２乗の数を出すための 第三 の計算法 ということで話を進めます。
まだ、あるんですか、という感じですが、実際自分が暗算するときに無意識にやっていた方法があって、
それも実際捨てがたたく、ご紹介したくなった次第です。
その方法ですが、例えば ７９ の２乗を考える際に、例のごとく「４つの四角形」をつかって考えます。
その時、少し工夫をして ８０ の２乗から入るのですね。
上図の様に、全体は ８０×８０ で ６４００ なんですが、７９×７９ と
それ以外のところに分解、７９×７９ 以外の部分を取り去ってしまえば、答えが出ます、という発想なんです。
しかしその時に、ご丁寧に
７９×１ の部分を引いて、
１×７９の部分を引いて、
１×１ の部分を引いて、
はい、答えです、という手順を踏むのではなく、
８０を２回引いてしまえ、そのあと、引きすぎた １ を戻そう
という計算をするのです。
計算式にすれば、
７９×７９ ＝ ８０×８０ － ８０ － ８０ ＋ １
＝ ６４００ － １６０ ＋ １
＝ ６２４１
となります。
８０を２回引く、というのは 頭の中のイメージ であって、もちろん計算上は、
７９×７９ ＝ ８０×８０ － ８０ × ２ ＋ １
＝ ６４００ － １６０ ＋ １
＝ ６２４１
これで、良いと思います。
但し、私の場合は、この計算をするときに上記のような図を頭の中に強烈にイメージし、
実際に 下側、右側、これを「トル」、そしてカドのコマを「戻す」ということをやっているので、
どうしても「８０を２回引く」という発想になってしまいます。
もっとスマートに計算出来る方なら、初めから「８０×２」でいいと思います。
他の例を見ます： ６７×６７
もちろん、四角形としては ７０×７０ を考えます。
但し、前回の場合と違い、７０ と ６７ の差は ３ あります。
そこで、私のイメージの中では、上記の様ように、６７×１ が 縦横 ３本ずつ、計六本 出てきます。
右下の「コマ」の中には点線が入っていて、９コマに分かれているというイメージです。
そして、これを７０として ６本分、４９００ から取っ払う、という感じです。
最後に ９ を戻して計算終了、ということですが、もちろん式としては
６７×６７ ＝ ７０ × ７０ － ７０ × ６ ＋ ９
＝ ４９００ － ４２０ ＋ ９
＝ ４４８０ ＋ ９
＝ ４４８９
となります。
慣れてくれば、四角をイメージしつつも一発で、
６７×６７ ＝ ４９００ － ４２０ ＋ ９
＝ ４４８９
と計算できるようになると思います。
なんだ、最初に紹介した４角形の計算方法と大して変わらないじゃないか、と思われるかも知れませんが、
それほど、４角形をイメージするという手法は、基本であり、応用が効くのだと思います。
以上、例を見た数字は、下一桁が９、７、と１０に近い数でした。
もちろん、これが逆に０に近ければ、
より大きな数を考えて、トル、というのではなく、
順当に１０の位 と １の位 で分けた４角形を考えて積み上げるということで良いと思います。
（この場合は、私は １０×３ のイメージでＯＫなんです
）
ただ、ここでもう一つ計算例を出したいと思います。
例えば ３６×３６ これを （３５＋１）×（３５＋１）と考えます。
そこで、３５×３５ の部分は 速算が効いて １２２５ とすぐに判りますから、これを使おうという発想です。
３６×３６ ＝ ３５×３５ ＋ ３５×２ ＋ １
＝ １２２５ ＋ ７０ ＋ １
＝ １２９５ ＋ １
＝ １２９６
これを （３０＋６）×（３０＋６）として計算すると、
３６×３６ ＝ ３０×３０ ＋ １８０×２ ＋ ３６
＝ ９００ ＋ ３６０ ＋ ３６
＝ １２６０ ＋ ３６
＝ １２９６
となりますね。出来ないこともないですが、前者と比べるとやや忙しいでしょうか。
同様に、３４×３４なら、３５×３５を使って、
３６×３６ ＝ ３５×３５ － ３５×２ ＋ １
＝ １２２５ － ７０ ＋ １
＝ １１５５ ＋ １
＝ １１５６
と計算出来ます。これは例としてあげました。
色々な計算方法をあげています。もちろん、どの計算方法が一番良いのか、ということはないと思います。
一つの計算を様々な方法で行うこと自体、面白いな、と感じますし、
新たな見かたをすることによって、違った発見があることがあります。
例えば、今回紹介した計算方法により ２７×２７ を計算します。
まず ３０ という数字を考え、３０×３０ を踏まえて、
９００ から ３０ を ６ 回引く これに ９ を足す、だな、という形になります。
すると、９００－３０×６ つまり ９００－１８０＝７２０、プラス ９ となります。
こういう風に入って行くと、２７×２７＝７２９ という暗記も何となくスムースに行きませんでしょうか。
何か、１００の位の１０の位の ７２ というのが何か必然的に見えてきました。
そもそも ２７ は ９ の倍数なので、２７ の ２乗 も ９ の倍数であり、下一桁が ９ なので、
残りの７２０の部分も ９ の倍数、ということもありましょうが、
何と、９００－１８０ という求め方がある、と考えたら、覚えやすいですよね。
こういう風にああでもない、こうでもないと考えていると、２７の２乗は、７２９ 以外にあり得ない、
そう思えてきます。
そんなこと言ったら、どんな数だって２乗の数は決まっていて、それ以外にあり得ないのですが、ともかくも、
そういう風に思えてくるということです。
次回にこの計算方法を用いた暗記リストを提示します。
数字の動きを見ることによって、上記の ２７ の例の様に、何か引っかかる部分が出てくると思います。
