ねこ掛け算のブログ

そろばん暗算は出来ないな、という人たちのための掛け算暗算法
2桁・3桁同士から、そこまでやるかの4桁超までご紹介

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ねこ掛け算(三桁掛け算暗算法)

2012-05-16 08:47:13 | 3桁 ねこ掛け算


「ねこ掛け算」は投網暗算法と 考え方は全くおなじです。
線の引き方のイメージを下図のようにネコの顔になぞらえます。



 計算式に「ねこ」のイメージを重ねて、

    「かお」の合計 を100倍する。
 それに「左耳」の合計 の1000倍を足す、
 それに「右耳」の合計 の10倍を足す、
 それに「右ひげ」を足し、
 最後に「左ひげ」の10000倍を足す。

こうやって計算します。
まずはしっかりと「ネコの顔」と各倍率を覚える(もしくは理解する)ことが大事ですが、
それが頭に入れば、「投網暗算法」と同じく横に並んだ式を見ながら計算することが
出来ると思います。

要は、「百の投網」や「千の投網」がネコの「かお」になったり「左みみ」になったりしただけですね。

子供はマスターし、数のあまり大きくない、200前後までの掛け算でしたら
暗算出来るようになりました。
多少、教え込むのには工夫と時間が要りましたが、利発なお子さんなら
絵を見ただけでのみこまれるのではないでしょうか。

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4桁を超える掛け算暗算法 <<投網暗算法>>

2012-05-15 00:02:48 | 4桁超 投網暗算法

さて、「投網暗算法」 の説明です。

この方法で丁寧に計算していけば、4桁以上の数字同士の掛け算の暗算が可能です。

ただ、計算が計算だけにそれなりの手順は踏みますし、集中力も必要となります。
「ぱっと出来てしまう」という速算法とは異なりますのでご注意ください。

但し、「思ったより簡単だった」ぐらいには感じると思います。
また、「凄く頭の体操になった」とも感じると思います。

では、例題は 1234 × 5678 としましょう

  適当。。。?
  。。。 いや、でもちょっと考えました。数字が全て違う方が良いと思ったのです。

それで、これをどうやって計算していくのでしょうか。

基本は、2桁掛け算の際に4つの四角形を使った考え方、これと全く同じです。
つまり、今回、4桁同士の掛け算となりますので、四角形で言うと 4×4 で
16個の四角形を考えることになります。



見るからに大変そうです。本当にやるんでしょうか。

計算としては、16の四角形を合計するわけですから、

  1234× 5678 
= 1000×5000 + 200×5000 + 30×5000 + 4×5000
 + 1000×600 + 200×600 + 30×600 + 4×600
 + 1000×70 + 200×70 + 30×70 + 4×70 
 + 1000×8 + 200×8 + 30×8 +4×8

ということになります。
なおさら大変そうに見えてきました。

しかし、順序良く小さなステップを踏んでいけば、いつかは必ず答えは出ます。
先に進みましょう。

先ず、この表を判り易く整理します。



数字で書くと桁が多く大変になるので、漢数字を使いました。
また、「5678」の各数字は右側にもってきました。

各コマの数字を 「一桁の九九×10の倍数」で表現すると、
斜めに色分けした駒については、同じ漢数字のグループとなります。
このグループごとに各コマを横に並び変えるとこうなります。



ここで、上記の各組を再度整理します。

 百万の組:  1×5 × 百万
 十万の組: (1×6 + 2×5) × 十万
 万の組: (1×7 + 2×6 + 3×5) × 万
 千の組: (1×8 + 2×7 + 3×6 + 4×5) ×千
 百の組: (2×8 + 3×7 + 4×6) × 百
 十の組: (3×8 + 4×7) × 十
 九九の組:  4×8

となります。だいぶすっきりしました。
実は「投網暗算法」においては、この形で計算を行い、一つ一つ足し上げて行きます。

但し、計算式の中で、どことどこの数字同士を掛け算し、足していくのか、
そして何倍するのか、何回それをやったらいいのか、など 良く整理しないと混乱します。

そこで、投網のイメージをつかって順序良く計算するのです。

 

では、早速暗算の説明に入りたいと思いますが、その前に下準備として紙に下記のように書いて下さい。



左のマス目は、今、計算している組は何なのか、次に計算すべき組は何なのか、
計算した組を何倍すればいいのか、考えるための補助的なものです。
慣れてくれば勿論要らなくなると思います。

