前々回、不思議な感じがする掛け算として例題を挙げました。
この例題ですが、そもそもどのようにして問題を選んだかというと、
１００台同士の掛け算のなかで、
１． 下二桁同士の掛け算の積 が そのまま積の下４桁 になる。
２． かつ、下一桁同士の積 も そのまま下二桁の数 になる。
というものでした。
例えば、例に挙げた １２２ × １７８ なら、
下二桁同士の掛け算 ２２×７８ の積 は １７１６
ですが、これはそのまま
１２２ × １７８ の積の下四桁 になります。
すなわち ２１７１６
これは、掛ける数、掛けられる数の 下二桁の合計 が １００
の場合にその様になります。
２２＋７８＝ １００ 。。。です。
つまり、基準値１００、差分との合計は ２００、これに 基準値 １００ を掛けると
２００００ となります。よってこれに 差分の積 を加える際、
そのまま下四桁にあてることが出来る、ということです。（
。。。）
１２２ × １７８ ＝ （１００＋２２＋７８）×１００ ＋ ２２×７８
＝ ２００ ×１００ ＋ ２２×７８
＝ ２００００ ＋ １７１６
また、「かつ、下一桁同士の積 も そのまま下二桁の数 になる」 というのは、
下一桁同士の積 ２ × ８ ＝ １６ ⇒ ２１７１６ の下二桁
ということです。
これも、こうなっていると下二桁同士の掛け算をするときに簡単だろうと考えたわけです。
それで、どういう二桁掛け算がそうなるのか、というと「クロス掛け算」でいうところの
クロスが１０の倍数の場合です。
すなわち、計算式の 内側の数同士の積 ＋ 外側の数同士の積 これが１０の倍数に
なっていた場合、下一桁同士の積が その計算の積の下二桁になります。
２２×７８ ＝ （２×７＋２×８）×１０ ＋ ２０×７０ ＋ ２×８
＝ ３０ × １０ ＋ １４００ ＋ １６
↑１０の倍数
＝ ３００ ＋ １４００ ＋ １６
＝ １７１６
ということで、この２つの条件を満たしていれば、１００との差分を使って計算する方法の
練習問題としては、計算もしやすく、とっかかりとしては良いだろうと考えたわけです。
そして実際その条件に当てはまる式を絞り込んだところ、
１２２ × １７８ ＝ ２１７１６
１２４ × １７６ ＝ ２１８２４
１２６ × １７４ ＝ ２１９２４
１２８ × １７２ ＝ ２２０１６
この４つが綺麗に並んだんです。うーむ。。。
下二桁を足すと合計が １００ になるというのは １０１×１９９ から １５０×１５０ まで、
前後を逆にする場合をカウントしないとすると、５０ 通りあります。
そのうち、クロスが１０の倍数になるというのは、この２つ飛びの４通りと、１１０×１９０
などのそもそも１０の倍数の計算、これ以外にありませんでした。
１１０ × １９０ ＝ ２０９００
１２０ × １８０ ＝ ２１６００
１２２ × １７８ ＝ ２１７１６
１２４ × １７６ ＝ ２１８２４
１２６ × １７４ ＝ ２１９２４
１２８ × １７２ ＝ ２２０１６
１３０ × １７０ ＝ ２２１００
１４０ × １６０ ＝ ２２４００
１５０ × １５０ ＝ ２２５００
この条件を満たす式が、１２０台の掛け算に集中しており、かつ二つ飛び、
というのが何かやたら不思議に思えました。
そもそも、クロスの計算の仕方など、それぞれバラバラに見えます。
２２×７８ → ２×７ ＋ ８×２ ＝ １４ ＋ １６ ＝ ３０
２４×７６ → ４×７ ＋ ６×２ ＝ ２８ ＋ １２ ＝ ４０
２６×７４ → ６×７ ＋ ４×２ ＝ ４２ ＋ ８ ＝ ５０
