０　＋　２５　＝　　９０２５
　
　<<　６　の列　>>
　左から右へ　４　移動して　４　の　２乗　を足す。
　　　４　→　　　　　　　　　　　　＋　１６
　　１６×１６　＝　１２×　２０　＋　１６　＝　　　２５６
　　２６×２６　＝　２２×　３０　＋　１６　＝　　　６７６
　　３６×３６　＝　３２×　４０　＋　１６　＝　　１２９６
　　４６×４６　＝　４２×　５０　＋　１６　＝　　２１１６
　　５６×５６　＝　５２×　６０　＋　１６　＝　　３１３６
　　６６×６６　＝　６２×　７０　＋　１６　＝　　４３５６
　　７６×７６　＝　７２×　８０　＋　１６　＝　　５７７６
　　８６×８６　＝　８２×　９０　＋　１６　＝　　７３９６
　　９６×９６　＝　９２×１００　＋　１６　＝　　９２１６
　
　<<　７　の列　>>
　左から右へ　３　移動して　３　の　２乗　を足す。
　　　３　→　　　　　　　　　　　　＋　９
　　１７×１７　＝　１４×　２０　＋　９　＝　　　２８９
　　２７×２７　＝　２４×　３０　＋　９　＝　　　７２９
　　３７×３７　＝　３４×　４０　＋　９　＝　　１３６９
　　４７×４７　＝　４４×　５０　＋　９　＝　　２２０９
　　５７×５７　＝　５４×　６０　＋　９　＝　　３２４９
　　６７×６７　＝　６４×　７０　＋　９　＝　　４４８９
　　７７×７７　＝　７４×　８０　＋　９　＝　　５９２９
　　８７×８７　＝　８４×　９０　＋　９　＝　　７５６９
　　９７×９７　＝　９４×１００　＋　９　＝　　９４０９
　
　<<　８　の列　>>
　左から右へ　２　移動して　２　の　２乗　を足す。
　　　２　→　　　　　　　　　　　　＋　４
　　１８×１８　＝　１６×　２０　＋　４　＝　　　３２４
　　２８×２８　＝　２６×　３０　＋　４　＝　　　７８４
　　３８×３８　＝　３６×　４０　＋　４　＝　　１４４４
　　４８×４８　＝　４６×　５０　＋　４　＝　　２３０４
　　５８×５８　＝　５６×　６０　＋　４　＝　　３３６４
　　６８×６８　＝　６６×　７０　＋　４　＝　　４６２４
　　７８×７８　＝　７６×　８０　＋　４　＝　　６０８４
　　８８×８８　＝　８６×　９０　＋　４　＝　　７７４４
　　９８×９８　＝　９６×１００　＋　４　＝　　９６０４
　
　<<　９　の列　>>
　左から右へ　１　移動して　１　の　２乗　を足す。
　　　１　→　　　　　　　　　　　　＋　１
　　１９×１９　＝　１８×　２０　＋　１　＝　　　３６１
　　２９×２９　＝　２８×　３０　＋　１　＝　　　８４１
　　３９×３９　＝　３８×　４０　＋　１　＝　　１５２１
　　４９×４９　＝　４８×　５０　＋　１　＝　　２４０１
　　５９×５９　＝　５８×　６０　＋　１　＝　　３４８１
　　６９×６９　＝　６８×　７０　＋　１　＝　　４７６１
　　７９×７９　＝　７８×　８０　＋　１　＝　　６２４１
　　８９×８９　＝　８８×　９０　＋　１　＝　　７９２１
　　９９×９９　＝　９８×１００　＋　１　＝　　９８０１

　<<　９　の列　別表　>>
　　１つ多い数の２乗　から　１つ多い数の２倍を　引いて　１　を足す。
　　
　　１９×１９　＝　　４００　－　　４０　＋　１　＝　　　３６１
　　２９×２９　＝　　９００　－　　６０　＋　１　＝　　　８４１
　　３９×３９　＝　１６００　－　　８０　＋　１　＝　　１５２１
　　４９×４９　＝　２５００　－　１００　＋　１　＝　　２４０１
　　５９×５９　＝　３６００　－　１２０　＋　１　＝　　３４８１
　　６９×６９　＝　４９００　－　１４０　＋　１　＝　　４７６１
　　７９×７９　＝　６４００　－　１６０　＋　１　＝　　６２４１
　　８９×８９　＝　８１００　－　１８０　＋　１　＝　　７９２１
　　９９×９９　＝１００００　－　２００　＋　１　＝　　９８０１

　　（解説別途）

　

２桁の数の２乗 暗記用リスト（１） 順列リスト

２桁の数の２乗の数の計算を２５までの２乗の数を使って計算する方法によって順列で並べたリストです。
元の数に対する１００の倍数の部分の動き、２５までの２乗の数の動きを感覚的につかんで下さい。

　２桁の数の２乗の計算方法Ⅰ　

１．　１１から２５までの２乗：　　暗記する

　１１×１１　＝　　１２１　　　（１００＋　２０＋　１）
　１２×１２　＝　　１４４　　　（１００＋　４０＋　４）
　１３×１３　＝　　１６９　　　（１００＋　６０＋　９）　　
　１４×１４　＝　　１９６　　　（１００＋　８０＋１６）
　１５×１５　＝　　２２５　　　（１００＋１００＋２５）
　１６×１６　＝　　２５６　　　（１００＋１２０＋３６）
　１７×１７　＝　　２８９　　　（１００＋１４０＋４９）
　１８×１８　＝　　３２４　　　（１００＋１６０＋６４）
　１９×１９　＝　　３６１　　　（１００＋１８０＋８１）
　２０×２０　＝　　４００　　　（４００＋　　０＋　０）
　２１×２１　＝　　４４１　　　（４００＋　４０＋　１）
　２２×２２　＝　　４８４　　　（４００＋　８０＋　４）
　２３×２３　＝　　５２９　　　（４００＋１２０＋　９）
　２４×２４　＝　　５７６　　　（４００＋１６０＋１６）
　２５×２５　＝　　６２５　　　（４００＋２００＋２５）
　　　　　　　（覚えましょう）　　暗算用の分解です

２.　２６以上の数の２乗：　１００の倍数　＋　２５までの数の２乗　で考える。

Ａ．　２６から５０まで：　

　（元の数－２５）×１００　＋　（５０－元の数）の２乗

　２５×２５　＝　　　　０　＋　６２５　＝　　６２５　　（←　２５）
　２６×２６　＝　　１００　＋　５７６　＝　　６７６　　（←　２４）
　２７×２７　＝　　２００　＋　５２９　＝　　７２９　　（←　２３）
　２８×２８　＝　　３００　＋　４８４　＝　　７８４　　（←　２２）
　２９×２９　＝　　４００　＋　４４１　＝　　８４１　　（←　２１）
　３０×３０　＝　　５００　＋　４００　＝　　９００　　（←　２０）

　３１×３１　＝　　６００　＋　３６１　＝　　９６１　　（←　１９）
　３２×３２　＝　　７００　＋　３２４　＝　１０２４　　（←　１８）
　３３×３３　＝　　８００　＋　２８９　＝　１０８９　　（←　１７）
　３４×３４　＝　　９００　＋　２５６　＝　１１５６　　（←　１６）
　３５×３５　＝　１０００　＋　２２５　＝　１２２５　　（←　１５）
　３６×３６　＝　１１００　＋　１９６　＝　１２９６　　（←　１４）
　３７×３７　＝　１２００　＋　１６９　＝　１３６９　　（←　１３）
　３８×３８　＝　１３００　＋　１４４　＝　１４４４　　（←　１２）
　３９×３９　＝　１４００　＋　１２１　＝　１５２１　　（←　１１）
　４０×４０　＝　１５００　＋　１００　＝　１６００　　（←　１０）

　４１×４１　＝　１６００　＋　　８１　＝　１６８１　　（←　　９）
　４２×４２　＝　１７００　＋　　６４　＝　１７６４　　（←　　８）
　４３×４３　＝　１８００　＋　　４９　＝　１８４９　　（←　　７）
　４４×４４　＝　１９００　＋　　３６　＝　１９３６　　（←　　６）
　４５×４５　＝　２０００　＋　　２５　＝　２０２５　　（←　　５）
　４６×４６　＝　２１００　＋　　１６　＝　２１１６　　（←　　４）
　４７×４７　＝　２２００　＋　　　９　＝　２２０９　　（←　　３）
　４８×４８　＝　２３００　＋　　　４　＝　２３０４　　（←　　２）
　４９×４９　＝　２４００　＋　　　１　＝　２４０１　　（←　　１）
　５０×５０　＝　２５００　＋　　　０　＝　２５００　　（←　　０）

　※１００の倍数の部分は２５×２５の　０　から、１００ずつ上がって行く。
　※２乗の部分はだんだん下がって行く。
　※３６×３６　を　１１００＋１９６　と暗記しておくと良いかも　
　
Ｂ．　５１から７５まで：　

　　（元の数－２５）×１００　＋　（元の数－５０）の２乗

　５０×５０　＝　　２５００　＋　　　０　＝　２５００　　（←　　０）
　５１×５１　＝　　２６００　＋　　　１　＝　２６０１　　（←　　１）
　５２×５２　＝　　２７００　＋　　　４　＝　２７０４　　（←　　２）
　５３×５３　＝　　２８００　＋　　　９　＝　２８０９　　（←　　３）
　５４×５４　＝　　２９００　＋　　１６　＝　２９１６　　（←　　４）
　５５×５５　＝　　３０００　＋　　２５　＝　３０２５　　（←　　５）
　５６×５６　＝　　３１００　＋　　３６　＝　３１３６　　（←　　６）
　５７×５７　＝　　３２００　＋　　４９　＝　３２４９　　（←　　７）
　５８×５８　＝　　３３００　＋　　６４　＝　３３６４　　（←　　８）
　５９×５９　＝　　３４００　＋　　８１　＝　３４８１　　（←　　９）
　６０×６０　＝　　３５００　＋　１００　＝　３６００　　（←　１０）