マス目の右には計算式そのものを書きます。これは「横書き」です。

この横に並んだ8つの数字を「じぃーっと」にらんで、イメージの中で投網をかけていきます。
投網にかかった数字を一つ一つ丁寧に計算し、合計していきます。

そこで、上記で色分けした組ごとに「投網をかける」のですが、4桁同士の掛け算の場合、
最初は、「千の組」に対して投網をかけます。

「千の組」はこの掛け算のグループでした。


この千の組に対してかける投網を「千の投網」と呼ぶことにしましょう。
(以降、万の投網、百の投網 等も同様です)

さて、「千の投網」とは具体的には以下の通りです。


横に並んだ計算式の各数字を線でつないであります。これを「投網」と称していますが、
つながれた数字はそれぞれ「千の組」の中の各コマの掛け算になっています。

つまり、線でつながれた各数字を掛け算し、合計したのち、千倍することによって、
「千の組」の合計が得られる
わけです。

よって、百の組、万の組等、各組に応じた「投網の掛け方=線のつなぎ方」を理解すれば、
それぞれの組の合計の出し方が判ります


その上で、紙に書いた計算式を見ながらイメージの中で投網をかけ、各組の合計を出し、累計をとる。
この手順を繰り返していくのです。

では、以上踏まえまして、各組の「投網の掛け方」を見ながら、暗算の手順を説明します。

 

 << 投網暗算法 ステップ解説 >>

ステップ1: 千の投網を作り、千の組の合計を出す。

先ず、千の投網を作り、千の組の合計を出します。


千の投網は上図のように、各数字を外側から1組ずつつなげていけば完成です。
先ずは、ぱぁーっと景気良く全ての数字に投網を掛けるわけです。

投網をイメージとしてかけることが出来たなら、次は計算です。
線でつないだ各数字を掛け算して、合計します。
そして、「千の投網」ですので、1000倍します。

ここで、がんばって計算してみてください。

4×5=20、それに 3×6=18 を足して 38、それに 2×7 で 14を足して、52、
最後に 1×8 を足して 60

掛け算の合計は 60、これに ×1000 で、千の組合計は 60000 となります。

この 60000 をしっかり覚え、次に進みます。


ステップ2: 「万の投網」を作り、万の組の合計を出し、累計する。

次は、「万の投網」に移ります。
順番としては、計算の一番面倒なものから片づけていくという考え方です。
だから、「千の組」の次は大きい方の隣に移って「万の投網」を考えるわけです。

「千の投網」以外の投網は、投網の掛け方が、単純に一番外側から一つずつ、
というわけではありません。どうしたら判りやすいでしょか。

これを混乱なく考えるために、知っておくといいことが一つあります。

この、投網の線は「交差しない」のです。

  あ、そういうこと。。。

つまり、内側から外側まで、年輪のように拡がっているということです。

よって、この投網の姿を考えるときには「一番外側の線」を先ず決めれば良いのです。
そこが決まったら、後は一つずつ内側にずらしながら線を引いて(投網をかけて)いくのです。
しかも線を何本引くかは位置関係によって自ずと決まるのです。
慣れれば簡単です。

さて、図を見てみましょう。


上図のように、一番外側の線を決めるときに、左側の千の位の数のところ、
これは固定
します。これが非常に大事です。
この軸足さえ外さなければ、こんがらがることはありません(大袈裟か。。)

そして、右側の線をどこに引けば「万」の数を作れるか考えます。
(これも考え方として重要です。)

千の位に対しては 10倍すれば「万」となりますので、右側の線は10の位のところに入ります。
このようにして、先ず、一番外側の線を固めます。

つまり、先ほどの「千の投網」の一番外側の線の右側を一つ左に「カチッと」スライドさせて
「万の投網」の外側を決める、というイメージで考えて良いでしょう。

同時に投網の横にあるマス目も意識して見て下さい。
どことどこの数字をつなげるか、理解が深まると思います。

一番外側の線が決まったら、次に内側に1つずつずらして線を引きます。

この時は、つないだ線の先数字同士、掛けたら本当に万単位になるのかなんて考える必要はないでしょう。
必ずそうなりますので、ご安心を。機械的に「内側に一本ずらす」 でいいでしょう。
(この「機械的に処理できる」要素が多いほど、計算法としても楽になるのではと考えます。)

「万の投網」の場合、もう一回同じ操作をします。


もう、これ以上、引けません。そこで、「万の投網」が完成、ということになります。



このイメージを保持しつつ、同じ線でつながれた各数字同士を掛け算し、それらを合計、一万倍します。


「万の投網」の計算をすると、
 
  今度は外側から考えて、7の、にろく12で、19の、さんご15ごで 34、か。
  で、一万倍だから34万、さっきの千のやつは、6万だったから、足して 40万。
  うん、ここまでは 40万。意外とキリのいい数字だ。。。


