ねこ掛け算のブログ

そろばん暗算は出来ないな、という人たちのための掛け算暗算法
2桁・3桁同士から、そこまでやるかの4桁超までご紹介

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不思議な感覚のする掛け算 続き

2012-05-10 00:00:00 | ディフ掛け算
前々回、不思議な感じがする掛け算として例題を挙げました。
この例題ですが、そもそもどのようにして問題を選んだかというと、

100台同士の掛け算のなかで、
 1. 下二桁同士の掛け算の積 が そのまま積の下4桁 になる。
 2. かつ、下一桁同士の積 も そのまま下二桁の数 になる。
というものでした。

例えば、例に挙げた 122 × 178 なら、

 下二桁同士の掛け算 22×78 の積 は 1716
 ですが、これはそのまま
 122 × 178 の積の下四桁 になります。

 すなわち 21716

これは、掛ける数、掛けられる数の 下二桁の合計 が 100 
の場合にその様になります。

   22+78= 100 。。。です。

つまり、基準値100、差分との合計は 200、これに 基準値 100 を掛けると
20000 となります。よってこれに 差分の積 を加える際、
そのまま下四桁にあてることが出来る、ということです。(。。。)

 122 × 178 = (100+22+78)×100 + 22×78
           =  200 ×100 + 22×78
           =  20000    + 1716

また、「かつ、下一桁同士の積 も そのまま下二桁の数 になる」 というのは、

 下一桁同士の積 2 × 8 = 16  ⇒  21716 の下二桁

ということです。
これも、こうなっていると下二桁同士の掛け算をするときに簡単だろうと考えたわけです。

それで、どういう二桁掛け算がそうなるのか、というと「クロス掛け算」でいうところの 
クロスが10の倍数の場合です。

すなわち、計算式の 内側の数同士の積 + 外側の数同士の積 これが10の倍数
なっていた場合、下一桁同士の積が その計算の積の下二桁になります。

 22×78 = (2×7+2×8)×10 + 20×70 + 2×8
       = 30 × 10 + 1400 + 16
          ↑10の倍数
       = 300 + 1400 + 16
       = 1716

ということで、この2つの条件を満たしていれば、100との差分を使って計算する方法
練習問題としては、計算もしやすく、とっかかりとしては良いだろうと考えたわけです。

そして実際その条件に当てはまる式を絞り込んだところ、

 122 × 178 = 21716
 124 × 176 = 21824
 126 × 174 = 21924
 128 × 172 = 22016
この4つが綺麗に並んだんです。うーむ。。。

下二桁を足すと合計が 100 になるというのは 101×199 から 150×150 まで、
前後を逆にする場合をカウントしないとすると、50 通りあります。
 
そのうち、クロスが10の倍数になるというのは、この2つ飛びの4通りと、110×190
などのそもそも10の倍数の計算、これ以外にありませんでした。

 110 × 190 = 20900
 120 × 180 = 21600
 122 × 178 = 21716
 124 × 176 = 21824
 126 × 174 = 21924
 128 × 172 = 22016

 130 × 170 = 22100
 140 × 160 = 22400
 150 × 150 = 22500
 
この条件を満たす式が、120台の掛け算に集中しており、かつ二つ飛び、
というのが何かやたら不思議に思えました。
そもそも、クロスの計算の仕方など、それぞれバラバラに見えます。

 22×78 → 2×7 + 8×2 = 14 + 16 = 30
 24×76 → 4×7 + 6×2 = 28 + 12 = 40
 26×74 → 6×7 + 4×2 = 42 +  8 = 50
 28×72 → 8×7 + 2×2 = 56 +  4 = 60

しかし、すべて綺麗に10の倍数になります。
どこで、どうやって調整されるのだろう? という感じです。

この様な条件を満たす式が、120台のみ、しかも偶数の場合だけなのは、何故なのか?
考えるのは止めようと思いましたが、やっぱり、考えてしまいました。

  

上記の条件を満たす下二桁同士の掛け算、すなわち2桁の数同士の掛け算を考えます。

上記の条件とは 
  掛けられる数と掛ける掛ける数の合計が100 であることと、
  両者の内側の数同士の積と外側の数同士の積の和 が10 の倍数であること
です。

