２桁の数の２乗 暗記用リスト（２） １０飛びリスト

２桁の数の２乗の数の計算を、１の位の数を移動させてその数の２乗を足す　方法によって示したリストです。
１の位の数ごとにまとめていますので、リズム良く計算してみて下さい。

　２桁の数の２乗の計算方法　（移動砲！）

　<<　１　の列　>>
　右から左へ　１　移動して　１　の　２乗　を足す。
　　　　←　１　　　　　　　　　　＋　１
　　１１×１１　＝　１２×１０　＋　１　＝　　　１２１
　　２１×２１　＝　２２×２０　＋　１　＝　　　４４１
　　３１×３１　＝　３２×３０　＋　１　＝　　　９６１
　　４１×４１　＝　４２×４０　＋　１　＝　　１６８１
　　５１×５１　＝　５２×５０　＋　１　＝　　２６０１
　　６１×６１　＝　６２×６０　＋　１　＝　　３７２１
　　７１×７１　＝　７２×７０　＋　１　＝　　５０４１
　　８１×８１　＝　８２×８０　＋　１　＝　　６５６１
　　９１×９１　＝　９２×９０　＋　１　＝　　８２８１
　
　<<　２　の列　>>
　右から左へ　２　移動して　２　の　２乗　を足す。
　　　　←　２　　　　　　　　　　＋　４
　　１２×１２　＝　１４×１０　＋　４　＝　　　１４４
　　２２×２２　＝　２４×２０　＋　４　＝　　　４８４
　　３２×３２　＝　３４×３０　＋　４　＝　　１０２４
　　４２×４２　＝　４４×４０　＋　４　＝　　１７６４
　　５２×５２　＝　５４×５０　＋　４　＝　　２７０４
　　６２×６２　＝　６４×６０　＋　４　＝　　３８４４
　　７２×７２　＝　７４×７０　＋　４　＝　　５１８４
　　８２×８２　＝　８４×８０　＋　４　＝　　６７２４
　　９２×９２　＝　９４×９０　＋　４　＝　　８４６４
　
　<<　３　の列　>>
　右から左へ　３　移動して　３　の　２乗　を足す。
　　　　←　３　　　　　　　　　　＋　９
　　１３×１３　＝　１６×１０　＋　９　＝　　　１６９
　　２３×２３　＝　２６×２０　＋　９　＝　　　５２９
　　３３×３３　＝　３６×３０　＋　９　＝　　１０８９
　　４３×４３　＝　４６×４０　＋　９　＝　　１８４９
　　５３×５３　＝　５６×５０　＋　９　＝　　２８０９
　　６３×６３　＝　６６×６０　＋　９　＝　　３９６９
　　７３×７３　＝　７６×７０　＋　９　＝　　５３２９
　　８３×８３　＝　８６×８０　＋　９　＝　　６８８９
　　９３×９３　＝　９６×９０　＋　９　＝　　８６４９
　
　<<　４　の列　>>
　右から左へ　４　移動して　４　の　２乗　を足す。
　　　　←　４　　　　　　　　　　＋　１６
　　１４×１４　＝　１８×１０　＋　１６　＝　　　１９６
　　２４×２４　＝　２８×２０　＋　１６　＝　　　５７６
　　３４×３４　＝　３８×３０　＋　１６　＝　　１１５６
　　４４×４４　＝　４８×４０　＋　１６　＝　　１９３６
　　５４×５４　＝　５８×５０　＋　１６　＝　　２９１６
　　６４×６４　＝　６８×６０　＋　１６　＝　　４０９６
　　７４×７４　＝　７８×７０　＋　１６　＝　　５４７６
　　８４×８４　＝　８８×８０　＋　１６　＝　　７０５６
　　９４×９４　＝　９８×９０　＋　１６　＝　　８８３６
　
　<<　５　の列　>>
　右から左へ　５　移動して　５　の　２乗　を足す。
　　　　←　５　　　　　　　　　　　＋　２５
　　１５×１５　＝　　２０×１０　＋　２５　＝　　　２２５
　　２５×２５　＝　　３０×２０　＋　２５　＝　　　６２５
　　３５×３５　＝　　４０×３０　＋　２５　＝　　１２２５
　　４５×４５　＝　　５０×４０　＋　２５　＝　　２０２５
　　５５×５５　＝　　６０×５０　＋　２５　＝　　３０２５
　　６５×６５　＝　　７０×６０　＋　２５　＝　　４２２５
　　７５×７５　＝　　８０×７０　＋　２５　＝　　５６２５
　　８５×８５　＝　　９０×８０　＋　２５　＝　　７２２５
　　９５×９５　＝　１００×９０　＋　２５　＝　　９０２５
　
　<<　６　の列　>>
　左から右へ　４　移動して　４　の　２乗　を足す。
　　　４　→　　　　　　　　　　　　＋　１６
　　１６×１６　＝　１２×　２０　＋　１６　＝　　　２５６
　　２６×２６　＝　２２×　３０　＋　１６　＝　　　６７６
　　３６×３６　＝　３２×　４０　＋　１６　＝　　１２９６
　　４６×４６　＝　４２×　５０　＋　１６　＝　　２１１６
　　５６×５６　＝　５２×　６０　＋　１６　＝　　３１３６
　　６６×６６　＝　６２×　７０　＋　１６　＝　　４３５６
　　７６×７６　＝　７２×　８０　＋　１６　＝　　５７７６
　　８６×８６　＝　８２×　９０　＋　１６　＝　　７３９６
　　９６×９６　＝　９２×１００　＋　１６　＝　　９２１６
　
　<<　７　の列　>>
　左から右へ　３　移動して　３　の　２乗　を足す。
　　　３　→　　　　　　　　　　　　＋　９
　　１７×１７　＝　１４×　２０　＋　９　＝　　　２８９
　　２７×２７　＝　２４×　３０　＋　９　＝　　　７２９
　　３７×３７　＝　３４×　４０　＋　９　＝　　１３６９
　　４７×４７　＝　４４×　５０　＋　９　＝　　２２０９
　　５７×５７　＝　５４×　６０　＋　９　＝　　３２４９
　　６７×６７　＝　６４×　７０　＋　９　＝　　４４８９
　　７７×７７　＝　７４×　８０　＋　９　＝　　５９２９
　　８７×８７　＝　８４×　９０　＋　９　＝　　７５６９
　　９７×９７　＝　９４×１００　＋　９　＝　　９４０９
　
　<<　８　の列　>>
　左から右へ　２　移動して　２　の　２乗　を足す。
　　　２　→　　　　　　　　　　　　＋　４
　　１８×１８　＝　１６×　２０　＋　４　＝　　　３２４
　　２８×２８　＝　２６×　３０　＋　４　＝　　　７８４
　　３８×３８　＝　３６×　４０　＋　４　＝　　１４４４
　　４８×４８　＝　４６×　５０　＋　４　＝　　２３０４
　　５８×５８　＝　５６×　６０　＋　４　＝　　３３６４
　　６８×６８　＝　６６×　７０　＋　４　＝　　４６２４
　　７８×７８　＝　７６×　８０　＋　４　＝　　６０８４
　　８８×８８　＝　８６×　９０　＋　４　＝　　７７４４
　　９８×９８　＝　９６×１００　＋　４　＝　　９６０４
　
　<<　９　の列　>>
　左から右へ　１　移動して　１　の　２乗　を足す。
　　　１　→　　　　　　　　　　　　＋　１
　　１９×１９　＝　１８×　２０　＋　１　＝　　　３６１
　　２９×２９　＝　２８×　３０　＋　１　＝　　　８４１
　　３９×３９　＝　３８×　４０　＋　１　＝　　１５２１
　　４９×４９　＝　４８×　５０　＋　１　＝　　２４０１
　　５９×５９　＝　５８×　６０　＋　１　＝　　３４８１
　　６９×６９　＝　６８×　７０　＋　１　＝　　４７６１
　　７９×７９　＝　７８×　８０　＋　１　＝　　６２４１
　　８９×８９　＝　８８×　９０　＋　１　＝　　７９２１
　　９９×９９　＝　９８×１００　＋　１　＝　　９８０１

　<<　９　の列　別表　>>
　　１つ多い数の２乗　から　１つ多い数の２倍を　引いて　１　を足す。
　　
　　１９×１９　＝　　４００　－　　４０　＋　１　＝　　　３６１
　　２９×２９　＝　　９００　－　　６０　＋　１　＝　　　８４１
　　３９×３９　＝　１６００　－　　８０　＋　１　＝　　１５２１
　　４９×４９　＝　２５００　－　１００　＋　１　＝　　２４０１
　　５９×５９　＝　３６００　－　１２０　＋　１　＝　　３４８１
　　６９×６９　＝　４９００　－　１４０　＋　１　＝　　４７６１
　　７９×７９　＝　６４００　－　１６０　＋　１　＝　　６２４１
　　８９×８９　＝　８１００　－　１８０　＋　１　＝　　７９２１
　　９９×９９　＝１００００　－　２００　＋　１　＝　　９８０１

　　（解説別途）

　

２桁の数の２乗 暗記用リスト（１） 順列リスト

２桁の数の２乗の数の計算を２５までの２乗の数を使って計算する方法によって順列で並べたリストです。
元の数に対する１００の倍数の部分の動き、２５までの２乗の数の動きを感覚的につかんで下さい。

　２桁の数の２乗の計算方法Ⅰ　

１．　１１から２５までの２乗：　　暗記する

　１１×１１　＝　　１２１　　　（１００＋　２０＋　１）
　１２×１２　＝　　１４４　　　（１００＋　４０＋　４）
　１３×１３　＝　　１６９　　　（１００＋　６０＋　９）　　
　１４×１４　＝　　１９６　　　（１００＋　８０＋１６）
　１５×１５　＝　　２２５　　　（１００＋１００＋２５）
　１６×１６　＝　　２５６　　　（１００＋１２０＋３６）
　１７×１７　＝　　２８９　　　（１００＋１４０＋４９）
　１８×１８　＝　　３２４　　　（１００＋１６０＋６４）
　１９×１９　＝　　３６１　　　（１００＋１８０＋８１）
　２０×２０　＝　　４００　　　（４００＋　　０＋　０）
　２１×２１　＝　　４４１　　　（４００＋　４０＋　１）
　２２×２２　＝　　４８４　　　（４００＋　８０＋　４）
　２３×２３　＝　　５２９　　　（４００＋１２０＋　９）
　２４×２４　＝　　５７６　　　（４００＋１６０＋１６）
　２５×２５　＝　　６２５　　　（４００＋２００＋２５）
　　　　　　　（覚えましょう）　　暗算用の分解です

２.　２６以上の数の２乗：　１００の倍数　＋　２５までの数の２乗　で考える。

Ａ．　２６から５０まで：　

　（元の数－２５）×１００　＋　（５０－元の数）の２乗

　２５×２５　＝　　　　０　＋　６２５　＝　　６２５　　（←　２５）
　２６×２６　＝　　１００　＋　５７６　＝　　６７６　　（←　２４）
　２７×２７　＝　　２００　＋　５２９　＝　　７２９　　（←　２３）
　２８×２８　＝　　３００　＋　４８４　＝　　７８４　　（←　２２）
　２９×２９　＝　　４００　＋　４４１　＝　　８４１　　（←　２１）
　３０×３０　＝　　５００　＋　４００　＝　　９００　　（←　２０）

　３１×３１　＝　　６００　＋　３６１　＝　　９６１　　（←　１９）
　３２×３２　＝　　７００　＋　３２４　＝　１０２４　　（←　１８）
　３３×３３　＝　　８００　＋　２８９　＝　１０８９　　（←　１７）
　３４×３４　＝　　９００　＋　２５６　＝　１１５６　　（←　１６）
　３５×３５　＝　１０００　＋　２２５　＝　１２２５　　（←　１５）
　３６×３６　＝　１１００　＋　１９６　＝　１２９６　　（←　１４）
　３７×３７　＝　１２００　＋　１６９　＝　１３６９　　（←　１３）
　３８×３８　＝　１３００　＋　１４４　＝　１４４４　　（←　１２）
　３９×３９　＝　１４００　＋　１２１　＝　１５２１　　（←　１１）
　４０×４０　＝　１５００　＋　１００　＝　１６００　　（←　１０）

　４１×４１　＝　１６００　＋　　８１　＝　１６８１　　（←　　９）
　４２×４２　＝　１７００　＋　　６４　＝　１７６４　　（←　　８）
　４３×４３　＝　１８００　＋　　４９　＝　１８４９　　（←　　７）
　４４×４４　＝　１９００　＋　　３６　＝　１９３６　　（←　　６）
　４５×４５　＝　２０００　＋　　２５　＝　２０２５　　（←　　５）
　４６×４６　＝　２１００　＋　　１６　＝　２１１６　　（←　　４）
　４７×４７　＝　２２００　＋　　　９　＝　２２０９　　（←　　３）
　４８×４８　＝　２３００　＋　　　４　＝　２３０４　　（←　　２）
　４９×４９　＝　２４００　＋　　　１　＝　２４０１　　（←　　１）
　５０×５０　＝　２５００　＋　　　０　＝　２５００　　（←　　０）

　※１００の倍数の部分は２５×２５の　０　から、１００ずつ上がって行く。
　※２乗の部分はだんだん下がって行く。
　※３６×３６　を　１１００＋１９６　と暗記しておくと良いかも　
　
Ｂ．　５１から７５まで：　

　　（元の数－２５）×１００　＋　（元の数－５０）の２乗

　５０×５０　＝　　２５００　＋　　　０　＝　２５００　　（←　　０）
　５１×５１　＝　　２６００　＋　　　１　＝　２６０１　　（←　　１）
　５２×５２　＝　　２７００　＋　　　４　＝　２７０４　　（←　　２）
　５３×５３　＝　　２８００　＋　　　９　＝　２８０９　　（←　　３）
　５４×５４　＝　　２９００　＋　　１６　＝　２９１６　　（←　　４）
　５５×５５　＝　　３０００　＋　　２５　＝　３０２５　　（←　　５）
　５６×５６　＝　　３１００　＋　　３６　＝　３１３６　　（←　　６）
　５７×５７　＝　　３２００　＋　　４９　＝　３２４９　　（←　　７）
　５８×５８　＝　　３３００　＋　　６４　＝　３３６４　　（←　　８）
　５９×５９　＝　　３４００　＋　　８１　＝　３４８１　　（←　　９）
　６０×６０　＝　　３５００　＋　１００　＝　３６００　　（←　１０）

　６１×６１　＝　　３６００　＋　１２１　＝　３７２１　　（←　１１）
　６２×６２　＝　　３７００　＋　１４４　＝　３８４４　　（←　１２）
　６３×６３　＝　　３８００　＋　１６９　＝　３９６９　　（←　１３）
　６４×６４　＝　　３９００　＋　１９６　＝　４０９６　　（←　１４）
　６５×６５　＝　　４０００　＋　２２５　＝　４２２５　　（←　１５）
　６６×６６　＝　　４１００　＋　２５６　＝　４３５６　　（←　１６）
　６７×６７　＝　　４２００　＋　２８９　＝　４４８９　　（←　１７）
　６８×６８　＝　　４３００　＋　３２４　＝　４６２４　　（←　１８）
　６９×６９　＝　　４４００　＋　３６１　＝　４７６１　　（←　１９）
　７０×７０　＝　　４５００　＋　４００　＝　４９００　　（←　２０）