２８×７２ → ８×７ ＋ ２×２ ＝ ５６ ＋ ４ ＝ ６０
しかし、すべて綺麗に１０の倍数になります。
どこで、どうやって調整されるのだろう？ という感じです。
この様な条件を満たす式が、１２０台のみ、しかも偶数の場合だけなのは、何故なのか？
考えるのは止めようと思いましたが、やっぱり、考えてしまいました。
上記の条件を満たす下二桁同士の掛け算、すなわち２桁の数同士の掛け算を考えます。
上記の条件とは
掛けられる数と掛ける掛ける数の合計が１００ であることと、
両者の内側の数同士の積と外側の数同士の積の和 が１０ の倍数であること
です。
そこで、掛けられる数と掛ける数を入れ替えれば同じ計算とみなすので、
掛けられる数 を ５０ 以下の整数とし、１０ａ＋ｂ とします。
ここで、 ａ は ０ から ４ までの整数 または ５ とし、
ｂ は ａ が ４ 以下の場合、０ から ９ までの整数、
ａ が ５ の場合、０ とします。
掛ける数と掛けられる数は合計すると １００ であることから、
掛けられる数は １０（９－ａ）＋１０－ｂ と表わすことが出来る。
よって、 （１０ａ＋ｂ）×（１０（９－ａ）＋１０－ｂ） という計算において、
下二桁同士の積 ｂ×（１０－ｂ）がそのまま全体の積の下二桁になるためには、
ｂ×（９－ａ）＋ ａ×（１０－ｂ） が １０の倍数となれば良い。
この数をＣと置き、展開すると
Ｃ ＝ ｂ×（９－ａ）＋ ａ×（１０－ｂ）
＝ ９ｂ － ａｂ ＋ １０ａ － ａｂ
＝ １０ａ ＋ ９ｂ － ２ａｂ
＝ １０ａ ＋ ｂ（９－２ａ）
ここで、１０ａ は １０の倍数 であることより
ｂ×（９－２ａ） が ０ または、１０の倍数であれば、Ｃ は １０の倍数
ここで場合分けを行う
（１）ｂ×（９－２ａ） が ０ であるとき
９－２ａ は ０ たりえないので、ｂ＝０
よって ｂ＝０ の時 Ｃ は１０の倍数 ・・・（１）
（２）ｂ×（９－２ａ） が ０ でないとき
１０の倍数 は ９ 以下の整数によって、
５×（偶数） または （偶数）×５ と表わせるから、
ｂ＝５ かつ ９－２ａ が 偶数、
または、
ｂが偶数 かつ ９－２ａ ＝ ５ であること
が Ｃ が１０の倍数であることの条件。
ここで、９－２ａ は奇数であることから、前者の条件は成立せず、
ｂ が ５ の場合、Ｃは１０の倍数とはならない。
また、後者の条件より、ｂ は 偶数たりえる一方、
９－２ａ＝５ より
２ａ＝４
ａ＝２
よって、ｂ が偶数 かつ ａ＝２ のとき Ｃ は１０の倍数・・・（２）
（１）、（２）を 総合し、この条件を満たす掛けられる数 １０ａ＋ｂ とは
ｂが０の場合、ａ は ０ から ４ までの整数 または ｂ＝０ の場合 ５ より
１０ａ＋ｂ → ０、１０、２０、３０、４０、５０
ｂが偶数の場合、ａ は ２ に限定され、
１０ａ＋ｂ → ２２、２４、２６、２８
よって、求められる計算式は
１０ × ９０ ＝ ９００
２０ × ８０ ＝ １６００
２２ × ７８ ＝ １７１６
２４ × ７６ ＝ １８２４
２６ × ７４ ＝ １９２４
２８ × ７２ ＝ ２０１６
３０ × ７０ ＝ ２１００
４０ × ６０ ＝ ２４００
５０ × ５０ ＝ ２５００
以上、９通り。
こういう風に計算すると、きちんと ２０台の数の偶数 という形は出てくるんですね。
自分でも、「ふぅーん。。。」と思った次第でした。
ただ、最初に感じた「不思議感」はあまり解消されませんね。
良く分からないけれども、そういうものか、と受け入れる以外ないですね。
