ねこ掛け算のブログ

そろばん暗算は出来ないな、という人たちのための掛け算暗算法
2桁・3桁同士から、そこまでやるかの4桁超までご紹介

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2桁の数の2乗 暗記用リスト(2) 10飛びリスト

2012-04-29 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2桁の数の2乗の数の計算を、1の位の数を移動させてその数の2乗を足す 方法によって示したリストです。
1の位の数ごとにまとめていますので、リズム良く計算してみて下さい。

 2桁の数の2乗の計算方法 (移動砲!)

 << 1 の列 >>
 右から左へ 1 移動して 1 の 2乗 を足す。
    ← 1          + 1
  11×11 = 12×10 + 1 =   121
  21×21 = 22×20 + 1 =   441
  31×31 = 32×30 + 1 =   961
  41×41 = 42×40 + 1 =  1681
  51×51 = 52×50 + 1 =  2601
  61×61 = 62×60 + 1 =  3721
  71×71 = 72×70 + 1 =  5041
  81×81 = 82×80 + 1 =  6561
  91×91 = 92×90 + 1 =  8281
 
 << 2 の列 >>
 右から左へ 2 移動して 2 の 2乗 を足す。
    ← 2          + 4
  12×12 = 14×10 + 4 =   144
  22×22 = 24×20 + 4 =   484
  32×32 = 34×30 + 4 =  1024
  42×42 = 44×40 + 4 =  1764
  52×52 = 54×50 + 4 =  2704
  62×62 = 64×60 + 4 =  3844
  72×72 = 74×70 + 4 =  5184
  82×82 = 84×80 + 4 =  6724
  92×92 = 94×90 + 4 =  8464
 
 << 3 の列 >>
 右から左へ 3 移動して 3 の 2乗 を足す。
    ← 3          + 9
  13×13 = 16×10 + 9 =   169
  23×23 = 26×20 + 9 =   529
  33×33 = 36×30 + 9 =  1089
  43×43 = 46×40 + 9 =  1849
  53×53 = 56×50 + 9 =  2809
  63×63 = 66×60 + 9 =  3969
  73×73 = 76×70 + 9 =  5329
  83×83 = 86×80 + 9 =  6889
  93×93 = 96×90 + 9 =  8649
 
 << 4 の列 >>
 右から左へ 4 移動して 4 の 2乗 を足す。
    ← 4          + 16
  14×14 = 18×10 + 16 =   196
  24×24 = 28×20 + 16 =   576
  34×34 = 38×30 + 16 =  1156
  44×44 = 48×40 + 16 =  1936
  54×54 = 58×50 + 16 =  2916
  64×64 = 68×60 + 16 =  4096
  74×74 = 78×70 + 16 =  5476
  84×84 = 88×80 + 16 =  7056
  94×94 = 98×90 + 16 =  8836
 
 << 5 の列 >>
 右から左へ 5 移動して 5 の 2乗 を足す。
    ← 5           + 25
  15×15 =  20×10 + 25 =   225
  25×25 =  30×20 + 25 =   625
  35×35 =  40×30 + 25 =  1225
  45×45 =  50×40 + 25 =  2025
  55×55 =  60×50 + 25 =  3025
  65×65 =  70×60 + 25 =  4225
  75×75 =  80×70 + 25 =  5625
  85×85 =  90×80 + 25 =  7225
  95×95 = 100×90 + 25 =  9025
 
 << 6 の列 >>
 左から右へ 4 移動して 4 の 2乗 を足す。
   4 →            + 16
  16×16 = 12× 20 + 16 =   256
  26×26 = 22× 30 + 16 =   676
  36×36 = 32× 40 + 16 =  1296
  46×46 = 42× 50 + 16 =  2116
  56×56 = 52× 60 + 16 =  3136
  66×66 = 62× 70 + 16 =  4356
  76×76 = 72× 80 + 16 =  5776
  86×86 = 82× 90 + 16 =  7396
  96×96 = 92×100 + 16 =  9216
 
 << 7 の列 >>
 左から右へ 3 移動して 3 の 2乗 を足す。
   3 →            + 9
  17×17 = 14× 20 + 9 =   289
  27×27 = 24× 30 + 9 =   729
  37×37 = 34× 40 + 9 =  1369
  47×47 = 44× 50 + 9 =  2209
  57×57 = 54× 60 + 9 =  3249
  67×67 = 64× 70 + 9 =  4489
  77×77 = 74× 80 + 9 =  5929
  87×87 = 84× 90 + 9 =  7569
  97×97 = 94×100 + 9 =  9409
 
 << 8 の列 >>
 左から右へ 2 移動して 2 の 2乗 を足す。
   2 →            + 4
  18×18 = 16× 20 + 4 =   324
  28×28 = 26× 30 + 4 =   784
  38×38 = 36× 40 + 4 =  1444
  48×48 = 46× 50 + 4 =  2304
  58×58 = 56× 60 + 4 =  3364
  68×68 = 66× 70 + 4 =  4624
  78×78 = 76× 80 + 4 =  6084
  88×88 = 86× 90 + 4 =  7744
  98×98 = 96×100 + 4 =  9604
 
 << 9 の列 >>
 左から右へ 1 移動して 1 の 2乗 を足す。
   1 →            + 1
  19×19 = 18× 20 + 1 =   361
  29×29 = 28× 30 + 1 =   841
  39×39 = 38× 40 + 1 =  1521
  49×49 = 48× 50 + 1 =  2401
  59×59 = 58× 60 + 1 =  3481
  69×69 = 68× 70 + 1 =  4761
  79×79 = 78× 80 + 1 =  6241
  89×89 = 88× 90 + 1 =  7921
  99×99 = 98×100 + 1 =  9801

 << 9 の列 別表 >>
  1つ多い数の2乗 から 1つ多い数の2倍を 引いて 1 を足す。
  
  19×19 =  400 -  40 + 1 =   361
  29×29 =  900 -  60 + 1 =   841
  39×39 = 1600 -  80 + 1 =  1521
  49×49 = 2500 - 100 + 1 =  2401
  59×59 = 3600 - 120 + 1 =  3481
  69×69 = 4900 - 140 + 1 =  4761
  79×79 = 6400 - 160 + 1 =  6241
  89×89 = 8100 - 180 + 1 =  7921
  99×99 =10000 - 200 + 1 =  9801

  (解説別途)

 
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2桁の数の2乗 暗記用リスト(1) 順列リスト

2012-04-26 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2桁の数の2乗の数の計算を25までの2乗の数を使って計算する方法によって順列で並べたリストです。
元の数に対する100の倍数の部分の動き25までの2乗の数の動きを感覚的につかんで下さい。

 2桁の数の2乗の計算方法Ⅰ 

1. 11から25までの2乗:  暗記する

 11×11 =  121   (100+ 20+ 1)
 12×12 =  144   (100+ 40+ 4)
 13×13 =  169   (100+ 60+ 9)  
 14×14 =  196   (100+ 80+16)
 15×15 =  225   (100+100+25)
 16×16 =  256   (100+120+36)
 17×17 =  289   (100+140+49)
 18×18 =  324   (100+160+64)
 19×19 =  361   (100+180+81)
 20×20 =  400   (400+  0+ 0)
 21×21 =  441   (400+ 40+ 1)
 22×22 =  484   (400+ 80+ 4)
 23×23 =  529   (400+120+ 9)
 24×24 =  576   (400+160+16)
 25×25 =  625   (400+200+25)
       (覚えましょう)  暗算用の分解です

2. 26以上の数の2乗: 100の倍数 + 25までの数の2乗 で考える。

A. 26から50まで: 

 (元の数-25)×100 + (50-元の数)の2乗

 25×25 =    0 + 625 =  625  (← 25)
 26×26 =  100 + 576 =  676  (← 24)
 27×27 =  200 + 529 =  729  (← 23)
 28×28 =  300 + 484 =  784  (← 22)
 29×29 =  400 + 441 =  841  (← 21)

 30×30 =  500 + 400 =  900  (← 20)

 31×31 =  600 + 361 =  961  (← 19)
 32×32 =  700 + 324 = 1024  (← 18)
 33×33 =  800 + 289 = 1089  (← 17)
 34×34 =  900 + 256 = 1156  (← 16)
 35×35 = 1000 + 225 = 1225  (← 15)

 36×36 = 1100 + 196 = 1296  (← 14)
 37×37 = 1200 + 169 = 1369  (← 13)
 38×38 = 1300 + 144 = 1444  (← 12)
 39×39 = 1400 + 121 = 1521  (← 11)

 40×40 = 1500 + 100 = 1600  (← 10)

 41×41 = 1600 +  81 = 1681  (←  9)
 42×42 = 1700 +  64 = 1764  (←  8)
 43×43 = 1800 +  49 = 1849  (←  7)
 44×44 = 1900 +  36 = 1936  (←  6)
 45×45 = 2000 +  25 = 2025  (←  5)
 46×46 = 2100 +  16 = 2116  (←  4)
 47×47 = 2200 +   9 = 2209  (←  3)
 48×48 = 2300 +   4 = 2304  (←  2)
 49×49 = 2400 +   1 = 2401  (←  1)

 50×50 = 2500 +   0 = 2500  (←  0)

 ※100の倍数の部分は25×25の 0 から、100ずつ上がって行く。
 ※2乗の部分はだんだん下がって行く。
 ※36×36 を 1100+196 と暗記しておくと良いかも 
 
B. 51から75まで: 

  (元の数-25)×100 + (元の数-50)の2乗

 50×50 =  2500 +   0 = 2500  (←  0)
 51×51 =  2600 +   1 = 2601  (←  1)
 52×52 =  2700 +   4 = 2704  (←  2)
 53×53 =  2800 +   9 = 2809  (←  3)
 54×54 =  2900 +  16 = 2916  (←  4)
 55×55 =  3000 +  25 = 3025  (←  5)
 56×56 =  3100 +  36 = 3136  (←  6)
 57×57 =  3200 +  49 = 3249  (←  7)
 58×58 =  3300 +  64 = 3364  (←  8)
 59×59 =  3400 +  81 = 3481  (←  9)

 60×60 =  3500 + 100 = 3600  (← 10)

 61×61 =  3600 + 121 = 3721  (← 11)
 62×62 =  3700 + 144 = 3844  (← 12)
 63×63 =  3800 + 169 = 3969  (← 13)
 64×64 =  3900 + 196 = 4096  (← 14)
 65×65 =  4000 + 225 = 4225  (← 15)
 66×66 =  4100 + 256 = 4356  (← 16)
 67×67 =  4200 + 289 = 4489  (← 17)
 68×68 =  4300 + 324 = 4624  (← 18)
 69×69 =  4400 + 361 = 4761  (← 19)

 70×70 =  4500 + 400 = 4900  (← 20)

 71×71 =  4600 + 441 = 5041  (← 21)
 72×72 =  4700 + 484 = 5184  (← 22)
 73×73 =  4800 + 529 = 5329  (← 23)
 74×74 =  4900 + 576 = 5476  (← 24)
 75×75 =  5000 + 625 = 5625  (← 25)


 ※100の倍数の部分は50×50の 2500 から、100ずつ上がって行く。
 ※2乗の部分はだんだん上がって行く。
 ※先に 50との差 を出し、その数を25の上に乗っけても良い。 

C. 76から99まで: 

 (元の数×2-100)×100 + (100-元の数)の2乗

 75×75 =  5000 + 625 = 5625  (← 25)
 76×76 =  5200 + 576 = 5776  (← 24)
 77×77 =  5400 + 529 = 5929  (← 23)
 78×78 =  5600 + 484 = 6084  (← 22)
 79×79 =  5800 + 441 = 6241  (← 21)

 80×80 =  6000 + 400 = 6400  (← 20)

 81×81 =  6200 + 361 = 6561  (← 19)
 82×82 =  6400 + 324 = 6724  (← 18)
 83×83 =  6600 + 289 = 6889  (← 17)
 84×84 =  6800 + 256 = 7056  (← 16)
 85×85 =  7000 + 225 = 7225  (← 15)
 86×86 =  7200 + 196 = 7396  (← 14)
 87×87 =  7400 + 169 = 7569  (← 13)
 88×88 =  7600 + 144 = 7744  (← 12)
 89×89 =  7800 + 121 = 7921  (← 11)

 90×90 =  8000 + 100 = 8100  (← 10)

 91×91 =  8200 +  81 = 8281  (←  9)
 92×92 =  8400 +  64 = 8464  (←  8)
 93×93 =  8600 +  49 = 8649  (←  7)
 94×94 =  8800 +  36 = 8836  (←  6)
 95×95 =  9000 +  25 = 9025  (←  5)
 96×96 =  9200 +  16 = 9216  (←  4)
 97×97 =  9400 +   9 = 9409  (←  3)
 98×98 =  9600 +   4 = 9604  (←  2)
 99×99 =  9800 +   1 = 9801  (←  1)

100×100 = 10000 +  0 = 10000 (←  0)

 ※100の倍数の部分は75×75の 5000 から、200ずつ上がって行く。
 ※2乗の部分はだんだん下がっていく。

 
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2桁の数の2乗 暗記法 その5 第2の計算法

2012-04-25 00:00:00 | 平方数 2乗の数
さて、この暗記法のその2において、2乗の掛け算の速算法をご紹介しました。

それは、25までの数の2乗 を使って下記の様に考えるものでした。

A. 26から50まで: 
 (元の数-25)×100 + (50-元の数)の2乗

  例: 37×37 = 1200 + 169 = 1369

B. 51から75まで: 
  (元の数-25)×100 + (元の数-50)の2乗

 例: 74×74 =  4900 + 576 = 5476

C. 76から99まで: 
 (元の数×2-100)×100 + (100-元の数)の2乗

 例: 77×77 =  5400 + 529 = 5929

これは、2乗の数では同じ下二桁の数が繰り返し出てくることを使ったものでしたが、
はたと気がつきました。

 下一桁だけで同じようなことが出来ないだろか?