　７１×７１　＝　　４６００　＋　４４１　＝　５０４１　　（←　２１）
　７２×７２　＝　　４７００　＋　４８４　＝　５１８４　　（←　２２）
　７３×７３　＝　　４８００　＋　５２９　＝　５３２９　　（←　２３）
　７４×７４　＝　　４９００　＋　５７６　＝　５４７６　　（←　２４）
　７５×７５　＝　　５０００　＋　６２５　＝　５６２５　　（←　２５）

　※１００の倍数の部分は５０×５０の　２５００　から、１００ずつ上がって行く。
　※２乗の部分はだんだん上がって行く。
　※先に　５０との差　を出し、その数を２５の上に乗っけても良い。　

Ｃ．　７６から９９まで：　

　（元の数×２－１００）×１００　＋　（１００－元の数）の２乗

　７５×７５　＝　　５０００　＋　６２５　＝　５６２５　　（←　２５）
　７６×７６　＝　　５２００　＋　５７６　＝　５７７６　　（←　２４）
　７７×７７　＝　　５４００　＋　５２９　＝　５９２９　　（←　２３）
　７８×７８　＝　　５６００　＋　４８４　＝　６０８４　　（←　２２）
　７９×７９　＝　　５８００　＋　４４１　＝　６２４１　　（←　２１）
　８０×８０　＝　　６０００　＋　４００　＝　６４００　　（←　２０）

　８１×８１　＝　　６２００　＋　３６１　＝　６５６１　　（←　１９）
　８２×８２　＝　　６４００　＋　３２４　＝　６７２４　　（←　１８）
　８３×８３　＝　　６６００　＋　２８９　＝　６８８９　　（←　１７）
　８４×８４　＝　　６８００　＋　２５６　＝　７０５６　　（←　１６）
　８５×８５　＝　　７０００　＋　２２５　＝　７２２５　　（←　１５）
　８６×８６　＝　　７２００　＋　１９６　＝　７３９６　　（←　１４）
　８７×８７　＝　　７４００　＋　１６９　＝　７５６９　　（←　１３）
　８８×８８　＝　　７６００　＋　１４４　＝　７７４４　　（←　１２）
　８９×８９　＝　　７８００　＋　１２１　＝　７９２１　　（←　１１）
　９０×９０　＝　　８０００　＋　１００　＝　８１００　　（←　１０）

　９１×９１　＝　　８２００　＋　　８１　＝　８２８１　　（←　　９）
　９２×９２　＝　　８４００　＋　　６４　＝　８４６４　　（←　　８）
　９３×９３　＝　　８６００　＋　　４９　＝　８６４９　　（←　　７）
　９４×９４　＝　　８８００　＋　　３６　＝　８８３６　　（←　　６）
　９５×９５　＝　　９０００　＋　　２５　＝　９０２５　　（←　　５）
　９６×９６　＝　　９２００　＋　　１６　＝　９２１６　　（←　　４）
　９７×９７　＝　　９４００　＋　　　９　＝　９４０９　　（←　　３）
　９８×９８　＝　　９６００　＋　　　４　＝　９６０４　　（←　　２）
　９９×９９　＝　　９８００　＋　　　１　＝　９８０１　　（←　　１）
１００×１００　＝　１００００　＋　　０　＝　１００００　（←　　０）

　※１００の倍数の部分は７５×７５の　５０００　から、２００ずつ上がって行く。
　※２乗の部分はだんだん下がっていく。

　

２桁の数の２乗 暗記法 その５ 第２の計算法

さて、この暗記法のその２において、２乗の掛け算の速算法をご紹介しました。

それは、２５までの数の２乗　を使って下記の様に考えるものでした。

Ａ．　２６から５０まで：　
　（元の数－２５）×１００　＋　（５０－元の数）の２乗
　　例：　３７×３７　＝　１２００　＋　１６９　＝　１３６９

Ｂ．　５１から７５まで：　
　　（元の数－２５）×１００　＋　（元の数－５０）の２乗
　例：　７４×７４　＝　　４９００　＋　５７６　＝　５４７６

Ｃ．　７６から９９まで：　
　（元の数×２－１００）×１００　＋　（１００－元の数）の２乗
　例：　７７×７７　＝　　５４００　＋　５２９　＝　５９２９

これは、２乗の数では同じ下二桁の数が繰り返し出てくることを使ったものでしたが、
はたと気がつきました。

　下一桁だけで同じようなことが出来ないだろか？

例によって、数式を並べて考えてみました。そして、気がつきました。
まだ、計算方法があった。。。

　

今回は結論だけ申し上げます。詳しくは知りませんが、計算方法自体は
インド式として紹介されている中などにもあるものだと思います。
　
例えば、３４×３４　という計算があったとします。

　これを４つの４角形で考えます。



　そうすると、
　
　３０×３０　＋　４×３０　＋　３０×４　＋　４×４
　
　と表現出来ます。
　この３つの項のうち、最初の３つを　３０でくくってしまいます。

　　（３０＋４＋４）×３０　＋　４×４
　＝　３８　×　３０　＋　４　×　４
　＝　１１４６　＋　１６　
　＝　１１５６　　計算出来ました。

この　３４×３４　を　３８×３０＋４×４　に書き換えた部分だけを見ると、

一方の　３４　から　他方の３４　へ　４　移動し、移動した分の２乗　を加えた、
とも見えます。実際、その考え方で計算してＯＫです。

　　　３４　×　３４　　⇒　　３８　×　３０　＋　４×４
　　　　　　　　　　　　　　　　　←４←
　　　　　　　　　　　　　　　　　移動！　　　移動した分の２乗！
　
だから、例えば　６２×６２　だったら、片方から片方へ　２　移動　して　６４×６０、
これに　その　２乗　を加える

　つまり　６２　×　６２　＝　６４　×　６０　＋　２　×　２
　　　　　　　　　　　　　＝　３８４０　＋　４
　　　　　　　　　　　　　＝　３８４４
となります。


　（これ、速い！）


ここで一点確認します。この数字が移動出来るという方法、
基本はあくまでも１０の位の数が同じという前提なんですね。
１０の位が同じだから、４つの四角形で考えた時に、
最初の三つの項をまとめることが出来るのです。

　　　　６２　×　６２　＝　６０　×　６０　＋　２　×　６０　＋　６０　×　２　＋　２×２
　　　　　　　　　　　　＝　（６０＋２＋２）×６０　＋　２　×　２
　　　　　　　　　　　　＝　６４　×　６０　＋　２　×　２
　　　　　　　　　　　　＝　３８４０　＋　４
　　　　　　　　　　　　＝　３８４４

では次に、６８×６８　で考えて見ましょう

右から左へ　８　移動しすると。。。

　　　　６８　×　６８　＝　７６　×　６０　＋　８　×　８
　　　　　　　　　　　　＝　４５２０　＋　６４
　　　　　　　　　　　　＝　４６２４

　　これも、結構速く計算できますね。

しかしここで、６８　は　（７０から２　少ない数）　と考えると。。。

　　　６８　×　６８　＝　（７０－２）　×　（７０－２）
　　　　　　　　　　　＝　７０×７０　－　２×７０　－　２　×７０　＋　（－２）×（－２）
　　　　　　　　　　　＝　（７０－２－２）×　７０　＋　２　×　２
　　　　　　　　　　　＝　６６　×　７０　＋　４
　　　　　　　　　　　＝　４６２０　＋　４
　　　　　　　　　　　＝　４６２４

　　こういう風にも計算出来ます。

つまり、左から右へ　２　移動しました。
移動した数が小さい分、２乗の計算の部分も小さくなり、繰り上がりもないので楽ですね。
やや、こちらの方が　８　移動させる場合より速いでしょう

　※本来は移動の量を　－２　として表現すべきかもしれませんが、
　　２乗されて結局同じにことなるのでここでは深く立ち入りません。
　　但し、この計算方法を一般化する際には、考え方として正負を意識する必要があります。

例を続けます。

　　　７９×７９　＝　８０×７８　＋　１×１　
　　　　　　　　　＝　　６２４０　＋　　１　
　　　　　　　　　＝　　６２４１

これも速く計算出来ます。後から足す２乗の部分が１となり、
繰り上がりがないのが確実なので、安心して　８０×７８　の計算が出来ますよね。

お気づきの通り、７９×７９　を見た時に、

　　９　移動させて　８８×７０＋９×９　とするか、
　　１　移動させて　８０×７８＋１×１　とするか、という判断ですが、

もちろん、移動させる数の小さい方を選んで計算したほうが良いと考えます。
すなわち、７０に合わせるか、８０に合わせるか、については、どちらか近い方に合わせれば良いわけです。


　

まとめます。３７　の　２乗　を例にとります。

　　３７×３７　＝　３４×４０　＋　３×３　（左から右へ３移動）
　　　　　　　　＝　１３６０　＋　９
　　　　　　　　＝　１３６９

　　３７×３７　＝　４４×３０　＋　７×７　（右から左へ７移動）
　　　　　　　　＝　１３２０　＋　４９
　　　　　　　　＝　１３６９

　　３７×３７　＝　（３７－２５）×１００　＋　（５０－３７）＾２
　　　　　　　　＝　１２００　＋　１６９　（３７から２５引き、１３の２乗）
　　　　　　　　＝　１３６９

どれをとっても計算できますね。計算する数の範囲にによって、もっとも簡単な計算方法があるかと思いますで、
一度確認してみると良いと思います。
いずれにせよ、暗記してしまうまでの過程ですので色々やり方があって良いと考えます。

最終的には　

　３７×３７　＝　１３６９　

と暗記してしまう、これは一番速いわけです。

　


ここで、一つ注意すべき点があります。今ご紹介申し上げた、
一方から一方へ数字を移動させて移動した数の２乗を足す方法ですが、
取りあえず、この２乗計算の場合のみに適用すると考えておいて下さい。

２乗でなくとも、１０の位が同じ数同士の掛け算なら、考え方としては応用が効くのですが、
そのままやってしまうと変な計算になります。

例えば　７８×７５　という計算があったときに、

　右から左へ　２　移動で　７８×７５　＝　８０×７３　＋　２×２　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　５８４０　＋　２×２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　５８４４　？？？

正しくは　５８５０　となります。方法論に若干の調整が必要です。

この、１０の倍数でくくる計算方法の一般展開については、別途ご案内したいと思います。

　

さて、次回に「暗算用リスト」というものをご案内いたします。

２乗の数の計算のリストで、順列のリスト、１０飛びのリスト　２種類のものです。
それぞれ、計算法を変えて　２乗の数を　計算しています。

順列のリストは、２５までの２乗の数を使う計算法、
１０飛びのリストは　今回の第二の計算法（移動法？）をつかっています。

２種類のリストに対し、それぞれ異なる計算法でアプローチすることにより、
記憶もより進むのではないかと考えます。


　

２桁の数の２乗 暗記法 その４ １０飛びリスト のとらえ方

さて、前回までは２乗の数の計算式が連番に並んでいる場合を見てきました。

　

今回は、「暗記法　その１」　でふれた　「１０飛びリスト」に関してです。

下１桁の数字ごとにまとめ、数が１０飛びになっているリストを観察してみます。
すると、また違った発見があります。

これを仮に　<<列>>　という言葉つかってグループ分けしてみましょう。
尚、ここでは便宜的に１桁×１桁の計算も含めます。

また、下記のリストでは左右にならんだ数同士、２乗の数の下二桁の数は同じになっています。
今までの記事を読まれた方なら、何故そうなっているのか、お分かりになるかと考えます。

<<１　の列>>

　　　　１×　１＝　　　　１　　　５１×５１＝　２６０１
　　　１１×１１＝　　１２１　　　６１×６１＝　３７２１　
　　　２１×２１＝　　４４１　　　７１×７１＝　５０４１　
　　　３１×３１＝　　９６１　　　８１×８１＝　６５６１　
　　　４１×４１＝　１６８１　　　９１×９１＝　８２８１　

　　※　１の位の数は１
　　※　１０の位の数は、０，２，４，６，８　という順（全て偶数）
　　※　１００の位以降の数、左側は元の数の１０の位の数の２乗、右側はそれにプラス１


<<２　の列>>

　　　　２×　２＝　　　　４　　　５２×５２＝　２７０４　
　　　１２×１２＝　　１４４　　　６２×６２＝　３８４４　
　　　２２×２２＝　　４８４　　　７２×７２＝　５１８４
　　　３２×３２＝　１０２４　　　８２×８２＝　６７２４
　　　４２×４２＝　１７６４　　　９２×９２＝　８４６４　

　　※　１の位の数は４
　　※　１０の位の数は、０，４，８，２，６　という順（全て偶数）


<<３　の列>>

　　　　３×　３＝　　　　９　　　５３×５３＝　２８０９
　　　１３×１３＝　　１６９　　　６３×６３＝　３９６９
　　　２３×２３＝　　５２９　　　７３×７３＝　５３２９
　　　３３×３３＝　１０８９　　　８３×８３＝　６８８９
　　　４３×４３＝　１８４９　　　９３×９３＝　８６４９

　　※　１の位の数は９
　　※　１０の位の数は、０，６，２，８，４　という順（全て偶数）

　　→０（ゼロ）を除くと<<２の列>>と逆！？


<<４　の列>>

　　　　４×　４＝　　　１６　　　５４×５４＝　２９１６
　　　１４×１４＝　　１９６　　　６４×６４＝　４０９６
　　　２４×２４＝　　５７６　　　７４×７４＝　５４７６
　　　３４×３４＝　１１５６　　　８４×８４＝　７０５６
　　　４４×４４＝　１９３６　　　９４×９４＝　８８３６

　　※　１の位の数は９
　　※　１０の位の数は、１，９，７，５，３　という順
　　　　（全て奇数で、９のあと、２ずつ下がって行く）

<<５　の列>>

　　　　５×　５＝　　　２５　　　５５×５５＝　３０２５
　　　１５×１５＝　　２２５　　　６５×６５＝　４２２５
　　　２５×２５＝　　６２５　　　７５×７５＝　５６２５
　　　３５×３５＝　１２２５　　　８５×８５＝　７２２５
　　　４５×４５＝　２０２５　　　９５×９５＝　９０２５

　　※　下２桁の数は全て２５
　　※　１００の位以降の数は、元の数の１０の位の数とその数に１を足した数の積
　　　　例：　６５→　６×７＝４２：　４２２５

<<６　の列>>

　　　　６×　６＝　　　３６　　　５６×５６＝　３１３６
　　　１６×１６＝　　２５６　　　６６×６６＝　４３５６
　　　２６×２６＝　　６７６　　　７６×７６＝　５７７６
　　　３６×３６＝　１２９６　　　８６×８６＝　７３９６
　　　４６×４６＝　２１１６　　　９６×９６＝　９２１６

　　※　１の位の数は３
　　※　１０の位の数は、３，５，７，９，１　という順
　　　　（全て奇数で、３のあと、２ずつ上がって行く）

<<７　の列>>

　　　　７×　７＝　　　４９　　　５７×５７＝　３２４９
　　　１７×１７＝　　２８９　　　６７×６７＝　４４８９
　　　２７×２７＝　　７２９　　　７７×７７＝　５９２９
　　　３７×３７＝　１３６９　　　８７×８７＝　７５６９
　　　４７×４７＝　２２０９　　　９７×９７＝　９４０９