　６１×６１　＝　　３６００　＋　１２１　＝　３７２１　　（←　１１）
　６２×６２　＝　　３７００　＋　１４４　＝　３８４４　　（←　１２）
　６３×６３　＝　　３８００　＋　１６９　＝　３９６９　　（←　１３）
　６４×６４　＝　　３９００　＋　１９６　＝　４０９６　　（←　１４）
　６５×６５　＝　　４０００　＋　２２５　＝　４２２５　　（←　１５）
　６６×６６　＝　　４１００　＋　２５６　＝　４３５６　　（←　１６）
　６７×６７　＝　　４２００　＋　２８９　＝　４４８９　　（←　１７）
　６８×６８　＝　　４３００　＋　３２４　＝　４６２４　　（←　１８）
　６９×６９　＝　　４４００　＋　３６１　＝　４７６１　　（←　１９）
　７０×７０　＝　　４５００　＋　４００　＝　４９００　　（←　２０）

　７１×７１　＝　　４６００　＋　４４１　＝　５０４１　　（←　２１）
　７２×７２　＝　　４７００　＋　４８４　＝　５１８４　　（←　２２）
　７３×７３　＝　　４８００　＋　５２９　＝　５３２９　　（←　２３）
　７４×７４　＝　　４９００　＋　５７６　＝　５４７６　　（←　２４）
　７５×７５　＝　　５０００　＋　６２５　＝　５６２５　　（←　２５）

　※１００の倍数の部分は５０×５０の　２５００　から、１００ずつ上がって行く。
　※２乗の部分はだんだん上がって行く。
　※先に　５０との差　を出し、その数を２５の上に乗っけても良い。　

Ｃ．　７６から９９まで：　

　（元の数×２－１００）×１００　＋　（１００－元の数）の２乗

　７５×７５　＝　　５０００　＋　６２５　＝　５６２５　　（←　２５）
　７６×７６　＝　　５２００　＋　５７６　＝　５７７６　　（←　２４）
　７７×７７　＝　　５４００　＋　５２９　＝　５９２９　　（←　２３）
　７８×７８　＝　　５６００　＋　４８４　＝　６０８４　　（←　２２）
　７９×７９　＝　　５８００　＋　４４１　＝　６２４１　　（←　２１）
　８０×８０　＝　　６０００　＋　４００　＝　６４００　　（←　２０）

　８１×８１　＝　　６２００　＋　３６１　＝　６５６１　　（←　１９）
　８２×８２　＝　　６４００　＋　３２４　＝　６７２４　　（←　１８）
　８３×８３　＝　　６６００　＋　２８９　＝　６８８９　　（←　１７）
　８４×８４　＝　　６８００　＋　２５６　＝　７０５６　　（←　１６）
　８５×８５　＝　　７０００　＋　２２５　＝　７２２５　　（←　１５）
　８６×８６　＝　　７２００　＋　１９６　＝　７３９６　　（←　１４）
　８７×８７　＝　　７４００　＋　１６９　＝　７５６９　　（←　１３）
　８８×８８　＝　　７６００　＋　１４４　＝　７７４４　　（←　１２）
　８９×８９　＝　　７８００　＋　１２１　＝　７９２１　　（←　１１）
　９０×９０　＝　　８０００　＋　１００　＝　８１００　　（←　１０）

　９１×９１　＝　　８２００　＋　　８１　＝　８２８１　　（←　　９）
　９２×９２　＝　　８４００　＋　　６４　＝　８４６４　　（←　　８）
　９３×９３　＝　　８６００　＋　　４９　＝　８６４９　　（←　　７）
　９４×９４　＝　　８８００　＋　　３６　＝　８８３６　　（←　　６）
　９５×９５　＝　　９０００　＋　　２５　＝　９０２５　　（←　　５）
　９６×９６　＝　　９２００　＋　　１６　＝　９２１６　　（←　　４）
　９７×９７　＝　　９４００　＋　　　９　＝　９４０９　　（←　　３）
　９８×９８　＝　　９６００　＋　　　４　＝　９６０４　　（←　　２）
　９９×９９　＝　　９８００　＋　　　１　＝　９８０１　　（←　　１）
１００×１００　＝　１００００　＋　　０　＝　１００００　（←　　０）

　※１００の倍数の部分は７５×７５の　５０００　から、２００ずつ上がって行く。
　※２乗の部分はだんだん下がっていく。

　

２桁の数の２乗 暗記法 その５ 第２の計算法

さて、この暗記法のその２において、２乗の掛け算の速算法をご紹介しました。

それは、２５までの数の２乗　を使って下記の様に考えるものでした。

Ａ．　２６から５０まで：　
　（元の数－２５）×１００　＋　（５０－元の数）の２乗
　　例：　３７×３７　＝　１２００　＋　１６９　＝　１３６９

Ｂ．　５１から７５まで：　
　　（元の数－２５）×１００　＋　（元の数－５０）の２乗
　例：　７４×７４　＝　　４９００　＋　５７６　＝　５４７６

Ｃ．　７６から９９まで：　
　（元の数×２－１００）×１００　＋　（１００－元の数）の２乗
　例：　７７×７７　＝　　５４００　＋　５２９　＝　５９２９

これは、２乗の数では同じ下二桁の数が繰り返し出てくることを使ったものでしたが、
はたと気がつきました。

　下一桁だけで同じようなことが出来ないだろか？

例によって、数式を並べて考えてみました。そして、気がつきました。
まだ、計算方法があった。。。

　

今回は結論だけ申し上げます。詳しくは知りませんが、計算方法自体は
インド式として紹介されている中などにもあるものだと思います。
　
例えば、３４×３４　という計算があったとします。

　これを４つの４角形で考えます。



　そうすると、
　
　３０×３０　＋　４×３０　＋　３０×４　＋　４×４
　
　と表現出来ます。
　この３つの項のうち、最初の３つを　３０でくくってしまいます。

　　（３０＋４＋４）×３０　＋　４×４
　＝　３８　×　３０　＋　４　×　４
　＝　１１４６　＋　１６　
　＝　１１５６　　計算出来ました。

この　３４×３４　を　３８×３０＋４×４　に書き換えた部分だけを見ると、

一方の　３４　から　他方の３４　へ　４　移動し、移動した分の２乗　を加えた、
とも見えます。実際、その考え方で計算してＯＫです。

　　　３４　×　３４　　⇒　　３８　×　３０　＋　４×４
　　　　　　　　　　　　　　　　　←４←
　　　　　　　　　　　　　　　　　移動！　　　移動した分の２乗！
　
だから、例えば　６２×６２　だったら、片方から片方へ　２　移動　して　６４×６０、
これに　その　２乗　を加える

　つまり　６２　×　６２　＝　６４　×　６０　＋　２　×　２
　　　　　　　　　　　　　＝　３８４０　＋　４
　　　　　　　　　　　　　＝　３８４４
となります。


　（これ、速い！）


ここで一点確認します。この数字が移動出来るという方法、
基本はあくまでも１０の位の数が同じという前提なんですね。
１０の位が同じだから、４つの四角形で考えた時に、
最初の三つの項をまとめることが出来るのです。

　　　　６２　×　６２　＝　６０　×　６０　＋　２　×　６０　＋　６０　×　２　＋　２×２
　　　　　　　　　　　　＝　（６０＋２＋２）×６０　＋　２　×　２
　　　　　　　　　　　　＝　６４　×　６０　＋　２　×　２
　　　　　　　　　　　　＝　３８４０　＋　４
　　　　　　　　　　　　＝　３８４４

では次に、６８×６８　で考えて見ましょう

右から左へ　８　移動しすると。。。

　　　　６８　×　６８　＝　７６　×　６０　＋　８　×　８
　　　　　　　　　　　　＝　４５２０　＋　６４
　　　　　　　　　　　　＝　４６２４

　　これも、結構速く計算できますね。

しかしここで、６８　は　（７０から２　少ない数）　と考えると。。。

　　　６８　×　６８　＝　（７０－２）　×　（７０－２）
　　　　　　　　　　　＝　７０×７０　－　２×７０　－　２　×７０　＋　（－２）×（－２）
　　　　　　　　　　　＝　（７０－２－２）×　７０　＋　２　×　２
　　　　　　　　　　　＝　６６　×　７０　＋　４
　　　　　　　　　　　＝　４６２０　＋　４
　　　　　　　　　　　＝　４６２４

　　こういう風にも計算出来ます。

つまり、左から右へ　２　移動しました。
移動した数が小さい分、２乗の計算の部分も小さくなり、繰り上がりもないので楽ですね。
やや、こちらの方が　８　移動させる場合より速いでしょう

　※本来は移動の量を　－２　として表現すべきかもしれませんが、
　　２乗されて結局同じにことなるのでここでは深く立ち入りません。
　　但し、この計算方法を一般化する際には、考え方として正負を意識する必要があります。

例を続けます。

　　　７９×７９　＝　８０×７８　＋　１×１　
　　　　　　　　　＝　　６２４０　＋　　１　
　　　　　　　　　＝　　６２４１

これも速く計算出来ます。後から足す２乗の部分が１となり、
繰り上がりがないのが確実なので、安心して　８０×７８　の計算が出来ますよね。

お気づきの通り、７９×７９　を見た時に、

　　９　移動させて　８８×７０＋９×９　とするか、
　　１　移動させて　８０×７８＋１×１　とするか、という判断ですが、

もちろん、移動させる数の小さい方を選んで計算したほうが良いと考えます。
すなわち、７０に合わせるか、８０に合わせるか、については、どちらか近い方に合わせれば良いわけです。