掛け算の合計は 34、一万倍して 34万
先ほどの 千の組の合計の 6万 を思い出して合計し、 40万 とします。


ステップ3: 「百の投網」を作り、百の組の合計を出し、累計する。

次は、小さい側に移って「百の投網」に移ります。
これも、先ず一番外側の線を確定するわけですが、「百の投網」の場合は、
線の右側、右の数の1の位の部分を固定します。
そして、左側は「百の位」に合わせます。これで外側の線が確定です。



次に、一つずつ内側に線を引きます。


「百の投網」の場合も、これ以上引けなくなるところまで続けます。


3本引いたところで「百の投網」の完成です。


このイメージが持てたら、線でつながれた各数字同士の掛け算し、合計します。

 にはち16 の さんしち21 で 37、あと しろく24 で 合計 61 だ。
 百倍して 6100、さっきの 40万 とたして 40万6100 だな。


掛け算の合計は 61、100倍して 6100、
これまでの累計 40万 を加えて 406,100、これを覚えます。


ステップ4: 「十の投網」、「一の投網」で下4桁の数を固める。

続いて「十の投網」を考えます。同様に外側の線は右側を一の位に固定、
左側は左側の数字の十の位とします。「百の投網」から 左側をさらに右へスライドさせて外側の線とします。



同じように内側に一つずつ線をずらし、


完成します。


ここで再び計算します。

 さんぱ24 の ししち28、合わせて 52、×10で 520、
 さっきの数字、何だっけ、そう、40万6,100 だった。 
 これに 520 をたして 40万6620。。。  


掛け算の合計 52、10倍して 520、累計は 406,620 となります。

ここで引き続いて、「一の投網」までやってしまい、一気に小さい数の方は固めてしまいましょう。

一の投網は左右の各数字、下一桁の数字をつなげます。


  しわ32だから 32 をたして 40万6652 だ。。。 

掛け算は 32、 累計は 406,652 となります。

途中経過の数字を記憶しながら、各投網の組の数字を計算するのは大変ですが、
いざ足し算すると桁の重なりがあまりないので意外と簡単に思えると思います。

また、ここで、万の組 から 九九の組(一の組) まで計算がすみました。
つまり、掛け算の答え下5桁までは固まったことになります。
一旦、下5桁を答えとして書いても良いでしょう。

ステップ5: 「十万の投網」、「百万の投網」を使って最終的な答えを計算。

いよいよ大詰めです。「十万の投網」に移ります。
手順はもう同じです。外側の線は左の線の位を固定して考えます。



外側の線から内側へ一本ずらし。。


完成です。


  あともう少し。。6 と にご10、ああ、楽、16 だ。
  で、16十万 だから 160万か。
  何だっけさっきの数字、40万なんたらだな。あ、ぴったりくる。
  200万と6652だ。


掛け算の合計は 16、10万をかけて、160万。
これまでの累計と合計し、2,006,652
 となります。

最後に「百万の投網」です。
今まで計算してきた答えに、ポンと上から大きな数をかぶせます。(この瞬間がいいですよ



  最後、500万だ。合わせて 700万6625 これが答えだ。

掛け算の結果は 5、百万倍して 5百万、これまでの累計と合計し、
7,006,652
 これを得ます。

お疲れ様でした。1234 × 5678 の 答えは 7,006,652 です

途中の記憶はしんどいですが、やってやれないことはない、という感じがします。
計算が進むにつれ、記憶する数字の桁も増えてきますが、逆に投網の計算は楽になっていきます。
これがこの計算法のいいところですね。

いずれにせよ、かなりの頭の体操ですね。

また、この 1234×5678 という問題、途中でキリのいい数字が出てきたりして、
練習としてはいいですね。是非、ご自分でもやってみてください。
あと、 1234 × 1234 もまあまあです。途中経過で楽なところがあります。



次に、桁数が変わる場合の展開方法として、組ごとの投網をかける順番について考えます。

先ず、全ての数字を外側から一字ずつつなげる投網を一番最初に作るということ、
これは基本です。

最初に一番掛け算の数の多いところをかたずける、というこでしたね。
ちなみに3桁同士の掛け算なら「百の投網」、4桁同士ならば「千の投網」、
5桁同士ならば「万の投網」がその対象となります。

その「総当たり」の組をやったあと、次に一つ大きい組、(4桁なら万の組)、
その後、「総当たり」より小さい組(同、百の組)、これを計算します。

ここまでやったら、今度は数の少ない方を1の位までやってしまい、
その後、大きい側に戻って一番数の組に向かって積み上げていく、という形がいいと思います。

各桁の掛け算において良いと考える図が以下の通りです。







 