例によって、数式を並べて考えてみました。そして、気がつきました。
まだ、計算方法があった。。。

 

今回は結論だけ申し上げます。詳しくは知りませんが、計算方法自体は
インド式として紹介されている中などにもあるものだと思います。
 
例えば、34×34 という計算があったとします。

 これを4つの4角形で考えます。



 そうすると、
 
 30×30 + 4×30 + 30×4 + 4×4
 
 と表現出来ます。
 この3つの項のうち、最初の3つを 30でくくってしまいます

  (30+4+4)×30 + 4×4
 = 38 × 30 + 4 × 4
 = 1146 + 16 
 = 1156  計算出来ました。

この 34×34 を 38×30+4×4 に書き換えた部分だけを見ると、

一方の 34 から 他方の34 へ 4 移動し、移動した分の2乗 を加えた
とも見えます。実際、その考え方で計算してOKです。

   34 × 34  ⇒  38 × 30 + 4×4
                 ←4←
                 移動!   移動した分の2乗!
 
だから、例えば 62×62 だったら、片方から片方へ 2 移動 して 64×60、
これに その 2乗 を加える

 つまり 62 × 62 = 64 × 60 + 2 × 2
             = 3840 + 4
             = 3844
となります。


 (これ、速い!)


ここで一点確認します。この数字が移動出来るという方法、
基本はあくまでも10の位の数が同じという前提なんですね。
10の位が同じだから、4つの四角形で考えた時に、
最初の三つの項をまとめることが出来る
のです。

    62 × 62 = 60 × 60 + 2 × 60 + 60 × 2 + 2×2
            = (60+2+2)×60 + 2 × 2
            = 64 × 60 + 2 × 2
            = 3840 + 4
            = 3844

では次に、68×68 で考えて見ましょう

右から左へ 8 移動しすると。。。

    68 × 68 = 76 × 60 + 8 × 8
            = 4520 + 64
            = 4624

  これも、結構速く計算できますね。

しかしここで、68 は (70から2 少ない数) と考えると。。。

   68 × 68 = (70-2) × (70-2)
           = 70×70 - 2×70 - 2 ×70 + (-2)×(-2)
           = (70-2-2)× 70 + 2 × 2
           = 66 × 70 + 4
           = 4620 + 4
           = 4624

  こういう風にも計算出来ます。

つまり、左から右へ 2 移動しました。
移動した数が小さい分、2乗の計算の部分も小さくなり、繰り上がりもないので楽ですね。
やや、こちらの方が 8 移動させる場合より速いでしょう

 ※本来は移動の量を -2 として表現すべきかもしれませんが、
  2乗されて結局同じにことなるのでここでは深く立ち入りません。
  但し、この計算方法を一般化する際には、考え方として正負を意識する必要があります。


例を続けます。

   79×79 = 80×78 + 1×1 
         =  6240 +  1 
         =  6241

これも速く計算出来ます。後から足す2乗の部分が1となり、
繰り上がりがないのが確実なので、安心して 80×78 の計算が出来ますよね。

お気づきの通り、79×79 を見た時に、

  9 移動させて 88×70+9×9 とするか、
  1 移動させて 80×78+1×1 とするか、という判断ですが、

もちろん、移動させる数の小さい方を選んで計算したほうが良いと考えます。
すなわち、70に合わせるか、80に合わせるか、については、どちらか近い方に合わせれば良いわけです。


 

まとめます。37 の 2乗 を例にとります。

  37×37 = 34×40 + 3×3 (左から右へ3移動)
        = 1360 + 9
        = 1369

  37×37 = 44×30 + 7×7 (右から左へ7移動)
        = 1320 + 49
        = 1369

  37×37 = (37-25)×100 + (50-37)^2
        = 1200 + 169 (37から25引き、13の2乗)
        = 1369

どれをとっても計算できますね。計算する数の範囲にによって、もっとも簡単な計算方法があるかと思いますで、
一度確認してみると良いと思います。
いずれにせよ、暗記してしまうまでの過程ですので色々やり方があって良いと考えます。

最終的には 

 37×37 = 1369 

と暗記してしまう、これは一番速いわけです。

 


ここで、一つ注意すべき点があります。今ご紹介申し上げた、
一方から一方へ数字を移動させて移動した数の2乗を足す方法ですが、
取りあえず、この2乗計算の場合のみに適用すると考えておいて下さい。

2乗でなくとも、10の位が同じ数同士の掛け算なら、考え方としては応用が効くのですが、
そのままやってしまうと変な計算になります。

例えば 78×75 という計算があったときに、

 右から左へ 2 移動で 78×75 = 80×73 + 2×2 
                   = 5840 + 2×2
                   = 5844 ???

正しくは 5850 となります。方法論に若干の調整が必要です。

この、10の倍数でくくる計算方法の一般展開については、別途ご案内したいと思います。

 

さて、次回に「暗算用リスト」というものをご案内いたします。

2乗の数の計算のリストで、順列のリスト、10飛びのリスト 2種類のものです。
それぞれ、計算法を変えて 2乗の数を 計算しています。

順列のリストは、25までの2乗の数を使う計算法、
10飛びのリストは 今回の第二の計算法(移動法?)をつかっています。

2種類のリストに対し、それぞれ異なる計算法でアプローチすることにより、
記憶もより進むのではないかと考えます。


 


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2桁の数の2乗 暗記法 その4 10飛びリスト のとらえ方

2012-04-24 00:00:00 | 平方数 2乗の数
さて、前回までは2乗の数の計算式が連番に並んでいる場合を見てきました。

 

今回は、「暗記法 その1」 でふれた 「10飛びリスト」に関してです。

下1桁の数字ごとにまとめ、数が10飛びになっているリストを観察してみます。
すると、また違った発見があります。

これを仮に <<列>> という言葉つかってグループ分けしてみましょう。
尚、ここでは便宜的に1桁×1桁の計算も含めます。

また、下記のリストでは左右にならんだ数同士、2乗の数の下二桁の数は同じになっています。
今までの記事を読まれた方なら、何故そうなっているのか、お分かりになるかと考えます。

<<1 の列>>

    1× 1=    1   51×51= 26
   11×11=  11   61×61= 371 
   21×21=  41   71×71= 501 
   31×31=  91   81×81= 651 
   41×41= 161   91×91= 821 

  ※ 1の位の数は1
  ※ 10の位の数は、0,2,4,6,8 という順(全て偶数)
  ※ 100の位以降の数、左側は元の数の10の位の数の2乗、右側はそれにプラス1


<<2 の列>>

    2× 2=    4   52×52= 274 
   12×12=  14   62×62= 384 
   22×22=  44   72×72= 51
   32×32= 104   82×82= 67
   42×42= 174   92×92= 844 

  ※ 1の位の数は4
  ※ 10の位の数は、0,4,8,2,6 という順(全て偶数)


<<3 の列>>

    3× 3=    9   53×53= 28
   13×13=  19   63×63= 39
   23×23=  59   73×73= 53
   33×33= 109   83×83= 68
   43×43= 189   93×93= 86

  ※ 1の位の数は9
  ※ 10の位の数は、0,6,2,8,4 という順(全て偶数)

  →0(ゼロ)を除くと<<2の列>>と逆!?


<<4 の列>>

    4× 4=   6   54×54= 29
   14×14=  16   64×64= 40
   24×24=  56   74×74= 54
   34×34= 116   84×84= 70
   44×44= 196   94×94= 88

  ※ 1の位の数は9
  ※ 10の位の数は、1,9,7,5,3 という順
    (全て奇数で、9のあと、2ずつ下がって行く)

<<5 の列>>

    5× 5=   25   55×55= 3025
   15×15=  225   65×65= 4225
   25×25=  625   75×75= 5625
   35×35= 1225   85×85= 7225
   45×45= 2025   95×95= 9025

  ※ 下2桁の数は全て25
  ※ 100の位以降の数は、元の数の10の位の数とその数に1を足した数の積
    例: 65→ 6×7=42: 4225


<<6 の列>>

    6× 6=   6   56×56= 31
   16×16=  26   66×66= 43
   26×26=  66   76×76= 57
   36×36= 126   86×86= 73
   46×46= 216   96×96= 92

  ※ 1の位の数は3
  ※ 10の位の数は、3,5,7,9,1 という順
    (全て奇数で、3のあと、2ずつ上がって行く)

<<7 の列>>

    7× 7=   9   57×57= 32
   17×17=  29   67×67= 44
   27×27=  79   77×77= 59
   37×37= 139   87×87= 75
   47×47= 229   97×97= 94

  ※ 1の位の数は9
  ※ 10の位の数は、4,8,2,6,0 という順(全て偶数)

  → 2の列で出た、4、8、2、6が出てきました。
    ただし、0がここでは後回しですね。


<<8 の列>>

    8× 8=   4   58×58= 33
   18×18=  34   68×68= 46
   28×28=  74   78×78= 60
   38×38= 144   88×88= 77
   48×48= 234   98×98= 96

  ※ 1の位の数は4
  ※ 10の位の数は、6,2,8,4,0 という順(全て偶数)

  → 3の列で出た、6、2、8、4が出てきました。
    同じく、0がここでも後回しですね。


<<9 の列>>

    9× 9=   1   59×59= 34
   19×19=  31   69×69= 47
   29×29=  81   79×79= 62
   39×39= 151   89×89= 79
   49×49= 241   99×99= 98

  ※ 1の位の数は1
  ※ 10の位の数は、8,6,4,2,0 という順
    (全て偶数で、8のあと、2ずつ下がって行く)

  

連番で並べた場合ほどの綺麗な規則ではないですが、それでも、クセ、というか傾向がでていますよね。

これはもともと法則のあった連番リストを、規則的に並べ変えたリストとも言えるので、
何らかの法則があったとしても、当然と言えば当然です。

その法則を意識しながら、この「10飛びリスト」による暗記を進める、
これが「連番リスト」による暗記との相乗効果で記憶もより定着する、というのが狙いでした。

2乗したら下一桁の数は幾つか、10の位の数に関しは、少なくとも偶数であるのか、奇数であるのか、
ということを意識しただけでも違うと思います。

※ 2乗した数の10の位が奇数になるのは、元々の数の下一桁が 4 と 6 の場合です。
 というのも 4 と 6 自体を2乗した場合、それぞれ 16、36 と 10の位が奇数になるわけです。

 (10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2 ということを考えると、
 2乗の10の位を奇数にする要素は b^2 の部分からの繰り上がりしかなく、
 そうなると 4 か 6 の場合しかないということになります。

 




 
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2桁の数の2乗 暗記法 その3 計算法(1) その2

2012-04-23 00:00:00 | 平方数 2乗の数
 <<2乗の数即算法>> 続きです。 

 

次に、2乗の数の即算法を具体的に考えます。まずは、観察から入ります。

これまでに、2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数の求め方を考えました。
そこで、その25以下の数の2乗を、実際に対応する数の2乗から引いて見ましょう。

先ずは、各数の2乗の数から「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数の2乗」を引いてみます。

少なくとも、下二桁は同じですから、引き算すれば下二桁は00、すなわち100の倍数にはなるはずです。

最初に、26を考えます
               
 26×26 :   676 - 576 =  100
     
  ここで、676 はもちろん 26の2乗、
  576 は 24 の2乗 です。
  その差を取ると 100 でした。

さらに26から幾つか、順に見て行きます。

 26×26 :   676 - 576 =  100
 27×27 :   729 - 529 =  200
 28×28 :   784 - 484 =  300
 29×29 :   841 - 441 =  400
 30×30 :   900 - 400 =  500
 31×31 :   961 - 361 =  600
 32×32 :  1024 - 324 =  700
 33×33 :  1089 - 289 =  800
 34×34 :  1156 - 256 =  900
 35×35 :  1225 - 225 = 1000
 36×36 :  1296 - 196 = 1100
 。。。