　

まとめます。３７　の　２乗　を例にとります。

　　３７×３７　＝　３４×４０　＋　３×３　（左から右へ３移動）
　　　　　　　　＝　１３６０　＋　９
　　　　　　　　＝　１３６９

　　３７×３７　＝　４４×３０　＋　７×７　（右から左へ７移動）
　　　　　　　　＝　１３２０　＋　４９
　　　　　　　　＝　１３６９

　　３７×３７　＝　（３７－２５）×１００　＋　（５０－３７）＾２
　　　　　　　　＝　１２００　＋　１６９　（３７から２５引き、１３の２乗）
　　　　　　　　＝　１３６９

どれをとっても計算できますね。計算する数の範囲にによって、もっとも簡単な計算方法があるかと思いますで、
一度確認してみると良いと思います。
いずれにせよ、暗記してしまうまでの過程ですので色々やり方があって良いと考えます。

最終的には　

　３７×３７　＝　１３６９　

と暗記してしまう、これは一番速いわけです。

　


ここで、一つ注意すべき点があります。今ご紹介申し上げた、
一方から一方へ数字を移動させて移動した数の２乗を足す方法ですが、
取りあえず、この２乗計算の場合のみに適用すると考えておいて下さい。

２乗でなくとも、１０の位が同じ数同士の掛け算なら、考え方としては応用が効くのですが、
そのままやってしまうと変な計算になります。

例えば　７８×７５　という計算があったときに、

　右から左へ　２　移動で　７８×７５　＝　８０×７３　＋　２×２　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　５８４０　＋　２×２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　５８４４　？？？

正しくは　５８５０　となります。方法論に若干の調整が必要です。

この、１０の倍数でくくる計算方法の一般展開については、別途ご案内したいと思います。

　

さて、次回に「暗算用リスト」というものをご案内いたします。

２乗の数の計算のリストで、順列のリスト、１０飛びのリスト　２種類のものです。
それぞれ、計算法を変えて　２乗の数を　計算しています。

順列のリストは、２５までの２乗の数を使う計算法、
１０飛びのリストは　今回の第二の計算法（移動法？）をつかっています。

２種類のリストに対し、それぞれ異なる計算法でアプローチすることにより、
記憶もより進むのではないかと考えます。


　

２桁の数の２乗 暗記法 その４ １０飛びリスト のとらえ方

さて、前回までは２乗の数の計算式が連番に並んでいる場合を見てきました。

　

今回は、「暗記法　その１」　でふれた　「１０飛びリスト」に関してです。

下１桁の数字ごとにまとめ、数が１０飛びになっているリストを観察してみます。
すると、また違った発見があります。

これを仮に　<<列>>　という言葉つかってグループ分けしてみましょう。
尚、ここでは便宜的に１桁×１桁の計算も含めます。

また、下記のリストでは左右にならんだ数同士、２乗の数の下二桁の数は同じになっています。
今までの記事を読まれた方なら、何故そうなっているのか、お分かりになるかと考えます。

<<１　の列>>

　　　　１×　１＝　　　　１　　　５１×５１＝　２６０１
　　　１１×１１＝　　１２１　　　６１×６１＝　３７２１　
　　　２１×２１＝　　４４１　　　７１×７１＝　５０４１　
　　　３１×３１＝　　９６１　　　８１×８１＝　６５６１　
　　　４１×４１＝　１６８１　　　９１×９１＝　８２８１　

　　※　１の位の数は１
　　※　１０の位の数は、０，２，４，６，８　という順（全て偶数）
　　※　１００の位以降の数、左側は元の数の１０の位の数の２乗、右側はそれにプラス１


<<２　の列>>

　　　　２×　２＝　　　　４　　　５２×５２＝　２７０４　
　　　１２×１２＝　　１４４　　　６２×６２＝　３８４４　
　　　２２×２２＝　　４８４　　　７２×７２＝　５１８４
　　　３２×３２＝　１０２４　　　８２×８２＝　６７２４
　　　４２×４２＝　１７６４　　　９２×９２＝　８４６４　

　　※　１の位の数は４
　　※　１０の位の数は、０，４，８，２，６　という順（全て偶数）


<<３　の列>>

　　　　３×　３＝　　　　９　　　５３×５３＝　２８０９
　　　１３×１３＝　　１６９　　　６３×６３＝　３９６９
　　　２３×２３＝　　５２９　　　７３×７３＝　５３２９
　　　３３×３３＝　１０８９　　　８３×８３＝　６８８９
　　　４３×４３＝　１８４９　　　９３×９３＝　８６４９

　　※　１の位の数は９
　　※　１０の位の数は、０，６，２，８，４　という順（全て偶数）

　　→０（ゼロ）を除くと<<２の列>>と逆！？


<<４　の列>>

　　　　４×　４＝　　　１６　　　５４×５４＝　２９１６
　　　１４×１４＝　　１９６　　　６４×６４＝　４０９６
　　　２４×２４＝　　５７６　　　７４×７４＝　５４７６
　　　３４×３４＝　１１５６　　　８４×８４＝　７０５６
　　　４４×４４＝　１９３６　　　９４×９４＝　８８３６

　　※　１の位の数は９
　　※　１０の位の数は、１，９，７，５，３　という順
　　　　（全て奇数で、９のあと、２ずつ下がって行く）

<<５　の列>>

　　　　５×　５＝　　　２５　　　５５×５５＝　３０２５
　　　１５×１５＝　　２２５　　　６５×６５＝　４２２５
　　　２５×２５＝　　６２５　　　７５×７５＝　５６２５
　　　３５×３５＝　１２２５　　　８５×８５＝　７２２５
　　　４５×４５＝　２０２５　　　９５×９５＝　９０２５

　　※　下２桁の数は全て２５
　　※　１００の位以降の数は、元の数の１０の位の数とその数に１を足した数の積
　　　　例：　６５→　６×７＝４２：　４２２５

<<６　の列>>

　　　　６×　６＝　　　３６　　　５６×５６＝　３１３６
　　　１６×１６＝　　２５６　　　６６×６６＝　４３５６
　　　２６×２６＝　　６７６　　　７６×７６＝　５７７６
　　　３６×３６＝　１２９６　　　８６×８６＝　７３９６
　　　４６×４６＝　２１１６　　　９６×９６＝　９２１６

　　※　１の位の数は３
　　※　１０の位の数は、３，５，７，９，１　という順
　　　　（全て奇数で、３のあと、２ずつ上がって行く）

<<７　の列>>

　　　　７×　７＝　　　４９　　　５７×５７＝　３２４９
　　　１７×１７＝　　２８９　　　６７×６７＝　４４８９
　　　２７×２７＝　　７２９　　　７７×７７＝　５９２９
　　　３７×３７＝　１３６９　　　８７×８７＝　７５６９
　　　４７×４７＝　２２０９　　　９７×９７＝　９４０９

　　※　１の位の数は９
　　※　１０の位の数は、４，８，２，６，０　という順（全て偶数）

　　→　２の列で出た、４、８、２、６が出てきました。
　　　　ただし、０がここでは後回しですね。


<<８　の列>>

　　　　８×　８＝　　　６４　　　５８×５８＝　３３６４
　　　１８×１８＝　　３２４　　　６８×６８＝　４６２４
　　　２８×２８＝　　７８４　　　７８×７８＝　６０８４
　　　３８×３８＝　１４４４　　　８８×８８＝　７７４４
　　　４８×４８＝　２３０４　　　９８×９８＝　９６０４

　　※　１の位の数は４
　　※　１０の位の数は、６，２，８，４，０　という順（全て偶数）

　　→　３の列で出た、６、２、８、４が出てきました。
　　　　同じく、０がここでも後回しですね。


<<９　の列>>

　　　　９×　９＝　　　８１　　　５９×５９＝　３４８１
　　　１９×１９＝　　３６１　　　６９×６９＝　４７６１
　　　２９×２９＝　　８４１　　　７９×７９＝　６２４１
　　　３９×３９＝　１５２１　　　８９×８９＝　７９２１
　　　４９×４９＝　２４１１　　　９９×９９＝　９８１１

　　※　１の位の数は１
　　※　１０の位の数は、８，６，４，２，０　という順
　　　　（全て偶数で、８のあと、２ずつ下がって行く）

　　

連番で並べた場合ほどの綺麗な規則ではないですが、それでも、クセ、というか傾向がでていますよね。

これはもともと法則のあった連番リストを、規則的に並べ変えたリストとも言えるので、
何らかの法則があったとしても、当然と言えば当然です。

その法則を意識しながら、この「１０飛びリスト」による暗記を進める、
これが「連番リスト」による暗記との相乗効果で記憶もより定着する、というのが狙いでした。

２乗したら下一桁の数は幾つか、１０の位の数に関しは、少なくとも偶数であるのか、奇数であるのか、
ということを意識しただけでも違うと思います。

※　２乗した数の１０の位が奇数になるのは、元々の数の下一桁が　４　と　６　の場合です。
　というのも　４　と　６　自体を２乗した場合、それぞれ　１６、３６　と　１０の位が奇数になるわけです。

　（１０ａ＋ｂ）＾２＝１００ａ＾２＋２０ａｂ＋ｂ＾２　ということを考えると、
　２乗の１０の位を奇数にする要素は　ｂ＾２　の部分からの繰り上がりしかなく、
　そうなると　４　か　６　の場合しかないということになります。

　



　

２桁の数の２乗 暗記法 その３ 計算法（１） その２

　＜＜２乗の数即算法＞＞　続きです。　

　

次に、２乗の数の即算法を具体的に考えます。まずは、観察から入ります。

これまでに、２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数の求め方を考えました。
そこで、その２５以下の数の２乗を、実際に対応する数の２乗から引いて見ましょう。