　　※　１の位の数は９
　　※　１０の位の数は、４，８，２，６，０　という順（全て偶数）

　　→　２の列で出た、４、８、２、６が出てきました。
　　　　ただし、０がここでは後回しですね。


<<８　の列>>

　　　　８×　８＝　　　６４　　　５８×５８＝　３３６４
　　　１８×１８＝　　３２４　　　６８×６８＝　４６２４
　　　２８×２８＝　　７８４　　　７８×７８＝　６０８４
　　　３８×３８＝　１４４４　　　８８×８８＝　７７４４
　　　４８×４８＝　２３０４　　　９８×９８＝　９６０４

　　※　１の位の数は４
　　※　１０の位の数は、６，２，８，４，０　という順（全て偶数）

　　→　３の列で出た、６、２、８、４が出てきました。
　　　　同じく、０がここでも後回しですね。


<<９　の列>>

　　　　９×　９＝　　　８１　　　５９×５９＝　３４８１
　　　１９×１９＝　　３６１　　　６９×６９＝　４７６１
　　　２９×２９＝　　８４１　　　７９×７９＝　６２４１
　　　３９×３９＝　１５２１　　　８９×８９＝　７９２１
　　　４９×４９＝　２４１１　　　９９×９９＝　９８１１

　　※　１の位の数は１
　　※　１０の位の数は、８，６，４，２，０　という順
　　　　（全て偶数で、８のあと、２ずつ下がって行く）

　　

連番で並べた場合ほどの綺麗な規則ではないですが、それでも、クセ、というか傾向がでていますよね。

これはもともと法則のあった連番リストを、規則的に並べ変えたリストとも言えるので、
何らかの法則があったとしても、当然と言えば当然です。

その法則を意識しながら、この「１０飛びリスト」による暗記を進める、
これが「連番リスト」による暗記との相乗効果で記憶もより定着する、というのが狙いでした。

２乗したら下一桁の数は幾つか、１０の位の数に関しは、少なくとも偶数であるのか、奇数であるのか、
ということを意識しただけでも違うと思います。

※　２乗した数の１０の位が奇数になるのは、元々の数の下一桁が　４　と　６　の場合です。
　というのも　４　と　６　自体を２乗した場合、それぞれ　１６、３６　と　１０の位が奇数になるわけです。

　（１０ａ＋ｂ）＾２＝１００ａ＾２＋２０ａｂ＋ｂ＾２　ということを考えると、
　２乗の１０の位を奇数にする要素は　ｂ＾２　の部分からの繰り上がりしかなく、
　そうなると　４　か　６　の場合しかないということになります。

　



　

２桁の数の２乗 暗記法 その３ 計算法（１） その２

　＜＜２乗の数即算法＞＞　続きです。　

　

次に、２乗の数の即算法を具体的に考えます。まずは、観察から入ります。

これまでに、２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数の求め方を考えました。
そこで、その２５以下の数の２乗を、実際に対応する数の２乗から引いて見ましょう。

先ずは、各数の２乗の数から「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数の２乗」を引いてみます。

少なくとも、下二桁は同じですから、引き算すれば下二桁は００、すなわち１００の倍数にはなるはずです。

最初に、２６を考えます
　　　　　　　　　　　　　　　
　２６×２６　：　　　６７６　－　５７６　＝　　１００
　　　　　
　　ここで、６７６　はもちろん　２６の２乗、
　　５７６　は　２４　の２乗　です。
　　その差を取ると　１００　でした。

さらに２６から幾つか、順に見て行きます。

　２６×２６　：　　　６７６　－　５７６　＝　　１００
　２７×２７　：　　　７２９　－　５２９　＝　　２００
　２８×２８　：　　　７８４　－　４８４　＝　　３００
　２９×２９　：　　　８４１　－　４４１　＝　　４００
　３０×３０　：　　　９００　－　４００　＝　　５００
　３１×３１　：　　　９６１　－　３６１　＝　　６００
　３２×３２　：　　１０２４　－　３２４　＝　　７００
　３３×３３　：　　１０８９　－　２８９　＝　　８００
　３４×３４　：　　１１５６　－　２５６　＝　　９００
　３５×３５　：　　１２２５　－　２２５　＝　１０００
　３６×３６　：　　１２９６　－　１９６　＝　１１００
　。。。

こうしてみると、単に１００の倍数というだけでなく、きちんと規則的に並んでいます。

どうやら　２６　以降の２乗の数というのは、以下の形で書き表すことが出来そうです。

　（２乗の数）＝　（何か規則性のある１００の倍数）
　　　　　　　＋　「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」の２乗

そこで、実際にこの形に並べ直して見ましょう。

　２６×２６　＝　　１００　＋　５７６　＝　　６７６
　２７×２７　＝　　２００　＋　５２９　＝　　７２９
　２８×２８　＝　　３００　＋　４８４　＝　　７８４
　２９×２９　＝　　４００　＋　４４１　＝　　８４１
　３０×３０　＝　　５００　＋　４００　＝　　９００
　３１×３１　＝　　６００　＋　３６１　＝　　９６１
　３２×３２　＝　　７００　＋　３２４　＝　１０２４
　３３×３３　＝　　８００　＋　２８９　＝　１０８９
　３４×３４　＝　　９００　＋　２５６　＝　１１５６
　３５×３５　＝　１０００　＋　２２５　＝　１２２５
　３６×３６　＝　１１００　＋　１９６　＝　１２９６
　３７×３７　＝　１２００　＋　１６９　＝　１３６９
　。。。
　
これを見る限り、（なにか規則性のある１００の倍数）とは、

元の数から２５を引いた数の１００倍ではないか、と判ります。



確かめてみましょう；　元の数を ａ、ｂ を整数とします。

ここで、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」の求め方が、
元の数の範囲によって異なっていたことに注意して場合分けします。

先ず、ａ　が　２５以上５０以下のとき、これを見ます。

この時、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は　５０－ａ　で表わせました。
よって、上記の式にあてはめます。

元の数ａの２乗＝　１００のｂ倍の数　＋　（５０－元の数ａ）の２乗

　ａ＾２＝　ｂ×１００　＋　（５０－ａ）＾２

　ａ＾２　＝　１００ｂ　＋　２５００　－１００ａ　＋　ａ＾２
　１００ｂ　＝　１００（ａ－２５）

すなわち ｂ　＝　ａ－２５

となります。確かに２５を引いた数になりました。

つまり、こういうことです。

２乗の数：　（元の数－２５）×１００　＋　（５０－元の数）の２乗

となります。まずは、これを覚えて下さい。

　（やっと出ました、計算法）

部分的ですが、計算式を記述します。

　３２×３２　＝　（３２－２５）×１００　＋　（５０－３２）＾２　
　　　　　　　＝　　　　７　　　×１００　＋　　１８　×　１８　
　　　　　　　＝　　　　　　　７００　　　＋　　　　３２４
　　　　　　　＝　１０２４

　３３×３３　＝　（３３－２５）×１００　＋　（５０－３３）＾２
　　　　　　　＝　　　　８　　　×１００　＋　　１７　×　１７　
　　　　　　　＝　　　　　　　８００　　　＋　　　　２８９
　　　　　　　＝　１０８９

　３４×３４　＝　（３４－２５）×１００　＋　（５０－３４）＾２　＝　１１５６
　３５×３５　＝　（３５－２５）×１００　＋　（５０－３５）＾２　＝　１２２５
　３６×３６　＝　（３６－２５）×１００　＋　（５０－３６）＾２　＝　１２９６
　３７×３７　＝　（３７－２５）×１００　＋　（５０－３７）＾２　＝　１３６９
　３８×３８　＝　（３８－２５）×１００　＋　（５０－３８）＾２　＝　１４４４

この様に２乗の数は、「２５を引いて百倍」　と　「５０から引いて２乗」　の合計、
　という形であらわすことが出来ます。



次に、同様に、元の数が５０から７５の場合を見てみましょう。

この場合、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は　元の数－５０　となります。

よって、関係式は

元の数ａの２乗＝　１００のｂ倍の数　＋　（元の数ａ－５０）の２乗

と表わせます。

　ａ＾２＝　ｂ×１００　＋　（ａ－５０）＾２

　ａ＾２　＝　１００ｂ　＋　２５００　－１００ａ　＋　ａ＾２
　１００ｂ　＝　１００（ａ－２５）

すなわちｂ　＝　ａ－２５

となります。５０以下の数の場合と同様、元の数から２５を引いた数になりました。

つまり、こういうことです。

２乗の数：　（元の数－２５）×１００　＋　（元の数－５０）の２乗

計算例を見てみます。

　５１×５１　＝　（５１－２５）×１００　＋　（５１－５０）＾２
　　　　　　　＝　　２６　×　１００　　　＋　　１　×　１
　　　　　　　＝　　２６００　　　　　　　＋　　　　１　
　　　　　　　＝　　２６０１

　５２×５２　＝　（５２－２５）×１００　＋　（５２－５０）＾２
　　　　　　　＝　　２７　×　１００　　　＋　　２　×　２
　　　　　　　＝　　２７００　　　　　　　＋　　　　４　
　　　　　　　＝　　２７０４
　
　６３×６３　＝　（６３－２５）×１００　＋　（６３－５０）＾２
　　　　　　　＝　　３８　×　１００　　　＋　１３　×　１３
　　　　　　　＝　　３８００　　　　　　　＋　　　１６９　
　　　　　　　＝　　３９６９

正しく計算されていると思います。


　
では最後に、元の数が７５を超える場合を見ます。

この場合、「２乗をすると下二桁が同じになる２５以下の数」は　１００－元の数　でした。

よって、関係式は

（元の数ａ）の２乗＝　１００のｂ倍の数　＋　（１００－元の数ａ）の２乗

となります。これを展開すると。。

　ａ＾２＝　ｂ×１００　＋　（１００－ａ）＾２
　ａ＾２＝　１００ｂ　＋　１００００－２００ａ＋ａ＾２
　１００ｂ　＝　１００（２ａ－１００）
　ｂ　＝　２ａ－１００

と、ここで、１００の倍数部分の計算方法が変わってきました。
２ａ－１００　ですから　２倍して１００を引く、ということになります。

よって、７６以上の数の場合は

２乗の数：　　（元の数×２－１００）×１００　＋（１００－元の数）の２乗　となります。

　７６×７６　＝　（７６×２－１００）×１００　＋　（１００－７６）＾２
　　　　　　　　　（　１５２－１００）×１００　＋　　２４　×　２４
　　　　　　　＝　　　　　　　　５２　×１００　＋　　５７６
　　　　　　　＝　　５２００　＋　５７６　　　　　　　　
　　　　　　　＝　　５７７６

　７７×７７　＝　（７７×２－１００）×１００　＋　（１００－７７）＾２
　　　　　　　　　（　１５４－１００）×１００　＋　　２３　×　２３
　　　　　　　＝　　　　　　　　５４　×１００　＋　　５２９
　　　　　　　＝　　５４００　＋　５７６　　　　　　　　
　　　　　　　＝　　５９２９
　。。。

まとめると、「２倍して最初の１を取って百倍」　と　「１００から引いて２乗」　の合計、
ですね。

　　

　　
以上が２乗の数の計算法　その１　となります。（その２があります）

ここまでの内容に対し、以下、２、３の補足をしたいと思います。

１：　１の位の数が　５　の数の２乗　は　別途即算法の対象となる

　　　　　　　（１０の位の数）×（１０の位の数＋１）×１００　＋　２５

　　　例：　　６５×６５　＝　　６×７×１００　＋　２５　＝　４２２５
　
２：　４０台の数の２乗、５０台の数の２乗、９０台の数の２乗については
　　　　　「２桁の数の２乗　暗記法　その１」　を参照。
　　　上記２に示された計算法とどちらが速いか、しっくり来る方を押さえれば良いと考えます。

３：　計算式の適用についての補足

２６から５０までの数を対象とした２乗の数の計算式、

　　（元の数－２５）×１００　＋　（５０－元の数）の２乗

この計算式自体は、５０を超える数、７５を超える数でも　実は　正しい答えを導けます。
　　　
　例１：　５１以上７５までの数
　　　　　　　６８×６８　＝　（６８－２５）×１００　＋　（５０－６８）＾２
　　　　　　　　　　　　　＝　　４３　×　１００　＋　（－１８）　×　（－１８）
　　　　　　　　　　　　　＝　　４３００　＋　３２４
　　　　　　　　　　　　　＝　　４６２４
　
　この場合、「５０－元の数」の部分でマイナスの数になってしまいますが、
　２乗するので結局同じことになるのです。

　ただし、考え方としては、「元の数－５０」から入るのが正しいと思います。　

　例２：　７５を超える数
　　　　　　　８３×８３　＝　（８３－２５）×１００　＋　（５０－８３）＾２
　　　　　　　　　　　　　＝　　５８　×　１００　＋　（－３３）　×　（－３３）
　　　　　　　　　　　　　＝　　５８００　＋　１０８９
　　　　　　　　　　　　　＝　　６８８９

　（５０－元の数）の２乗の部分が、２乗すると下二桁が同じになる数のうち、２５以下ではない、
　２番目に大きい数の２乗と等しくなっています。
　
　これも、一旦マイナスの数として計算されるものの、２乗するためにプラスになり、その様になります。

　よって、この２乗の部分が　３３×３３＝１０８９、いう形で、
　本来適用すべき計算式である　１７×１７＝２８９　よりも　８００　大きくなっています。

　しかし、逆に１００の倍数部分は　５８００　と計算され、（８３×２－１００）×１００　と計算する　
　６６００　よりも　８００　少なくなっています。

　だから、結局同じ結果になっているのです。
　
　一見、不思議かも知れませんが、これは逆に導けない方がおかしいわけです。

　
　以上を踏まえると、場合分けに関しても簡素化することも出来ます。

　つまり、５０から７５までの数の計算においては、５０以下の計算方法を用いても、
　発生するマイナスの数は２乗されプラスに戻って結局同じ、という風に考えれば、
　
　この計算法も単純に７５以下とそれ以上に分けて、

　　　７５以下の場合、２５を引いて１００倍、それに　５０から引いた数の２乗を足す　　、
　　　７５以下の場合、２倍して左の１を取って１００倍、それに１００との差の２乗を足す、

この様にしても良いかも知れません。


　　

２桁の数の２乗 暗記法 その２ 計算法（１） その１

本稿は、２桁の数の２乗の数を順列に並た際に現れる法則性を見つけようという試みです。
その法則性を用いて、何らかの形で２乗の数の計算法、即算法を考えたいと思います。

そのためには、先ずは実際に並べて観察することが第一歩と思われますので、下記に並べます。
ここでは、０から５０までの２乗　と　５１以降のもの　を横並びにしてあります。

ここで具体的に注目いただきたいのが２乗の数の「下二桁の数」です。

　　　　０×　０＝　　　０ 　　　　５０×５０＝２５００
　　　　１×　１＝　　　１ 　　　　５１×５１＝２６０１
　　　　２×　２＝　　　４ 　　　　５２×５２＝２７０４
　　　　３×　３＝　　　９ 　　　　５３×５３＝２８０９
　　　　４×　４＝　　１６ 　　　　５４×５４＝２９１６
　　　　５×　５＝　　２５ 　　　　５５×５５＝３０２５
　　　　６×　６＝　　３６ 　　　　５６×５６＝３１３６
　　　　７×　７＝　　４９ 　　　　５７×５７＝３２４９
　　　　８×　８＝　　６４ 　　　　５８×５８＝３３６４
　　　　９×　９＝　　８１ 　　　　５９×５９＝３４８１