以上が、「投網暗算法」の説明となります。
ひとつ、このブログの使命を果たしたような気もします。ネタ的には最終的なものに近いでしょう。

4桁、5桁の掛け算を暗算したところで、どんなものかとは思いますが、
かなり頭の体操にはなりますし、何より、2桁掛け算の暗算などちょろく感じるようにはなります。
(感じるだけで、進歩しているかどうかは判りませんが。。)

まだ、一生に一度も4桁の掛け算など暗算したこともない、という方、
是非、一度チャレンジしてみてください。今日は何かの記念日になるかも。

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クロス掛け算 基礎トレーニング

2012-05-11 00:00:00 | クロス掛け算
クロス掛け算 を行う際の手順として、最も計算として複雑なのは実は、最初の「クロス」の計算でした。
ここで、内側同士の積 と 外側同士の積 を足し算します。

≪クロス掛け算≫
 手順1:「内側の数同士をかけたもの」と「外側の数同士をかけたもの」を合計する。
 手順2: これを10倍する。
 手順3: これに、10の位の数字同士をかけたものを100倍し足す。
 手順4: これに、1の位の数字同士をかけたものを足す。 → 答え


そこで、よくよく考えてみると、<<「積」同士>> の足し算ですから、実はパターンが限られています。
要は、九九の答えという決まった数同士の足し算なわけです。
そのパターンの中でも、やや数が大きく、かつ繰り上がりがあり、比較的にちょっと考えるかな、
と思われる組み合わせを抽出しました。
これを下地の訓練としてやっておけば、2桁掛け算の速度も精度も上がるでしょう、というのが狙いです。

まぁ、掛け算そのもので練習するのが一番ですが、抵抗感をなくすために一部こういうものありだろうと考えます。

また、数字が大きくなり、ディフ掛け算 を使った方が速いと考えられる式のケースは除いてあります。

全部で87問です。合計しながら目で追い下って行って何秒でゴール出来るでしょうか。

 ↓ スタート 

 36 + 27 = 63
 28 + 14 = 42
 63 + 18 = 81
 35 + 36 = 71
 49 + 54 = 103
 49 + 24 = 73
 56 + 36 = 92
 63 + 48 = 111
 45 + 16 = 61
 28 + 15 = 43
 64 + 27 = 91
 45 + 28 = 73
 49 + 15 = 64
 45 + 18 = 63
 25 + 36 = 61
 48 + 16 = 64
 45 + 27 = 72
 16 + 18 = 34
 56 + 28 = 84
 27 + 16 = 43
 49 + 27 = 76
 27 + 18 = 45
 48 + 25 = 73
 64 + 28 = 92
 25 + 27 = 52
 48 + 35 = 83
 56 + 16 = 72
 49 + 18 = 67
 24 + 27 = 51
 49 + 48 = 97
 25 + 16 = 41
 15 + 27 = 42
 54 + 18 = 72
 48 + 45 = 93
 49 + 45 = 94
 14 + 18 = 32
 56 + 25 = 81
 48 + 18 = 66
 64 + 48 = 112
 36 + 15 = 51
 56 + 48 = 104
 35 + 16 = 51
 28 + 24 = 52
 49 + 56 = 105
 48 + 28 = 76
 25 + 28 = 53
 28 + 18 = 46
 48 + 15 = 63
 56 + 45 = 101
 54 + 27 = 81
 49 + 42 = 91
 35 + 28 = 63
 49 + 14 = 63
 49 + 36 = 85
 48 + 24 = 72
 49 + 63 = 112
 35 + 27 = 62
 28 + 16 = 44
 36 + 16 = 52
 49 + 16 = 65
 56 + 15 = 71
 49 + 25 = 74
 64 + 18 = 82
 56 + 18 = 74
 49 + 12 = 61
 48 + 27 = 75
 45 + 36 = 81
 15 + 18 = 33
 56 + 27 = 83
 48 + 36 = 84
 49 + 32 = 81
 25 + 18 = 43
 54 + 28 = 82
 28 + 36 = 64
 49 + 35 = 84
 36 + 18 = 54
 35 + 18 = 53
 28 + 27 = 55
 49 + 28 = 77
 56 + 35 = 91
 63 + 28 = 91
 24 + 18 = 42
 27 + 14 = 41
 48 + 14 = 62
 15 + 16 = 31
 64 + 49 = 113
 48 + 54 = 102

 
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不思議な感覚のする掛け算 続き

2012-05-10 00:00:00 | ディフ掛け算
前々回、不思議な感じがする掛け算として例題を挙げました。
この例題ですが、そもそもどのようにして問題を選んだかというと、