先ずは、各数の２乗の数から「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数の２乗」を引いてみます。

少なくとも、下二桁は同じですから、引き算すれば下二桁は００、すなわち１００の倍数にはなるはずです。

最初に、２６を考えます
　　　　　　　　　　　　　　　
　２６×２６　：　　　６７６　－　５７６　＝　　１００
　　　　　
　　ここで、６７６　はもちろん　２６の２乗、
　　５７６　は　２４　の２乗　です。
　　その差を取ると　１００　でした。

さらに２６から幾つか、順に見て行きます。

　２６×２６　：　　　６７６　－　５７６　＝　　１００
　２７×２７　：　　　７２９　－　５２９　＝　　２００
　２８×２８　：　　　７８４　－　４８４　＝　　３００
　２９×２９　：　　　８４１　－　４４１　＝　　４００
　３０×３０　：　　　９００　－　４００　＝　　５００
　３１×３１　：　　　９６１　－　３６１　＝　　６００
　３２×３２　：　　１０２４　－　３２４　＝　　７００
　３３×３３　：　　１０８９　－　２８９　＝　　８００
　３４×３４　：　　１１５６　－　２５６　＝　　９００
　３５×３５　：　　１２２５　－　２２５　＝　１０００
　３６×３６　：　　１２９６　－　１９６　＝　１１００
　。。。

こうしてみると、単に１００の倍数というだけでなく、きちんと規則的に並んでいます。

どうやら　２６　以降の２乗の数というのは、以下の形で書き表すことが出来そうです。

　（２乗の数）＝　（何か規則性のある１００の倍数）
　　　　　　　＋　「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」の２乗

そこで、実際にこの形に並べ直して見ましょう。

　２６×２６　＝　　１００　＋　５７６　＝　　６７６
　２７×２７　＝　　２００　＋　５２９　＝　　７２９
　２８×２８　＝　　３００　＋　４８４　＝　　７８４
　２９×２９　＝　　４００　＋　４４１　＝　　８４１
　３０×３０　＝　　５００　＋　４００　＝　　９００
　３１×３１　＝　　６００　＋　３６１　＝　　９６１
　３２×３２　＝　　７００　＋　３２４　＝　１０２４
　３３×３３　＝　　８００　＋　２８９　＝　１０８９
　３４×３４　＝　　９００　＋　２５６　＝　１１５６
　３５×３５　＝　１０００　＋　２２５　＝　１２２５
　３６×３６　＝　１１００　＋　１９６　＝　１２９６
　３７×３７　＝　１２００　＋　１６９　＝　１３６９
　。。。
　
これを見る限り、（なにか規則性のある１００の倍数）とは、

元の数から２５を引いた数の１００倍ではないか、と判ります。



確かめてみましょう；　元の数を ａ、ｂ を整数とします。

ここで、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」の求め方が、
元の数の範囲によって異なっていたことに注意して場合分けします。

先ず、ａ　が　２５以上５０以下のとき、これを見ます。

この時、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は　５０－ａ　で表わせました。
よって、上記の式にあてはめます。

元の数ａの２乗＝　１００のｂ倍の数　＋　（５０－元の数ａ）の２乗

　ａ＾２＝　ｂ×１００　＋　（５０－ａ）＾２

　ａ＾２　＝　１００ｂ　＋　２５００　－１００ａ　＋　ａ＾２
　１００ｂ　＝　１００（ａ－２５）

すなわち ｂ　＝　ａ－２５

となります。確かに２５を引いた数になりました。

つまり、こういうことです。

２乗の数：　（元の数－２５）×１００　＋　（５０－元の数）の２乗

となります。まずは、これを覚えて下さい。

　（やっと出ました、計算法）

部分的ですが、計算式を記述します。

　３２×３２　＝　（３２－２５）×１００　＋　（５０－３２）＾２　
　　　　　　　＝　　　　７　　　×１００　＋　　１８　×　１８　
　　　　　　　＝　　　　　　　７００　　　＋　　　　３２４
　　　　　　　＝　１０２４

　３３×３３　＝　（３３－２５）×１００　＋　（５０－３３）＾２
　　　　　　　＝　　　　８　　　×１００　＋　　１７　×　１７　
　　　　　　　＝　　　　　　　８００　　　＋　　　　２８９
　　　　　　　＝　１０８９

　３４×３４　＝　（３４－２５）×１００　＋　（５０－３４）＾２　＝　１１５６
　３５×３５　＝　（３５－２５）×１００　＋　（５０－３５）＾２　＝　１２２５
　３６×３６　＝　（３６－２５）×１００　＋　（５０－３６）＾２　＝　１２９６
　３７×３７　＝　（３７－２５）×１００　＋　（５０－３７）＾２　＝　１３６９
　３８×３８　＝　（３８－２５）×１００　＋　（５０－３８）＾２　＝　１４４４

この様に２乗の数は、「２５を引いて百倍」　と　「５０から引いて２乗」　の合計、
　という形であらわすことが出来ます。



次に、同様に、元の数が５０から７５の場合を見てみましょう。

この場合、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は　元の数－５０　となります。

よって、関係式は

元の数ａの２乗＝　１００のｂ倍の数　＋　（元の数ａ－５０）の２乗

と表わせます。

　ａ＾２＝　ｂ×１００　＋　（ａ－５０）＾２

　ａ＾２　＝　１００ｂ　＋　２５００　－１００ａ　＋　ａ＾２
　１００ｂ　＝　１００（ａ－２５）

すなわちｂ　＝　ａ－２５

となります。５０以下の数の場合と同様、元の数から２５を引いた数になりました。

つまり、こういうことです。

２乗の数：　（元の数－２５）×１００　＋　（元の数－５０）の２乗

計算例を見てみます。

　５１×５１　＝　（５１－２５）×１００　＋　（５１－５０）＾２
　　　　　　　＝　　２６　×　１００　　　＋　　１　×　１
　　　　　　　＝　　２６００　　　　　　　＋　　　　１　
　　　　　　　＝　　２６０１

　５２×５２　＝　（５２－２５）×１００　＋　（５２－５０）＾２
　　　　　　　＝　　２７　×　１００　　　＋　　２　×　２
　　　　　　　＝　　２７００　　　　　　　＋　　　　４　
　　　　　　　＝　　２７０４
　
　６３×６３　＝　（６３－２５）×１００　＋　（６３－５０）＾２
　　　　　　　＝　　３８　×　１００　　　＋　１３　×　１３
　　　　　　　＝　　３８００　　　　　　　＋　　　１６９　
　　　　　　　＝　　３９６９

正しく計算されていると思います。


　
では最後に、元の数が７５を超える場合を見ます。

この場合、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は　１００－元の数　でした。

よって、関係式は

（元の数ａ）の２乗＝　１００のｂ倍の数　＋　（１００－元の数ａ）の２乗

となります。これを展開すると。。

　ａ＾２＝　ｂ×１００　＋　（１００－ａ）＾２
　ａ＾２＝　１００ｂ　＋　１００００－２００ａ＋ａ＾２
　１００ｂ　＝　１００（２ａ－１００）
　ｂ　＝　２ａ－１００

と、ここで、１００の倍数部分の計算方法が変わってきました。
２ａ－１００　ですから　２倍して１００を引く、ということになります。

よって、７６以上の数の場合は

２乗の数：　　（元の数×２－１００）×１００　＋（１００－元の数）の２乗　となります。

　７６×７６　＝　（７６×２－１００）×１００　＋　（１００－７６）＾２
　　　　　　　　　（　１５２－１００）×１００　＋　　２４　×　２４
　　　　　　　＝　　　　　　　　５２　×１００　＋　　５７６
　　　　　　　＝　　５２００　＋　５７６　　　　　　　　
　　　　　　　＝　　５７７６

　７７×７７　＝　（７７×２－１００）×１００　＋　（１００－７７）＾２
　　　　　　　　　（　１５４－１００）×１００　＋　　２３　×　２３
　　　　　　　＝　　　　　　　　５４　×１００　＋　　５２９
　　　　　　　＝　　５４００　＋　５７６　　　　　　　　
　　　　　　　＝　　５９２９
　。。。

まとめると、「２倍して最初の１を取って百倍」　と　「１００から引いて２乗」　の合計、
ですね。

　　

　　
以上が２乗の数の計算法　その１　となります。（その２があります）

ここまでの内容に対し、以下、２、３の補足をしたいと思います。

１：　１の位の数が　５　の数の２乗　は　別途即算法の対象となる

　　　　　　　（１０の位の数）×（１０の位の数＋１）×１００　＋　２５

　　　例：　　６５×６５　＝　　６×７×１００　＋　２５　＝　４２２５
　
２：　４０台の数の２乗、５０台の数の２乗、９０台の数の２乗については
　　　　　「２桁の数の２乗　暗記法　その１」　を参照。
　　　上記２に示された計算法とどちらが速いか、しっくり来る方を押さえれば良いと考えます。

３：　計算式の適用についての補足

２６から５０までの数を対象とした２乗の数の計算式、

　　（元の数－２５）×１００　＋　（５０－元の数）の２乗

この計算式自体は、５０を超える数、７５を超える数でも　実は　正しい答えを導けます。
　　　
　例１：　５１以上７５までの数
　　　　　　　６８×６８　＝　（６８－２５）×１００　＋　（５０－６８）＾２
　　　　　　　　　　　　　＝　　４３　×　１００　＋　（－１８）　×　（－１８）
　　　　　　　　　　　　　＝　　４３００　＋　３２４
　　　　　　　　　　　　　＝　　４６２４
　
　この場合、「５０－元の数」の部分でマイナスの数になってしまいますが、
　２乗するので結局同じことになるのです。