　　　１０×１０＝　１００ 　　　　６０×６０＝３６００
　　　１１×１１＝　１２１ 　　　　６１×６１＝３７２１
　　　１２×１２＝　１４４ 　　　　６２×６２＝３８４４
　　　１３×１３＝　１６９ 　　　　６３×６３＝３９６９
　　　１４×１４＝　１９６ 　　　　６４×６４＝４０９６
　　　１５×１５＝　２２５ 　　　　６５×６５＝４２２５
　　　１６×１６＝　２５６ 　　　　６６×６６＝４３５６
　　　１７×１７＝　２８９ 　　　　６７×６７＝４４８９
　　　１８×１８＝　３２４ 　　　　６８×６８＝４６２４
　　　１９×１９＝　３６１ 　　　　６９×６９＝４７６１

　　　２０×２０＝　４００ 　　　　７０×７０＝４９００
　　　２１×２１＝　４４１ 　　　　７１×７１＝５０４１
　　　２２×２２＝　４８４ 　　　　７２×７２＝５１８４
　　　２３×２３＝　５２９ 　　　　７３×７３＝５３２９
　　　２４×２４＝　５７６ 　　　　７４×７４＝５４７６
　　　２５×２５＝　６２５ 　　　　７５×７５＝５６２５
　　　２６×２６＝　６７６ 　　　　７６×７６＝５７７６
　　　２７×２７＝　７２９ 　　　　７７×７７＝５９２９
　　　２８×２８＝　７８４ 　　　　７８×７８＝６０８４
　　　２９×２９＝　８４１ 　　　　７９×７９＝６２４１
　　　３０×３０＝　９００ 　　　　８０×８０＝６４００

　　　３１×３１＝　９６１ 　　　　８１×８１＝６５６１
　　　３２×３２＝１０２４ 　　　　８２×８２＝６７２４
　　　３３×３３＝１０８９ 　　　　８３×８３＝６８８９
　　　３４×３４＝１１５６ 　　　　８４×８４＝７０５６
　　　３５×３５＝１２２５ 　　　　８５×８５＝７２２５
　　　３６×３６＝１２９６ 　　　　８６×８６＝７３９６
　　　３７×３７＝１３６９ 　　　　８７×８７＝７５６９
　　　３８×３８＝１４４４ 　　　　８８×８８＝７７４４
　　　３９×３９＝１５２１ 　　　　８９×８９＝７９２１
　　　４０×４０＝１６００ 　　　　９０×９０＝８１００

　　　４１×４１＝１６８１ 　　　　９１×９１＝８２８１
　　　４２×４２＝１７６４ 　　　　９２×９２＝８４６４
　　　４３×４３＝１８４９ 　　　　９３×９３＝８６４９
　　　４４×４４＝１９３６ 　　　　９４×９４＝８８３６
　　　４５×４５＝２０２５ 　　　　９５×９５＝９０２５
　　　４６×４６＝２１１６ 　　　　９６×９６＝９２１６
　　　４７×４７＝２２０９ 　　　　９７×９７＝９４０９
　　　４８×４８＝２３０４ 　　　　９８×９８＝９６０４
　　　４９×４９＝２４０１ 　　　　９９×９９＝９８０１
　　　５０×５０＝２５００ 　　　１００×１００＝１００００

お気づきの通り、この左右２列に並んだ２乗の数、下二桁の数が同じです。
横に並んだ同士、数は５０異なるわけですが、

　５０異なる２つの数の２乗の下二桁は同じ

となるのです。

となると、少なくとも５０までの数の２乗を覚えてしまえば、
５１から９９までの２乗は、半分は覚えた同じ、と言えます。（ちょっと苦しいですが）

　　つまり　例えば、３１×３１＝９６１　と覚えたなら、
　　３１　に　５０　を足した　８１×８１　は　少なくとも　「ＸＸ６１」　と判ります。

　　８０×８０　は　６４００　だから　６４６１　か、６５６１　あたりだ、と推測。

　　８０×８１　は　６４８０　だから、６４６１　はなく、６５６１、という感じです。

　　

この気付きだけでも暗記のためには価値がありますが、話はこれだけでは終わりません。

さらに、２５×２５＝６２５　を中心として　上下に一つずつ移動しながら、二つの数の２乗の数の下二桁を比較してみて下さい。
これも同じ数になっています。

つまり、０から２４までの２乗の数の下二桁の数に現れた数は、２５を境として
　　　　２６から５０までの２乗の数の下二桁に逆順に現れる、ということなんです。

　　　　まるで、２５の地点で鏡に写したかのごとくです。


これは、前回２０台の数の２乗のグループの中での特徴として指摘しましたが、実はその外側にも広がっている話だったのです。

視覚的に確認しやすいように、２５から後半を逆順に並べてみます。

　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　０　×　０　＝　　　０　　　５０　×　５０　＝　２５００
　　　　１　×　１　＝　　　１　　　４９　×　４９　＝　２４０１
　　　　２　×　２　＝　　　４　　　４８　×　４８　＝　２３０４
　　　　３　×　３　＝　　　９　　　４７　×　４７　＝　２２０９
　　　　４　×　４　＝　　１６　　　４６　×　４６　＝　２１１６
　　　　５　×　５　＝　　２５　　　４５　×　４５　＝　２０２５
　　　　６　×　６　＝　　３６　　　４４　×　４４　＝　１９３６
　　　　７　×　７　＝　　４９　　　４３　×　４３　＝　１８４９
　　　　８　×　８　＝　　６４　　　４２　×　４２　＝　１７６４
　　　　９　×　９　＝　　８１　　　４１　×　４１　＝　１６８１
　　１０　×　１０　＝　１００　　　４０　×　４０　＝　１６００
　　１１　×　１１　＝　１２１　　　３９　×　３９　＝　１５２１
　　１２　×　１２　＝　１４４　　　３８　×　３８　＝　１４４４
　　１３　×　１３　＝　１６９　　　３７　×　３７　＝　１３６９
　　１４　×　１４　＝　１９６　　　３６　×　３６　＝　１２９６
　　１５　×　１５　＝　２２５　　　３５　×　３５　＝　１２２５
　　１６　×　１６　＝　２５６　　　３４　×　３４　＝　１１５６
　　１７　×　１７　＝　２８９　　　３３　×　３３　＝　１０８９
　　１８　×　１８　＝　３２４　　　３２　×　３２　＝　１０２４
　　１９　×　１９　＝　３６１　　　３１　×　３１　＝　　９６１
　　２０　×　２０　＝　４００　　　３０　×　３０　＝　　９００
　　２１　×　２１　＝　４４１　　　２９　×　２９　＝　　８４１
　　２２　×　２２　＝　４８４　　　２８　×　２８　＝　　７８４
　　２３　×　２３　＝　５２９　　　２７　×　２７　＝　　７２９
　　２４　×　２４　＝　５７６　　　２６　×　２６　＝　　６７６
　　２５　×　２５　＝　６２５　　　　　同じ数が逆順で並ぶ↑

以上の様に、確かに２５で反転し、順番が逆になり同じ数が並んでいます。

　　

ではこの数字の並びの２つの特徴に関し、何故そのようなことが言えるのか、数式で一般化してみましょう。


まず一つ目、「５０の差がある２つの２桁の整数の２乗は、下二桁が同じ」ということですが、
以下の通り考えます。

２つの数の、小さい方を　ａ 、大きい方を ａ＋５０ とします。（ａは４９以下の自然数）

この二つの数の２乗の数の大きい方から小さい方を引きます。

　　（ａ＋５０）×（ａ＋５０）－ａ×ａ
　＝（ａ＾２＋１００ａ＋２５００）－ａ＾２）
　＝１００ａ＋２５００
　＝１００（ａ＋２５）　　となります。

つまり、１００の倍数となりました。

２数の一方からもう一方を引き算したら百の倍数、すなわち下二桁が００になるということは、
元々の数の２つの数の下２桁は等しかった、ということになります。



次に、「２５で反転し同じ下２桁の数が逆順で現れる」というのはどうでしょうか。
（ここでは、０から５０までの数に限定して考えます）

これは言い換えると、「２５から等距離にある２つの整数の２乗の数は、下二桁が同じ」
となります。

そこで、この２５を挟んだ数の、小さい方を　２５－ａ 、大きい方を ２５＋ａ とします。
（ａは２４以下の自然数）

先程と同様、この二つの数の２乗の数の大きい方から小さい方を引き算します。

　　（２５＋ａ）×（２５＋ａ）－（２５－ａ）×（２５－ａ）
　＝（６２５＋５０ａ＋ａ＾２）－（６２５－５０ａ＋ａ＾２）
　＝１００ａ

となり、これも１００の倍数です。

つまり、この場合も、もともとの２つの数の下二桁の数は等しいということになります。

。。。意外な事実でしたね。



以上、２つの法則を再確認します。

　
　「２５から等距離にある２つの整数の２乗の数は、下二桁が同じ」
　「５０の差がある２つの２桁の整数の２乗の数は、下二桁が同じ」

この二つの法則を統合いたしますと、

　０から２５までの２乗の数の下二桁に現れた数は、２５から５０までに逆順に現れ、
　さらに、５０から７５までに再度同じ順番で現れ、再び７５から１００まで逆順に現れる

と言えます。

つまり、２乗の数の下二桁の数のパターンは、０から２５　までに全て現れてしまうのです。
２６以降、違う数は出てきません。

ここで暗記の話に戻りますが、先ほど２乗の数は５０まで覚えれば、５１から９９までは
半分覚えたも同じ、という言い方をしました。

ところが、２６から５０までの２乗の下二桁も、０から２５まで場合の繰り返しだとしたならば、
暗記する２乗の数はさらに半分で済むわけです。

ただし、逆順に現れる数字の対応関係のつかみ方に慣れる必要もありますし、百の位、千の位は依然不明です。

そこで、もう一歩踏み込んで、何か上手な形で１から２５までの２乗の数を使って、
それ以降（２６以降）の２乗の数を導き出す方法がないものか、考えてみましょう。


　　


ここで、論を進める前に、「２乗の数の下二桁が同じとなる数のグループ」について考察を深めておきます。
これもまた、具体的に数字を並べてみましょう。

整数を２乗した場合の下二桁の数　と　対応する０から１００までの数

２乗の下二桁　　対応する１００までの数（その２乗）
００：　　０（　　０）　５０（２５００）　　　　　　　　　１００（１００００）
０１：　　１（　　１）　４９（２４０１）　５１（２６０１）　９９（９８０１）
０４：　　２（　　４）　４８（２３０４）　５２（２７０４）　９８（９６０４）
０９：　　３（　　９）　４７（２２０９）　５３（２８０９）　９７（９４０９）
１６：　　４（　１６）　４６（２１１６）　５４（２９１６）　９６（９２１６）
２５：　　５（　２５）　４５（２０２５）　５５（３０２５）　９５（９０２５）
３６：　　６（　３６）　４４（１９３６）　５６（３１３６）　９４（８８３６）
４９：　　７（　４９）　４３（１８４９）　５７（３２４９）　９３（８６４９）
６４：　　８（　６４）　４２（１７６４）　５８（３３６４）　９２（８４６４）
８１：　　９（　８１）　４１（１６８１）　５９（３４８１）　９１（８２８１）
００：　１０（１００）　４０（１６００）　６０（３６００）　９０（８１００）
２１：　１１（１２１）　３９（１５２１）　６１（３７２１）　８９（７９２１）
４４：　１２（１４４）　３８（１４４４）　６２（３８４４）　８８（７７４４）
６９：　１３（１６９）　３７（１３６９）　６３（３９６９）　８７（７５６９）
９６：　１４（１９６）　３６（１２９６）　６４（４０９６）　８６（７３９６）
２５：　１５（２２５）　３５（１２２５）　６５（４２２５）　８５（７２２５）
５６：　１６（２５６）　３４（１１５６）　６６（４３５６）　８４（７０５６）
８９：　１７（２８９）　３３（１０８９）　６７（４４８９）　８３（６８８９）
２４：　１８（３２４）　３２（１０２４）　６８（４６２４）　８２（６７２４）
６１：　１９（３６１）　３１（　９６１）　６９（４７６１）　８１（６５６１）
００：　２０（４００）　３０（　９００）　７０（４９００）　８０（６４００）
４１：　２１（４４１）　２９（　８４１）　７１（５０４１）　７９（６２４１）
８４：　２２（４８４）　２８（　７８４）　７２（５１８４）　７８（６０８４）
２９：　２３（５２９）　２７（　７２９）　７３（５３２９）　７７（５９２９）
７６：　２４（５７６）　２６（　６７６）　７４（５４７６）　７６（５７７６）
２５：　２５（６２５）　　　　　　　　　　７５（５６２５）
　　　　（列１）　　　　（列２）　　　　（列３）　　　　（列４）
<<観察>>
　　（列１の数）＋（列２の数）＝　５０　
　　（列１の数）＋　５０　＝　（列３の数）　　（列２の数）＋　５０　＝　（列４の数）
　　（列１の数）＋（列４の数）＝　１００
　（ちょっと上記の関係を確認してから次に進んで下さい。）

　　
　　

上記に観察できます通り、２乗すると下二桁の数が同じとなる数のグループは基本的には４つの数で構成されます。
これは、０から２５までの２乗の下二桁に現れた数が、以後３回、逆順、正順、逆順と現れる、
すなわちトータル４回現れますので、その様になります。

ただし、００と２５については、該当する数字の数だけを言えば４つ以上になります。
これは５の倍数と１０の倍数の特性によるものですが、上記の表では便宜的に分けて表示しています。

２乗計算の即算法では、この４つの数のうち、最もも小さい数、すなわち「０から２５までの数」の２乗　
を使いたかったわけです。

上記の表で見るならば、ある数字を考えた時に、その数が属しているグループの中で一番左側の数が判ればよい。
これを先ずは想起したい。


その計算法を考えます。




そこでまず、２乗をすると下二桁が同じ数になる２つの数、これにはどういう性質があったか。
ここから入ります。（２つ挙げましたね）

順序は前後しますが、先ず「２５から等距離にある」ということが一つありました。

「２５から等距離。。」といっても判りにくいですので、言い換えを一回しておきます。

２乗をすると下二桁が同じ数になる２数があり、それぞれ　ａ，ｂ（ａ＞ｂ）とします。
また、ｂは２５以下であり、数ａが与えられた場合、求めたい数とします。

その２数の２５からの距離が等しかった場合、　２５－ａ＝ｂ－２５
よって　ａ＋ｂ＝５０

つまり、２数の合計が５０になる時、それぞれの２乗の数の下二桁は等しくなります。

よって、元の数をａに対し、２乗すると下二桁が同じとなる数　ｂ　は　ｂ＝５０－ａ　の関係が成り立ちます。

また、ｂは２５以下ですので、ｂ＝＜２５　より、
　　５０－ａ　＝＜　２５
　　２５　＝＜　ａ

すなわち　ａ　は２５以上、

また、ｂは０以上であるため、０＝＜ｂ
これより　０　＝＜　５０－ａ
　　　　　ａ　＝＜　５０

すなわち　ａ　は　５０　以下

よって、元の数が２５以上５０以下の時、
２乗すると下二桁が同じとなる数は　（５０－元の数）　で求められます。

　　
では次に、「５０の差がある数」という性質から考えを展開します。

同じく、２乗をすると下二桁が同じ数になる２数があり、それぞれ　ａ，ｂ（ａ＞ｂ）とします。
この２数の場合は、「５０の差」があることとします。

よって　ｂ＝ａ－５０

ｂは２５以下より、ｂ＝＜２５、
よって　ａ－５０　＝＜　２５
　　　　ａ　＝＜　７５

すなわち　ａ　は７５以下

また、ｂは０以上であるため、０＝＜ｂ
これより　０　＝＜　ａ－５０
　　　　５０　＝＜　ａ

すなわち　ａ　は　５０　以上

よって、元の数が５０以上７５以上の時、
２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数は　（元の数－５０）　となります。