そこで、掛けられる数と掛ける数を入れ替えれば同じ計算とみなすので、

掛けられる数 を 50 以下の整数とし、10a+b とします。
ここで、 a は 0 から 4 までの整数 または 5 とし、
 b は a が 4 以下の場合、0 から 9 までの整数、
     a が 5 の場合、0 とします。

掛ける数と掛けられる数は合計すると 100 であることから、
掛けられる数は 10(9-a)+10-b と表わすことが出来る。

よって、 (10a+b)×(10(9-a)+10-b) という計算において、
下二桁同士の積 ×(10-b)がそのまま全体の積の下二桁になるためには、

 ×(9-a)+ ×(10-b) が 10の倍数となれば良い。
 
この数をCと置き、展開すると

 C = b×(9-a)+ a×(10-b)
   = 9b - ab + 10a - ab
   = 10a + 9b - 2ab
   = 10a + b(9-2a)

ここで、10a は 10の倍数 であることより

b×(9-2a) が 0 または、10の倍数であれば、C は 10の倍数

ここで場合分けを行う

(1)b×(9-2a) が 0 であるとき
   9-2a は 0 たりえないので、b=0
   よって b=0 の時 C は10の倍数 ・・・(1)

(2)b×(9-2a) が 0 でないとき

  10の倍数 は 9 以下の整数によって、
  5×(偶数) または (偶数)×5 と表わせるから、

      b=5  かつ 9-2a が 偶数、
  または、
      bが偶数 かつ 9-2a = 5 であること

  が C が10の倍数であることの条件。

ここで、9-2a は奇数であることから、前者の条件は成立せず、
b が 5 の場合、Cは10の倍数とはならない。

また、後者の条件より、b は 偶数たりえる一方、
     9-2a=5 より
       2a=4
       a=2
よって、b が偶数 かつ a=2 のとき C は10の倍数・・・(2)

(1)、(2)を 総合し、この条件を満たす掛けられる数 10a+b とは

 bが0の場合、a は 0 から 4 までの整数 または b=0 の場合 5 より
  10a+b → 0、10、20、30、40、50

 bが偶数の場合、a は 2 に限定され、
  10a+b → 22、24、26、28

よって、求められる計算式は

 10 × 90 =  900
 20 × 80 = 1600
 22 × 78 = 1716
 24 × 76 = 1824
 26 × 74 = 1924
 28 × 72 = 2016

 30 × 70 = 2100
 40 × 60 = 2400
 50 × 50 = 2500

以上、9通り。

  

こういう風に計算すると、きちんと 20台の数の偶数 という形は出てくるんですね。
自分でも、「ふぅーん。。。」と思った次第でした。

ただ、最初に感じた「不思議感」はあまり解消されませんね。
良く分からないけれども、そういうものか、と受け入れる以外ないですね。

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不思議な感覚のする掛け算

2012-05-08 00:00:00 | ディフ掛け算
100との差分を利用する計算法のための練習問題です。

次の4つの掛け算ですが、何となく規則的に並んでいる感じです。
(答えは白文字表示してあります。)


 122 × 178 = 21716

 124 × 176 = 21824

 126 × 174 = 21924

 128 × 172 = 22016


これを暗算してみると、何となく不思議に感じると思います。

100台同士の掛け算の式の中から、練習問題として良いと思われるある条件を考え、
絞り込んでみたのですが、たまたま 2つ飛びで4つ並びました。

前後を入れ替えたものを別とすると、その条件に該当する式は、他にはないんです。
これ、何故そうなったのか、考えるとまた深みにハマりそうです。


あと、問題としては、このあたり。。

 151 × 199 = 30049

 152 × 198 = 30096
  
 165 × 185 = 30525

 172 × 178 = 30621

(下二桁同士の掛け算に速算法を使えるパターンです。)

 121 × 179 = 21659

 112 × 188 = 21056

(豪快な繰り上がりがないパターン)


以上、計算練習してみて下さい。

下の方(↓)に、答えを再掲示致します。

 





