　ただし、考え方としては、「元の数－５０」から入るのが正しいと思います。　

　例２：　７５を超える数
　　　　　　　８３×８３　＝　（８３－２５）×１００　＋　（５０－８３）＾２
　　　　　　　　　　　　　＝　　５８　×　１００　＋　（－３３）　×　（－３３）
　　　　　　　　　　　　　＝　　５８００　＋　１０８９
　　　　　　　　　　　　　＝　　６８８９

　（５０－元の数）の２乗の部分が、２乗すると下二桁が同じになる数のうち、２５以下ではない、
　２番目に大きい数の２乗と等しくなっています。
　
　これも、一旦マイナスの数として計算されるものの、２乗するためにプラスになり、その様になります。

　よって、この２乗の部分が　３３×３３＝１０８９、いう形で、
　本来適用すべき計算式である　１７×１７＝２８９　よりも　８００　大きくなっています。

　しかし、逆に１００の倍数部分は　５８００　と計算され、（８３×２－１００）×１００　と計算する　
　６６００　よりも　８００　少なくなっています。

　だから、結局同じ結果になっているのです。
　
　一見、不思議かも知れませんが、これは逆に導けない方がおかしいわけです。

　
　以上を踏まえると、場合分けに関しても簡素化することも出来ます。

　つまり、５０から７５までの数の計算においては、５０以下の計算方法を用いても、
　発生するマイナスの数は２乗されプラスに戻って結局同じ、という風に考えれば、
　
　この計算法も単純に７５以下とそれ以上に分けて、

　　　７５以下の場合、２５を引いて１００倍、それに　５０から引いた数の２乗を足す　　、
　　　７５以下の場合、２倍して左の１を取って１００倍、それに１００との差の２乗を足す、

この様にしても良いかも知れません。


　　

２桁の数の２乗 暗記法 その２ 計算法（１） その１

本稿は、２桁の数の２乗の数を順列に並た際に現れる法則性を見つけようという試みです。
その法則性を用いて、何らかの形で２乗の数の計算法、即算法を考えたいと思います。

そのためには、先ずは実際に並べて観察することが第一歩と思われますので、下記に並べます。
ここでは、０から５０までの２乗　と　５１以降のもの　を横並びにしてあります。

ここで具体的に注目いただきたいのが２乗の数の「下二桁の数」です。

　　　　０×　０＝　　　０ 　　　　５０×５０＝２５００
　　　　１×　１＝　　　１ 　　　　５１×５１＝２６０１
　　　　２×　２＝　　　４ 　　　　５２×５２＝２７０４
　　　　３×　３＝　　　９ 　　　　５３×５３＝２８０９
　　　　４×　４＝　　１６ 　　　　５４×５４＝２９１６
　　　　５×　５＝　　２５ 　　　　５５×５５＝３０２５
　　　　６×　６＝　　３６ 　　　　５６×５６＝３１３６
　　　　７×　７＝　　４９ 　　　　５７×５７＝３２４９
　　　　８×　８＝　　６４ 　　　　５８×５８＝３３６４
　　　　９×　９＝　　８１ 　　　　５９×５９＝３４８１

　　　１０×１０＝　１００ 　　　　６０×６０＝３６００
　　　１１×１１＝　１２１ 　　　　６１×６１＝３７２１
　　　１２×１２＝　１４４ 　　　　６２×６２＝３８４４
　　　１３×１３＝　１６９ 　　　　６３×６３＝３９６９
　　　１４×１４＝　１９６ 　　　　６４×６４＝４０９６
　　　１５×１５＝　２２５ 　　　　６５×６５＝４２２５
　　　１６×１６＝　２５６ 　　　　６６×６６＝４３５６
　　　１７×１７＝　２８９ 　　　　６７×６７＝４４８９
　　　１８×１８＝　３２４ 　　　　６８×６８＝４６２４
　　　１９×１９＝　３６１ 　　　　６９×６９＝４７６１

　　　２０×２０＝　４００ 　　　　７０×７０＝４９００
　　　２１×２１＝　４４１ 　　　　７１×７１＝５０４１
　　　２２×２２＝　４８４ 　　　　７２×７２＝５１８４
　　　２３×２３＝　５２９ 　　　　７３×７３＝５３２９
　　　２４×２４＝　５７６ 　　　　７４×７４＝５４７６
　　　２５×２５＝　６２５ 　　　　７５×７５＝５６２５
　　　２６×２６＝　６７６ 　　　　７６×７６＝５７７６
　　　２７×２７＝　７２９ 　　　　７７×７７＝５９２９
　　　２８×２８＝　７８４ 　　　　７８×７８＝６０８４
　　　２９×２９＝　８４１ 　　　　７９×７９＝６２４１
　　　３０×３０＝　９００ 　　　　８０×８０＝６４００

　　　３１×３１＝　９６１ 　　　　８１×８１＝６５６１
　　　３２×３２＝１０２４ 　　　　８２×８２＝６７２４
　　　３３×３３＝１０８９ 　　　　８３×８３＝６８８９
　　　３４×３４＝１１５６ 　　　　８４×８４＝７０５６
　　　３５×３５＝１２２５ 　　　　８５×８５＝７２２５
　　　３６×３６＝１２９６ 　　　　８６×８６＝７３９６
　　　３７×３７＝１３６９ 　　　　８７×８７＝７５６９
　　　３８×３８＝１４４４ 　　　　８８×８８＝７７４４
　　　３９×３９＝１５２１ 　　　　８９×８９＝７９２１
　　　４０×４０＝１６００ 　　　　９０×９０＝８１００

　　　４１×４１＝１６８１ 　　　　９１×９１＝８２８１
　　　４２×４２＝１７６４ 　　　　９２×９２＝８４６４
　　　４３×４３＝１８４９ 　　　　９３×９３＝８６４９
　　　４４×４４＝１９３６ 　　　　９４×９４＝８８３６
　　　４５×４５＝２０２５ 　　　　９５×９５＝９０２５
　　　４６×４６＝２１１６ 　　　　９６×９６＝９２１６
　　　４７×４７＝２２０９ 　　　　９７×９７＝９４０９
　　　４８×４８＝２３０４ 　　　　９８×９８＝９６０４
　　　４９×４９＝２４０１ 　　　　９９×９９＝９８０１
　　　５０×５０＝２５００ 　　　１００×１００＝１００００

お気づきの通り、この左右２列に並んだ２乗の数、下二桁の数が同じです。
横に並んだ同士、数は５０異なるわけですが、

　５０異なる２つの数の２乗の下二桁は同じ

となるのです。

となると、少なくとも５０までの数の２乗を覚えてしまえば、
５１から９９までの２乗は、半分は覚えた同じ、と言えます。（ちょっと苦しいですが）

　　つまり　例えば、３１×３１＝９６１　と覚えたなら、
　　３１　に　５０　を足した　８１×８１　は　少なくとも　「ＸＸ６１」　と判ります。

　　８０×８０　は　６４００　だから　６４６１　か、６５６１　あたりだ、と推測。

　　８０×８１　は　６４８０　だから、６４６１　はなく、６５６１、という感じです。

　　

この気付きだけでも暗記のためには価値がありますが、話はこれだけでは終わりません。

さらに、２５×２５＝６２５　を中心として　上下に一つずつ移動しながら、二つの数の２乗の数の下二桁を比較してみて下さい。
これも同じ数になっています。

つまり、０から２４までの２乗の数の下二桁の数に現れた数は、２５を境として
　　　　２６から５０までの２乗の数の下二桁に逆順に現れる、ということなんです。

　　　　まるで、２５の地点で鏡に写したかのごとくです。


これは、前回２０台の数の２乗のグループの中での特徴として指摘しましたが、実はその外側にも広がっている話だったのです。

視覚的に確認しやすいように、２５から後半を逆順に並べてみます。

　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　０　×　０　＝　　　０　　　５０　×　５０　＝　２５００
　　　　１　×　１　＝　　　１　　　４９　×　４９　＝　２４０１
　　　　２　×　２　＝　　　４　　　４８　×　４８　＝　２３０４
　　　　３　×　３　＝　　　９　　　４７　×　４７　＝　２２０９
　　　　４　×　４　＝　　１６　　　４６　×　４６　＝　２１１６
　　　　５　×　５　＝　　２５　　　４５　×　４５　＝　２０２５
　　　　６　×　６　＝　　３６　　　４４　×　４４　＝　１９３６
　　　　７　×　７　＝　　４９　　　４３　×　４３　＝　１８４９
　　　　８　×　８　＝　　６４　　　４２　×　４２　＝　１７６４
　　　　９　×　９　＝　　８１　　　４１　×　４１　＝　１６８１
　　１０　×　１０　＝　１００　　　４０　×　４０　＝　１６００
　　１１　×　１１　＝　１２１　　　３９　×　３９　＝　１５２１
　　１２　×　１２　＝　１４４　　　３８　×　３８　＝　１４４４
　　１３　×　１３　＝　１６９　　　３７　×　３７　＝　１３６９
　　１４　×　１４　＝　１９６　　　３６　×　３６　＝　１２９６
　　１５　×　１５　＝　２２５　　　３５　×　３５　＝　１２２５
　　１６　×　１６　＝　２５６　　　３４　×　３４　＝　１１５６
　　１７　×　１７　＝　２８９　　　３３　×　３３　＝　１０８９
　　１８　×　１８　＝　３２４　　　３２　×　３２　＝　１０２４
　　１９　×　１９　＝　３６１　　　３１　×　３１　＝　　９６１
　　２０　×　２０　＝　４００　　　３０　×　３０　＝　　９００
　　２１　×　２１　＝　４４１　　　２９　×　２９　＝　　８４１
　　２２　×　２２　＝　４８４　　　２８　×　２８　＝　　７８４
　　２３　×　２３　＝　５２９　　　２７　×　２７　＝　　７２９
　　２４　×　２４　＝　５７６　　　２６　×　２６　＝　　６７６
　　２５　×　２５　＝　６２５　　　　　同じ数が逆順で並ぶ↑