ここで、２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数の導き方が２通り出てきました。
　
　元の数ａ　が　２５以上５０以下だったら　５０－ａ
　元の数ａ　が　５０以上７５以下だったら　ａ－５０

何やら５０より小さければ５０から引き、５０より大きければ５０を引く、というこ

とですね。

ここで一旦、例を出して確認し、それから次に行きましょう

　２７の場合　　５０－２７　＝　２３
　６８の場合　　６８－５０　＝　１８

確かめます　２７×２７＝　７２９、　２３×２３＝　５２９、　下二桁は２９で同じ
　　　　　　６８×６８＝４６２４、　１８×１８＝　３２４、　下二桁は２４で同じ



では次に、上記の場合から外れた範囲、元の数が　７５以上（１００以下）となった場合、どのように計算するのでしょうか。

元の数ａが７５以上の場合、ａ－５０　は　ａと２乗した場合下二桁同じになりますが、２５　以下にはなりません。
ただし、さらに計算して、５０から（ａ－５０）を引いた数ｂ　これは２５以下になると同時に、もとの数ａとも２乗した場合に下二桁が同じ数になります。

すなわち　　ｂ＝５０－（ａ－５０）
　　　　　　　＝１００－ａ
　　　　
よって、元の数が７５以上１００以下の時、
２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数は　（１００－元の数）　です。


１００から引く、ですね。。。
　
例をあげると、８８の場合、１００－８８　で　１２　となります。
これも確かめます：　８８×８８＝　７７４４、　１２×１２＝　１４４、　下二桁は４４で同じ！

正しいですね。


これで「２乗すると下二桁が同じとなる２５以下の数の求め方」が全て揃いました。

　元の数ａ　が　

　　　２５以上　５０以下だったら　５０－ａ
　　　５０以上　７５以下だったら　ａ－５０
　　　７５以上１００以下だったら　１００－ａ


そこで次回は　いよいよこの求め方を用いた２乗の数の計算方法に入ります。


　　

２桁の数の２乗 暗記法 その１ 導入

これから、「２桁の数の２乗」を暗記するコツについて述べます。

２桁の九九全部を覚えよう、というわけではありません。それは膨大な数となります。


やろうとしているのは２乗だけです。その数　８１通り　です。


これは、大体、九九の数と同じですので、そう思えば、暗記も可能、ですね。

２桁の掛け算全体の中では少ないとも言える８１通りの計算ですが、暗記にメリットはあります。
もちろん暗記の過程で頭の体操になるということもありますが、
２乗の数の差　を利用した　即算法（かかし掛け算）　が出来るようになるのです。

繰り返しにはなりますが、例えば

　　　７６　×　７２　などは　　７４×７４　引く　２×２　で　５４７２　
　　
と即算できるようになります。

個人差はあるかと思いますが、相当なバターンの計算をこれで行えるようになります。


そこで、「やってみようか」と思われる方、是非、まずはこの暗記法を通読して見て下さい、
半分は２乗の数の暗記に成功したような「気分」になれるはずです。それ以降は努力、ということですね。



それで「暗記法」、基本的には
　
　１１×１１＝　１２１
　１２×１２＝　１４４
　　。。。
　　。。。。

　９９×９９＝９８０１

という連番のリストに基づいて覚えるのが良いです。


（何だ、そのまんま。。。）





これを、通常の九九同様、「インイチ　ひゃくにじゅういち」なり
「じゅういち　イチニイイチ」なり自分なりに呼びやすい形で唱える。
唱えるのに突っかかったら暗算するなり、答えを見るなりして、覚え直す。。

これです。

しかし、その際、気をつけることが一つあります。

この２乗の数というものは、順番に並べていくと色々と規則性、法則が見受けられるのです。
その規則性を意識しながら暗記に取り組むのです。

そうすることによって、無味乾燥に見えていた３桁あるいは４桁の数が「親しみのある」あるいは
「意味のある」数字に見えてきます。これが記憶の一助となります。

しかし、規則性を見ながら覚えるというのは、一方で記憶の想起の補助にはなるが、
逆に「規則性に頼らなければ思い出せない」という結果に陥りかねません。
また、リストが一つだけだと、「この順番でなければ思い出せない」という形になることもあり得ます。


そこで、２乗の数の「リスト」は、上記に挙げた「連番」のものと同時に、
下ひと桁の数が同じ数でまとめた、「１０飛び」リストも用意します。

「１０飛びのリスト」とは具体的に、例えば下ひと桁が２のリストなら、

　　　　２×　２＝　　　　４　　　５２×５２＝　２７０４　
　　　１２×１２＝　　１４４　　　６２×６２＝　３８４４　
　　　２２×２２＝　　４８４　　　７２×７２＝　５１８４
　　　３２×３２＝　１０２４　　　８２×８２＝　６７２４
　　　４２×４２＝　１７６４　　　９２×９２＝　８４６４　


というものです。

ぱっと見ただけでも、２乗の下ひと桁は４だな、と判りますが、それ以外にも多少の法則があります。
よってその法則を意識しながら暗記に取組みます。

そしてこの「連番」と「１０飛び」のリストを交互に利用し、縦横、別の視点から規則性を考えつつ暗記に取り組めば、
弱点を補い合い、相乗効果によってより確実に記憶が定着出来る、というのが主旨です。


最初は、雑紙の裏にでも計算練習を兼ねて暗算しながらリストを２種類つくってみるとよいと思います。
以降は、その紙を使って練習する、これで良いでしょう。

また、今回は２乗の数の計算方法を２種類提示致します。それぞれのリストを暗記する際、検算する際に、
違った計算方法をとることにより、別の角度から数字に取り組みます。


いずれにせよ、完全に暗記出来てしまえば、これから述べることは不要となるわけです。
「完全暗記」とは九九並みに「瞬時に」想起出来ることです。ゴールはそこにおいて頑張って下さい。

　


では先ず、連番のリストについて考えます。


まず手始めに、１０の位が同じ数のグループごとに分けてその数字の動きが判りやすいものを挙げてみます。
順番に並んだ式を取りあえず見てみて下さい。


<<２０台の数、７０台の数>>　
　　　下二桁に注目すると、前半で出てきた数が、後半では逆順で現れる。
　　　
　　　すなわち　４１→８４→２９ →７６ →２５→７６ →２９ →８４→４１

　　　２１×２１＝　４４１ 　　　７１×７１＝　５０４１
　　　２２×２２＝　４８４ 　　　７２×７２＝　５１８４
　　　２３×２３＝　５２９ 　　　７３×７３＝　５３２９
　　　２４×２４＝　５７６ 　　　７４×７４＝　５４７６
　　　２５×２５＝　６２５ 　　　７５×７５＝　５６２５
　　　２６×２６＝　６７６ 　　　７６×７６＝　５７７６
　　　２７×２７＝　７２９ 　　　７７×７７＝　５９２９
　　　２８×２８＝　７８４ 　　　７８×７８＝　６０８４
　　　２９×２９＝　８４１ 　　　７９×７９＝　６２４１

　
<<４０台の数>>　上２桁は　１５に１の位の数を足す。
　　　　　　　　下２桁は　１０から１の位の数を引いた数同士の積

　　　４１×４１＝　１６８１　　→　１５＋１　と　９×９　
　　　４２×４２＝　１７６４　　→　１５＋２　と　８×８　
　　　４３×４３＝　１８４９　　→　１５＋３　と　７×７　
　　　４４×４４＝　１９３６　　→　１５＋４　と　６×６　
　　　４５×４５＝　２０２５　　→　１５＋５　と　５×５　
　　　４６×４６＝　２１１６　　→　１５＋６　と　４×４　
　　　４７×４７＝　２２０９　　→　１５＋７　と　３×３　
　　　４８×４８＝　２３０４　　→　１５＋８　と　２×１　
　　　４９×４９＝　２４０１　　→　１５＋９　と　１×１

　
<<５０台の数>>　上２桁は　２５に１の位の数を足す。
　　　　　　　　下２桁は　１の位の数同士の積

　　　５１×５１＝　２６０１　　→　２５＋１　と　１×１
　　　５２×５２＝　２７０４　　→　２５＋２　と　２×２
　　　５３×５３＝　２８０９　　→　２５＋３　と　３×３
　　　５４×５４＝　２９１６　　→　２５＋４　と　４×４
　　　５５×５５＝　３０２５　　→　２５＋５　と　５×５
　　　５６×５６＝　３１３６　　→　２５＋６　と　６×６
　　　５７×５７＝　３２４９　　→　２５＋７　と　７×７
　　　５８×５８＝　３３６４　　→　２５＋８　と　８×８
　　　５９×５９＝　３４８１　　→　２５＋９　と　９×９


<<９０台の数>>　上２桁は　８０に１の位の数の２倍の数を足す。
　　　　　　　　下２桁は　１０から１の位の数を引いた数同士の積

　　　９１×９１＝　８２８１　　→　８０＋１×２　と　９×９　
　　　９２×９２＝　８４６４　　→　８０＋２×２　と　８×８
　　　９３×９３＝　８６４９　　→　８０＋３×２　と　７×７
　　　９４×９４＝　８８３６　　→　８０＋４×２　と　６×６
　　　９５×９５＝　９０２５　　→　８０＋５×２　と　５×５
　　　９６×９６＝　９２１６　　→　８０＋６×２　と　４×４
　　　９７×９７＝　９４０９　　→　８０＋７×２　と　３×３
　　　９８×９８＝　９６０４　　→　８０＋８×２　と　２×２
　　　９９×９９＝　９８０１　　→　８０＋９×２　と　１×１

４０、５０、９０の台の数の規則については、これは言わば即算法です。
この規則を覚えてしまえば、あえて個別の数の暗記する必要もない程です。


以上、ざっと法則を４つ見ました。これだけでも、十分記憶に役立ちますよね。

ところでこの一見バラバラに見える４つの法則ですが、実はさらに大きな一つの法則の中でつがなっているのです。

次回、これについて考えます。

かかし掛け算 その２

「かかし掛け算」について述べます。
覚えておくと非常に２桁掛け算が簡素化する場合が多々あり、便利です。

計算の方法としては、２項の掛け算を
その　中間の値の２乗　と　中間との差の２乗　の　差に置き換える　という方法です。

　　は。。

例えば　５６　×　６４　なら　
その　中間の数　６０　の２乗　から　中間との差（「開き」）　４　の２乗　を　引けば良い、とういものです。


これを４つの四角形で表してみると以下の通りになります。



ここで、５６　は　６０　と　（－４）に分解します。６０は５６と６４の中間の数です。
そうなると　左上は６０×６０、左下と右上は相殺されて０、右下は　４×（－４）となります。

結果、３６００－１６　で良い、ということになります。

６４　の方は　６０　と　４　に分けてありますが、これはもちろん、１０の位と１の位で分けてあるわけではなく、
６０　が中間の数であることによります。

これを、大人は何となく、そうか、と思うかもしれませんが、この説明を小学生に行う場合は、多少難しいところがありますね。

というのも、４つの四角形を使った考え方は、方眼紙を使ってマスの数を数えてその対応を理解させたように、あくまでも正の数を扱うことが前提です。
しかし、ここではマイナスの数を辺の長さにあてたり、実際にマイナスの数を掛けたりと、小学生の算数の世界ではありえないことをします。

よって、小学生にこの計算法を教えるときには、「こうすれば答えがでるのだよ」とやり方のみを納得させるしかないかもしれません。
何故そうなるのか、ということの理解については、何年か先になるかも知れませんが、それはそれで良いと考えます。




この計算法に慣れるためには、以下のことを念頭に置きながら、実際の例を見てみるのが早いでしょう。

１．　二つの数の中間の数をすぐに発見出来るかどうか。
２．　中間の数２乗、開きの数の２乗はすぐ浮かぶか。　　　
３.　「開き」の２乗の数は大きすぎず、「中間」の２乗から引きやすい数かどうか？


そこで先ず、中間の数が　１０の倍数　の場合を考えます。

例として中間は　７０、「開き」を１ずつ増やしながら実際の計算を見てみます。
少し、丁寧に自分でも計算しながら追いかけてみて下さい。


　　　　　スタート
　　　：　７０　×　７０＝　４９００
　
　　１：　６９　×　７１＝　４９００　－　　　１　＝　４８９９
　　２：　６８　×　７２＝　４９００　－　　　４　＝　４８９６
　　３：　６７　×　７３＝　４９００　－　　　９　＝　４８９１
　　４：　６６　×　７４＝　４９００　－　　１６　＝　４８８４
　　５：　６５　×　７５＝　４９００　－　　２５　＝　４８７５
　　６：　６４　×　７６＝　４９００　－　　３６　＝　４８６４
　　７：　６３　×　７７＝　４９００　－　　４９　＝　４８５１　（５０を引いて１を足す）
　　８：　６２　×　７８＝　４９００　－　　６４　＝　４８３６
　　９：　６１　×　７９＝　４９００　－　　８１　＝　４８１９
　１０：　６０　×　８０＝　４９００　－　１００　＝　４８００
　１１：　５９　×　８１＝　４９００　－　１２１　＝　４７７９
　１２：　５８　×　８２＝　４９００　－　１４４　＝　４７５６　（１５０を引いて６を足す）
　
　１４：　５６　×　８４＝　４９００　－　１９６　＝　４７０４　（２００を引いて４を足す）
　
　２２：　４８　×　９２＝　４９００　－　４８４　＝　４４１６　（５００を引いて１６を足す）


うーん、こんなにも簡単に計算できてしまうのか、という感じですね。

そこれ、一つ例として以上の　７０　を中心とした「かかし掛け算」に慣れておけば、
他の中心が１０の倍数の計算に関しても、スムースに計算出来ると思います。

例えば、「開きが１４」の場合、「２００を引いて４を足す」と覚えておけば、

　６４×３６　など　中心は５０、開き１４　と見て、
　２５００－２００＋４　＝　２３０４　と計算できます。

なにせ、理屈から言って下二桁の数は変わってこないですからね。慣れると速いです。

　　


では次に、中心の数が１０の倍数以外、どうするかですね。

これは、２乗の数を暗記しないことには即算が出来ないということになります。
その気になれば簡単に覚えられる、という方もいらっしゃいますが、なかなか、そうもいかないのが現実ですね。

以前の記事でゴロ合わせなるものも紹介しましたが、出来れば数字そのものとして覚えたほうが、計算自体は早くなると考えています。

（というか、自分がそうなんです。ゴロで考えるとそこで計算する頭が一旦止まる感じがするのです。）

この２乗の数の暗記のコツに関しては別途ご紹介申し上げることといたしまして、先ずは計算の実例を見てみましょう。

中心は、７８　としましょう。今回は面倒ですので、ざっと見てください。

　　スタート
　　　：　７８　×　７８　＝　６０８４
　
　　１：　７７　×　７９　＝　６０８４　－　　　１　＝　６０８３
　　２：　７６　×　８０　＝　６０８４　－　　　４　＝　６０８０
　　３：　７５　×　８１　＝　６０８４　－　　　９　＝　６０７５
　　４：　７４　×　８２　＝　６０８４　－　　１６　＝　６０６８
　　５：　７３　×　８３　＝　６０８４　－　　２５　＝　６０５９
　　６：　７２　×　８４　＝　６０８４　－　　３６　＝　６０４８
　　７：　７１　×　８５　＝　６０８４　－　　４９　＝　６０３５　（５０を引いて１を足す）
　　８：　７０　×　８６　＝　６０８４　－　　６４　＝　６０２０
　　９：　６９　×　８７　＝　６０８４　－　　８１　＝　６００３
　１０：　６８　×　８８　＝　６０８４　－　１００　＝　５９８４