こうしてみると、単に100の倍数というだけでなく、きちんと規則的に並んでいます。

どうやら 26 以降の2乗の数というのは、以下の形で書き表すことが出来そうです。

 (2乗の数)= (何か規則性のある100の倍数)
       + 「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数」の2乗

そこで、実際にこの形に並べ直して見ましょう。

 26×26 =  100 + 576 =  676
 27×27 =  200 + 529 =  729
 28×28 =  300 + 484 =  784
 29×29 =  400 + 441 =  841
 30×30 =  500 + 400 =  900
 31×31 =  600 + 361 =  961
 32×32 =  700 + 324 = 1024
 33×33 =  800 + 289 = 1089
 34×34 =  900 + 256 = 1156
 35×35 = 1000 + 225 = 1225
 36×36 = 1100 + 196 = 1296
 37×37 = 1200 + 169 = 1369
 。。。
 
これを見る限り、(なにか規則性のある100の倍数)とは、

元の数から25を引いた数の100倍ではないか、と判ります。



確かめてみましょう; 元の数を a、b を整数とします。

ここで、「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数」の求め方が、
元の数の範囲によって異なっていたことに注意して場合分けします。

先ず、a が 25以上50以下のとき、これを見ます。

この時、「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数」は 50-a で表わせました。
よって、上記の式にあてはめます。

元の数aの2乗= 100のb倍の数 + (50-元の数a)の2乗

 a^2= b×100 + (50-a)^2

 a^2 = 100b + 2500 -100a + a^2
 100b = 100(a-25)

すなわち b = a-25

となります。確かに25を引いた数になりました。

つまり、こういうことです。

2乗の数: (元の数-25)×100 + (50-元の数)の2乗

となります。まずは、これを覚えて下さい。

 (やっと出ました、計算法)

部分的ですが、計算式を記述します。

 32×32 = (32-25)×100 + (50-32)^2 
       =    7   ×100 +  18 × 18 
       =       700   +    324
       = 1024

 33×33 = (33-25)×100 + (50-33)^2
       =    8   ×100 +  17 × 17 
       =       800   +    289
       = 1089

 34×34 = (34-25)×100 + (50-34)^2 = 1156
 35×35 = (35-25)×100 + (50-35)^2 = 1225
 36×36 = (36-25)×100 + (50-36)^2 = 1296
 37×37 = (37-25)×100 + (50-37)^2 = 1369
 38×38 = (38-25)×100 + (50-38)^2 = 1444

この様に2乗の数は、「25を引いて百倍」 と 「50から引いて2乗」 の合計、
 という形であらわすことが出来ます。



次に、同様に、元の数が50から75の場合を見てみましょう。

この場合、「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数」は 元の数-50 となります。

よって、関係式は

元の数aの2乗= 100のb倍の数 + (元の数a-50)の2乗

と表わせます。

 a^2= b×100 + (a-50)^2

 a^2 = 100b + 2500 -100a + a^2
 100b = 100(a-25)

すなわちb = a-25

となります。50以下の数の場合と同様、元の数から25を引いた数になりました。

つまり、こういうことです。

2乗の数: (元の数-25)×100 + (元の数-50)の2乗

計算例を見てみます。

 51×51 = (51-25)×100 + (51-50)^2
       =  26 × 100   +  1 × 1
       =  2600       +    1 
       =  2601

 52×52 = (52-25)×100 + (52-50)^2
       =  27 × 100   +  2 × 2
       =  2700       +    4 
       =  2704
 
 63×63 = (63-25)×100 + (63-50)^2
       =  38 × 100   + 13 × 13
       =  3800       +   169 
       =  3969

正しく計算されていると思います。


 
では最後に、元の数が75を超える場合を見ます。

この場合、「2乗をすると下二桁が同じになる25以下の数」は 100-元の数 でした。

よって、関係式は

(元の数a)の2乗= 100のb倍の数 + (100-元の数a)の2乗

となります。これを展開すると。。

 a^2= b×100 + (100-a)^2
 a^2= 100b + 10000-200a+a^2
 100b = 100(2a-100)
 b = 2a-100

と、ここで、100の倍数部分の計算方法が変わってきました。
2a-100 ですから 2倍して100を引く、ということになります。

よって、76以上の数の場合は

2乗の数:  (元の数×2-100)×100 +(100-元の数)の2乗 となります。

 76×76 = (76×2-100)×100 + (100-76)^2
         ( 152-100)×100 +  24 × 24
       =        52 ×100 +  576
       =  5200 + 576        
       =  5776

 77×77 = (77×2-100)×100 + (100-77)^2
         ( 154-100)×100 +  23 × 23
       =        54 ×100 +  529
       =  5400 + 576        
       =  5929
 。。。

まとめると、「2倍して最初の1を取って百倍」 と 「100から引いて2乗」 の合計
ですね。

  

  
以上が2乗の数の計算法 その1 となります。(その2があります)

ここまでの内容に対し、以下、2、3の補足をしたいと思います。

1: 1の位の数が 5 の数の2乗 は 別途即算法の対象となる

       (10の位の数)×(10の位の数+1)×100 + 25

   例:  65×65 =  6×7×100 + 25 = 4225
 
2: 40台の数の2乗、50台の数の2乗、90台の数の2乗については
     「2桁の数の2乗 暗記法 その1」 を参照。
   上記2に示された計算法とどちらが速いか、しっくり来る方を押さえれば良いと考えます。

3: 計算式の適用についての補足

26から50までの数を対象とした2乗の数の計算式、

  (元の数-25)×100 + (50-元の数)の2乗

この計算式自体は、50を超える数、75を超える数でも 実は 正しい答えを導けます。
   
 例1: 51以上75までの数
       68×68 = (68-25)×100 + (50-68)^2
             =  43 × 100 + (-18) × (-18)
             =  4300 + 324
             =  4624
 
 この場合、「50-元の数」の部分でマイナスの数になってしまいますが、
 2乗するので結局同じことになるのです。

 ただし、考え方としては、「元の数-50」から入るのが正しいと思います。 

 例2: 75を超える数
       83×83 = (83-25)×100 + (50-83)^2
             =  58 × 100 + (-33) × (-33)
             =  5800 + 1089
             =  6889

 (50-元の数)の2乗の部分が、2乗すると下二桁が同じになる数のうち、25以下ではない、
 2番目に大きい数の2乗と等しくなっています。
 
 これも、一旦マイナスの数として計算されるものの、2乗するためにプラスになり、その様になります。

 よって、この2乗の部分が 33×33=1089、いう形で、
 本来適用すべき計算式である 17×17=289 よりも 800 大きくなっています。

 しかし、逆に100の倍数部分は 5800 と計算され、(83×2-100)×100 と計算する 
 6600 よりも 800 少なくなっています。

 だから、結局同じ結果になっているのです。
 
 一見、不思議かも知れませんが、これは逆に導けない方がおかしいわけです。

 
 以上を踏まえると、場合分けに関しても簡素化することも出来ます。

 つまり、50から75までの数の計算においては、50以下の計算方法を用いても、
 発生するマイナスの数は2乗されプラスに戻って結局同じ、という風に考えれば、
 
 この計算法も単純に75以下とそれ以上に分けて、

   75以下の場合、25を引いて100倍、それに 50から引いた数の2乗を足す  、
   75以下の場合、2倍して左の1を取って100倍、それに100との差の2乗を足す、

この様にしても良いかも知れません。


  
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2桁の数の2乗 暗記法 その2 計算法(1) その1 

2012-04-22 00:00:00 | 平方数 2乗の数
本稿は、2桁の数の2乗の数を順列に並た際に現れる法則性を見つけようという試みです。
その法則性を用いて、何らかの形で2乗の数の計算法、即算法を考えたいと思います。

そのためには、先ずは実際に並べて観察することが第一歩と思われますので、下記に並べます。
ここでは、0から50までの2乗 と 51以降のもの を横並びにしてあります。

ここで具体的に注目いただきたいのが2乗の数の「下二桁の数」です。

    0× 0=   0     50×50=2500
    1× 1=   1     51×51=2601
    2× 2=   4     52×52=2704
    3× 3=   9     53×53=2809
    4× 4=  16     54×54=2916
    5× 5=  25     55×55=3025
    6× 6=  36     56×56=3136
    7× 7=  49     57×57=3249
    8× 8=  64     58×58=3364
    9× 9=  81     59×59=3481

   10×10= 100     60×60=3600
   11×11= 121     61×61=3721
   12×12= 144     62×62=3844
   13×13= 169     63×63=3969
   14×14= 196     64×64=4096
   15×15= 225     65×65=4225
   16×16= 256     66×66=4356
   17×17= 289     67×67=4489
   18×18= 324     68×68=4624
   19×19= 361     69×69=4761

   20×20= 400     70×70=4900
   21×21= 441     71×71=5041
   22×22= 484     72×72=5184
   23×23= 529     73×73=5329
   24×24= 576     74×74=5476
   25×25= 625     75×75=5625
   26×26= 676     76×76=5776
   27×27= 729     77×77=5929
   28×28= 784     78×78=6084
   29×29= 841     79×79=6241
   30×30= 900     80×80=6400

   31×31= 961     81×81=6561
   32×32=1024     82×82=6724
   33×33=1089     83×83=6889
   34×34=1156     84×84=7056
   35×35=1225     85×85=7225
   36×36=1296     86×86=7396
   37×37=1369     87×87=7569
   38×38=1444     88×88=7744
   39×39=1521     89×89=7921
   40×40=1600     90×90=8100

   41×41=1681     91×91=8281
   42×42=1764     92×92=8464
   43×43=1849     93×93=8649
   44×44=1936     94×94=8836
   45×45=2025     95×95=9025
   46×46=2116     96×96=9216
   47×47=2209     97×97=9409
   48×48=2304     98×98=9604
   49×49=2401     99×99=9801
   50×50=2500    100×100=10000

お気づきの通り、この左右2列に並んだ2乗の数、下二桁の数が同じです。
横に並んだ同士、数は50異なるわけですが、

 50異なる2つの数の2乗の下二桁は同じ

となるのです。

となると、少なくとも50までの数の2乗を覚えてしまえば、
51から99までの2乗は、半分は覚えた同じ、と言えます。(ちょっと苦しいですが)

  つまり 例えば、31×31=961 と覚えたなら、
  31 に 50 を足した 81×81 は 少なくとも 「XX61 と判ります。

  80×80 は 6400 だから 6461 か、6561 あたりだ、と推測。

  80×81 は 6480 だから、6461 はなく、6561、という感じです。

  

この気付きだけでも暗記のためには価値がありますが、話はこれだけでは終わりません。

さらに、25×25=625 を中心として 上下に一つずつ移動しながら、二つの数の2乗の数の下二桁を比較してみて下さい。
これも同じ数になっています。

つまり、0から24までの2乗の数の下二桁の数に現れた数は、25を境として
    26から50までの2乗の数の下二桁に逆順に現れる
、ということなんです。

    まるで、25の地点で鏡に写したかのごとくです。


これは、前回20台の数の2乗のグループの中での特徴として指摘しましたが、実はその外側にも広がっている話だったのです。

視覚的に確認しやすいように、25から後半を逆順に並べてみます。

               ↓
    0 × 0 =      50 × 50 = 2500
    1 × 1 =      49 × 49 = 2401
    2 × 2 =      48 × 48 = 2304
    3 × 3 =      47 × 47 = 2209
    4 × 4 =  16   46 × 46 = 2116
    5 × 5 =  25   45 × 45 = 2025
    6 × 6 =  36   44 × 44 = 1936
    7 × 7 =  49   43 × 43 = 1849
    8 × 8 =  64   42 × 42 = 1764
    9 × 9 =  81   41 × 41 = 1681
  10 × 10 = 100   40 × 40 = 1600
  11 × 11 = 121   39 × 39 = 1521
  12 × 12 = 144   38 × 38 = 1444
  13 × 13 = 169   37 × 37 = 1369
  14 × 14 = 196   36 × 36 = 1296
  15 × 15 = 225   35 × 35 = 1225
  16 × 16 = 256   34 × 34 = 1156
  17 × 17 = 289   33 × 33 = 1089
  18 × 18 = 324   32 × 32 = 1024
  19 × 19 = 361   31 × 31 =  961
  20 × 20 = 400   30 × 30 =  900
  21 × 21 = 441   29 × 29 =  841
  22 × 22 = 484   28 × 28 =  784
  23 × 23 = 529   27 × 27 =  729
  24 × 24 = 576   26 × 26 =  676
  25 × 25 = 625     同じ数が逆順で並ぶ↑