 問題と答え

 122 × 178 = 21716

 124 × 176 = 21824

 126 × 174 = 21924

 128 × 172 = 22016

 151 × 199 = 30049

 152 × 198 = 30096
  
 165 × 185 = 30525

 172 × 178 = 30621

 
   

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少し頑張れば出来る! 100台の数同士の暗算

2012-05-07 00:00:00 | ディフ掛け算
ここで、差分による計算法をつかって、100以上の数の2乗 並びに 100台同士の数の掛け算 
を具体的に考えてみます。

方法としては、もちろん、100との差分 をとって考えてます。

先ず、2乗の方から考えます。

例は 124 × 124

差分をとって考えれば、

   (100+24+24)×100 + 24×24
  = 148×100 + 576
  = 15376

となります。4つの四角形で表わしてみましょう。



この図でも判ります通り、124 の 2乗 と 24 の 2乗 は下二桁が同じですよね。
先に3つの四角形の合計 (10000+2400+2400) を出したら、あと、576 を足すわけですが、
桁同士がぶつかって実際に足し算をするのは100の位(または1000の位)です。

つまり、148 に 5 を足す計算を考えれば良いわけです。

意外と、簡単でしょう。

  

さらに、100台同士の数の掛け算一般を考えます。
別に、変わったところはありません。



例は 131 × 123 ですが、

この場合、31 × 23 を 最初に計算しておいた方がいいでしょう。これを先にやって、ちょっと覚えておく。

あとは、131 に 23 を足して 100倍 すなわち 15400 を考えて、覚えておいた 713 を足す。

答えは 16113


あるいは、147 × 168 でしたら

まず、 ×  を考えて。。。 
       
      7×6 + 4×8 =42+32=74 内側同士外側同士、それぞれ掛けて足す
      74×10=740        それを10倍する
      2400+740=3140    それに10の位同士の積を足す
      3140+56 = 3196   それに1の位同士の積を足す
 
  3196 これを覚えておいて。。。

147+68 = 215  ⇒ 21500

 これに 3196 を 位どりに注意しながら足す

   21500
    3196
   24696   答えは 24696

少し、集中力と注意力が要りますが、やってやれない計算ではありませんね。

 

この計算法になれるための方法が一つあります。

それは、101×101、102×102、103×103。。。と順に暗算して行くのです。

最初は簡単なんですよ。。。

 101×101 =  10201  (10200 +  1)
 102×102 =  10404  (10400 +  4)
 103×103 =  10609  (10600 +  9)
 104×104 =  10816  (10800 + 16)
 105×105 =  11025  (11000 + 25)
 106×106 =  11236  (11200 + 36)
 107×107 =  11449  (11400 + 49)
 108×108 =  11664  (11600 + 64)
 109×109 =  11881  (11800 + 81)

  楽勝です。

しかし、だんだん、最後の2乗の足し算のところで100の位への繰り上がりが起きてきます。
最初は1だけですが、

 111×111 =  1221  (12200 + 121)
 112×112 =  1244  (12400 + 144)
 113×113 =  1269  (12600 + 169)
 114×114 =  1296  (12800 + 196)

次第に、繰り上がる数も増えます。

 115×115 =  13225  (13000 + 225)
 116×116 =  13456  (13200 + 256)
 117×117 =  13689  (13400 + 289)
 118×118 =  13924  (13600 + 324)
 119×119 =  14161  (13800 + 361)
 120×120 =  14400  (14000 + 400)
 121×121 =  14641  (14200 + 441)
 。。。。
             
さらには万の位にも繰り上がり

 141×141 =  19881  (18200 +  1681)
 142×142 =  20164  (18400 +  1764)
 143×143 =  20449  (18600 +  1849)
 。。。。 

後半、終盤はかなりきつくなりますね。

 182×182 =  33124  (26400 +  6724)
 183×183 =  33489  (26600 +  6889)
 184×184 =  33856  (26800 +  7056)
 。。。。

最後はこうなります。

 198×198 =  39204  (29600 +  9604)
 199×199 =  39601  (29800 +  9801)
 200×200 =  40000  (30000 + 10000)