それが以外に暗記の役にたつのでは、と考えます。
まだ、あるんですか、という感じですが、実際自分が暗算するときに無意識にやっていた方法があって、
それも実際捨てがたたく、ご紹介したくなった次第です。
その方法ですが、例えば ７９ の２乗を考える際に、例のごとく「４つの四角形」をつかって考えます。
その時、少し工夫をして ８０ の２乗から入るのですね。
上図の様に、全体は ８０×８０ で ６４００ なんですが、７９×７９ と
それ以外のところに分解、７９×７９ 以外の部分を取り去ってしまえば、答えが出ます、という発想なんです。
しかしその時に、ご丁寧に
７９×１ の部分を引いて、
１×７９の部分を引いて、
１×１ の部分を引いて、
はい、答えです、という手順を踏むのではなく、
８０を２回引いてしまえ、そのあと、引きすぎた １ を戻そう
という計算をするのです。
計算式にすれば、
７９×７９ ＝ ８０×８０ － ８０ － ８０ ＋ １
＝ ６４００ － １６０ ＋ １
＝ ６２４１
となります。
８０を２回引く、というのは 頭の中のイメージ であって、もちろん計算上は、
７９×７９ ＝ ８０×８０ － ８０ × ２ ＋ １
＝ ６４００ － １６０ ＋ １
＝ ６２４１
これで、良いと思います。
但し、私の場合は、この計算をするときに上記のような図を頭の中に強烈にイメージし、
実際に 下側、右側、これを「トル」、そしてカドのコマを「戻す」ということをやっているので、
どうしても「８０を２回引く」という発想になってしまいます。
もっとスマートに計算出来る方なら、初めから「８０×２」でいいと思います。
他の例を見ます： ６７×６７
もちろん、四角形としては ７０×７０ を考えます。
但し、前回の場合と違い、７０ と ６７ の差は ３ あります。
そこで、私のイメージの中では、上記の様ように、６７×１ が 縦横 ３本ずつ、計六本 出てきます。
右下の「コマ」の中には点線が入っていて、９コマに分かれているというイメージです。
そして、これを７０として ６本分、４９００ から取っ払う、という感じです。
最後に ９ を戻して計算終了、ということですが、もちろん式としては
６７×６７ ＝ ７０ × ７０ － ７０ × ６ ＋ ９
＝ ４９００ － ４２０ ＋ ９
＝ ４４８０ ＋ ９
＝ ４４８９
となります。
慣れてくれば、四角をイメージしつつも一発で、
６７×６７ ＝ ４９００ － ４２０ ＋ ９
＝ ４４８９
と計算できるようになると思います。
なんだ、最初に紹介した４角形の計算方法と大して変わらないじゃないか、と思われるかも知れませんが、
それほど、４角形をイメージするという手法は、基本であり、応用が効くのだと思います。
以上、例を見た数字は、下一桁が９、７、と１０に近い数でした。
もちろん、これが逆に０に近ければ、
より大きな数を考えて、トル、というのではなく、
順当に１０の位 と １の位 で分けた４角形を考えて積み上げるということで良いと思います。
（この場合は、私は １０×３ のイメージでＯＫなんです
）ただ、ここでもう一つ計算例を出したいと思います。
例えば ３６×３６ これを （３５＋１）×（３５＋１）と考えます。
そこで、３５×３５ の部分は 速算が効いて １２２５ とすぐに判りますから、これを使おうという発想です。
３６×３６ ＝ ３５×３５ ＋ ３５×２ ＋ １
＝ １２２５ ＋ ７０ ＋ １
＝ １２９５ ＋ １
＝ １２９６
これを （３０＋６）×（３０＋６）として計算すると、
３６×３６ ＝ ３０×３０ ＋ １８０×２ ＋ ３６
＝ ９００ ＋ ３６０ ＋ ３６
＝ １２６０ ＋ ３６
＝ １２９６
となりますね。出来ないこともないですが、前者と比べるとやや忙しいでしょうか。
同様に、３４×３４なら、３５×３５を使って、
３６×３６ ＝ ３５×３５ － ３５×２ ＋ １
＝ １２２５ － ７０ ＋ １
＝ １１５５ ＋ １
＝ １１５６
と計算出来ます。これは例としてあげました。
色々な計算方法をあげています。もちろん、どの計算方法が一番良いのか、ということはないと思います。
一つの計算を様々な方法で行うこと自体、面白いな、と感じますし、
新たな見かたをすることによって、違った発見があることがあります。
例えば、今回紹介した計算方法により ２７×２７ を計算します。
まず ３０ という数字を考え、３０×３０ を踏まえて、
９００ から ３０ を ６ 回引く これに ９ を足す、だな、という形になります。
すると、９００－３０×６ つまり ９００－１８０＝７２０、プラス ９ となります。
こういう風に入って行くと、２７×２７＝７２９ という暗記も何となくスムースに行きませんでしょうか。
何か、１００の位の１０の位の ７２ というのが何か必然的に見えてきました。
そもそも ２７ は ９ の倍数なので、２７ の ２乗 も ９ の倍数であり、下一桁が ９ なので、
残りの７２０の部分も ９ の倍数、ということもありましょうが、
何と、９００－１８０ という求め方がある、と考えたら、覚えやすいですよね。
こういう風にああでもない、こうでもないと考えていると、２７の２乗は、７２９ 以外にあり得ない、
そう思えてきます。
そんなこと言ったら、どんな数だって２乗の数は決まっていて、それ以外にあり得ないのですが、ともかくも、
そういう風に思えてくるということです。
次回にこの計算方法を用いた暗記リストを提示します。
数字の動きを見ることによって、上記の ２７ の例の様に、何か引っかかる部分が出てくると思います。
それが以外に暗記の役にたつのでは、と考えます。