100台同士の掛け算のなかで、
 1. 下二桁同士の掛け算の積 が そのまま積の下4桁 になる。
 2. かつ、下一桁同士の積 も そのまま下二桁の数 になる。
というものでした。

例えば、例に挙げた 122 × 178 なら、

 下二桁同士の掛け算 22×78 の積 は 1716
 ですが、これはそのまま
 122 × 178 の積の下四桁 になります。

 すなわち 21716

これは、掛ける数、掛けられる数の 下二桁の合計 が 100 
の場合にその様になります。

   22+78= 100 。。。です。

つまり、基準値100、差分との合計は 200、これに 基準値 100 を掛けると
20000 となります。よってこれに 差分の積 を加える際、
そのまま下四桁にあてることが出来る、ということです。(。。。)

 122 × 178 = (100+22+78)×100 + 22×78
           =  200 ×100 + 22×78
           =  20000    + 1716

また、「かつ、下一桁同士の積 も そのまま下二桁の数 になる」 というのは、

 下一桁同士の積 2 × 8 = 16  ⇒  21716 の下二桁

ということです。
これも、こうなっていると下二桁同士の掛け算をするときに簡単だろうと考えたわけです。

それで、どういう二桁掛け算がそうなるのか、というと「クロス掛け算」でいうところの 
クロスが10の倍数の場合です。

すなわち、計算式の 内側の数同士の積 + 外側の数同士の積 これが10の倍数
なっていた場合、下一桁同士の積が その計算の積の下二桁になります。

 22×78 = (2×7+2×8)×10 + 20×70 + 2×8
       = 30 × 10 + 1400 + 16
          ↑10の倍数
       = 300 + 1400 + 16
       = 1716

ということで、この2つの条件を満たしていれば、100との差分を使って計算する方法
練習問題としては、計算もしやすく、とっかかりとしては良いだろうと考えたわけです。

そして実際その条件に当てはまる式を絞り込んだところ、

 122 × 178 = 21716
 124 × 176 = 21824
 126 × 174 = 21924
 128 × 172 = 22016
この4つが綺麗に並んだんです。うーむ。。。

下二桁を足すと合計が 100 になるというのは 101×199 から 150×150 まで、
前後を逆にする場合をカウントしないとすると、50 通りあります。
 
そのうち、クロスが10の倍数になるというのは、この2つ飛びの4通りと、110×190
などのそもそも10の倍数の計算、これ以外にありませんでした。

 110 × 190 = 20900
 120 × 180 = 21600
 122 × 178 = 21716
 124 × 176 = 21824
 126 × 174 = 21924
 128 × 172 = 22016

 130 × 170 = 22100
 140 × 160 = 22400
 150 × 150 = 22500
 
この条件を満たす式が、120台の掛け算に集中しており、かつ二つ飛び、
というのが何かやたら不思議に思えました。
そもそも、クロスの計算の仕方など、それぞれバラバラに見えます。

 22×78 → 2×7 + 8×2 = 14 + 16 = 30
 24×76 → 4×7 + 6×2 = 28 + 12 = 40
 26×74 → 6×7 + 4×2 = 42 +  8 = 50
 28×72 → 8×7 + 2×2 = 56 +  4 = 60

しかし、すべて綺麗に10の倍数になります。
どこで、どうやって調整されるのだろう? という感じです。

この様な条件を満たす式が、120台のみ、しかも偶数の場合だけなのは、何故なのか?
考えるのは止めようと思いましたが、やっぱり、考えてしまいました。

  

上記の条件を満たす下二桁同士の掛け算、すなわち2桁の数同士の掛け算を考えます。

上記の条件とは 
  掛けられる数と掛ける掛ける数の合計が100 であることと、
  両者の内側の数同士の積と外側の数同士の積の和 が10 の倍数であること
です。

そこで、掛けられる数と掛ける数を入れ替えれば同じ計算とみなすので、

掛けられる数 を 50 以下の整数とし、10a+b とします。
ここで、 a は 0 から 4 までの整数 または 5 とし、
 b は a が 4 以下の場合、0 から 9 までの整数、
     a が 5 の場合、0 とします。

掛ける数と掛けられる数は合計すると 100 であることから、
掛けられる数は 10(9-a)+10-b と表わすことが出来る。

よって、 (10a+b)×(10(9-a)+10-b) という計算において、
下二桁同士の積 ×(10-b)がそのまま全体の積の下二桁になるためには、

 ×(9-a)+ ×(10-b) が 10の倍数となれば良い。
 
この数をCと置き、展開すると

 C = b×(9-a)+ a×(10-b)
   = 9b - ab + 10a - ab
   = 10a + 9b - 2ab
   = 10a + b(9-2a)