数学 ブログランキングへ
この例題ですが、そもそもどのようにして問題を選んだかというと、
１００台同士の掛け算のなかで、
１． 下二桁同士の掛け算の積 が そのまま積の下４桁 になる。
２． かつ、下一桁同士の積 も そのまま下二桁の数 になる。
というものでした。
例えば、例に挙げた １２２ × １７８ なら、
下二桁同士の掛け算 ２２×７８ の積 は １７１６
ですが、これはそのまま
１２２ × １７８ の積の下四桁 になります。
すなわち ２１７１６
これは、掛ける数、掛けられる数の 下二桁の合計 が １００
の場合にその様になります。
２２＋７８＝ １００ 。。。です。つまり、基準値１００、差分との合計は ２００、これに 基準値 １００ を掛けると
２００００ となります。よってこれに 差分の積 を加える際、
そのまま下四桁にあてることが出来る、ということです。（
。。。）１２２ × １７８ ＝ （１００＋２２＋７８）×１００ ＋ ２２×７８
＝ ２００ ×１００ ＋ ２２×７８
＝ ２００００ ＋ １７１６
また、「かつ、下一桁同士の積 も そのまま下二桁の数 になる」 というのは、
下一桁同士の積 ２ × ８ ＝ １６ ⇒ ２１７１６ の下二桁
ということです。
これも、こうなっていると下二桁同士の掛け算をするときに簡単だろうと考えたわけです。
それで、どういう二桁掛け算がそうなるのか、というと「クロス掛け算」でいうところの
クロスが１０の倍数の場合です。
すなわち、計算式の 内側の数同士の積 ＋ 外側の数同士の積 これが１０の倍数に
なっていた場合、下一桁同士の積が その計算の積の下二桁になります。
２２×７８ ＝ （２×７＋２×８）×１０ ＋ ２０×７０ ＋ ２×８
＝ ３０ × １０ ＋ １４００ ＋ １６
↑１０の倍数
＝ ３００ ＋ １４００ ＋ １６
＝ １７１６
ということで、この２つの条件を満たしていれば、１００との差分を使って計算する方法の
練習問題としては、計算もしやすく、とっかかりとしては良いだろうと考えたわけです。
そして実際その条件に当てはまる式を絞り込んだところ、
１２２ × １７８ ＝ ２１７１６
１２４ × １７６ ＝ ２１８２４
１２６ × １７４ ＝ ２１９２４
１２８ × １７２ ＝ ２２０１６
この４つが綺麗に並んだんです。うーむ。。。
下二桁を足すと合計が １００ になるというのは １０１×１９９ から １５０×１５０ まで、
前後を逆にする場合をカウントしないとすると、５０ 通りあります。
そのうち、クロスが１０の倍数になるというのは、この２つ飛びの４通りと、１１０×１９０
などのそもそも１０の倍数の計算、これ以外にありませんでした。
１１０ × １９０ ＝ ２０９００
１２０ × １８０ ＝ ２１６００
１２２ × １７８ ＝ ２１７１６
１２４ × １７６ ＝ ２１８２４
１２６ × １７４ ＝ ２１９２４
１２８ × １７２ ＝ ２２０１６
１３０ × １７０ ＝ ２２１００
１４０ × １６０ ＝ ２２４００
１５０ × １５０ ＝ ２２５００
この条件を満たす式が、１２０台の掛け算に集中しており、かつ二つ飛び、
というのが何かやたら不思議に思えました。
そもそも、クロスの計算の仕方など、それぞれバラバラに見えます。
２２×７８ → ２×７ ＋ ８×２ ＝ １４ ＋ １６ ＝ ３０
２４×７６ → ４×７ ＋ ６×２ ＝ ２８ ＋ １２ ＝ ４０
２６×７４ → ６×７ ＋ ４×２ ＝ ４２ ＋ ８ ＝ ５０