　１２：　６６　×　９０　＝　６０８４　－　１４４　＝　５９４０　（１５０を引いて６を足す）

　１４：　６４　×　９２　＝　６０８４　－　１９６　＝　５８８８　（２００を引いて４を足す）
　
　２０：　５８　×　９８　＝　６０８４　－　４００　＝　５６８４


以上、開きが　２０　までの場合を見ましたが、中心が一般の整数の場合は、
せいぜい開きが　５　ぐらいまでが「かかし掛け算」の対象でしょうか。
あまり中心を探すのに考えてしまったり、引き算が面倒だったりすると、
「クロス掛け算」を行った方が結局は早いです。

ただし、開きが　７　の場合（→４９を引く＝５０を引いて１を足す）や、
開きが１０、２０、または３０の場合は、それと気がつけば「かかし掛け算」の対象でしょう。

例１：　　３２×４６　中心　３９　開き　　７　→　１５２１－　４９　＝　１４７２
例２：　　７８×９８　中心　８８　開き　１０　→　７７４４－１００　＝　７６４４
例３：　　４２×８２　中心　６２　開き　２０　→　３８４４－４００　＝　３４４４　　
例４：　　１６×７６　中心　４６　開き　３０　→　２１１６－９００　＝　１２１６

いずれにせよ、２乗の掛け算を暗記していることが前提ですが、暗記が完璧になっていれば、
例えば、例２で、「１００引けばよい」などというのは見た瞬間に答えが出ているようなものです。
是非マスターしましょう。


その他、留意点としては、この掛け算は「偶数同士」または「奇数同士」の掛け算でなければ使えないということですね。
そうでないと中心の数が整数で出てこないからですね。

しかし、たとえ「奇数×偶数」であっても、以下の通り計算すれば当然計算可能です。

　８７×８４　＝　８６×８４＋８４　＝　７２２５－１＋８４　＝　７３０８　という

しかし、これをやる位でしたら、初めから「クロス掛け算」を行った方が個人的には頭が疲れないし、
速い、と思います。

　　

以上、「かかし掛け算」について見てきました。


これが理解できると、例えば、

　６４８×５５２　なんて言う掛け算も。。。

　→　６００×６００－４８×４８　＝　３６００００－２３０４　＝　３５７６９６

　なんて、出来ますね。（あまり嬉しくありませんが）


次回、２乗計算の暗記のコツについて述べます。

かかし掛け算 その１ ＜＜デスラー掛け算！？＞＞

小学三年生の息子に二桁掛け算を教える話の続きです。

テクニック的な計算方法に対しては、あまりに簡単に計算出来てしまうと計算練習にならないということで敬遠してきましたが、
「クロス掛け算」がある程度自由に出来るようになった時点で、以下の２つの方法を教えることにしました。

（これは方法論として私のオリジナルではなく、色々な方がご紹介なさっています）


１．掛け算を２乗の差に変換して行う方法；　(a+b)×（a-b)=a^2-b^2　というやつ。

　　例１：　　　４２×３８　
　　　　　　
　　　　　　→　４０×４０－２×２
　　　　　　　＝１６００－４
　　　　　　　＝１５９６

　　例２：　　　３７×３１

　　　　　　→　３４×３４－３×３
　　　　　　　＝１１５６　－　９
　　　　　　　＝１１４７

　　※例２の様な場合、即算のためには２乗の数を暗記していることが前提
　　　→子供はすごいもので覚えなさいと言ったら、いやいやながらも覚えました
　　　　　（注：今はすっかり忘れている）



２．１００に近い数同士の掛け算において、１００との差を利用して計算する方法。

　　(100-a)×(100-b) = (100-a-b)×100 + ab　というやつですな。

　　代数式で書くと判りずらいが、例えば　９７×９２　だったら、

　　千の位と百の位は　１００－３－８　だから　８９、
　　十の位と一の位は　３×８で２４　と計算。
　　後はつなげて　８９２４　と答えを出す。

　　これは慣れれは非常に早いし、考え方をマスターすると拡張性もあり、ちょっと無理をすれば
　　「クロス掛け算」と組み合わせて１００から１９９までの掛け算等も暗算で出来るようになる。

　　また、この方法はよく、「１００に近い数」あるいは「９０以上同士の数」の掛け算のやり方、
　　という形での紹介もあるが、実際には１００との差の積が（最初の計算式でａｂというところ）が
　　９９を超えない限りは１００の位への繰り上がりが発生しないので、そのまま使えてしまう。

　　つまり例えば、片方の数が　９８　なら　もう片方は　５１　まで、９７　だったら　６７　までは、
　　何も考えずに同じ方法で行ける。

　　例：　９８×５１　→　５１－２　と　２×４９　をつなげて　→　４９９８
　　　　　９７×６７　→　６７－３　と　３×３３　をつなげて　→　６４９９

　　（もっとも、たとえそれを多少超えたとしても１００の位にちょっと数字が加わるだけなのだが。）


　　しかし、そういうことは子供には言わない。


　　あくまで、　「９０以上の数同士だったら、こうやろう」　という説明をする。


要は、基本は「クロス掛け算」で押さえたので、さらにこの２つの計算方法を習得することにより、
計算方法は一通りではないこと、その見方や面白さに気がついて欲しい、と考えたわけです。




それで、例によって計算方法に名前を付けました。


「この問題を　『○○掛け算』　で解いてごらん」というような形で指示を出したりすることもあるので、
ネーミングは必要なんですね。

上記の２番目を先に言ってしまいますが、１００との差を取る掛け算は「ディフ掛け算」と名付けました。
英語のdifferenceからとったのですが、数学的な定義として妥当なものかどうか、よくわかりません。
（この「ディフ掛け算」については別途、御案内の機会を持ちます）


それで、最初の方ですね、２乗の差に変換するやり方。これ、最初の頃「デスラー掛け算」と呼んでいたんです。
ここまで来ると数学的な根拠もへったくれもないのですが、何故、「デスラー掛け算」なのか。
これが考え方としては結構重要ですねぇ。


というのも、この計算法、先ず「掛けられる数と掛ける数の中間」を見つけることから始まるのですな。

　６８×５２　だったら「中間地点」は　６０、　そこからの差が　８　とみるわけです。

　すると、３６００－６４　で　答えは　３５３６。　早いですねぇ。。。


で「中間地点」を見つけるのが大事なのですが、「中間地点」といったら、「中間地点バラン星」ですね。これは基本です。
バラン星といったら、当然、銀河系方面軍作戦司令長官・宇宙の狼「ドメル将軍」となります。

それで、「名付けて『ドメル掛け算』だ」、と思ったわけです。　いいでしょう？ドメル掛け算。。。
何か強そうで。（判らない方、以降も含め、スルーして下さい）


しかし、ですね。。。。


これについてはもう一歩踏み込まなければ、物事、画竜点睛を欠いてしまいます。


というのも七色星団においてヤマトに最終決戦を挑み、「瞬間物資移送機」でヤマトを苦しめたのはドメル将軍でした。
そして、ドメルはもはやヤマトに敗れたりと見るや、ヤマト第三艦橋直下において自爆します。
その壮絶な最期の直前、ヤマトの沖田艦長とは共に祖国の運命を背負うもの同士として言葉を交わしています。
そのドメルの記憶が、ヤマト乗組員の中では１年ももたないんですね。

再度ガミラスが「瞬間物質移送機」をもってヤマトに挑んだ時、南部が言うわけです：


　　「デスラー戦法か！」　


やっぱり、総統にはかなわないわけですな；　　それで、この掛け算、「デスラー掛け算」ということにしました。






これは個人的には非常に良いネーミングかと思い、しばらくそういうことで教え方の構想を練っていたのですが、
実際子供に教える段になったところで、


　「やはりなぁ。。。」


と考えざるを得なくなり、ネーミング変更となりました。これは苦渋の決断であり、残念な結果でした。



それで決めたのが　「かかし掛け算」　



何故「かかし掛け算」なのか、それは先ず、この「かかし掛け算」用に作ったワークシートを見ていただくのが早いと思います。

白地は以下の通り；



Ａ４の全体図


これに、練習として書き込みを行うと以下の通りになります。



例えば　２１×１９　という問題なら、「×」の記号の上あたりに「中間の数」を書き、そこからカカシの様に両側に手を伸ばして、
中間からどれだけ離れているか、「開き」の数を書きます。

少ない方の数に対する「開き」に対しては「マイナス記号」を一応つけておきます。

そして、「中間の数」×「中間の数」－「開き」×「開き」を横のマスを使って書かせ、計算させます。

ということで「かかし掛け算」ということになりました。


「かかし掛け算」の練習においては、以下の点を考え方としました。

１．　何故、「中間の数」の２乗から「開き」を２乗を引くと、元の掛け算の答えになるのか、という理由についてはひとまず置く。
　　　（最終的に４つの四角形を使って説明することを念頭に置いたが、マイナスの掛け算の概念が入るため、理解させるためには段階が必要）

２．　全ての掛け算に使えるわけではないし（偶数同士、奇数同士のみ、等）、開きが大きい場合、あまり意味がない（クロス掛け算の方が早い）が、
　　中間の数を見つけ、その差を求めることが、別の意味での計算練習になので、それなりに意義はあるした。

必ずしも暗算を求める訳ではなく（もちろん理解してしまえば７１×６９などは暗算出来てしまうが）、「こうすれば計算できるのだ」ということを身に着かせることに重点をおきました。



では、次回の「かかし掛け算」の項において、２桁掛け算暗算に興味がある中学生以上の方が、どのようにこの方法論に接すれば良いのか述べてみたいと思います。

小学生に２ケタかけざんの暗算を教えるには

自分の息子が小学校三年生の当時、私は彼に２ケタ同士の掛け算の計算を教え、自らもいろいろと実践してみました。
まだ、２桁×１桁もどうなのよ、という感じでしたが、２桁×２桁が出来れば、それも自然と出来るだろうという強硬策を採りました。

前回提示した暗算法は、そのように子供に教えつつ、自分でも答え合わせで暗算をしつつ、という過程で形が練られていったと言えます。
よって計算法は、最初から出来上がったものがあったわけではありませんでした。

むしろ最初はインド式などを勇んで教えていました。

しかし早くのうちに、これらの計算術は今の子供に使わせるには少し不十分だなぁ、というか、無理だなぁと感じました。
理由は今まで何回か述べましたが、だいたい以下の通りです。

　◎パターンによる規則的な計算法であったが、そのパターンがすぐには見抜けない。
　◎この計算法によってカバーできる計算パターンが全体の中で極めて少ない。　　　　
　◎パターンに当てはまったとしてもあまりにも簡単に計算できてしまうので計算練習の対象にならない。
　◎何でその答えが正しくなるのか判らない。

など、ですね。

　
そこで何か良い方法がないかと模索し始めたのですが、すぐに４つの四角形を使った考え方は有効そうだと気がつきました。

これをベースに考え始めたのですが。。。息子は小学校三年生ですから、学校でまだ面積の考え方を習っていない（！）。



ノウハウだけを教えて叩き込むというのはやりたくなかったんですね。
ですので、「掛け算は四角形で表すことが出来るのだ」ということを先ず理解させることから始めました。

いくらうまい方法を思いついても、その計算過程がどうして正しい答えに結びつくか、これを一旦理解させた上で前に進めないと
意味がないと考えたわけです。

　　　　　　　　　　

そこで、「力技」と言っては何ですが、マスの中に四角形の数を数えるための数字を書き込んだ方眼を用意しました。
実際に使用したものとは異なりますが、以下の感じです。



「２３×１８」を教えるためのものですが、２３　と１８　を各辺とする四角の方眼のマスの中に数字が書き込んであります。

まず、これを見せて、否が応でも掛け算は四角形で表すことができるのだ、ということを叩き込みます。
ビジュアルに確認させた後、計算機等をつかって実際に２３×１８をやってみて、「あっているでしょ」ということなります。

次に、この四角形を４つに分けてみよう、ということで次の図を見せます。



「１０の位の数と１の位の数で分けて四角を４つにしました。」
「その一つ一つの四角の数の合計は全体と変わらないよね」ということを確認します。

その上で、次の図を見せます。



あれあれ、何やら簡単な掛け算におきかわったねぇ、と言いつつ、
「４つの掛け算の合計」が最初の　２３×１８　の答えと変わらないことを理解させます。

「そう、２ケタの数の掛け算は４つの四角を使って１０の位と１の位で分けて考えることが出来るんだね」
「そして、答えは、その分けた掛け算の答えを足せばいいんだね」

以上を先ず、理解させる、というか、「そうなのか」という気持ちにさせます。

　　　　　　　　　　


次に、前回の記事で説明しました計算法を習得させるためのドリルをやらせるわけですが、
これはしばらく、同じことを何週間かやらせるわけです。

そこで、毎回のドリルを始める前には、先ほどの　２３×１８　の３枚の図をおさらいします。
そうやって段々、身についてきます。


子供にやらせたドリルは実際どんなものか。こんな感じです。



Ａ４の全体図



このドリルはエクセルでシートを作りました。　＞＞ 名付けて「クロス掛け算ワークシート」
問題は乱数で適当に出てくるようにしました。あと、同じ数があまり出てこないような工夫もちょっと入れました。

　ちなみに２ケタの数の乱数を出すためには、以下の数式で出てきます。
　エクセルでこのシートを作ってみたい方は、セルにそのままコピーして見て下さい。
　（１の位にゼロがでてこないようになっています）

　　=10*(MOD(INT(100*RAND()),9)+1)+MOD(INT(100*RAND()),9)+1
　　

それで、これをやらせた場合、実際どんな感じになるかというと。。。



こうなります。


順番としては、先ず、４つの四角形の数を埋めることが最初ですね。ここで掛け算のイメージを作ります。

次に、右上にある、「クロス」という四角の中に数を入れさせます。


　　※で、「クロス」ってなに？


ここで、一旦、前回説明しました計算法をおさらいします。

　２ケタかけざん暗算法　

　手順１：　式の「内側の数同士をかけたもの」と「外側の数同士を掛けたもの」を合計する。
　手順２：　これを１０倍する。
　手順３：　これに、１０の位の数字同士をかけたものを１００倍し足す。
　手順４：　これに、１の位の数字同士をかけたものを足す。　→　答え

ここで、手順１の　≪「内側の数同士をかけたもの」と「外側の数同士をかけたもの」の合計≫　を　「クロス」　と命名しました。

「クロス」という言葉は数学用語では別途定義があるようでしたので、多少使用を戸惑ったのですが、要は子供向けですので、
気にせず、とりあえずそういう名前を付けました。ついでに、この計算法を「クロス掛け算」と名付けました。

　「四角を埋めたら、次はクロスを出してみて。。」とか、「クロスが間違っているんじゃないか？」とか言えるので、
名前をつけておいた方が何かと便利なわけです。

そうやって、最初は意味も判らず「クロス」なるものを計算して出すわけですが、もちろん、
この「クロス」は１０倍すると（あるいは子供的には「お尻にゼロを付けると」）、四角の左下と右上の合計に等しくなるわけです。