以上の様に、確かに２５で反転し、順番が逆になり同じ数が並んでいます。

　　

ではこの数字の並びの２つの特徴に関し、何故そのようなことが言えるのか、数式で一般化してみましょう。


まず一つ目、「５０の差がある２つの２桁の整数の２乗は、下二桁が同じ」ということですが、
以下の通り考えます。

２つの数の、小さい方を　ａ 、大きい方を ａ＋５０ とします。（ａは４９以下の自然数）

この二つの数の２乗の数の大きい方から小さい方を引きます。

　　（ａ＋５０）×（ａ＋５０）－ａ×ａ
　＝（ａ＾２＋１００ａ＋２５００）－ａ＾２）
　＝１００ａ＋２５００
　＝１００（ａ＋２５）　　となります。

つまり、１００の倍数となりました。

２数の一方からもう一方を引き算したら百の倍数、すなわち下二桁が００になるということは、
元々の数の２つの数の下２桁は等しかった、ということになります。



次に、「２５で反転し同じ下２桁の数が逆順で現れる」というのはどうでしょうか。
（ここでは、０から５０までの数に限定して考えます）

これは言い換えると、「２５から等距離にある２つの整数の２乗の数は、下二桁が同じ」
となります。

そこで、この２５を挟んだ数の、小さい方を　２５－ａ 、大きい方を ２５＋ａ とします。
（ａは２４以下の自然数）

先程と同様、この二つの数の２乗の数の大きい方から小さい方を引き算します。

　　（２５＋ａ）×（２５＋ａ）－（２５－ａ）×（２５－ａ）
　＝（６２５＋５０ａ＋ａ＾２）－（６２５－５０ａ＋ａ＾２）
　＝１００ａ

となり、これも１００の倍数です。

つまり、この場合も、もともとの２つの数の下二桁の数は等しいということになります。

。。。意外な事実でしたね。



以上、２つの法則を再確認します。

　
　「２５から等距離にある２つの整数の２乗の数は、下二桁が同じ」
　「５０の差がある２つの２桁の整数の２乗の数は、下二桁が同じ」

この二つの法則を統合いたしますと、

　０から２５までの２乗の数の下二桁に現れた数は、２５から５０までに逆順に現れ、
　さらに、５０から７５までに再度同じ順番で現れ、再び７５から１００まで逆順に現れる

と言えます。

つまり、２乗の数の下二桁の数のパターンは、０から２５　までに全て現れてしまうのです。
２６以降、違う数は出てきません。

ここで暗記の話に戻りますが、先ほど２乗の数は５０まで覚えれば、５１から９９までは
半分覚えたも同じ、という言い方をしました。

ところが、２６から５０までの２乗の下二桁も、０から２５まで場合の繰り返しだとしたならば、
暗記する２乗の数はさらに半分で済むわけです。

ただし、逆順に現れる数字の対応関係のつかみ方に慣れる必要もありますし、百の位、千の位は依然不明です。

そこで、もう一歩踏み込んで、何か上手な形で１から２５までの２乗の数を使って、
それ以降（２６以降）の２乗の数を導き出す方法がないものか、考えてみましょう。


　　


ここで、論を進める前に、「２乗の数の下二桁が同じとなる数のグループ」について考察を深めておきます。
これもまた、具体的に数字を並べてみましょう。

整数を２乗した場合の下二桁の数　と　対応する０から１００までの数

２乗の下二桁　　対応する１００までの数（その２乗）
００：　　０（　　０）　５０（２５００）　　　　　　　　　１００（１００００）
０１：　　１（　　１）　４９（２４０１）　５１（２６０１）　９９（９８０１）
０４：　　２（　　４）　４８（２３０４）　５２（２７０４）　９８（９６０４）
０９：　　３（　　９）　４７（２２０９）　５３（２８０９）　９７（９４０９）
１６：　　４（　１６）　４６（２１１６）　５４（２９１６）　９６（９２１６）
２５：　　５（　２５）　４５（２０２５）　５５（３０２５）　９５（９０２５）
３６：　　６（　３６）　４４（１９３６）　５６（３１３６）　９４（８８３６）
４９：　　７（　４９）　４３（１８４９）　５７（３２４９）　９３（８６４９）
６４：　　８（　６４）　４２（１７６４）　５８（３３６４）　９２（８４６４）
８１：　　９（　８１）　４１（１６８１）　５９（３４８１）　９１（８２８１）
００：　１０（１００）　４０（１６００）　６０（３６００）　９０（８１００）
２１：　１１（１２１）　３９（１５２１）　６１（３７２１）　８９（７９２１）
４４：　１２（１４４）　３８（１４４４）　６２（３８４４）　８８（７７４４）
６９：　１３（１６９）　３７（１３６９）　６３（３９６９）　８７（７５６９）
９６：　１４（１９６）　３６（１２９６）　６４（４０９６）　８６（７３９６）
２５：　１５（２２５）　３５（１２２５）　６５（４２２５）　８５（７２２５）
５６：　１６（２５６）　３４（１１５６）　６６（４３５６）　８４（７０５６）
８９：　１７（２８９）　３３（１０８９）　６７（４４８９）　８３（６８８９）
２４：　１８（３２４）　３２（１０２４）　６８（４６２４）　８２（６７２４）
６１：　１９（３６１）　３１（　９６１）　６９（４７６１）　８１（６５６１）
００：　２０（４００）　３０（　９００）　７０（４９００）　８０（６４００）
４１：　２１（４４１）　２９（　８４１）　７１（５０４１）　７９（６２４１）
８４：　２２（４８４）　２８（　７８４）　７２（５１８４）　７８（６０８４）
２９：　２３（５２９）　２７（　７２９）　７３（５３２９）　７７（５９２９）
７６：　２４（５７６）　２６（　６７６）　７４（５４７６）　７６（５７７６）
２５：　２５（６２５）　　　　　　　　　　７５（５６２５）
　　　　（列１）　　　　（列２）　　　　（列３）　　　　（列４）
<<観察>>
　　（列１の数）＋（列２の数）＝　５０　
　　（列１の数）＋　５０　＝　（列３の数）　　（列２の数）＋　５０　＝　（列４の数）
　　（列１の数）＋（列４の数）＝　１００
　（ちょっと上記の関係を確認してから次に進んで下さい。）

　　
　　

上記に観察できます通り、２乗すると下二桁の数が同じとなる数のグループは基本的には４つの数で構成されます。
これは、０から２５までの２乗の下二桁に現れた数が、以後３回、逆順、正順、逆順と現れる、
すなわちトータル４回現れますので、その様になります。

ただし、００と２５については、該当する数字の数だけを言えば４つ以上になります。
これは５の倍数と１０の倍数の特性によるものですが、上記の表では便宜的に分けて表示しています。

２乗計算の即算法では、この４つの数のうち、最もも小さい数、すなわち「０から２５までの数」の２乗　
を使いたかったわけです。

上記の表で見るならば、ある数字を考えた時に、その数が属しているグループの中で一番左側の数が判ればよい。
これを先ずは想起したい。


その計算法を考えます。




そこでまず、２乗をすると下二桁が同じ数になる２つの数、これにはどういう性質があったか。
ここから入ります。（２つ挙げましたね）

順序は前後しますが、先ず「２５から等距離にある」ということが一つありました。

「２５から等距離。。」といっても判りにくいですので、言い換えを一回しておきます。

２乗をすると下二桁が同じ数になる２数があり、それぞれ　ａ，ｂ（ａ＞ｂ）とします。
また、ｂは２５以下であり、数ａが与えられた場合、求めたい数とします。

その２数の２５からの距離が等しかった場合、　２５－ａ＝ｂ－２５
よって　ａ＋ｂ＝５０

つまり、２数の合計が５０になる時、それぞれの２乗の数の下二桁は等しくなります。

よって、元の数をａに対し、２乗すると下二桁が同じとなる数　ｂ　は　ｂ＝５０－ａ　の関係が成り立ちます。

また、ｂは２５以下ですので、ｂ＝＜２５　より、
　　５０－ａ　＝＜　２５
　　２５　＝＜　ａ

すなわち　ａ　は２５以上、

また、ｂは０以上であるため、０＝＜ｂ
これより　０　＝＜　５０－ａ
　　　　　ａ　＝＜　５０

すなわち　ａ　は　５０　以下

よって、元の数が２５以上５０以下の時、
２乗すると下二桁が同じとなる数は　（５０－元の数）　で求められます。

　　
では次に、「５０の差がある数」という性質から考えを展開します。

同じく、２乗をすると下二桁が同じ数になる２数があり、それぞれ　ａ，ｂ（ａ＞ｂ）とします。
この２数の場合は、「５０の差」があることとします。

よって　ｂ＝ａ－５０

ｂは２５以下より、ｂ＝＜２５、
よって　ａ－５０　＝＜　２５
　　　　ａ　＝＜　７５

すなわち　ａ　は７５以下

また、ｂは０以上であるため、０＝＜ｂ
これより　０　＝＜　ａ－５０
　　　　５０　＝＜　ａ

すなわち　ａ　は　５０　以上

よって、元の数が５０以上７５以上の時、
２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数は　（元の数－５０）　となります。


ここで、２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数の導き方が２通り出てきました。
　
　元の数ａ　が　２５以上５０以下だったら　５０－ａ
　元の数ａ　が　５０以上７５以下だったら　ａ－５０