２８×７２ → ８×７ ＋ ２×２ ＝ ５６ ＋ ４ ＝ ６０
しかし、すべて綺麗に１０の倍数になります。
どこで、どうやって調整されるのだろう？ という感じです。
この様な条件を満たす式が、１２０台のみ、しかも偶数の場合だけなのは、何故なのか？
考えるのは止めようと思いましたが、やっぱり、考えてしまいました。
上記の条件を満たす下二桁同士の掛け算、すなわち２桁の数同士の掛け算を考えます。
上記の条件とは
掛けられる数と掛ける掛ける数の合計が１００ であることと、
両者の内側の数同士の積と外側の数同士の積の和 が１０ の倍数であること
です。
そこで、掛けられる数と掛ける数を入れ替えれば同じ計算とみなすので、
掛けられる数 を ５０ 以下の整数とし、１０ａ＋ｂ とします。
ここで、 ａ は ０ から ４ までの整数 または ５ とし、
ｂ は ａ が ４ 以下の場合、０ から ９ までの整数、
ａ が ５ の場合、０ とします。
掛ける数と掛けられる数は合計すると １００ であることから、
掛けられる数は １０（９－ａ）＋１０－ｂ と表わすことが出来る。
よって、 （１０ａ＋ｂ）×（１０（９－ａ）＋１０－ｂ） という計算において、
下二桁同士の積 ｂ×（１０－ｂ）がそのまま全体の積の下二桁になるためには、
ｂ×（９－ａ）＋ ａ×（１０－ｂ） が １０の倍数となれば良い。
この数をＣと置き、展開すると
Ｃ ＝ ｂ×（９－ａ）＋ ａ×（１０－ｂ）
＝ ９ｂ － ａｂ ＋ １０ａ － ａｂ
＝ １０ａ ＋ ９ｂ － ２ａｂ
＝ １０ａ ＋ ｂ（９－２ａ）
ここで、１０ａ は １０の倍数 であることより
ｂ×（９－２ａ） が ０ または、１０の倍数であれば、Ｃ は １０の倍数
ここで場合分けを行う
（１）ｂ×（９－２ａ） が ０ であるとき
９－２ａ は ０ たりえないので、ｂ＝０
よって ｂ＝０ の時 Ｃ は１０の倍数 ・・・（１）
（２）ｂ×（９－２ａ） が ０ でないとき
１０の倍数 は ９ 以下の整数によって、
５×（偶数） または （偶数）×５ と表わせるから、
ｂ＝５ かつ ９－２ａ が 偶数、
または、
ｂが偶数 かつ ９－２ａ ＝ ５ であること
が Ｃ が１０の倍数であることの条件。
ここで、９－２ａ は奇数であることから、前者の条件は成立せず、
ｂ が ５ の場合、Ｃは１０の倍数とはならない。
また、後者の条件より、ｂ は 偶数たりえる一方、
９－２ａ＝５ より
２ａ＝４
ａ＝２
よって、ｂ が偶数 かつ ａ＝２ のとき Ｃ は１０の倍数・・・（２）
（１）、（２）を 総合し、この条件を満たす掛けられる数 １０ａ＋ｂ とは
ｂが０の場合、ａ は ０ から ４ までの整数 または ｂ＝０ の場合 ５ より
１０ａ＋ｂ → ０、１０、２０、３０、４０、５０
ｂが偶数の場合、ａ は ２ に限定され、
１０ａ＋ｂ → ２２、２４、２６、２８
よって、求められる計算式は
１０ × ９０ ＝ ９００
２０ × ８０ ＝ １６００
２２ × ７８ ＝ １７１６
２４ × ７６ ＝ １８２４
２６ × ７４ ＝ １９２４
２８ × ７２ ＝ ２０１６
３０ × ７０ ＝ ２１００
４０ × ６０ ＝ ２４００
５０ × ５０ ＝ ２５００
以上、９通り。
こういう風に計算すると、きちんと ２０台の数の偶数 という形は出てくるんですね。
自分でも、「ふぅーん。。。」と思った次第でした。
ただ、最初に感じた「不思議感」はあまり解消されませんね。
良く分からないけれども、そういうものか、と受け入れる以外ないですね。
数学 ブログランキングへ