そのことは最初はあえて明確にしなかったのですが、そのうち自然と気がつくわけですね。
意味が判らないことをやらせるのもどうかとは思いましたが、この点だけは自分で気がついて欲しいと考えました。

気がついたところを見計らって、「こことここの合計は、最初のクロスを１０倍したものと同じだね、」と確認するわけです。



面白いことに、息子は「クロス」を計算する際に、自然と計算式の上と下に内側同士、外側同士を結ぶ線を引きながら、
そこにそれぞれの掛け算の答えを書くようになりました。それから横っちょの四角に、上下の数の合計を書き込むわけです。
（上の図にある通りです）




そうやって「クロス」を出してから、次にその下にある計算（各項の足し上げ）を順番にしてゆきます。

これが、暗算法の手順そのものになっています。先ず、１０の倍数の合計（四角の左下と右上）を出し、
１００の倍数、次に単純九九の部分を足す。そうやって掛け算の答えを出す。

そういう練習をするシートになっています。

よって、このワークシートを使って計算練習を重ねていくと、頭の中に暗算するための思考回路が
「数学的に意味のあるイメージ」とともに形成されてゆき、自然自然と暗算が出来るようになる、
という理屈なんですね。


　　そして最後には「式と答え」をキチンと書かせる。
　　これは２ケタの掛け算はこうやって解くことが出来るという意識付け、関連付けを明確にするためです。


息子の場合、ワークシートを毎日ではないがやらせてみて約６週間くらいで暗算が可能になったと記憶しています。
しかし実際はもっと早く出来るようになっていたのかも知れません。
というのも、６週間位たってから試しに暗算が出来るかどうかやってみたら、「出来た」ということだったんです。

ということで結果はもっと早く出るかもしれませんが、これは早く出来るようになれば良い、というものではないし、
要はしっかりとした計算練習を行って計算能力を地道に高めることが大事なのであって、
たとえ結果として暗算がマスターできなかったとしても、ワークシートをこつこつこなしたこと自体、
それはそれで頑張ったな、と言えるかと思います。

　　　
　
しかし、例えば、もう少し積極的に訓練的手法を取り入れるならば、以下の方法も考えられるでしょう。

ワークシートを使いつつも、下記のステップを踏んで徐々にレベルアップする。
　１．　四角形のマスは空欄のまま、クロス、右側の計算式だけを埋める。

　２．　四角形のマス、クロスと最初の計算式を飛ばし、いきなり２番目の式から計算を始める
　　　　↓具体的には。。。


　３.　ワークシートを見ながら、いきなり４つの四角形の合計を出してみる（つまり掛け算の暗算をしてみる）

この手法を取り入れるときは、問題としては乱数から出すのではなく、先ずは数の少ない数字を選んでやってみると
良いでしょう。

　そういえば、息子の場合もこれに似た形、何回かやりました。今思い出しました。
　判らなくなったら、四角を埋めてから考えてごらん、というような形で、
　徐々にハードルを上げていった様な記憶が。。。　

　まぁ、意外に出来てしまうものですよ。。。
　　
　　　　　　


以上が、前回ご案内した暗算法を小学生に教える際の方法論です。
足し算を頑張ることの出来るお子様ならば、誰にでも身に付くのではないかと考えます。

またこれは、学校教育における筆算の学習との整合性、並立性（違ったアプローチの計算法を教え込んで混乱が起きないかどうか）という点、
今後の数学的思考における発展性という点、これらについても自分になりに問題ないかどうか悩みつつたどり着いたものです。
その意味で、取り組んでみて無駄はない内容ではないかと考えております。


小学校教育 ブログランキングへ

究極の２ケタかけ算暗算法

大げさなタイトルになりましたが、２桁の数の掛け算の暗算方法について、方法論を提示したいと思います。

まぁ、本当の究極の暗算法は丸暗記することかもしれませんが、それは置いておきまして。。
何故、そこまで言えるのかと申しますと、テーマが単純で手を入れる要素も少ないので、自分よりもっと頭のいい人が考えたとしても
これ以上先はもう無いだろう、と考えるからです。

この項は前半は理論であり、後半は具体的方法です。面倒くさい人は後半のみお読み下さい。
また、内容的には前回の記事の続きでもあるので、前回の記事も併せて読まれることをお勧めします。

まあ、私などが申すべくもなく、ネット等で検索するれば色々なものが出てきます。
その中には、ほとんど自分の考えたものと同じものも多々ありました。というか、考えている人は程んど同じ結論に達するのでしょう。


その同じ結論というのは、掛け算を４つの四角形の面積でかんがえるというやり方です。

たとえば　７８×６３　という計算なら以下のような四角形を考える。



これは計算のイメージとしては基本のものであり、理解しやすいと思います。
かつ子供に教えてもその後の数学的な思考展開の基礎となるものであり、意義のあることと考えます。


それでこの４つの四角形を足し上げて掛け算の答えを出すというものです。

つまり　４２００＋４８０＋２１０＋２４

で、いくつになるかな　４９１４　ですな。

この四角形ををイメージしながら足し上げれば何とか暗算は出来るわけで、前回の４つの数の足し算をするという
内容と軌を一にします。

ただし、自分は時々単純計算であっても、「あれっ？」となってしまうタイプなので、それでもきつい場合がある。



もうちょっと工夫できないか。


工夫もなにも足し算する順番を考えるだけなのですが、色々と試行錯誤した結果、
四角形のうち右上と左下、この斜めのラインの合計を一番先に出すのが良いと考えました。


すなわち上記の例では　４８０＋２１０　＝　６９０　この計算を先ずやってしまう。
ここで　４８０　と　２１０　は　１０の倍数になっていることに注意します。

その次に、左上、すなわち４２００、１００の倍数の数を足す。４８９０になる。　
そして最後に右下の数、２４という単純な九九の数を足す。　答えは　４９１４。


何故この順番なのか？


それは一つには各項を足し上げていくときに、

「先ずは、数字の桁の重なりが多いもの同士を最初に足してしまおう」　　という考え方なんです。


つまり、４８０と２１０は１０の倍数同士。これを先ずまとめてしまえ、ということです。

この場合は繰り上がりこそおきないものの、足し算するけたは１００の位と１０の位、
２つの桁でばっちりぶつかりあう。だからここでまず　６９０　という数をつくり１０の倍数の合計を固めてしまう。

そこであとから４２００を足し、２４を足しという風にすれば、以降は足し算する桁が１桁しか重ならない。
（ただし、１０の倍数の合計が１０００を超えた場合は２桁重なることもある。）


この順番を変えると、どうなるか。

例えば　４２００＋４８０　＝　４６８０　と先にやり、４６８０と２１０を次に足そうとすると
この２桁がぶつかりあうという最もこの足し算で過酷な部分で、最初に１０の倍数同士を足した場合よりも大きな数を扱うことになる。


もう一つ、４８０＋２１０を先ず行うというのは、これはゼロを除いて考えると両方とも九九の答えであり、
よく見なれた数字であるということであるからです。


ある意味既知の数であり、ある種計算にも慣れているその分心理的にも抵抗が少なく、速く計算出来る。
だからこそ、２桁の数がぶつかりあう足し算をここで行うのです。

これは実際、訓練を重ねていくと、きわめて限られた数字を扱っているのだと気付きます。
つまりは「九九の答え同士の足し算」なわけで、パターンとして限られてくるのです。
よって、だんだん慣れてくるということです。


要は間違っても　４７０＋７６０　なんていう足し算はでてこないということですね。


もう一度まとめてみます

最初に１０の倍数同士を足した場合

手順１：　４８０＋２１０　＝　６９０　　→　二桁がぶつかりあう足し算だが、見なれた数字なので心理的抵抗小
手順２：　６９０＋４２００＝４８９０　　→　見なれぬ数字（６９０）を含むが、足し算する桁は１桁のみで心理的抵抗小
手順３：　４８９０＋２４　＝４９１４　　→　見なれぬ数字（４８９０）を含むが、足し算する桁は１桁のみで心理的抵抗小

順番を変えた場合

手順１：　４２００＋４８０＝４６８０　　→　見なれた数字なので心理的抵抗小
手順２：　４６８０＋２１０＝４８９０　　→　見なれぬ数字（４６８０）を含み、足し算する桁も２桁であり、心理的抵抗大
手順３：　４８９０＋２４　＝４９１４　　→　見なれぬ数字（４８９０）を含むが、足し算する桁は１桁のみで心理的抵抗小



さらに、この順番が良いと考えるもう一つの理由があります。


それは、最初に作る１０の倍数の項の合計が、たまたま１００の倍数になることがあるということです。

これが１００の倍数になった場合は、以降、下二桁の計算はあってないようなものです。


つまりこれがインド式計算のパターンに当たる場合の８３×８７などでは、４つの四角形の左下・右上の合計が８００となる。
だからその後の足し算が楽になる、ということは前回述べました。

しかし、ここで注目したいのは、１０の倍数の項の合計が１００の倍数になるというパターンは、
インド式計算のパターンに当てはまる計算式だけではなく、他にも数多くあるということなんです。

例えば、６４×７７　＝　４２００＋２８０＋４２０＋２８

これは　最初に　２８０と４２０を足してしまえばあとは楽ですね。　４２００＋７００＋２８　＝　４９２８


あるいは　９２×８６　などもそうでしょうか。　
　　　　　７２００＋５４０＋１６０＋１２　＝　７２００＋７００＋１２　＝　７９１２　となりますね。


これは二桁同士の掛け算の計算パターンの３３２１通りのうち、４０１通りがそうなります。ちょっとした数です。

　※３３２１通りというのは最初の記事でもふれましたが、二桁同士の掛け算のうち、１の位がゼロのものを除き、
　　さらにかけられる数とかける数を入れ替えたものを相殺したネットの計算式のパターンです。



よって、４つの四角形の各項のうち、まず、左下・右下の１０の倍数の項を足すのが良いというのは御理解いただけたと思います。



そのあと、１００の倍数の項、単純九九の項という順で足す、というのが私の提案する順序です。

この点については、残念ながら理屈はありません。
ただ、実際多くの計算にあたった結果、感覚的にこれが良いという結論に達しています。



以上が理論ですが、最後に具体的な方法論に入りたいと思います。



究極の２桁掛け算暗算法：

計算方法を具体化する際に、以上説明してきた「１０の倍数の数の合計を出す」方法に関して
一つ変更を加えます。それは、「先ず九九の答え同士を足し、後から１０倍する」ということです。

　（同じことですよね）


それを踏まえて、例えば、７８×６３　という計算なら、

　手順１：「内側の数同士をかけたもの」と「外側の数同士をかけたもの」を合計する。
　手順２：　これを１０倍する。
　手順３：　これに、１０の位の数字同士をかけたものを１００倍し足す。
　手順４：　これに、１の位の数字同士をかけたものを足す。　→　答え

これで良いことになります。


つまり　　　７８×６３　を見ながら。。。
　　　　
　手順１：　（内側）８×６＋（外側）７×３　＝　４８＋２１＝　６９
　　　　　　　
　手順２：　これを１０倍　→　６９０

　手順３：　これに、７×６×１００を足す。
　　　　　　　　６９０
　　　　　　＋４２００　　　←　桁を合わせて、数を下において足していくというイメージを持って下さい。
　　　　　　　４８９０　　　　　

　手順４：　これに、８×３　を足す。
　　　　　　　４８９０
　　　　　　＋　　２４
　　　　　　　４９１４

もっと単純化しましょう

　内側の数同士の積と外側の数同士の積を足して１０倍、
　これに、左側の数同士をかけた数の１００倍を足し、
　さらに、右側の数同士をかけた数を足す。
　
これで良いわけです。２桁掛け算の暗算法が３行で説明できました。



これでもし暗算が出来ない場合はどうしましょう。

それは、訓練をするしかないでしょう。

手順としては計算の心理的負担が発生しないよう、極限まで抑えた形となっています。
これ以上は簡素化出来ないでしょう。よってあとは訓練ですね。


最後に、さらにもうひと押し、計算の工夫を加えましょう。


それは、言わずもがなですが、上記の手順１で、内側同士の積と外側同士の積を合計するときに、
掛け算の分配法則等が使えるかもしれない、ということです。


つまり、例えば　８８×４３　などという計算だったら

　　　　８×４＋８×３　＝　８×（４＋３）＝　８×７　＝　５６　ですね。
　　　　
　　　　３２＋２４より「一瞬」速いかもしれません。

慣れてくると最も早い計算方法を自然に選べるようになります。


また、ちょっと裏技的ですが
、
　　　　７６×３９　だったらですね、

　　　　内側の積の　６×３　を　２×９　と読み替えてしまうんです。同じ１８ですからね。
　　　　それで、

　　　　６×３＋７×９＝２×９＋７×９＝（２＋７）×９＝９×９＝８１

という工夫もできます。

これも、慣れると不思議なもので、すぐに　９×９　が浮かぶようになります。
そうなったら、実際に１８＋６３＝８１　をするより、やや速いかな、という感じです。

まぁ、いろんな工夫をすることが楽しいわけです。


以上の方法に基づき、各自練習してみてください。きっと２桁の数の暗算が出来るようになると思います。


自分が良くやるのは車のナンバープレートをみて、左の数字と右の数字を掛け算することですね。
そんな感じで頭の体操をやっています。


また、上記の理論の延長上に「ねこ掛け算」があります。「ねこ掛け算」では３桁の掛け算の暗算が出来るようになります。
私も「自分がそんなことが出来るようになるなんて一生あり得ない」と考えておりましたが、
３桁同士の数の暗算が出来るようになりました。まぁ、時間は少々かかりますが、一応正解は出ます。

息子もですねぇ。。数が小さければ混乱せずに３桁掛け算が出来るように一時期はなりました。（今はだめですけれどもね。）


そこで次回は補足的になりますが、小学生にこの二桁暗算法を教える際の注意点ならびに方法論を実際の経験に基づいて述べたいと思います。


人気ブログランキングへ

２桁掛け算の暗算法でどこまで速く計算できるのか

二桁掛け算の暗算法を考えるにあたり、自分としてもインド式の本を買って読んでみたり、ネットで色々と検索して調べたりしました。

ネットで調べると色々とヒットします。そろばん暗算やフラッシュ暗算等、はるか彼方の高いレベルにある方々もいらっしゃる一方、
学校で苦労した（あるいはしている）２桁同士の掛け算が、暗算でサクサク出来たらいいな、すごいなと感じる方も多い、ということが分かります。

（このマーケットの違いは個人的には面白いと思っている）

そこで、自分を含めた後者の人々の中には、一つ陥りがちなある種の感覚があるように思えた。

それは、インド式の計算術の簡易性のインパクトがあまりにも大きいので、何か他にも簡単に計算ができる方法があるのではないか？という期待。

確かに「１０の位の数が同じで１の位を足すと１０になる２つの数の掛け算」など。。。。。

例として　８３×８７　答えは　７２２１、法則を知っていればすぐ出てくる。

　　　ちなみに法則としては、
　　　千の位と百の位は　８×（８＋１）で　７２、
　　　十の位と一の位は　３×７で　２１　と出し、それをつなげる　　＞　７２２１　（！）

これはすごいなということになるのだが、これは、このパターンに当てはまる計算式が全体からして圧倒的に少ないという冷徹な事実の前に、
「知っていたら役に立つかもしれない」という程度の話になってしまう。