何やら５０より小さければ５０から引き、５０より大きければ５０を引く、というこ

とですね。

ここで一旦、例を出して確認し、それから次に行きましょう

　２７の場合　　５０－２７　＝　２３
　６８の場合　　６８－５０　＝　１８

確かめます　２７×２７＝　７２９、　２３×２３＝　５２９、　下二桁は２９で同じ
　　　　　　６８×６８＝４６２４、　１８×１８＝　３２４、　下二桁は２４で同じ



では次に、上記の場合から外れた範囲、元の数が　７５以上（１００以下）となった場合、どのように計算するのでしょうか。

元の数ａが７５以上の場合、ａ－５０　は　ａと２乗した場合下二桁同じになりますが、２５　以下にはなりません。
ただし、さらに計算して、５０から（ａ－５０）を引いた数ｂ　これは２５以下になると同時に、もとの数ａとも２乗した場合に下二桁が同じ数になります。

すなわち　　ｂ＝５０－（ａ－５０）
　　　　　　　＝１００－ａ
　　　　
よって、元の数が７５以上１００以下の時、
２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数は　（１００－元の数）　です。


１００から引く、ですね。。。
　
例をあげると、８８の場合、１００－８８　で　１２　となります。
これも確かめます：　８８×８８＝　７７４４、　１２×１２＝　１４４、　下二桁は４４で同じ！

正しいですね。


これで「２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数の求め方」が全て揃いました。

　元の数ａ　が　

　　　２５以上　５０以下だったら　５０－ａ
　　　５０以上　７５以下だったら　ａ－５０
　　　７５以上１００以下だったら　１００－ａ


そこで次回は　いよいよこの求め方を用いた２乗の数の計算方法に入ります。


　　

２桁の数の２乗 暗記法 その１ 導入

これから、「２桁の数の２乗」を暗記するコツについて述べます。

２桁の九九全部を覚えよう、というわけではありません。それは膨大な数となります。


やろうとしているのは２乗だけです。その数　８１通り　です。


これは、大体、九九の数と同じですので、そう思えば、暗記も可能、ですね。

２桁の掛け算全体の中では少ないとも言える８１通りの計算ですが、暗記にメリットはあります。
もちろん暗記の過程で頭の体操になるということもありますが、
２乗の数の差　を利用した　即算法（かかし掛け算）　が出来るようになるのです。

繰り返しにはなりますが、例えば

　　　７６　×　７２　などは　　７４×７４　引く　２×２　で　５４７２　
　　
と即算できるようになります。

個人差はあるかと思いますが、相当なバターンの計算をこれで行えるようになります。


そこで、「やってみようか」と思われる方、是非、まずはこの暗記法を通読して見て下さい、
半分は２乗の数の暗記に成功したような「気分」になれるはずです。それ以降は努力、ということですね。



それで「暗記法」、基本的には
　
　１１×１１＝　１２１
　１２×１２＝　１４４
　　。。。
　　。。。。

　９９×９９＝９８０１

という連番のリストに基づいて覚えるのが良いです。


（何だ、そのまんま。。。）





これを、通常の九九同様、「インイチ　ひゃくにじゅういち」なり
「じゅういち　イチニイイチ」なり自分なりに呼びやすい形で唱える。
唱えるのに突っかかったら暗算するなり、答えを見るなりして、覚え直す。。

これです。

しかし、その際、気をつけることが一つあります。

この２乗の数というものは、順番に並べていくと色々と規則性、法則が見受けられるのです。
その規則性を意識しながら暗記に取り組むのです。

そうすることによって、無味乾燥に見えていた３桁あるいは４桁の数が「親しみのある」あるいは
「意味のある」数字に見えてきます。これが記憶の一助となります。

しかし、規則性を見ながら覚えるというのは、一方で記憶の想起の補助にはなるが、
逆に「規則性に頼らなければ思い出せない」という結果に陥りかねません。
また、リストが一つだけだと、「この順番でなければ思い出せない」という形になることもあり得ます。


そこで、２乗の数の「リスト」は、上記に挙げた「連番」のものと同時に、
下ひと桁の数が同じ数でまとめた、「１０飛び」リストも用意します。

「１０飛びのリスト」とは具体的に、例えば下ひと桁が２のリストなら、

　　　　２×　２＝　　　　４　　　５２×５２＝　２７０４　
　　　１２×１２＝　　１４４　　　６２×６２＝　３８４４　
　　　２２×２２＝　　４８４　　　７２×７２＝　５１８４
　　　３２×３２＝　１０２４　　　８２×８２＝　６７２４
　　　４２×４２＝　１７６４　　　９２×９２＝　８４６４　


というものです。

ぱっと見ただけでも、２乗の下ひと桁は４だな、と判りますが、それ以外にも多少の法則があります。
よってその法則を意識しながら暗記に取組みます。

そしてこの「連番」と「１０飛び」のリストを交互に利用し、縦横、別の視点から規則性を考えつつ暗記に取り組めば、
弱点を補い合い、相乗効果によってより確実に記憶が定着出来る、というのが主旨です。


最初は、雑紙の裏にでも計算練習を兼ねて暗算しながらリストを２種類つくってみるとよいと思います。
以降は、その紙を使って練習する、これで良いでしょう。

また、今回は２乗の数の計算方法を２種類提示致します。それぞれのリストを暗記する際、検算する際に、
違った計算方法をとることにより、別の角度から数字に取り組みます。


いずれにせよ、完全に暗記出来てしまえば、これから述べることは不要となるわけです。
「完全暗記」とは九九並みに「瞬時に」想起出来ることです。ゴールはそこにおいて頑張って下さい。

　


では先ず、連番のリストについて考えます。


まず手始めに、１０の位が同じ数のグループごとに分けてその数字の動きが判りやすいものを挙げてみます。
順番に並んだ式を取りあえず見てみて下さい。


<<２０台の数、７０台の数>>　
　　　下二桁に注目すると、前半で出てきた数が、後半では逆順で現れる。
　　　
　　　すなわち　４１→８４→２９ →７６ →２５→７６ →２９ →８４→４１

　　　２１×２１＝　４４１ 　　　７１×７１＝　５０４１
　　　２２×２２＝　４８４ 　　　７２×７２＝　５１８４
　　　２３×２３＝　５２９ 　　　７３×７３＝　５３２９
　　　２４×２４＝　５７６ 　　　７４×７４＝　５４７６
　　　２５×２５＝　６２５ 　　　７５×７５＝　５６２５
　　　２６×２６＝　６７６ 　　　７６×７６＝　５７７６
　　　２７×２７＝　７２９ 　　　７７×７７＝　５９２９
　　　２８×２８＝　７８４ 　　　７８×７８＝　６０８４
　　　２９×２９＝　８４１ 　　　７９×７９＝　６２４１

　
<<４０台の数>>　上２桁は　１５に１の位の数を足す。
　　　　　　　　下２桁は　１０から１の位の数を引いた数同士の積

　　　４１×４１＝　１６８１　　→　１５＋１　と　９×９　
　　　４２×４２＝　１７６４　　→　１５＋２　と　８×８　
　　　４３×４３＝　１８４９　　→　１５＋３　と　７×７　
　　　４４×４４＝　１９３６　　→　１５＋４　と　６×６　
　　　４５×４５＝　２０２５　　→　１５＋５　と　５×５　
　　　４６×４６＝　２１１６　　→　１５＋６　と　４×４　
　　　４７×４７＝　２２０９　　→　１５＋７　と　３×３　
　　　４８×４８＝　２３０４　　→　１５＋８　と　２×１　
　　　４９×４９＝　２４０１　　→　１５＋９　と　１×１

　
<<５０台の数>>　上２桁は　２５に１の位の数を足す。
　　　　　　　　下２桁は　１の位の数同士の積

　　　５１×５１＝　２６０１　　→　２５＋１　と　１×１
　　　５２×５２＝　２７０４　　→　２５＋２　と　２×２
　　　５３×５３＝　２８０９　　→　２５＋３　と　３×３
　　　５４×５４＝　２９１６　　→　２５＋４　と　４×４
　　　５５×５５＝　３０２５　　→　２５＋５　と　５×５
　　　５６×５６＝　３１３６　　→　２５＋６　と　６×６
　　　５７×５７＝　３２４９　　→　２５＋７　と　７×７
　　　５８×５８＝　３３６４　　→　２５＋８　と　８×８
　　　５９×５９＝　３４８１　　→　２５＋９　と　９×９


<<９０台の数>>　上２桁は　８０に１の位の数の２倍の数を足す。
　　　　　　　　下２桁は　１０から１の位の数を引いた数同士の積

　　　９１×９１＝　８２８１　　→　８０＋１×２　と　９×９　
　　　９２×９２＝　８４６４　　→　８０＋２×２　と　８×８
　　　９３×９３＝　８６４９　　→　８０＋３×２　と　７×７
　　　９４×９４＝　８８３６　　→　８０＋４×２　と　６×６
　　　９５×９５＝　９０２５　　→　８０＋５×２　と　５×５
　　　９６×９６＝　９２１６　　→　８０＋６×２　と　４×４
　　　９７×９７＝　９４０９　　→　８０＋７×２　と　３×３
　　　９８×９８＝　９６０４　　→　８０＋８×２　と　２×２
　　　９９×９９＝　９８０１　　→　８０＋９×２　と　１×１

４０、５０、９０の台の数の規則については、これは言わば即算法です。
この規則を覚えてしまえば、あえて個別の数の暗記する必要もない程です。


以上、ざっと法則を４つ見ました。これだけでも、十分記憶に役立ちますよね。

ところでこの一見バラバラに見える４つの法則ですが、実はさらに大きな一つの法則の中でつがなっているのです。

次回、これについて考えます。

二桁の数の２乗 その２ 語呂合わせ

２桁の数の２乗のゴロ合わせによる覚え方。いわゆる平方数。

以降、留意点
　※　２１はニンジン、６１は老人とすることがある
　※　１の位が５の数は即算法で対応するのが良い・
　※　同じく５０台並びに９０台の数も即算法にて対応
　※　その他、思い浮かばないものは断念。

　※　気合いを入れて覚えたい方は別途「暗記法」の記事を読まれることをお勧めします。

　