以上の様に、確かに25で反転し、順番が逆になり同じ数が並んでいます。

  

ではこの数字の並びの2つの特徴に関し、何故そのようなことが言えるのか、数式で一般化してみましょう。


まず一つ目、「50の差がある2つの2桁の整数の2乗は、下二桁が同じ」ということですが、
以下の通り考えます。

2つの数の、小さい方を a 、大きい方を a+50 とします。(aは49以下の自然数)

この二つの数の2乗の数の大きい方から小さい方を引きます。

  (a+50)×(a+50)-a×a
 =(a^2+100a+2500)-a^2)
 =100a+2500
 =100(a+25)  となります。

つまり、100の倍数となりました。

2数の一方からもう一方を引き算したら百の倍数、すなわち下二桁が00になるということは、
元々の数の2つの数の下2桁は等しかった
、ということになります。



次に、「25で反転し同じ下2桁の数が逆順で現れる」というのはどうでしょうか。
(ここでは、0から50までの数に限定して考えます)

これは言い換えると、「25から等距離にある2つの整数の2乗の数は、下二桁が同じ」
となります。

そこで、この25を挟んだ数の、小さい方を 25-a 、大きい方を 25+a とします。
(aは24以下の自然数)

先程と同様、この二つの数の2乗の数の大きい方から小さい方を引き算します。

  (25+a)×(25+a)-(25-a)×(25-a)
 =(625+50a+a^2)-(625-50a+a^2)
 =100a

となり、これも100の倍数です。

つまり、この場合も、もともとの2つの数の下二桁の数は等しいということになります。

。。。意外な事実でしたね。



以上、2つの法則を再確認します。

 
 「25から等距離にある2つの整数の2乗の数は、下二桁が同じ」
 「50の差がある2つの2桁の整数の2乗の数は、下二桁が同じ」

この二つの法則を統合いたしますと、

 0から25までの2乗の数の下二桁に現れた数は、25から50までに逆順に現れ、
 さらに、50から75までに再度同じ順番で現れ、再び75から100まで逆順に現れる


と言えます。

つまり、2乗の数の下二桁の数のパターンは、0から25 までに全て現れてしまうのです。
26以降、違う数は出てきません。

ここで暗記の話に戻りますが、先ほど2乗の数は50まで覚えれば、51から99までは
半分覚えたも同じ、という言い方をしました。

ところが、26から50までの2乗の下二桁も、0から25まで場合の繰り返しだとしたならば、
暗記する2乗の数はさらに半分で済むわけです。

ただし、逆順に現れる数字の対応関係のつかみ方に慣れる必要もありますし、百の位、千の位は依然不明です。

そこで、もう一歩踏み込んで、何か上手な形で1から25までの2乗の数を使って、
それ以降(26以降)の2乗の数を導き出す方法
がないものか、考えてみましょう。


  


ここで、論を進める前に、「2乗の数の下二桁が同じとなる数のグループ」について考察を深めておきます。
これもまた、具体的に数字を並べてみましょう。

整数を2乗した場合の下二桁の数 と 対応する0から100までの数

2乗の下二桁  対応する100までの数(その2乗)
00:  (  0) 50(2500)         100(10000)
01:  (  1) 49(2401) 51(2601) 99(9801)
04:  (  4) 48(2304) 52(2704) 98(9604)
09:  (  9) 47(2209) 53(2809) 97(9409)
16:  ( 16) 46(2116) 54(2916) 96(9216)
25:  ( 25) 45(2025) 55(3025) 95(9025)
36:  ( 36) 44(1936) 56(3136) 94(8836)
49:  ( 49) 43(1849) 57(3249) 93(8649)
64:  ( 64) 42(1764) 58(3364) 92(8464)
81:  ( 81) 41(1681) 59(3481) 91(8281)
00: 10(100) 40(1600) 60(3600) 90(8100)
21: 11(121) 39(1521) 61(3721) 89(7921)
44: 12(144) 38(1444) 62(3844) 88(7744)
69: 13(169) 37(1369) 63(3969) 87(7569)
96: 14(196) 36(1296) 64(4096) 86(7396)
25: 15(225) 35(1225) 65(4225) 85(7225)
56: 16(256) 34(1156) 66(4356) 84(7056)
89: 17(289) 33(1089) 67(4489) 83(6889)
24: 18(324) 32(1024) 68(4624) 82(6724)
61: 19(361) 31( 961) 69(4761) 81(6561)
00: 20(400) 30( 900) 70(4900) 80(6400)
41: 21(441) 29( 841) 71(5041) 79(6241)
84: 22(484) 28( 784) 72(5184) 78(6084)
29: 23(529) 27( 729) 73(5329) 77(5929)
76: 24(576) 26( 676) 74(5476) 76(5776)
25: 25(625)          75(5625)
    (列1)    (列2)    (列3)    (列4)
<<観察>>
  (列1の数)+(列2の数)= 50 
  (列1の数)+ 50 = (列3の数)  (列2の数)+ 50 = (列4の数)
  (列1の数)+(列4の数)= 100
 (ちょっと上記の関係を確認してから次に進んで下さい。)

  
  

上記に観察できます通り、2乗すると下二桁の数が同じとなる数のグループは基本的には4つの数で構成されます。
これは、0から25までの2乗の下二桁に現れた数が、以後3回、逆順、正順、逆順と現れる、
すなわちトータル4回現れますので、その様になります。

ただし、00と25については、該当する数字の数だけを言えば4つ以上になります。
これは5の倍数と10の倍数の特性によるものですが、上記の表では便宜的に分けて表示しています。

2乗計算の即算法では、この4つの数のうち、最もも小さい数、すなわち「0から25までの数」の2乗 
を使いたかったわけです。

上記の表で見るならば、ある数字を考えた時に、その数が属しているグループの中で一番左側の数が判ればよい。
これを先ずは想起したい。


その計算法を考えます。




そこでまず、2乗をすると下二桁が同じ数になる2つの数、これにはどういう性質があったか。
ここから入ります。(2つ挙げましたね)

順序は前後しますが、先ず「25から等距離にある」ということが一つありました。

「25から等距離。。」といっても判りにくいですので、言い換えを一回しておきます。

2乗をすると下二桁が同じ数になる2数があり、それぞれ a,b(a>b)とします。
また、bは25以下であり、数aが与えられた場合、求めたい数とします。

その2数の25からの距離が等しかった場合、 25-a=b-25
よって a+b=50

つまり、2数の合計が50になる時、それぞれの2乗の数の下二桁は等しくなります。

よって、元の数をaに対し、2乗すると下二桁が同じとなる数 b は b=50-a の関係が成り立ちます。

また、bは25以下ですので、b=<25 より、
  50-a =< 25
  25 =< a

すなわち a は25以上、

また、bは0以上であるため、0=<b
これより 0 =< 50-a
     a =< 50

すなわち a は 50 以下

よって、元の数が25以上50以下の時、
2乗すると下二桁が同じとなる数は (50-元の数)
 で求められます。

  
では次に、「50の差がある数」という性質から考えを展開します。

同じく、2乗をすると下二桁が同じ数になる2数があり、それぞれ a,b(a>b)とします。
この2数の場合は、「50の差」があることとします。

よって b=a-50

bは25以下より、b=<25、
よって a-50 =< 25
    a =< 75

すなわち a は75以下

また、bは0以上であるため、0=<b
これより 0 =< a-50
    50 =< a

すなわち a は 50 以上

よって、元の数が50以上75以上の時、
2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数は (元の数-50)
 となります。


ここで、2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数の導き方が2通り出てきました。
 
 元の数a が 25以上50以下だったら 50-a
 元の数a が 50以上75以下だったら a-50

何やら50より小さければ50から引き50より大きければ50を引く、というこ

とですね。

ここで一旦、例を出して確認し、それから次に行きましょう

 27の場合  50-27 = 23
 68の場合  68-50 = 18

確かめます 27×27= 729、 23×23= 529、 下二桁は29で同じ
      68×68=4624、 18×18= 324、 下二桁は24で同じ



では次に、上記の場合から外れた範囲、元の数が 75以上(100以下)となった場合、どのように計算するのでしょうか。

元の数aが75以上の場合、a-50 は aと2乗した場合下二桁同じになりますが、25 以下にはなりません。
ただし、さらに計算して、50から(a-50)を引いた数b これは25以下になると同時に、もとの数aとも2乗した場合に下二桁が同じ数になります。

すなわち  b=50-(a-50)
       =100-a
    
よって、元の数が75以上100以下の時、
2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数は (100-元の数)
 です。


100から引く、ですね。。。
 
例をあげると、88の場合、100-88 で 12 となります。
これも確かめます: 88×88= 7744、 12×12= 144、 下二桁は44で同じ!

正しいですね。


これで「2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数の求め方」が全て揃いました。

 元の数a が 

   25以上 50以下だったら 50-a
   50以上 75以下だったら a-50
   75以上100以下だったら 100-a



そこで次回は いよいよこの求め方を用いた2乗の数の計算方法に入ります。


  


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2桁の数の2乗 暗記法 その1 導入

2012-04-21 00:00:00 | 平方数 2乗の数
これから、「2桁の数の2乗」を暗記するコツについて述べます。

2桁の九九全部を覚えよう、というわけではありません。それは膨大な数となります。


やろうとしているのは2乗だけです。その数 81通り です。


これは、大体、九九の数と同じですので、そう思えば、暗記も可能、ですね。

2桁の掛け算全体の中では少ないとも言える81通りの計算ですが、暗記にメリットはあります。
もちろん暗記の過程で頭の体操になるということもありますが、
2乗の数の差 を利用した 即算法(かかし掛け算) が出来るようになるのです。

繰り返しにはなりますが、例えば

   76 × 72 などは  74×74 引く 2×2 で 5472 
  
と即算できるようになります。

個人差はあるかと思いますが、相当なバターンの計算をこれで行えるようになります。


そこで、「やってみようか」と思われる方、是非、まずはこの暗記法を通読して見て下さい、
半分は2乗の数の暗記に成功したような「気分」になれるはずです。それ以降は努力、ということですね。



それで「暗記法」、基本的には
 
 11×11= 121
 12×12= 144
  。。。
  。。。。

 99×99=9801

という連番のリストに基づいて覚えるのが良いです。


(何だ、そのまんま。。。)





これを、通常の九九同様、「インイチ ひゃくにじゅういち」なり
「じゅういち イチニイイチ」なり自分なりに呼びやすい形で唱える。
唱えるのに突っかかったら暗算するなり、答えを見るなりして、覚え直す。。

これです。

しかし、その際、気をつけることが一つあります。

この2乗の数というものは、順番に並べていくと色々と規則性、法則が見受けられるのです。
その規則性を意識しながら暗記に取り組むのです。

そうすることによって、無味乾燥に見えていた3桁あるいは4桁の数が「親しみのある」あるいは
「意味のある」数字に見えてきます。これが記憶の一助となります。

しかし、規則性を見ながら覚えるというのは、一方で記憶の想起の補助にはなるが、
逆に「規則性に頼らなければ思い出せない」という結果に陥りかねません。
また、リストが一つだけだと、「この順番でなければ思い出せない」という形になることもあり得ます。


そこで、2乗の数の「リスト」は、上記に挙げた「連番」のものと同時に、
下ひと桁の数が同じ数でまとめた、「10飛び」リストも用意します。

「10飛びのリスト」とは具体的に、例えば下ひと桁が2のリストなら、

    2× 2=    4   52×52= 2704 
   12×12=  144   62×62= 3844 
   22×22=  484   72×72= 5184
   32×32= 1024   82×82= 6724
   42×42= 1764   92×92= 8464 


というものです。

ぱっと見ただけでも、2乗の下ひと桁は4だな、と判りますが、それ以外にも多少の法則があります。
よってその法則を意識しながら暗記に取組みます。

そしてこの「連番」と「10飛び」のリストを交互に利用し、縦横、別の視点から規則性を考えつつ暗記に取り組めば、
弱点を補い合い、相乗効果によってより確実に記憶が定着出来る、というのが主旨です。


最初は、雑紙の裏にでも計算練習を兼ねて暗算しながらリストを2種類つくってみるとよいと思います。
以降は、その紙を使って練習する、これで良いでしょう。

また、今回は2乗の数の計算方法を2種類提示致します。それぞれのリストを暗記する際、検算する際に、
違った計算方法をとることにより、別の角度から数字に取り組みます。


いずれにせよ、完全に暗記出来てしまえば、これから述べることは不要となるわけです。
「完全暗記」とは九九並みに「瞬時に」想起出来ることです。ゴールはそこにおいて頑張って下さい。