ここで、10a は 10の倍数 であることより

b×(9-2a) が 0 または、10の倍数であれば、C は 10の倍数

ここで場合分けを行う

(1)b×(9-2a) が 0 であるとき
   9-2a は 0 たりえないので、b=0
   よって b=0 の時 C は10の倍数 ・・・(1)

(2)b×(9-2a) が 0 でないとき

  10の倍数 は 9 以下の整数によって、
  5×(偶数) または (偶数)×5 と表わせるから、

      b=5  かつ 9-2a が 偶数、
  または、
      bが偶数 かつ 9-2a = 5 であること

  が C が10の倍数であることの条件。

ここで、9-2a は奇数であることから、前者の条件は成立せず、
b が 5 の場合、Cは10の倍数とはならない。

また、後者の条件より、b は 偶数たりえる一方、
     9-2a=5 より
       2a=4
       a=2
よって、b が偶数 かつ a=2 のとき C は10の倍数・・・(2)

(1)、(2)を 総合し、この条件を満たす掛けられる数 10a+b とは

 bが0の場合、a は 0 から 4 までの整数 または b=0 の場合 5 より
  10a+b → 0、10、20、30、40、50

 bが偶数の場合、a は 2 に限定され、
  10a+b → 22、24、26、28

よって、求められる計算式は

 10 × 90 =  900
 20 × 80 = 1600
 22 × 78 = 1716
 24 × 76 = 1824
 26 × 74 = 1924
 28 × 72 = 2016

 30 × 70 = 2100
 40 × 60 = 2400
 50 × 50 = 2500

以上、9通り。

  

こういう風に計算すると、きちんと 20台の数の偶数 という形は出てくるんですね。
自分でも、「ふぅーん。。。」と思った次第でした。

ただ、最初に感じた「不思議感」はあまり解消されませんね。
良く分からないけれども、そういうものか、と受け入れる以外ないですね。

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不思議な感覚のする掛け算

2012-05-08 00:00:00 | ディフ掛け算
100との差分を利用する計算法のための練習問題です。

次の4つの掛け算ですが、何となく規則的に並んでいる感じです。
(答えは白文字表示してあります。)


 122 × 178 = 21716

 124 × 176 = 21824

 126 × 174 = 21924

 128 × 172 = 22016


これを暗算してみると、何となく不思議に感じると思います。

100台同士の掛け算の式の中から、練習問題として良いと思われるある条件を考え、
絞り込んでみたのですが、たまたま 2つ飛びで4つ並びました。

前後を入れ替えたものを別とすると、その条件に該当する式は、他にはないんです。
これ、何故そうなったのか、考えるとまた深みにハマりそうです。


あと、問題としては、このあたり。。

 151 × 199 = 30049

 152 × 198 = 30096
  
 165 × 185 = 30525

 172 × 178 = 30621

(下二桁同士の掛け算に速算法を使えるパターンです。)

 121 × 179 = 21659

 112 × 188 = 21056

(豪快な繰り上がりがないパターン)


以上、計算練習してみて下さい。

下の方(↓)に、答えを再掲示致します。

 





























 問題と答え

 122 × 178 = 21716

 124 × 176 = 21824

 126 × 174 = 21924

 128 × 172 = 22016

 151 × 199 = 30049

 152 × 198 = 30096
  
 165 × 185 = 30525

 172 × 178 = 30621

 
   

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少し頑張れば出来る! 100台の数同士の暗算

2012-05-07 00:00:00 | ディフ掛け算
ここで、差分による計算法をつかって、100以上の数の2乗 並びに 100台同士の数の掛け算 
を具体的に考えてみます。

方法としては、もちろん、100との差分 をとって考えてます。

先ず、2乗の方から考えます。

例は 124 × 124

差分をとって考えれば、

   (100+24+24)×100 + 24×24
  = 148×100 + 576
  = 15376

となります。4つの四角形で表わしてみましょう。



この図でも判ります通り、124 の 2乗 と 24 の 2乗 は下二桁が同じですよね。
先に3つの四角形の合計 (10000+2400+2400) を出したら、あと、576 を足すわけですが、
桁同士がぶつかって実際に足し算をするのは100の位(または1000の位)です。

つまり、148 に 5 を足す計算を考えれば良いわけです。

意外と、簡単でしょう。

  