　１１×１１：　　　１２１　一本でもニンジン
　１２×１２：　　　１４４　
　１３×１３：　　　１６９　いざ　一郎君
　１４×１４：　　　１９６　いよいよ　ひと苦労
　１５×１５：　　　２２５　１×２　と　２５
　１６×１６：　　　２５６　色、にごろ
　１７×１７：　　　２８９　いいな、二泊
　１８×１８：　　　３２４　いいや、壬生市で　（すみません、壬生の方。。）
　１９×１９：　　　３６１　行く、三老人　（別バージョン：　行く、サーロイン）
　２０×２０：　　　４００
　
　２１×２１：　　　４４１　ニンジン　よし一本
　２２×２２：　　　４８４　
　２３×２３：　　　５２９　兄さん　小肉　（こ憎い）
　２４×２４：　　　５７６　西　コナろく
　２５×２５：　　　６２５　２×３　と　２５
　２６×２６：　　　６７６　
　２７×２７：　　　７２９　次男、何喰う？
　２８×２８：　　　７８４　庭　の　菜っ葉よ
　２９×２９：　　　８４１　肉、はよ炒めて
　３０×３０：　　　９００　

　３１×３１：　　　９６１　サイ、黒い
　３２×３２：　　１０２４　さん、にい、いち、ぜろ、２４時
　３３×３３：　　１０８９　さんざん、投薬
　３４×３４：　　１１５６　写真、いい頃
　３５×３５：　　１２２５　３×４　と　２５
　３６×３６：　　１２９６　三郎　一人に苦労　あり
　３７×３７：　　１３６９　みんな　一人で三郎君
　３８×３８：　　１４４４　散髪　いいよ　よし
　３９×３９：　　１５２１　さんきゅう　以後ニンジン
　４０×４０：　　１６００
　
　４１×４１：　　１６８１　良い　色は一つ
　４２×４２：　　１７６４　世にも　異な虫


　４３×４３：　　１８４９　シーザー　卑しく
　４４×４４：　　１９３６　志士　戦録
　４５×４５：　　２０２５　４×５　と　２５
　４６×４６：　　２１１６　城　　ニンジン色
　４７×４７：　　２２０９　品　にふた置く
　４８×４８：　　２３０４　夜は　にいさんオシッコ
　４９×４９：　　２４０１　ショック　によわい



　５０×５０：　　２５００　　２５＋０　と　０×０
　５１×５１：　　２６０１　　２５＋１　と　１×１
　５２×５２：　　２７０４　　２５＋２　と　２×２
　５３×５３：　　２８０９　　２５＋３　と　３×３
　５４×５４：　　２９１６　　２５＋４　と　４×４　
　５５×５５：　　３０２５　　２５＋５　と　５×５　／　５×６　と　２５
　５６×５６：　　３１３６　　２５＋６　と　６×６
　５７×５７：　　３２４９　　２５＋７　と　７×７
　５８×５８：　　３３６４　　２５＋８　と　８×８　
　５９×５９：　　３４８１　　２５＋９　と　９×９　
　６０×６０：　　３６００　

　６１×６１：　　３７２１　老人　みなニンジン



　６２×６２：　　３８４４　六時に　散髪よし　／　無事、散髪　獅子



　６３×６３：　　３９６９　無残　さくろく
　６４×６４：　　４０９６　虫、　四匹　送ろう
　６５×６５：　　４２２５　６×７　と　２５
　６６×６６：　　４３５６　碌々、資産転がし
　６７×６７：　　４４８９　むな　しい予約

　６８×６８：　　４６２４　牢屋　城に四つ



　６９×６９：　　４７６１　無垢、シナ老人
　７０×７０：　　４９００　

　７１×７１：　　５０４１　ないなら　これよい



　７２×７２：　　５１８４　なんつー　か　こぉぅ、イヤヨ　　／　ナニ?　来い！　ヤーヨ。


　　　　　　　　

　７３×７３：　　５３２９　奈々さん　ゴミ拭く
　７４×７４：　　５４７６　梨、　こよなむ
　７５×７５：　　５６２５　７×８　と　２５
　７６×７６：　　５７７６　南路　航南南路
　７７×７７：　　５９２９　なんなら　高級肉

　７８×７８：　　６０８４　悩む、大家よ



　７９×７９：　　６２４１　泣く、　老武士一人


　８０×８０：　　６４００　
　８１×８１：　　６５６１　はい、　老後老人
　８２×８２：　　６７２４　ハニー　ろくななにいよん　　（全く無意味）
　８３×８３：　　６８８９　ばーさん　ロバ焼く



　８４×８４：　　７０５６　箸　なら驕ろう



　８５×８５：　　７２２５　８×９　と　２５
　８６×８６：　　７３９６　波浪、波苦労

　８７×８７：　　７５６９　バナ　ナ５本むく



　８８×８８：　　７７４４　パパは　名無しよ

　８９×８９：　　７９２１　焼く　な、　９本ニンジンを



　９０×９０：　　８１００

　９１以降の即算法

　まず　　元の数と１００との差を出す　　そして　
　　　その数を元の数から引く　これが千の位と百の位
　　　その百との差の２乗　　　これが十の位と一の位
　以上をつなげる

　９１×９１：　９１－９　で　８２、　９×９　で　８１　つなげて　８２８１
　９２×９２：　９２－８　で　８４、　８×８　で　６４　つなげて　８４６４
　９３×９３：　９３－７　で　８６、　７×７　で　４９　つなげて　８６４９
　９４×９４：　９４－６　で　８８、　６×６　で　３６　つなげて　８８３６
　９５×９５：　９５－５　で　９０、　５×５　で　２５　つなげて　９０２５
　９６×９６：　９６－４　で　９２、　４×４　で　１６　つなげて　９２１６
　９７×９７：　９７－３　で　９４、　３×３　で　　９　つなげて　９４０９
　９８×９８：　９８－２　で　９６、　２×２　で　　４　つなげて　９６０４
　９９×９９：　９９－１　で　９８、　１×１　で　　１　つなげて　９８０１

　１００×１００：　　１００００

　
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二桁の数の２乗 その１

２桁の数の２乗の数について暗記したいと考えた。
そんなもの覚えてどれだけの意味があるのか。




およそ２桁同士の掛け算の暗算を考えたときに、何通りあるのか？ということに対し、よく９０×９０で約８１００通りとか大げさに言われることもある。

しかし１０の倍数を含んでいれば、実際には２桁×１桁の暗算と同等と考えられるし、かける数とかけられる数を入れ替えれば同じ計算なので、
そこのダブりを相殺したりすると実際のパターン数としてはぐっと少なくなる。

数えると３３２１通りということになります。これを攻略すれば良い、ということですな。

２年前の春から夏休みにかけて私は小学三年生の息子にこの３３２１通りの掛け算を全てやらせてみた。

最初は世に言うインド式の計算法なるものも教えようとしたがが、悲しいかなそのパターンに当てはまる式が全体からしてあまりにも少ない。
また、例えばそのパターンに当てはまる数式を並べて計算させたとしても、計算練習にはなっていないという感覚がした。

確かにほぼ一瞬で答えは出る。しかし本人は何の掛け算をやっているのか、どうしてその計算が正しい答えとなるのか分からない。
これではあまり意味がない、時間をかけても筆算をやらせた方が良いと感じた。



そこで何とか自前で納得のいく計算方法を考え出し、全て解かせていったのだが、後半近くには自然と暗算が出来るようになっていた。

その計算方法というのは紙に書きながら行うものだが、思考の過程そのものが暗算に適するようになっている。
よって何回もその計算方法により計算練習を行っていると、段々と頭の中に２桁の数を暗算で掛け算する思考回路が出来て来て、
最後には紙と鉛筆が要らなくなるというものだ。

毎日ではないが１日１０題ほど計算させて、６週間くらいでそんな感じになっていたと記憶している。
（もちろん大人が取り組めば、ほんの１、２分で理解できる内容かと思う。）


それら計算方法を色々と試行錯誤するなかで、２乗の数の暗記ということを考えた。

これを掛け算の九九並みに覚えてしまうと実は３３２１通りの掛け算のなかで約４００通りの掛け算はある程度即算できるようになる。
全体の約８分の１をカバーするわけです。


例えば　７８×７８を６０８４と暗記していれば、

　７７×７９　は　６０８３、
　７３×８３　は　６０５９、と即算できます。

（これを子供向けには「かかし掛け算」と命名した。詳細については別途機会を改めたいと思う）


では、２乗の数を暗記するにはどうすればよいか？

　　「ゴロ合わせがいいかな？」

そう思って、色々考え、息子に見せてみたが「かえって分からない」ということであった。


どうやら子供の頭の中ではゴロ合わせという言語の感覚と実際の計算のための数字の感覚というものがうまくリンクしないようだった。


例えばゴロ合わせで「いい国つくろう鎌倉幕府」という感じで１１９２という年号を覚えるというのは、そこで完結している話だ。

しかし、これを引き続いて計算に使おうとすると、そこから先があり、一旦頭の切り替えが必要になる。
つまり「イイクニ」という語感を数としての「１１９２」に変換しなければならないのである。
これが負担なのであろう、という説を立てた。


それでゴロ合わせはボツにした。
また、「かかし掛け算」も計算方法としてはサブということで横に置いた。

しかしせっかく考えたゴロ合わせであるから、世の中には気に入ってくれる人もいるかも知れないとおもい、ブログに乗せることにしました。


ちなみに今では息子は２桁の掛け算の暗算は出来ない。そろばんを習い始めたので敢えて自分の考えた計算方法を止めさせた。

そしたら、全て忘れてしまったみたい。子供は覚えるのも早いが、忘れるのも早い。

もう一度、教えればすぐに出来るかもしれないが、まあ、いいかという感じ。