これを自分なりにきつくなるところ、「もういいや」というところまで暗算してみます。
計算方法自体にはなれるでしょう。
私は半分位まで行くとかなり考えるなぁ。。という感じになります。

ただ、曲がりなりとも3桁同士の掛け算を暗算でやるわけですから、
今までやったことのない人でしたら「プチ凄いな」感は得られます。

  
では、以上を踏まえ、以下の計算を暗算してみて下さい。
(答えは白色文字で書いてあります。色を反転させて確認が出来ます。)

 135 × 165 = 22275 

 142 × 158 = 22436

あっと思った方、この計算法が判った方です。

 
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差分による計算法(2)

2012-05-06 00:00:00 | ディフ掛け算
差分による計算法に関する補足として、基準の数字が掛け算をする数より大きい時、
この計算法を4つの四角形で表わすとどうなるか、ということを考えます。

例えば 94 × 97 の場合、



上記の様に差分の(-6)と(-3)を四角形の1辺としてそのままあてがいます。

図としては、マイナスの長さ、あるいは、マイナスの面積、という形になり、その実態は何?と
考えると良く判りませんし、子供に説明しようとしても難しい。

但し、イメージとしてはこの様な計算しても問題は無いですよね。

それで、基準の数で3つの項をくくれます、という部分、下図のように並べ変えると良く分かります。



  100×100+100×(-6)+100×(-3) は ひとまとめにして
 (100-6-3)×100 すなわち 91 × 100 になります

ということでした。あとは 18 を足せばよいということになります。

 

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差分による計算法(1)

2012-05-05 00:00:00 | ディフ掛け算
2乗の計算法の2番目として、一の位の数を 片方から片方へ移動させ、移動した分の2乗を加える、
という方法を紹介いたしました。

例えば 34×34 なら
 1の位の数 4 を右から左に移動し、その2乗を足す。

   34 × 34 = 38 × 30 + 4×4
     ←4←
     移動!           +移動した分の2乗!
           = 1146 + 16 
           = 1156

これで計算が出来てしまう、ということでした。
さて、これを2乗計算以外の計算にも適用することを考えます。

その場合、単純に一の位の数を移動させて、移動量の2乗と加える、という計算は出来ません。
少し考察を深めましょう。

  移動砲、万能ならず。。。  ならば拡散移動砲? 違います。


この1の位の数を移動させるという計算法のポイントは、2桁の掛け算を4つの四角形で考えた場合の
3つの項を一つの数字でくくる ということでした。
いわゆる「分配法則」をつかって、3つの項をひとまとめにしているので、計算が楽になるのです。

実は、10の位の数 が同じ数同士の掛け算の場合、その10の位の数を使って「分配法則」が使えます。

例えば 62× 63 の例を考えます。

ここで 60 という数字に注目し 62 と 63 という数字が、
60 に対してどれだけ差があるのか、という点でとらえます。

それぞれ 62 は 60 に対し +2 の差分があるので 60+2、
     63 は 60 に対し +3 の差分があるので 60+3
     (ちょっと、考え方として慣れて下さい)

すると、 

 62×63 = (60+2)×(60+3)  
       = 60×60 + 2×60 + 60×3 + 2×3
       = (60+2+3)×60 + 2×3 ・・・式1
       = 65×60 + 6
       =  3900 + 6
       =  3906 

こう表現出来ます。

最後に足し算する部分は 2乗の計算の場合「移動量の2乗」ということでしたが、
この場合は「差分同士の積」となるわけです。

ここで、最初の 62×63 という式から 式1 の形まで直接もっていければ、
計算はより容易になりそうです。

そのための一般的な式の見方が以下の通りです。

       62 × 63 =  (60+2+3) ×  60 + (+2)×(+3
  60:  +2   +3
  基準  差分   差分  (基準+差分1+差分2)× 基準 +  差分1×差分2 

先ずは、基準の数(60)を考え、
その基準の数に対する、掛け算する数の差分をそれぞれ出します。(+2と+3)

あとは、式の通り、
基準と二つの差分を足して、基準をかけ、それに差分同士を掛けたものを足す
これで良いわけです。

その他計算例: 46×43 = (40+6+3)×40 + 6×3
              = 49×40 + 18
              = 1960 + 18
              = 1978