さらに、100台同士の数の掛け算一般を考えます。
別に、変わったところはありません。



例は 131 × 123 ですが、

この場合、31 × 23 を 最初に計算しておいた方がいいでしょう。これを先にやって、ちょっと覚えておく。

あとは、131 に 23 を足して 100倍 すなわち 15400 を考えて、覚えておいた 713 を足す。

答えは 16113


あるいは、147 × 168 でしたら

まず、 ×  を考えて。。。 
       
      7×6 + 4×8 =42+32=74 内側同士外側同士、それぞれ掛けて足す
      74×10=740        それを10倍する
      2400+740=3140    それに10の位同士の積を足す
      3140+56 = 3196   それに1の位同士の積を足す
 
  3196 これを覚えておいて。。。

147+68 = 215  ⇒ 21500

 これに 3196 を 位どりに注意しながら足す

   21500
    3196
   24696   答えは 24696

少し、集中力と注意力が要りますが、やってやれない計算ではありませんね。

 

この計算法になれるための方法が一つあります。

それは、101×101、102×102、103×103。。。と順に暗算して行くのです。

最初は簡単なんですよ。。。

 101×101 =  10201  (10200 +  1)
 102×102 =  10404  (10400 +  4)
 103×103 =  10609  (10600 +  9)
 104×104 =  10816  (10800 + 16)
 105×105 =  11025  (11000 + 25)
 106×106 =  11236  (11200 + 36)
 107×107 =  11449  (11400 + 49)
 108×108 =  11664  (11600 + 64)
 109×109 =  11881  (11800 + 81)

  楽勝です。

しかし、だんだん、最後の2乗の足し算のところで100の位への繰り上がりが起きてきます。
最初は1だけですが、

 111×111 =  1221  (12200 + 121)
 112×112 =  1244  (12400 + 144)
 113×113 =  1269  (12600 + 169)
 114×114 =  1296  (12800 + 196)

次第に、繰り上がる数も増えます。

 115×115 =  13225  (13000 + 225)
 116×116 =  13456  (13200 + 256)
 117×117 =  13689  (13400 + 289)
 118×118 =  13924  (13600 + 324)
 119×119 =  14161  (13800 + 361)
 120×120 =  14400  (14000 + 400)
 121×121 =  14641  (14200 + 441)
 。。。。
             
さらには万の位にも繰り上がり

 141×141 =  19881  (18200 +  1681)
 142×142 =  20164  (18400 +  1764)
 143×143 =  20449  (18600 +  1849)
 。。。。 

後半、終盤はかなりきつくなりますね。

 182×182 =  33124  (26400 +  6724)
 183×183 =  33489  (26600 +  6889)
 184×184 =  33856  (26800 +  7056)
 。。。。

最後はこうなります。

 198×198 =  39204  (29600 +  9604)
 199×199 =  39601  (29800 +  9801)
 200×200 =  40000  (30000 + 10000)

これを自分なりにきつくなるところ、「もういいや」というところまで暗算してみます。
計算方法自体にはなれるでしょう。
私は半分位まで行くとかなり考えるなぁ。。という感じになります。

ただ、曲がりなりとも3桁同士の掛け算を暗算でやるわけですから、
今までやったことのない人でしたら「プチ凄いな」感は得られます。

  
では、以上を踏まえ、以下の計算を暗算してみて下さい。
(答えは白色文字で書いてあります。色を反転させて確認が出来ます。)

 135 × 165 = 22275 

 142 × 158 = 22436

あっと思った方、この計算法が判った方です。

 
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差分による計算法(2)

2012-05-06 00:00:00 | ディフ掛け算
差分による計算法に関する補足として、基準の数字が掛け算をする数より大きい時、
この計算法を4つの四角形で表わすとどうなるか、ということを考えます。

例えば 94 × 97 の場合、



上記の様に差分の(-6)と(-3)を四角形の1辺としてそのままあてがいます。

図としては、マイナスの長さ、あるいは、マイナスの面積、という形になり、その実態は何?と
考えると良く判りませんし、子供に説明しようとしても難しい。

但し、イメージとしてはこの様な計算しても問題は無いですよね。

それで、基準の数で3つの項をくくれます、という部分、下図のように並べ変えると良く分かります。



  100×100+100×(-6)+100×(-3) は ひとまとめにして
 (100-6-3)×100 すなわち 91 × 100 になります

ということでした。あとは 18 を足せばよいということになります。

 

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差分による計算法(1)

2012-05-05 00:00:00 | ディフ掛け算
2乗の計算法の2番目として、一の位の数を 片方から片方へ移動させ、移動した分の2乗を加える、
という方法を紹介いたしました。

例えば 34×34 なら
 1の位の数 4 を右から左に移動し、その2乗を足す。

   34 × 34 = 38 × 30 + 4×4
     ←4←
     移動!           +移動した分の2乗!
           = 1146 + 16 
           = 1156