 


では先ず、連番のリストについて考えます。


まず手始めに、10の位が同じ数のグループごとに分けてその数字の動きが判りやすいものを挙げてみます。
順番に並んだ式を取りあえず見てみて下さい。


<<20台の数、70台の数>> 
   下二桁に注目すると、前半で出てきた数が、後半では逆順で現れる。
   
   すなわち 418429 76257629 8441

   21×21= 441    71×71= 5041
   22×22= 484    72×72= 5184
   23×23= 529    73×73= 5329
   24×24= 576    74×74= 5476
   25×25= 625    75×75= 5625
   26×26= 676    76×76= 5776
   27×27= 729    77×77= 5929
   28×28= 784    78×78= 6084
   29×29= 841    79×79= 6241

 
<<40台の数>> 上2桁は 15に1の位の数を足す。
        下2桁は 10から1の位の数を引いた数同士の積

   41×41= 1681  → 15+1 と 9×9 
   42×42= 1764  → 15+2 と 8×8 
   43×43= 1849  → 15+3 と 7×7 
   44×44= 1936  → 15+4 と 6×6 
   45×45= 2025  → 15+5 と 5×5 
   46×46= 2116  → 15+6 と 4×4 
   47×47= 2209  → 15+7 と 3×3 
   48×48= 2304  → 15+8 と 2×1 
   49×49= 2401  → 15+9 と 1×1

 
<<50台の数>> 上2桁は 25に1の位の数を足す。
        下2桁は 1の位の数同士の積

   51×51= 2601  → 25+1 と 1×1
   52×52= 2704  → 25+2 と 2×2
   53×53= 2809  → 25+3 と 3×3
   54×54= 2916  → 25+4 と 4×4
   55×55= 3025  → 25+5 と 5×5
   56×56= 3136  → 25+6 と 6×6
   57×57= 3249  → 25+7 と 7×7
   58×58= 3364  → 25+8 と 8×8
   59×59= 3481  → 25+9 と 9×9


<<90台の数>> 上2桁は 80に1の位の数の2倍の数を足す。
        下2桁は 10から1の位の数を引いた数同士の積

   91×91= 8281  → 80+1×2 と 9×9 
   92×92= 8464  → 80+2×2 と 8×8
   93×93= 8649  → 80+3×2 と 7×7
   94×94= 8836  → 80+4×2 と 6×6
   95×95= 9025  → 80+5×2 と 5×5
   96×96= 9216  → 80+6×2 と 4×4
   97×97= 9409  → 80+7×2 と 3×3
   98×98= 9604  → 80+8×2 と 2×2
   99×99= 9801  → 80+9×2 と 1×1

40、50、90の台の数の規則については、これは言わば即算法です。
この規則を覚えてしまえば、あえて個別の数の暗記する必要もない程です。


以上、ざっと法則を4つ見ました。これだけでも、十分記憶に役立ちますよね。

ところでこの一見バラバラに見える4つの法則ですが、実はさらに大きな一つの法則の中でつがなっているのです。

次回、これについて考えます。

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かかし掛け算 その2

2012-04-18 00:00:00 | かかし掛け算
「かかし掛け算」について述べます。
覚えておくと非常に2桁掛け算が簡素化する場合が多々あり、便利です。

計算の方法としては、2項の掛け算を
その 中間の値の2乗 と 中間との差の2乗 の 差に置き換える という方法です。

  は。。

例えば 56 × 64 なら 
その 中間の数 60 の2乗 から 中間との差(「開き」) 4 の2乗 を 引けば良い、とういものです。


これを4つの四角形で表してみると以下の通りになります。



ここで、56 は 60 と (-4)に分解します。60は56と64の中間の数です。
そうなると 左上は60×60、左下と右上は相殺されて0、右下は 4×(-4)となります。

結果、3600-16 で良い、ということになります。

64 の方は 60 と 4 に分けてありますが、これはもちろん、10の位と1の位で分けてあるわけではなく、
60 が中間の数であることによります。

これを、大人は何となく、そうか、と思うかもしれませんが、この説明を小学生に行う場合は、多少難しいところがありますね。

というのも、4つの四角形を使った考え方は、方眼紙を使ってマスの数を数えてその対応を理解させたように、あくまでも正の数を扱うことが前提です。
しかし、ここではマイナスの数を辺の長さにあてたり、実際にマイナスの数を掛けたりと、小学生の算数の世界ではありえないことをします。

よって、小学生にこの計算法を教えるときには、「こうすれば答えがでるのだよ」とやり方のみを納得させるしかないかもしれません。
何故そうなるのか、ということの理解については、何年か先になるかも知れませんが、それはそれで良いと考えます。




この計算法に慣れるためには、以下のことを念頭に置きながら、実際の例を見てみるのが早いでしょう。

1. 二つの数の中間の数をすぐに発見出来るかどうか。
2. 中間の数2乗、開きの数の2乗はすぐ浮かぶか。   
3. 「開き」の2乗の数は大きすぎず、「中間」の2乗から引きやすい数かどうか?


そこで先ず、中間の数が 10の倍数 の場合を考えます。

例として中間は 70、「開き」を1ずつ増やしながら実際の計算を見てみます。
少し、丁寧に自分でも計算しながら追いかけてみて下さい。


     スタート
   : 70 × 70= 4900
 
  1: 69 × 71= 4900 -   1 = 4899
  2: 68 × 72= 4900 -   4 = 4896
  3: 67 × 73= 4900 -   9 = 4891
  4: 66 × 74= 4900 -  16 = 4884
  5: 65 × 75= 4900 -  25 = 4875
  6: 64 × 76= 4900 -  36 = 4864
  7: 63 × 77= 4900 -  49 = 4851 (50を引いて1を足す)
  8: 62 × 78= 4900 -  64 = 4836
  9: 61 × 79= 4900 -  81 = 4819
 10: 60 × 80= 4900 - 100 = 4800
 11: 59 × 81= 4900 - 121 = 4779
 12: 58 × 82= 4900 - 144 = 4756 (150を引いて6を足す)
 
 14: 56 × 84= 4900 - 196 = 4704 (200を引いて4を足す)
 
 22: 48 × 92= 4900 - 484 = 4416 (500を引いて16を足す)


うーん、こんなにも簡単に計算できてしまうのか、という感じですね。

そこれ、一つ例として以上の 70 を中心とした「かかし掛け算」に慣れておけば、
他の中心が10の倍数の計算に関しても、スムースに計算出来ると思います。

例えば、「開きが14」の場合、「200を引いて4を足す」と覚えておけば、

 64×36 など 中心は50、開き14 と見て、
 2500-200+4 = 2304 と計算できます。

なにせ、理屈から言って下二桁の数は変わってこないですからね。慣れると速いです。

  


では次に、中心の数が10の倍数以外、どうするかですね。

これは、2乗の数を暗記しないことには即算が出来ないということになります。
その気になれば簡単に覚えられる、という方もいらっしゃいますが、なかなか、そうもいかないのが現実ですね。

以前の記事でゴロ合わせなるものも紹介しましたが、出来れば数字そのものとして覚えたほうが、計算自体は早くなると考えています。

(というか、自分がそうなんです。ゴロで考えるとそこで計算する頭が一旦止まる感じがするのです。)

この2乗の数の暗記のコツに関しては別途ご紹介申し上げることといたしまして、先ずは計算の実例を見てみましょう。

中心は、78 としましょう。今回は面倒ですので、ざっと見てください。

  スタート
   : 78 × 78 = 6084
 
  1: 77 × 79 = 6084 -   1 = 6083
  2: 76 × 80 = 6084 -   4 = 6080
  3: 75 × 81 = 6084 -   9 = 6075
  4: 74 × 82 = 6084 -  16 = 6068
  5: 73 × 83 = 6084 -  25 = 6059
  6: 72 × 84 = 6084 -  36 = 6048
  7: 71 × 85 = 6084 -  49 = 6035 (50を引いて1を足す)
  8: 70 × 86 = 6084 -  64 = 6020
  9: 69 × 87 = 6084 -  81 = 6003
 10: 68 × 88 = 6084 - 100 = 5984

 12: 66 × 90 = 6084 - 144 = 5940 (150を引いて6を足す)

 14: 64 × 92 = 6084 - 196 = 5888 (200を引いて4を足す)
 
 20: 58 × 98 = 6084 - 400 = 5684


以上、開きが 20 までの場合を見ましたが、中心が一般の整数の場合は、
せいぜい開きが 5 ぐらいまでが「かかし掛け算」の対象でしょうか。
あまり中心を探すのに考えてしまったり、引き算が面倒だったりすると、
「クロス掛け算」を行った方が結局は早いです。

ただし、開きが 7 の場合(→49を引く=50を引いて1を足す)や、
開きが10、20、または30の場合は、それと気がつけば「かかし掛け算」の対象でしょう。

例1:  32×46 中心 39 開き  7 → 1521- 49 = 1472
例2:  78×98 中心 88 開き 10 → 7744-100 = 7644
例3:  42×82 中心 62 開き 20 → 3844-400 = 3444  
例4:  16×76 中心 46 開き 30 → 2116-900 = 1216

いずれにせよ、2乗の掛け算を暗記していることが前提ですが、暗記が完璧になっていれば、
例えば、例2で、「100引けばよい」などというのは見た瞬間に答えが出ているようなものです。
是非マスターしましょう。


その他、留意点としては、この掛け算は「偶数同士」または「奇数同士」の掛け算でなければ使えないということですね。
そうでないと中心の数が整数で出てこないからですね。

しかし、たとえ「奇数×偶数」であっても、以下の通り計算すれば当然計算可能です。

 87×84 = 86×84+84 = 7225-1+84 = 7308 という

しかし、これをやる位でしたら、初めから「クロス掛け算」を行った方が個人的には頭が疲れないし、
速い、と思います。

  

以上、「かかし掛け算」について見てきました。


これが理解できると、例えば、

 648×552 なんて言う掛け算も。。。

 → 600×600-48×48 = 360000-2304 = 357696

 なんて、出来ますね。(あまり嬉しくありませんが)


次回、2乗計算の暗記のコツについて述べます。

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かかし掛け算 その1 <<デスラー掛け算!?>> 

2012-04-17 00:00:00 | かかし掛け算
小学三年生の息子に二桁掛け算を教える話の続きです。

テクニック的な計算方法に対しては、あまりに簡単に計算出来てしまうと計算練習にならないということで敬遠してきましたが、
「クロス掛け算」がある程度自由に出来るようになった時点で、以下の2つの方法を教えることにしました。

(これは方法論として私のオリジナルではなく、色々な方がご紹介なさっています)


1.掛け算を2乗の差に変換して行う方法; (a+b)×(a-b)=a^2-b^2 というやつ。

  例1:   42×38 
      
      → 40×40-2×2
       =1600-4
       =1596

  例2:   37×31

      → 34×34-3×3
       =1156 - 9
       =1147

  ※例2の様な場合、即算のためには2乗の数を暗記していることが前提
   →子供はすごいもので覚えなさいと言ったら、いやいやながらも覚えました
     (注:今はすっかり忘れている)



2.100に近い数同士の掛け算において、100との差を利用して計算する方法。

  (100-a)×(100-b) = (100-a-b)×100 + ab というやつですな。

  代数式で書くと判りずらいが、例えば 97×92 だったら、

  千の位と百の位は 100-3-8 だから 89、
  十の位と一の位は 3×8で24 と計算。
  後はつなげて 8924 と答えを出す。

  これは慣れれは非常に早いし、考え方をマスターすると拡張性もあり、ちょっと無理をすれば
  「クロス掛け算」と組み合わせて100から199までの掛け算等も暗算で出来るようになる。

  また、この方法はよく、「100に近い数」あるいは「90以上同士の数」の掛け算のやり方、
  という形での紹介もあるが、実際には100との差の積が(最初の計算式でabというところ)が
  99を超えない限りは100の位への繰り上がりが発生しないので、そのまま使えてしまう。

  つまり例えば、片方の数が 98 なら もう片方は 51 まで、97 だったら 67 までは、
  何も考えずに同じ方法で行ける。

  例: 98×51 → 51-2 と 2×49 をつなげて → 4998
     97×67 → 67-3 と 3×33 をつなげて → 6499

  (もっとも、たとえそれを多少超えたとしても100の位にちょっと数字が加わるだけなのだが。)


  しかし、そういうことは子供には言わない。


  あくまで、 「90以上の数同士だったら、こうやろう」 という説明をする。


要は、基本は「クロス掛け算」で押さえたので、さらにこの2つの計算方法を習得することにより、
計算方法は一通りではないこと、その見方や面白さに気がついて欲しい、と考えたわけです。