じゃあ、他にいい方法ある？と考えたときに、そんなに魔法のような方法は無いわけである。。。ない。

結局は地道な訓練と工夫しかない。あるいは、イザとなれば電卓もあるし、実生活に役に立つわけでもなし、と軌道修正するか。。。

１．どんな即算法を使おうが、これよりは速くならないという限界

世の中には努力の結果として、２桁だろうが３桁だろうが、一瞬で掛け算してしまう人たちもいます。
それはそれとして、あくまでも自分自身のレベルにおいて考えたときに、果たして一体どこまで速く計算できるのだろうか？

　＜＜結局、２桁同士の掛け算というのは、４つの数の足し算をすること＞＞
　
　たとえば、７３×４６　という計算を考えてみましょう。
　これを筆算で行った場合を例に考えると分かりますが、この計算においては掛け算を４回行います。

　つまり

　　　７３
　　×４６

　　(1) 　３×６
　　(2) ７０×６
　　(3) 　３×４０
　　(4) ７０×４０　の４つ。

掛け算の答えはこの４つを合計したもの

　よって　
　　(1)　　　１８
　　(2)＋　４２０
　　(3)＋　１２０
　　(4)＋２８００

この計算をする。つまり４つの数の足し算をすると言うこと。この足し算、皆さん何秒で出来ましたか？

答えはもちろん、３３５８となりますが、この４回掛け算を行い、その答えの足し算を何秒ですることが出来るか？ということが、
その人にとって、７３×４６の計算をする場合の速さの限界となります。

理屈からいって、それより速くなることはあり得ません。どれ一つ省略しても正解にはたどり着かないからです。
多くの方は掛け算自体はは九九によりほぼ一瞬で出来るでしょうから、、要は如何に足し算を素早く正確に行うか、ということがポイントになります。

これを一回知っておくと、あとは自分でどこを努力すれば良いのか分かります。
というか、もし自分の満足するレベルに達していないのなら、結局は訓練するしかないのだな、と悟ることが出来ます。

２桁掛け算を３秒以内でやる方法、とか、１秒で解く方法はないか？というような質問もあるようですが、それはその方が、

「その時間内に　１８＋４２０＋１２０＋２８００　が計算できれば可能でしょう」、ということになります。

 

　結論：　２桁掛け算の暗算方法というのは、足し算計算の「訓練」と４つの数をどうしたら効率よく合計できるのかという「工夫」に落ち着く。

 

２．掛け算の計算方法の工夫は、４つの数の合計をいかに効率的に行うか

ちなみにインド式のパターンにはまる場合、なぜ簡単に計算できるのでしょうか？
上記に例を挙げた　８３×８７　を　同様に分解すると

　　　８３
　　×８７

　 (1)　３×７
　 (2)８０×７
　 (3)　３×８０
　 (4)８０×８０　の４つの掛け算。

掛け算の答えはこの４つを合計したもの

　よって　

　 (1)　　　２１
　 (2)＋　５６０
　 (3)＋　２４０
　 (4)＋６４００　　　と、こうなる。
　　
ここで、(2)と(3)に注目します　これを合計すると　５６０＋２４０＝　８００　となります。

すなわち、こういう計算です。

　　(1)　　　　 ２１
　(2)＋(3)　 ＋ ８００
　　(4)　　＋６４００

これなら、ぱっと　７２２１　と計算できそうですね。

要は、１０の位が８で、１の位同士が足して１０と判断した時点で、この(2)と(3)の合計は８００になるという計算が終わっているということなんです。

８００だったら、下二桁がゼロなわけで、下２けたは事実上計算不要となります。
百の位以降の計算も、８に１を足した数（＝9）をかけるという計算が成り立つわけです。

インド式のパターンに合う場合の掛け算というのは、この４つの数の足し算が極端に簡素化出来るケースなのだということが言えます。

 

では、逆にいわゆる筆算の場合はどうでしょうか。

同じく８３×８７の計算において、４つの数の合計を出す際、まず、(1)＋(2)　と　(3)＋(4)の合計をそれぞれ出します。

すなわち、ここから

　　(1)　　　２１
　　(2)＋　５６０
　　(3)＋　２４０
　　(4)＋６４００

一旦、(1)と(2)、(3)と(4)を合計し、

　(1)＋(2)　　　５８１
　(3)＋(4)　＋６８４０

その合計の数をさらに足すわけです。

これは、暗算的な思考からすると、わざわざ難しい手順を踏んでいると言えます。

つまり、最初に(1)と(2)を計算し、その答えを出すわけですが、次に全く違う計算であるところの(3)＋(4)を行います。
その間、(1)＋(2)の答えは記憶しておかなければなりません。

さらには最後に３桁の数と４桁の数を合計するので、繰り上がりが２回以上起きる可能性もあります。

「まず、合計を二つ作り、その二つの合計をさらに合計する」こういう計算方法が手順として頭の中にあるがゆえに、
２桁掛け算の暗算がなんとなく難しいもの感じられるのです。

というか、その様に暗算しようとすると、実際結構大変でしょう

だったら、それよりは４つの数を順番に一つずつ足していった方が、まだ頭の中で行う分には容易です。
　

ここで申し上げたいのは、２桁の掛け算（あるいは３桁の掛け算）の暗算は思ったより簡単に出来るということです。
先ずはその先入観を取ることが肝要です。

魔法の様な暗算方法はない、とも申し上げましたが、筆算から受ける印象ほど暗算は難しくないというのも事実です。

前置きが長くなりましたが、次回、具体的な方法について記述します。

 

 

　

 

二桁の数の２乗 その２ 語呂合わせ

２桁の数の２乗のゴロ合わせによる覚え方。いわゆる平方数。

以降、留意点
　※　２１はニンジン、６１は老人とすることがある
　※　１の位が５の数は即算法で対応するのが良い・
　※　同じく５０台並びに９０台の数も即算法にて対応
　※　その他、思い浮かばないものは断念。

　※　気合いを入れて覚えたい方は別途「暗記法」の記事を読まれることをお勧めします。

　

　１１×１１：　　　１２１　一本でもニンジン
　１２×１２：　　　１４４　
　１３×１３：　　　１６９　いざ　一郎君
　１４×１４：　　　１９６　いよいよ　ひと苦労
　１５×１５：　　　２２５　１×２　と　２５
　１６×１６：　　　２５６　色、にごろ
　１７×１７：　　　２８９　いいな、二泊
　１８×１８：　　　３２４　いいや、壬生市で　（すみません、壬生の方。。）
　１９×１９：　　　３６１　行く、三老人　（別バージョン：　行く、サーロイン）
　２０×２０：　　　４００
　
　２１×２１：　　　４４１　ニンジン　よし一本
　２２×２２：　　　４８４　
　２３×２３：　　　５２９　兄さん　小肉　（こ憎い）
　２４×２４：　　　５７６　西　コナろく
　２５×２５：　　　６２５　２×３　と　２５
　２６×２６：　　　６７６　
　２７×２７：　　　７２９　次男、何喰う？
　２８×２８：　　　７８４　庭　の　菜っ葉よ
　２９×２９：　　　８４１　肉、はよ炒めて
　３０×３０：　　　９００　

　３１×３１：　　　９６１　サイ、黒い
　３２×３２：　　１０２４　さん、にい、いち、ぜろ、２４時
　３３×３３：　　１０８９　さんざん、投薬
　３４×３４：　　１１５６　写真、いい頃
　３５×３５：　　１２２５　３×４　と　２５
　３６×３６：　　１２９６　三郎　一人に苦労　あり
　３７×３７：　　１３６９　みんな　一人で三郎君
　３８×３８：　　１４４４　散髪　いいよ　よし
　３９×３９：　　１５２１　さんきゅう　以後ニンジン
　４０×４０：　　１６００
　
　４１×４１：　　１６８１　良い　色は一つ
　４２×４２：　　１７６４　世にも　異な虫


　４３×４３：　　１８４９　シーザー　卑しく
　４４×４４：　　１９３６　志士　戦録
　４５×４５：　　２０２５　４×５　と　２５
　４６×４６：　　２１１６　城　　ニンジン色
　４７×４７：　　２２０９　品　にふた置く
　４８×４８：　　２３０４　夜は　にいさんオシッコ
　４９×４９：　　２４０１　ショック　によわい



　５０×５０：　　２５００　　２５＋０　と　０×０
　５１×５１：　　２６０１　　２５＋１　と　１×１
　５２×５２：　　２７０４　　２５＋２　と　２×２
　５３×５３：　　２８０９　　２５＋３　と　３×３
　５４×５４：　　２９１６　　２５＋４　と　４×４　
　５５×５５：　　３０２５　　２５＋５　と　５×５　／　５×６　と　２５
　５６×５６：　　３１３６　　２５＋６　と　６×６
　５７×５７：　　３２４９　　２５＋７　と　７×７
　５８×５８：　　３３６４　　２５＋８　と　８×８　
　５９×５９：　　３４８１　　２５＋９　と　９×９　
　６０×６０：　　３６００　

　６１×６１：　　３７２１　老人　みなニンジン



　６２×６２：　　３８４４　六時に　散髪よし　／　無事、散髪　獅子



　６３×６３：　　３９６９　無残　さくろく
　６４×６４：　　４０９６　虫、　四匹　送ろう
　６５×６５：　　４２２５　６×７　と　２５
　６６×６６：　　４３５６　碌々、資産転がし
　６７×６７：　　４４８９　むな　しい予約

　６８×６８：　　４６２４　牢屋　城に四つ



　６９×６９：　　４７６１　無垢、シナ老人
　７０×７０：　　４９００　

　７１×７１：　　５０４１　ないなら　これよい



　７２×７２：　　５１８４　なんつー　か　こぉぅ、イヤヨ　　／　ナニ?　来い！　ヤーヨ。


　　　　　　　　

　７３×７３：　　５３２９　奈々さん　ゴミ拭く
　７４×７４：　　５４７６　梨、　こよなむ
　７５×７５：　　５６２５　７×８　と　２５
　７６×７６：　　５７７６　南路　航南南路
　７７×７７：　　５９２９　なんなら　高級肉

　７８×７８：　　６０８４　悩む、大家よ



　７９×７９：　　６２４１　泣く、　老武士一人


　８０×８０：　　６４００　
　８１×８１：　　６５６１　はい、　老後老人
　８２×８２：　　６７２４　ハニー　ろくななにいよん　　（全く無意味）
　８３×８３：　　６８８９　ばーさん　ロバ焼く



　８４×８４：　　７０５６　箸　なら驕ろう



　８５×８５：　　７２２５　８×９　と　２５
　８６×８６：　　７３９６　波浪、波苦労

　８７×８７：　　７５６９　バナ　ナ５本むく



　８８×８８：　　７７４４　パパは　名無しよ

　８９×８９：　　７９２１　焼く　な、　９本ニンジンを



　９０×９０：　　８１００

　９１以降の即算法

　まず　　元の数と１００との差を出す　　そして　
　　　その数を元の数から引く　これが千の位と百の位
　　　その百との差の２乗　　　これが十の位と一の位
　以上をつなげる

　９１×９１：　９１－９　で　８２、　９×９　で　８１　つなげて　８２８１
　９２×９２：　９２－８　で　８４、　８×８　で　６４　つなげて　８４６４
　９３×９３：　９３－７　で　８６、　７×７　で　４９　つなげて　８６４９
　９４×９４：　９４－６　で　８８、　６×６　で　３６　つなげて　８８３６
　９５×９５：　９５－５　で　９０、　５×５　で　２５　つなげて　９０２５
　９６×９６：　９６－４　で　９２、　４×４　で　１６　つなげて　９２１６
　９７×９７：　９７－３　で　９４、　３×３　で　　９　つなげて　９４０９
　９８×９８：　９８－２　で　９６、　２×２　で　　４　つなげて　９６０４
　９９×９９：　９９－１　で　９８、　１×１　で　　１　つなげて　９８０１

　１００×１００：　　１００００

　
小学校教育 ブログランキングへ

二桁の数の２乗 その１

２桁の数の２乗の数について暗記したいと考えた。
そんなもの覚えてどれだけの意味があるのか。




およそ２桁同士の掛け算の暗算を考えたときに、何通りあるのか？ということに対し、よく９０×９０で約８１００通りとか大げさに言われることもある。

しかし１０の倍数を含んでいれば、実際には２桁×１桁の暗算と同等と考えられるし、かける数とかけられる数を入れ替えれば同じ計算なので、
そこのダブりを相殺したりすると実際のパターン数としてはぐっと少なくなる。

数えると３３２１通りということになります。これを攻略すれば良い、ということですな。

２年前の春から夏休みにかけて私は小学三年生の息子にこの３３２１通りの掛け算を全てやらせてみた。

最初は世に言うインド式の計算法なるものも教えようとしたがが、悲しいかなそのパターンに当てはまる式が全体からしてあまりにも少ない。
また、例えばそのパターンに当てはまる数式を並べて計算させたとしても、計算練習にはなっていないという感覚がした。

確かにほぼ一瞬で答えは出る。しかし本人は何の掛け算をやっているのか、どうしてその計算が正しい答えとなるのか分からない。
これではあまり意味がない、時間をかけても筆算をやらせた方が良いと感じた。



そこで何とか自前で納得のいく計算方法を考え出し、全て解かせていったのだが、後半近くには自然と暗算が出来るようになっていた。

その計算方法というのは紙に書きながら行うものだが、思考の過程そのものが暗算に適するようになっている。
よって何回もその計算方法により計算練習を行っていると、段々と頭の中に２桁の数を暗算で掛け算する思考回路が出来て来て、
最後には紙と鉛筆が要らなくなるというものだ。

毎日ではないが１日１０題ほど計算させて、６週間くらいでそんな感じになっていたと記憶している。
（もちろん大人が取り組めば、ほんの１、２分で理解できる内容かと思う。）


それら計算方法を色々と試行錯誤するなかで、２乗の数の暗記ということを考えた。

これを掛け算の九九並みに覚えてしまうと実は３３２１通りの掛け算のなかで約４００通りの掛け算はある程度即算できるようになる。
全体の約８分の１をカバーするわけです。


例えば　７８×７８を６０８４と暗記していれば、

　７７×７９　は　６０８３、
　７３×８３　は　６０５９、と即算できます。

（これを子供向けには「かかし掛け算」と命名した。詳細については別途機会を改めたいと思う）


では、２乗の数を暗記するにはどうすればよいか？

　　「ゴロ合わせがいいかな？」

そう思って、色々考え、息子に見せてみたが「かえって分からない」ということであった。


どうやら子供の頭の中ではゴロ合わせという言語の感覚と実際の計算のための数字の感覚というものがうまくリンクしないようだった。


例えばゴロ合わせで「いい国つくろう鎌倉幕府」という感じで１１９２という年号を覚えるというのは、そこで完結している話だ。

しかし、これを引き続いて計算に使おうとすると、そこから先があり、一旦頭の切り替えが必要になる。
つまり「イイクニ」という語感を数としての「１１９２」に変換しなければならないのである。
これが負担なのであろう、という説を立てた。


それでゴロ合わせはボツにした。
また、「かかし掛け算」も計算方法としてはサブということで横に置いた。

しかしせっかく考えたゴロ合わせであるから、世の中には気に入ってくれる人もいるかも知れないとおもい、ブログに乗せることにしました。


ちなみに今では息子は２桁の掛け算の暗算は出来ない。そろばんを習い始めたので敢えて自分の考えた計算方法を止めさせた。

そしたら、全て忘れてしまったみたい。子供は覚えるのも早いが、忘れるのも早い。

もう一度、教えればすぐに出来るかもしれないが、まあ、いいかという感じ。