ここで、頭の体操に近いですが、理解を深めるための考察をします。
実は、この基準の数というものは、必ず10の位の数にしなければならないということではありません。
例えば最初の計算の場合、基準を 61 としても良いのです。良いというか、計算間違いにはなりません。
要は、差分がきちんと取れ、その後の計算も正しければ、最終的に同じ答えが出ます。

       62 × 63 =  (61+1+2) ×  61 + (+1)×(+2)
  61:  +1   +2
  基準   差分   差分 
               = 64 × 61 + 2
               = 3904 + 2
               = 3906

しかし、ごらんの通り、計算は全く簡素化されません。もちろん、
わざわざこういう計算をする意味はありませんが、基準を決め、
差分を二項に対しとって計算するという仕組みを理解するため、一度確認をしておいて下さい。

では、次の計算例、基準の数 を 掛け算する数よりも大きい数でとった場合について考えます。

例として 68×67 を考えますが、基準は 70 とします。

       68 × 67 =  (70-2-3) ×  70 + (-2)×(-3
  70:  -2   -3
  基準  差分   差分  (基準+差分1+差分2)× 基準 +  差分1×差分2
               = 65 × 70 + 6
               = 4550 + 6
               = 4556

差分がマイナスになりましたが、丁寧に式にあてはめれば、当然計算としても正しくなります。
最後、差分同士の掛け算の部分では、マイナス同士の掛け算となっており、結局足し算になっています。
計算自体も簡素化されたのではないでしょうか。

では、次に、72×69 などの例ではどうでしょうか? 10の位の数は異なります。
ここで、基準を 70 とします。差分にプラスマイナス両方出るものの、分配法則を使うことはもちろん可能です。 

       72 × 69 =  (70+2-1) ×  70 + (+2)×(-1
  70:  +2   -1
               = 71 × 70 + 2 ×(-1)
               = 4970 - 2
               = 4968

この場合、一方の差分はプラス、もう一方はマイナスですので、最後に引き算をする形となります。
これも場合によっては、クロス掛け算 を行うよりも速いかも知れません。
計算が速くなるケースというのは、必ずしも10の位の数が同じである必要はなく、
2数が 10の倍数のような 基準の数字に近く、さらに2数同士もお互い近ければ良い、ということになります。

ここで、以前紹介した「かかし掛け算」について、この「差分による計算」という点から見てみます。
例えば、73×79 という計算については、基準は中間の 76 で取り、開き(=差分)は 3 ということになります。

       73 × 79 =  (76-3+3) ×  76 + (-3)×(+3
  76:  -3   +3
               = 76 × 76 + (-3) × 3
               = 5776 - 9
               = 5767

最初の基準の数をかける部分は、差分同士が相殺されて、結局 基準の数の2乗 すなわち 中間の数の2乗 になります。
その後、差分同士の掛け算になりますが、片方が正で片方が負となりますので、すなわち2乗を引くということになります。

  

最後に、二桁掛け算の範囲で、この差分の掛け算が最も使い出がある場合を紹介します。
これまでの内容は忘れてしまっても、むしろここだけは押さえたいです。
それは、100に近い数同士の掛け算です。すなわち基準が100になる場合です。
分配法則でくくる部分が ×100 となるので、あとの差分同士の積の足し算は、
その積の結果をそのまま下二桁の数に出来るのです。

       97 × 94 =  (100-3-6) ×  100 + (-3)×(-6
 100:  -3   -6
               = 91 × 100 + (-3) ×(-6)
               = 9100 +18
               = 9118

これは、速算法 ですね。是非、慣れましょう。

 

ちなみに、息子にこの掛け算の方法を教える時、「ディフ掛け算」と呼びました。
差分⇒ディファレンス だからです。

「ディフ掛け算」は124×102 などという掛け算もできます。
126×100+24×2 で 12648 です。

12の2乗を暗記している人なら、112の2乗だって出来ちゃいます。12544です。

ちょっだけ凄いですね。

次回、差分による計算法(2) として、補足としてこの計算法を4つの四角形を使って考えます。

 
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