それで、例によって計算方法に名前を付けました。


「この問題を 『○○掛け算』 で解いてごらん」というような形で指示を出したりすることもあるので、
ネーミングは必要なんですね。

上記の2番目を先に言ってしまいますが、100との差を取る掛け算は「ディフ掛け算」と名付けました。
英語のdifferenceからとったのですが、数学的な定義として妥当なものかどうか、よくわかりません。
(この「ディフ掛け算」については別途、御案内の機会を持ちます)


それで、最初の方ですね、2乗の差に変換するやり方。これ、最初の頃「デスラー掛け算」と呼んでいたんです。
ここまで来ると数学的な根拠もへったくれもないのですが、何故、「デスラー掛け算」なのか。
これが考え方としては結構重要ですねぇ。


というのも、この計算法、先ず「掛けられる数と掛ける数の中間」を見つけることから始まるのですな。

 68×52 だったら「中間地点」は 60、 そこからの差が 8 とみるわけです。

 すると、3600-64 で 答えは 3536。 早いですねぇ。。。


で「中間地点」を見つけるのが大事なのですが、「中間地点」といったら、「中間地点バラン星」ですね。これは基本です。
バラン星といったら、当然、銀河系方面軍作戦司令長官・宇宙の狼「ドメル将軍」となります。

それで、「名付けて『ドメル掛け算』だ」、と思ったわけです。 いいでしょう?ドメル掛け算。。。
何か強そうで。(判らない方、以降も含め、スルーして下さい)


しかし、ですね。。。。


これについてはもう一歩踏み込まなければ、物事、画竜点睛を欠いてしまいます。


というのも七色星団においてヤマトに最終決戦を挑み、「瞬間物資移送機」でヤマトを苦しめたのはドメル将軍でした。
そして、ドメルはもはやヤマトに敗れたりと見るや、ヤマト第三艦橋直下において自爆します。
その壮絶な最期の直前、ヤマトの沖田艦長とは共に祖国の運命を背負うもの同士として言葉を交わしています。
そのドメルの記憶が、ヤマト乗組員の中では1年ももたないんですね。

再度ガミラスが「瞬間物質移送機」をもってヤマトに挑んだ時、南部が言うわけです:


  「デスラー戦法か!」 


やっぱり、総統にはかなわないわけですな;  それで、この掛け算、「デスラー掛け算」ということにしました。






これは個人的には非常に良いネーミングかと思い、しばらくそういうことで教え方の構想を練っていたのですが、
実際子供に教える段になったところで、


 「やはりなぁ。。。」


と考えざるを得なくなり、ネーミング変更となりました。これは苦渋の決断であり、残念な結果でした。



それで決めたのが 「かかし掛け算」 



何故「かかし掛け算」なのか、それは先ず、この「かかし掛け算」用に作ったワークシートを見ていただくのが早いと思います。

白地は以下の通り;



A4の全体図


これに、練習として書き込みを行うと以下の通りになります。



例えば 21×19 という問題なら、「×」の記号の上あたりに「中間の数」を書き、そこからカカシの様に両側に手を伸ばして、
中間からどれだけ離れているか、「開き」の数を書きます。

少ない方の数に対する「開き」に対しては「マイナス記号」を一応つけておきます。

そして、「中間の数」×「中間の数」-「開き」×「開き」を横のマスを使って書かせ、計算させます。

ということで「かかし掛け算」ということになりました。


「かかし掛け算」の練習においては、以下の点を考え方としました。

1. 何故、「中間の数」の2乗から「開き」を2乗を引くと、元の掛け算の答えになるのか、という理由についてはひとまず置く。
   (最終的に4つの四角形を使って説明することを念頭に置いたが、マイナスの掛け算の概念が入るため、理解させるためには段階が必要)

2. 全ての掛け算に使えるわけではないし(偶数同士、奇数同士のみ、等)、開きが大きい場合、あまり意味がない(クロス掛け算の方が早い)が、
  中間の数を見つけ、その差を求めることが、別の意味での計算練習になので、それなりに意義はあるした。

必ずしも暗算を求める訳ではなく(もちろん理解してしまえば71×69などは暗算出来てしまうが)、「こうすれば計算できるのだ」ということを身に着かせることに重点をおきました。



では、次回の「かかし掛け算」の項において、2桁掛け算暗算に興味がある中学生以上の方が、どのようにこの方法論に接すれば良いのか述べてみたいと思います。

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小学生に2ケタかけざんの暗算を教えるには

2012-04-16 00:00:00 | 2桁掛け算
自分の息子が小学校三年生の当時、私は彼に2ケタ同士の掛け算の計算を教え、自らもいろいろと実践してみました。
まだ、2桁×1桁もどうなのよ、という感じでしたが、2桁×2桁が出来れば、それも自然と出来るだろうという強硬策を採りました。

前回提示した暗算法は、そのように子供に教えつつ、自分でも答え合わせで暗算をしつつ、という過程で形が練られていったと言えます。
よって計算法は、最初から出来上がったものがあったわけではありませんでした。

むしろ最初はインド式などを勇んで教えていました。

しかし早くのうちに、これらの計算術は今の子供に使わせるには少し不十分だなぁ、というか、無理だなぁと感じました。
理由は今まで何回か述べましたが、だいたい以下の通りです。

 ◎パターンによる規則的な計算法であったが、そのパターンがすぐには見抜けない。
 ◎この計算法によってカバーできる計算パターンが全体の中で極めて少ない。    
 ◎パターンに当てはまったとしてもあまりにも簡単に計算できてしまうので計算練習の対象にならない。
 ◎何でその答えが正しくなるのか判らない。

など、ですね。

 
そこで何か良い方法がないかと模索し始めたのですが、すぐに4つの四角形を使った考え方は有効そうだと気がつきました。

これをベースに考え始めたのですが。。。息子は小学校三年生ですから、学校でまだ面積の考え方を習っていない(!)。



ノウハウだけを教えて叩き込むというのはやりたくなかったんですね。
ですので、「掛け算は四角形で表すことが出来るのだ」ということを先ず理解させることから始めました。

いくらうまい方法を思いついても、その計算過程がどうして正しい答えに結びつくか、これを一旦理解させた上で前に進めないと
意味がないと考えたわけです。

          

そこで、「力技」と言っては何ですが、マスの中に四角形の数を数えるための数字を書き込んだ方眼を用意しました。
実際に使用したものとは異なりますが、以下の感じです。



「23×18」を教えるためのものですが、23 と18 を各辺とする四角の方眼のマスの中に数字が書き込んであります。

まず、これを見せて、否が応でも掛け算は四角形で表すことができるのだ、ということを叩き込みます。
ビジュアルに確認させた後、計算機等をつかって実際に23×18をやってみて、「あっているでしょ」ということなります。

次に、この四角形を4つに分けてみよう、ということで次の図を見せます。



「10の位の数と1の位の数で分けて四角を4つにしました。」
「その一つ一つの四角の数の合計は全体と変わらないよね」ということを確認します。

その上で、次の図を見せます。



あれあれ、何やら簡単な掛け算におきかわったねぇ、と言いつつ、
「4つの掛け算の合計」が最初の 23×18 の答えと変わらないことを理解させます。

「そう、2ケタの数の掛け算は4つの四角を使って10の位と1の位で分けて考えることが出来るんだね」
「そして、答えは、その分けた掛け算の答えを足せばいいんだね」

以上を先ず、理解させる、というか、「そうなのか」という気持ちにさせます。

          


次に、前回の記事で説明しました計算法を習得させるためのドリルをやらせるわけですが、
これはしばらく、同じことを何週間かやらせるわけです。

そこで、毎回のドリルを始める前には、先ほどの 23×18 の3枚の図をおさらいします。
そうやって段々、身についてきます。


子供にやらせたドリルは実際どんなものか。こんな感じです。



A4の全体図



このドリルはエクセルでシートを作りました。 >> 名付けて「クロス掛け算ワークシート」
問題は乱数で適当に出てくるようにしました。あと、同じ数があまり出てこないような工夫もちょっと入れました。

 ちなみに2ケタの数の乱数を出すためには、以下の数式で出てきます。
 エクセルでこのシートを作ってみたい方は、セルにそのままコピーして見て下さい。
 (1の位にゼロがでてこないようになっています)

  =10*(MOD(INT(100*RAND()),9)+1)+MOD(INT(100*RAND()),9)+1
  

それで、これをやらせた場合、実際どんな感じになるかというと。。。



こうなります。


順番としては、先ず、4つの四角形の数を埋めることが最初ですね。ここで掛け算のイメージを作ります。

次に、右上にある、「クロス」という四角の中に数を入れさせます。


  ※で、「クロス」ってなに?


ここで、一旦、前回説明しました計算法をおさらいします。

 2ケタかけざん暗算法 

 手順1: 式の「内側の数同士をかけたもの」と「外側の数同士を掛けたもの」を合計する。
 手順2: これを10倍する。
 手順3: これに、10の位の数字同士をかけたものを100倍し足す。
 手順4: これに、1の位の数字同士をかけたものを足す。 → 答え

ここで、手順1の ≪「内側の数同士をかけたもの」と「外側の数同士をかけたもの」の合計≫ を 「クロス」 と命名しました。

「クロス」という言葉は数学用語では別途定義があるようでしたので、多少使用を戸惑ったのですが、要は子供向けですので、
気にせず、とりあえずそういう名前を付けました。ついでに、この計算法を「クロス掛け算」と名付けました。

 「四角を埋めたら、次はクロスを出してみて。。」とか、「クロスが間違っているんじゃないか?」とか言えるので、
名前をつけておいた方が何かと便利なわけです。

そうやって、最初は意味も判らず「クロス」なるものを計算して出すわけですが、もちろん、
この「クロス」は10倍すると(あるいは子供的には「お尻にゼロを付けると」)、四角の左下と右上の合計に等しくなるわけです。

そのことは最初はあえて明確にしなかったのですが、そのうち自然と気がつくわけですね。
意味が判らないことをやらせるのもどうかとは思いましたが、この点だけは自分で気がついて欲しいと考えました。

気がついたところを見計らって、「こことここの合計は、最初のクロスを10倍したものと同じだね、」と確認するわけです。



面白いことに、息子は「クロス」を計算する際に、自然と計算式の上と下に内側同士、外側同士を結ぶ線を引きながら、
そこにそれぞれの掛け算の答えを書くようになりました。それから横っちょの四角に、上下の数の合計を書き込むわけです。
(上の図にある通りです)




そうやって「クロス」を出してから、次にその下にある計算(各項の足し上げ)を順番にしてゆきます。

これが、暗算法の手順そのものになっています。先ず、10の倍数の合計(四角の左下と右上)を出し、
100の倍数、次に単純九九の部分を足す。そうやって掛け算の答えを出す。

そういう練習をするシートになっています。

よって、このワークシートを使って計算練習を重ねていくと、頭の中に暗算するための思考回路が
「数学的に意味のあるイメージ」とともに形成されてゆき、自然自然と暗算が出来るようになる、
という理屈なんですね。


  そして最後には「式と答え」をキチンと書かせる。
  これは2ケタの掛け算はこうやって解くことが出来るという意識付け、関連付けを明確にするためです。


息子の場合、ワークシートを毎日ではないがやらせてみて約6週間くらいで暗算が可能になったと記憶しています。
しかし実際はもっと早く出来るようになっていたのかも知れません。
というのも、6週間位たってから試しに暗算が出来るかどうかやってみたら、「出来た」ということだったんです。

ということで結果はもっと早く出るかもしれませんが、これは早く出来るようになれば良い、というものではないし、
要はしっかりとした計算練習を行って計算能力を地道に高めることが大事なのであって、
たとえ結果として暗算がマスターできなかったとしても、ワークシートをこつこつこなしたこと自体、
それはそれで頑張ったな、と言えるかと思います。

   
 
しかし、例えば、もう少し積極的に訓練的手法を取り入れるならば、以下の方法も考えられるでしょう。

ワークシートを使いつつも、下記のステップを踏んで徐々にレベルアップする。
 1. 四角形のマスは空欄のまま、クロス、右側の計算式だけを埋める。

 2. 四角形のマス、クロスと最初の計算式を飛ばし、いきなり2番目の式から計算を始める
    ↓具体的には。。。


 3. ワークシートを見ながら、いきなり4つの四角形の合計を出してみる(つまり掛け算の暗算をしてみる)

この手法を取り入れるときは、問題としては乱数から出すのではなく、先ずは数の少ない数字を選んでやってみると
良いでしょう。

 そういえば、息子の場合もこれに似た形、何回かやりました。今思い出しました。
 判らなくなったら、四角を埋めてから考えてごらん、というような形で、
 徐々にハードルを上げていった様な記憶が。。。 

 まぁ、意外に出来てしまうものですよ。。。
  
      


以上が、前回ご案内した暗算法を小学生に教える際の方法論です。
足し算を頑張ることの出来るお子様ならば、誰にでも身に付くのではないかと考えます。

またこれは、学校教育における筆算の学習との整合性、並立性(違ったアプローチの計算法を教え込んで混乱が起きないかどうか)という点、
今後の数学的思考における発展性という点、これらについても自分になりに問題ないかどうか悩みつつたどり着いたものです。
その意味で、取り組んでみて無駄はない内容ではないかと考えております。


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究極の2ケタかけ算暗算法

2012-04-15 00:00:00 | 2桁掛け算
大げさなタイトルになりましたが、2桁の数の掛け算の暗算方法について、方法論を提示したいと思います。

まぁ、本当の究極の暗算法は丸暗記することかもしれませんが、それは置いておきまして。。
何故、そこまで言えるのかと申しますと、テーマが単純で手を入れる要素も少ないので、自分よりもっと頭のいい人が考えたとしても
これ以上先はもう無いだろう、と考えるからです。

この項は前半は理論であり、後半は具体的方法です。面倒くさい人は後半のみお読み下さい。
また、内容的には前回の記事の続きでもあるので、前回の記事も併せて読まれることをお勧めします。

まあ、私などが申すべくもなく、ネット等で検索するれば色々なものが出てきます。
その中には、ほとんど自分の考えたものと同じものも多々ありました。というか、考えている人は程んど同じ結論に達するのでしょう。


その同じ結論というのは、掛け算を4つの四角形の面積でかんがえるというやり方です。

たとえば 78×63 という計算なら以下のような四角形を考える。



これは計算のイメージとしては基本のものであり、理解しやすいと思います。
かつ子供に教えてもその後の数学的な思考展開の基礎となるものであり、意義のあることと考えます。


それでこの4つの四角形を足し上げて掛け算の答えを出すというものです。

つまり 4200+480+210+24

で、いくつになるかな 4914 ですな。

この四角形ををイメージしながら足し上げれば何とか暗算は出来るわけで、前回の4つの数の足し算をするという
内容と軌を一にします。

ただし、自分は時々単純計算であっても、「あれっ?」となってしまうタイプなので、それでもきつい場合がある。



もうちょっと工夫できないか。


工夫もなにも足し算する順番を考えるだけなのですが、色々と試行錯誤した結果、
四角形のうち右上と左下、この斜めのラインの合計を一番先に出すのが良いと考えました。


すなわち上記の例では 480+210 = 690 この計算を先ずやってしまう。
ここで 480 と 210 は 10の倍数になっていることに注意します。

その次に、左上、すなわち4200、100の倍数の数を足す。4890になる。 
そして最後に右下の数、24という単純な九九の数を足す。 答えは 4914。


何故この順番なのか?


それは一つには各項を足し上げていくときに、

「先ずは、数字の桁の重なりが多いもの同士を最初に足してしまおう」  という考え方なんです。


つまり、480と210は10の倍数同士。これを先ずまとめてしまえ、ということです。

この場合は繰り上がりこそおきないものの、足し算するけたは100の位と10の位、
2つの桁でばっちりぶつかりあう。だからここでまず 690 という数をつくり10の倍数の合計を固めてしまう。

そこであとから4200を足し、24を足しという風にすれば、以降は足し算する桁が1桁しか重ならない。
(ただし、10の倍数の合計が1000を超えた場合は2桁重なることもある。)


この順番を変えると、どうなるか。

例えば 4200+480 = 4680 と先にやり、4680と210を次に足そうとすると
この2桁がぶつかりあうという最もこの足し算で過酷な部分で、最初に10の倍数同士を足した場合よりも大きな数を扱うことになる。


もう一つ、480+210を先ず行うというのは、これはゼロを除いて考えると両方とも九九の答えであり、
よく見なれた数字であるということであるからです。


ある意味既知の数であり、ある種計算にも慣れているその分心理的にも抵抗が少なく、速く計算出来る。
だからこそ、2桁の数がぶつかりあう足し算をここで行うのです。

これは実際、訓練を重ねていくと、きわめて限られた数字を扱っているのだと気付きます。
つまりは「九九の答え同士の足し算」なわけで、パターンとして限られてくるのです。
よって、だんだん慣れてくるということです。


要は間違っても 470+760 なんていう足し算はでてこないということですね。


もう一度まとめてみます

最初に10の倍数同士を足した場合

手順1: 480+210 = 690  → 二桁がぶつかりあう足し算だが、見なれた数字なので心理的抵抗小
手順2: 690+4200=4890  → 見なれぬ数字(690)を含むが、足し算する桁は1桁のみで心理的抵抗小
手順3: 4890+24 =4914  → 見なれぬ数字(4890)を含むが、足し算する桁は1桁のみで心理的抵抗小

順番を変えた場合

手順1: 4200+480=4680  → 見なれた数字なので心理的抵抗小
手順2: 4680+210=4890  → 見なれぬ数字(4680)を含み、足し算する桁も2桁であり、心理的抵抗大
手順3: 4890+24 =4914  → 見なれぬ数字(4890)を含むが、足し算する桁は1桁のみで心理的抵抗小



さらに、この順番が良いと考えるもう一つの理由があります。


それは、最初に作る10の倍数の項の合計が、たまたま100の倍数になることがあるということです。

これが100の倍数になった場合は、以降、下二桁の計算はあってないようなものです。


つまりこれがインド式計算のパターンに当たる場合の83×87などでは、4つの四角形の左下・右上の合計が800となる。
だからその後の足し算が楽になる、ということは前回述べました。

しかし、ここで注目したいのは、10の倍数の項の合計が100の倍数になるというパターンは、
インド式計算のパターンに当てはまる計算式だけではなく、他にも数多くあるということなんです。

例えば、64×77 = 4200+280+420+28

これは 最初に 280と420を足してしまえばあとは楽ですね。 4200+700+28 = 4928


あるいは 92×86 などもそうでしょうか。 
     7200+540+160+12 = 7200+700+12 = 7912 となりますね。


これは二桁同士の掛け算の計算パターンの3321通りのうち、401通りがそうなります。ちょっとした数です。

 ※3321通りというのは最初の記事でもふれましたが、二桁同士の掛け算のうち、1の位がゼロのものを除き、
  さらにかけられる数とかける数を入れ替えたものを相殺したネットの計算式のパターンです。



よって、4つの四角形の各項のうち、まず、左下・右下の10の倍数の項を足すのが良いというのは御理解いただけたと思います。



そのあと、100の倍数の項、単純九九の項という順で足す、というのが私の提案する順序です。

この点については、残念ながら理屈はありません。
ただ、実際多くの計算にあたった結果、感覚的にこれが良いという結論に達しています。



以上が理論ですが、最後に具体的な方法論に入りたいと思います。



究極の2桁掛け算暗算法

計算方法を具体化する際に、以上説明してきた「10の倍数の数の合計を出す」方法に関して
一つ変更を加えます。それは、「先ず九九の答え同士を足し、後から10倍する」ということです。

 (同じことですよね)


それを踏まえて、例えば、78×63 という計算なら、

 手順1:「内側の数同士をかけたもの」と「外側の数同士をかけたもの」を合計する。
 手順2: これを10倍する。
 手順3: これに、10の位の数字同士をかけたものを100倍し足す。
 手順4: これに、1の位の数字同士をかけたものを足す。 → 答え

これで良いことになります。


つまり   78×63 を見ながら。。。
    
 手順1: (内側)8×6+(外側)7×3 = 48+21= 69
       
 手順2: これを10倍 → 690

 手順3: これに、7×6×100を足す。
        690
      +4200   ← 桁を合わせて、数を下において足していくというイメージを持って下さい。
       4890     

 手順4: これに、8×3 を足す。
       4890
      +  24
       4914

もっと単純化しましょう

 内側の数同士の積と外側の数同士の積を足して10倍、
 これに、左側の数同士をかけた数の100倍を足し、
 さらに、右側の数同士をかけた数を足す。
 
これで良いわけです。2桁掛け算の暗算法が3行で説明できました。



これでもし暗算が出来ない場合はどうしましょう。

それは、訓練をするしかないでしょう。

手順としては計算の心理的負担が発生しないよう、極限まで抑えた形となっています。
これ以上は簡素化出来ないでしょう。よってあとは訓練ですね。


最後に、さらにもうひと押し、計算の工夫を加えましょう。


それは、言わずもがなですが、上記の手順1で、内側同士の積と外側同士の積を合計するときに、
掛け算の分配法則等が使えるかもしれない、ということです。


つまり、例えば 88×43 などという計算だったら

    8×4+8×3 = 8×(4+3)= 8×7 = 56 ですね。
    
    32+24より「一瞬」速いかもしれません。

慣れてくると最も早い計算方法を自然に選べるようになります。


また、ちょっと裏技的ですが

    76×39 だったらですね、

    内側の積の 6×3 を 2×9 と読み替えてしまうんです。同じ18ですからね。
    それで、

    6×3+7×9=2×9+7×9=(2+7)×9=9×9=81

という工夫もできます。

これも、慣れると不思議なもので、すぐに 9×9 が浮かぶようになります。
そうなったら、実際に18+63=81 をするより、やや速いかな、という感じです。

まぁ、いろんな工夫をすることが楽しいわけです。


以上の方法に基づき、各自練習してみてください。きっと2桁の数の暗算が出来るようになると思います。


自分が良くやるのは車のナンバープレートをみて、左の数字と右の数字を掛け算することですね。
そんな感じで頭の体操をやっています。


また、上記の理論の延長上に「ねこ掛け算」があります。「ねこ掛け算」では3桁の掛け算の暗算が出来るようになります。
私も「自分がそんなことが出来るようになるなんて一生あり得ない」と考えておりましたが、
3桁同士の数の暗算が出来るようになりました。まぁ、時間は少々かかりますが、一応正解は出ます。

息子もですねぇ。。数が小さければ混乱せずに3桁掛け算が出来るように一時期はなりました。(今はだめですけれどもね。)


そこで次回は補足的になりますが、小学生にこの二桁暗算法を教える際の注意点ならびに方法論を実際の経験に基づいて述べたいと思います。


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2桁掛け算の暗算法でどこまで速く計算できるのか

2012-04-14 00:00:00 | 2桁掛け算

二桁掛け算の暗算法を考えるにあたり、自分としてもインド式の本を買って読んでみたり、ネットで色々と検索して調べたりしました。

ネットで調べると色々とヒットします。そろばん暗算やフラッシュ暗算等、はるか彼方の高いレベルにある方々もいらっしゃる一方、
学校で苦労した(あるいはしている)2桁同士の掛け算が、暗算でサクサク出来たらいいな、すごいなと感じる方も多い、ということが分かります。

(このマーケットの違いは個人的には面白いと思っている)


そこで、自分を含めた後者の人々の中には、一つ陥りがちなある種の感覚があるように思えた。

それは、インド式の計算術の簡易性のインパクトがあまりにも大きいので、何か他にも簡単に計算ができる方法があるのではないか?という期待。

確かに「10の位の数が同じで1の位を足すと10になる2つの数の掛け算」など。。。。。

例として 83×87 答えは 7221、法則を知っていればすぐ出てくる。

   ちなみに法則としては、
   千の位と百の位は 8×(8+1)で 72、
   十の位と一の位は 3×7で 21 と出し、それをつなげる  > 7221 (!)

これはすごいなということになるのだが、これは、このパターンに当てはまる計算式が全体からして圧倒的に少ないという冷徹な事実の前に、
「知っていたら役に立つかもしれない」という程度の話になってしまう。

じゃあ、他にいい方法ある?と考えたときに、そんなに魔法のような方法は無いわけである。。。ない。

結局は地道な訓練と工夫しかない。あるいは、イザとなれば電卓もあるし、実生活に役に立つわけでもなし、と軌道修正するか。。。


1.どんな即算法を使おうが、これよりは速くならないという限界


世の中には努力の結果として、2桁だろうが3桁だろうが、一瞬で掛け算してしまう人たちもいます。
それはそれとして、あくまでも自分自身のレベルにおいて考えたときに、果たして一体どこまで速く計算できるのだろうか?

 <<結局、2桁同士の掛け算というのは、4つの数の足し算をすること>>
 
 たとえば、73×46 という計算を考えてみましょう。
 これを筆算で行った場合を例に考えると分かりますが、この計算においては掛け算を4回行います。

 つまり

   73
  ×46

  (1)  3×6
  (2) 70×6
  (3)  3×40
  (4) 70×40 の4つ。

掛け算の答えはこの4つを合計したもの

 よって 
  (1)   18
  (2)+ 420
  (3)+ 120
  (4)+2800

この計算をする。つまり4つの数の足し算をすると言うこと。この足し算、皆さん何秒で出来ましたか?

答えはもちろん、3358となりますが、この4回掛け算を行い、その答えの足し算を何秒ですることが出来るか?ということが、
その人にとって、73×46の計算をする場合の速さの限界となります。

理屈からいって、それより速くなることはあり得ません。どれ一つ省略しても正解にはたどり着かないからです。
多くの方は掛け算自体はは九九によりほぼ一瞬で出来るでしょうから、、要は如何に足し算を素早く正確に行うか、ということがポイントになります。

これを一回知っておくと、あとは自分でどこを努力すれば良いのか分かります。
というか、もし自分の満足するレベルに達していないのなら、結局は訓練するしかないのだな、と悟ることが出来ます。

2桁掛け算を3秒以内でやる方法、とか、1秒で解く方法はないか?というような質問もあるようですが、それはその方が、

「その時間内に 18+420+120+2800 が計算できれば可能でしょう」、ということになります。

 

 結論: 2桁掛け算の暗算方法というのは、足し算計算の「訓練」と4つの数をどうしたら効率よく合計できるのかという「工夫」に落ち着く。

 


2.掛け算の計算方法の工夫は、4つの数の合計をいかに効率的に行うか

ちなみにインド式のパターンにはまる場合、なぜ簡単に計算できるのでしょうか?
上記に例を挙げた 83×87 を 同様に分解すると

   83
  ×87

  (1) 3×7
  (2)80×7
  (3) 3×80
  (4)80×80 の4つの掛け算。

掛け算の答えはこの4つを合計したもの

 よって 

  (1)   21
  (2)+ 560
  (3)+ 240
  (4)+6400   と、こうなる。
  
ここで、(2)と(3)に注目します これを合計すると 560+240= 800 となります。

すなわち、こういう計算です。

  (1)     21
 (2)+(3)  + 800
  (4)  +6400

これなら、ぱっと 7221 と計算できそうですね。

要は、10の位が8で、1の位同士が足して10と判断した時点で、この(2)と(3)の合計は800になるという計算が終わっているということなんです。

800だったら、下二桁がゼロなわけで、下2けたは事実上計算不要となります。
百の位以降の計算も、8に1を足した数(=9)をかけるという計算が成り立つわけです。

インド式のパターンに合う場合の掛け算というのは、この4つの数の足し算が極端に簡素化出来るケースなのだということが言えます。

 


では、逆にいわゆる筆算の場合はどうでしょうか。

同じく83×87の計算において、4つの数の合計を出す際、まず、(1)+(2) と (3)+(4)の合計をそれぞれ出します。

すなわち、ここから

  (1)   21
  (2)+ 560
  (3)+ 240
  (4)+6400

一旦、(1)と(2)、(3)と(4)を合計し、

 (1)+(2)   581
 (3)+(4) +6840

その合計の数をさらに足すわけです。

これは、暗算的な思考からすると、わざわざ難しい手順を踏んでいると言えます。

つまり、最初に(1)と(2)を計算し、その答えを出すわけですが、次に全く違う計算であるところの(3)+(4)を行います。
その間、(1)+(2)の答えは記憶しておかなければなりません。

さらには最後に3桁の数と4桁の数を合計するので、繰り上がりが2回以上起きる可能性もあります。


「まず、合計を二つ作り、その二つの合計をさらに合計する」こういう計算方法が手順として頭の中にあるがゆえに、
2桁掛け算の暗算がなんとなく難しいもの感じられるのです。

というか、その様に暗算しようとすると、実際結構大変でしょう

だったら、それよりは4つの数を順番に一つずつ足していった方が、まだ頭の中で行う分には容易です。
 

ここで申し上げたいのは、2桁の掛け算(あるいは3桁の掛け算)の暗算は思ったより簡単に出来るということです。
先ずはその先入観を取ることが肝要です。

魔法の様な暗算方法はない、とも申し上げましたが、筆算から受ける印象ほど暗算は難しくないというのも事実です。


前置きが長くなりましたが、次回、具体的な方法について記述します。

 

 

 

 

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二桁の数の2乗 その2  語呂合わせ

2012-04-13 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2桁の数の2乗のゴロ合わせによる覚え方。いわゆる平方数。

以降、留意点
 ※ 21はニンジン、61は老人とすることがある
 ※ 1の位が5の数は即算法で対応するのが良い・
 ※ 同じく50台並びに90台の数も即算法にて対応
 ※ その他、思い浮かばないものは断念。

 ※ 気合いを入れて覚えたい方は別途「暗記法」の記事を読まれることをお勧めします。

 

 11×11:   121 一本でもニンジン
 12×12:   144 
 13×13:   169 いざ 一郎君
 14×14:   196 いよいよ ひと苦労
 15×15:   225 1×2 と 25
 16×16:   256 色、にごろ
 17×17:   289 いいな、二泊
 18×18:   324 いいや、壬生市で (すみません、壬生の方。。)
 19×19:   361 行く、三老人 (別バージョン: 行く、サーロイン)
 20×20:   400
 
 21×21:   441 ニンジン よし一本
 22×22:   484 
 23×23:   529 兄さん 小肉 (こ憎い)
 24×24:   576 西 コナろく
 25×25:   625 2×3 と 25
 26×26:   676 
 27×27:   729 次男、何喰う?
 28×28:   784 庭 の 菜っ葉よ
 29×29:   841 肉、はよ炒めて
 30×30:   900 

 31×31:   961 サイ、黒い
 32×32:  1024 さん、にい、いち、ぜろ、24時
 33×33:  1089 さんざん、投薬
 34×34:  1156 写真、いい頃
 35×35:  1225 3×4 と 25
 36×36:  1296 三郎 一人に苦労 あり
 37×37:  1369 みんな 一人で三郎君
 38×38:  1444 散髪 いいよ よし
 39×39:  1521 さんきゅう 以後ニンジン
 40×40:  1600
 
 41×41:  1681 良い 色は一つ
 42×42:  1764 世にも 異な虫


 43×43:  1849 シーザー 卑しく
 44×44:  1936 志士 戦録
 45×45:  2025 4×5 と 25
 46×46:  2116 城  ニンジン
 47×47:  2209 品 にふた置く
 48×48:  2304 夜は にいさんオシッコ
 49×49:  2401 ショック によわい



 50×50:  2500  25+0 と 0×0
 51×51:  2601  25+1 と 1×1
 52×52:  2704  25+2 と 2×2
 53×53:  2809  25+3 と 3×3
 54×54:  2916  25+4 と 4×4 
 55×55:  3025  25+5 と 5×5 / 5×6 と 25
 56×56:  3136  25+6 と 6×6
 57×57:  3249  25+7 と 7×7
 58×58:  3364  25+8 と 8×8 
 59×59:  3481  25+9 と 9×9 
 60×60:  3600 

 61×61:  3721 老人 みなニンジン



 62×62:  3844 六時に 散髪よし / 無事、散髪 獅子



 63×63:  3969 無残 さくろく
 64×64:  4096 虫、 四匹 送ろう
 65×65:  4225 6×7 と 25
 66×66:  4356 碌々、資産転がし
 67×67:  4489 むな しい予約

 68×68:  4624 牢屋 城に四つ



 69×69:  4761 無垢、シナ老人
 70×70:  4900 

 71×71:  5041 ないなら これよい



 72×72:  5184 なんつー か こぉぅ、イヤヨ  / ナニ? 来い! ヤーヨ。


        

 73×73:  5329 奈々さん ゴミ拭く
 74×74:  5476 梨、 こよなむ
 75×75:  5625 7×8 と 25
 76×76:  5776 南路 航南南路
 77×77:  5929 なんなら 高級肉

 78×78:  6084 悩む、大家よ



 79×79:  6241 泣く、 老武士一人


 80×80:  6400 
 81×81:  6561 はい、 老後老人
 82×82:  6724 ハニー ろくななにいよん  (全く無意味)
 83×83:  6889 ばーさん ロバ焼く



 84×84:  7056 箸 なら驕ろう



 85×85:  7225 8×9 と 25
 86×86:  7396 波浪、波苦労

 87×87:  7569 バナ ナ5本むく



 88×88:  7744 パパは 名無しよ

 89×89:  7921 焼く な、 9本ニンジン



 90×90:  8100

 91以降の即算法

 まず  元の数と100との差を出す  そして 
   その数を元の数から引く これが千の位と百の位
   その百との差の2乗   これが十の位と一の位
 以上をつなげる

 91×91: 91-9 で 82、 9×9 で 81 つなげて 8281
 92×92: 92-8 で 84、 8×8 で 64 つなげて 8464
 93×93: 93-7 で 86、 7×7 で 49 つなげて 8649
 94×94: 94-6 で 88、 6×6 で 36 つなげて 8836
 95×95: 95-5 で 90、 5×5 で 25 つなげて 9025
 96×96: 96-4 で 92、 4×4 で 16 つなげて 9216
 97×97: 97-3 で 94、 3×3 で  9 つなげて 9409
 98×98: 98-2 で 96、 2×2 で  4 つなげて 9604
 99×99: 99-1 で 98、 1×1 で  1 つなげて 9801

 100×100:  10000

 
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二桁の数の2乗 その1

2012-04-12 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2桁の数の2乗の数について暗記したいと考えた。
そんなもの覚えてどれだけの意味があるのか。




およそ2桁同士の掛け算の暗算を考えたときに、何通りあるのか?ということに対し、よく90×90で約8100通りとか大げさに言われることもある。

しかし10の倍数を含んでいれば、実際には2桁×1桁の暗算と同等と考えられるし、かける数とかけられる数を入れ替えれば同じ計算なので、
そこのダブりを相殺したりすると実際のパターン数としてはぐっと少なくなる。

数えると3321通りということになります。これを攻略すれば良い、ということですな。

2年前の春から夏休みにかけて私は小学三年生の息子にこの3321通りの掛け算を全てやらせてみた。

最初は世に言うインド式の計算法なるものも教えようとしたがが、悲しいかなそのパターンに当てはまる式が全体からしてあまりにも少ない。
また、例えばそのパターンに当てはまる数式を並べて計算させたとしても、計算練習にはなっていないという感覚がした。

確かにほぼ一瞬で答えは出る。しかし本人は何の掛け算をやっているのか、どうしてその計算が正しい答えとなるのか分からない。
これではあまり意味がない、時間をかけても筆算をやらせた方が良いと感じた。



そこで何とか自前で納得のいく計算方法を考え出し、全て解かせていったのだが、後半近くには自然と暗算が出来るようになっていた。

その計算方法というのは紙に書きながら行うものだが、思考の過程そのものが暗算に適するようになっている。
よって何回もその計算方法により計算練習を行っていると、段々と頭の中に2桁の数を暗算で掛け算する思考回路が出来て来て、
最後には紙と鉛筆が要らなくなるというものだ。

毎日ではないが1日10題ほど計算させて、6週間くらいでそんな感じになっていたと記憶している。
(もちろん大人が取り組めば、ほんの1、2分で理解できる内容かと思う。)


それら計算方法を色々と試行錯誤するなかで、2乗の数の暗記ということを考えた。

これを掛け算の九九並みに覚えてしまうと実は3321通りの掛け算のなかで約400通りの掛け算はある程度即算できるようになる。
全体の約8分の1をカバーするわけです。


例えば 78×78を6084と暗記していれば、

 77×79 は 6083、
 73×83 は 6059、と即算できます。

(これを子供向けには「かかし掛け算」と命名した。詳細については別途機会を改めたいと思う)


では、2乗の数を暗記するにはどうすればよいか?

  「ゴロ合わせがいいかな?」

そう思って、色々考え、息子に見せてみたが「かえって分からない」ということであった。


どうやら子供の頭の中ではゴロ合わせという言語の感覚と実際の計算のための数字の感覚というものがうまくリンクしないようだった。


例えばゴロ合わせで「いい国つくろう鎌倉幕府」という感じで1192という年号を覚えるというのは、そこで完結している話だ。

しかし、これを引き続いて計算に使おうとすると、そこから先があり、一旦頭の切り替えが必要になる。
つまり「イイクニ」という語感を数としての「1192」に変換しなければならないのである。
これが負担なのであろう、という説を立てた。


それでゴロ合わせはボツにした。
また、「かかし掛け算」も計算方法としてはサブということで横に置いた。

しかしせっかく考えたゴロ合わせであるから、世の中には気に入ってくれる人もいるかも知れないとおもい、ブログに乗せることにしました。


ちなみに今では息子は2桁の掛け算の暗算は出来ない。そろばんを習い始めたので敢えて自分の考えた計算方法を止めさせた。

そしたら、全て忘れてしまったみたい。子供は覚えるのも早いが、忘れるのも早い。

もう一度、教えればすぐに出来るかもしれないが、まあ、いいかという感じ。


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