これで計算が出来てしまう、ということでした。
さて、これを2乗計算以外の計算にも適用することを考えます。

その場合、単純に一の位の数を移動させて、移動量の2乗と加える、という計算は出来ません。
少し考察を深めましょう。

  移動砲、万能ならず。。。  ならば拡散移動砲? 違います。


この1の位の数を移動させるという計算法のポイントは、2桁の掛け算を4つの四角形で考えた場合の
3つの項を一つの数字でくくる ということでした。
いわゆる「分配法則」をつかって、3つの項をひとまとめにしているので、計算が楽になるのです。

実は、10の位の数 が同じ数同士の掛け算の場合、その10の位の数を使って「分配法則」が使えます。

例えば 62× 63 の例を考えます。

ここで 60 という数字に注目し 62 と 63 という数字が、
60 に対してどれだけ差があるのか、という点でとらえます。

それぞれ 62 は 60 に対し +2 の差分があるので 60+2、
     63 は 60 に対し +3 の差分があるので 60+3
     (ちょっと、考え方として慣れて下さい)

すると、 

 62×63 = (60+2)×(60+3)  
       = 60×60 + 2×60 + 60×3 + 2×3
       = (60+2+3)×60 + 2×3 ・・・式1
       = 65×60 + 6
       =  3900 + 6
       =  3906 

こう表現出来ます。

最後に足し算する部分は 2乗の計算の場合「移動量の2乗」ということでしたが、
この場合は「差分同士の積」となるわけです。

ここで、最初の 62×63 という式から 式1 の形まで直接もっていければ、
計算はより容易になりそうです。

そのための一般的な式の見方が以下の通りです。

       62 × 63 =  (60+2+3) ×  60 + (+2)×(+3
  60:  +2   +3
  基準  差分   差分  (基準+差分1+差分2)× 基準 +  差分1×差分2 

先ずは、基準の数(60)を考え、
その基準の数に対する、掛け算する数の差分をそれぞれ出します。(+2と+3)

あとは、式の通り、
基準と二つの差分を足して、基準をかけ、それに差分同士を掛けたものを足す
これで良いわけです。

その他計算例: 46×43 = (40+6+3)×40 + 6×3
              = 49×40 + 18
              = 1960 + 18
              = 1978

ここで、頭の体操に近いですが、理解を深めるための考察をします。
実は、この基準の数というものは、必ず10の位の数にしなければならないということではありません。
例えば最初の計算の場合、基準を 61 としても良いのです。良いというか、計算間違いにはなりません。
要は、差分がきちんと取れ、その後の計算も正しければ、最終的に同じ答えが出ます。

       62 × 63 =  (61+1+2) ×  61 + (+1)×(+2)
  61:  +1   +2
  基準   差分   差分 
               = 64 × 61 + 2
               = 3904 + 2
               = 3906

しかし、ごらんの通り、計算は全く簡素化されません。もちろん、
わざわざこういう計算をする意味はありませんが、基準を決め、
差分を二項に対しとって計算するという仕組みを理解するため、一度確認をしておいて下さい。

では、次の計算例、基準の数 を 掛け算する数よりも大きい数でとった場合について考えます。

例として 68×67 を考えますが、基準は 70 とします。

       68 × 67 =  (70-2-3) ×  70 + (-2)×(-3
  70:  -2   -3
  基準  差分   差分  (基準+差分1+差分2)× 基準 +  差分1×差分2
               = 65 × 70 + 6
               = 4550 + 6
               = 4556

差分がマイナスになりましたが、丁寧に式にあてはめれば、当然計算としても正しくなります。
最後、差分同士の掛け算の部分では、マイナス同士の掛け算となっており、結局足し算になっています。
計算自体も簡素化されたのではないでしょうか。

では、次に、72×69 などの例ではどうでしょうか? 10の位の数は異なります。
ここで、基準を 70 とします。差分にプラスマイナス両方出るものの、分配法則を使うことはもちろん可能です。 

       72 × 69 =  (70+2-1) ×  70 + (+2)×(-1
  70:  +2   -1
               = 71 × 70 + 2 ×(-1)
               = 4970 - 2
               = 4968

この場合、一方の差分はプラス、もう一方はマイナスですので、最後に引き算をする形となります。
これも場合によっては、クロス掛け算 を行うよりも速いかも知れません。
計算が速くなるケースというのは、必ずしも10の位の数が同じである必要はなく、
2数が 10の倍数のような 基準の数字に近く、さらに2数同士もお互い近ければ良い、ということになります。

ここで、以前紹介した「かかし掛け算」について、この「差分による計算」という点から見てみます。
例えば、73×79 という計算については、基準は中間の 76 で取り、開き(=差分)は 3 ということになります。

       73 × 79 =  (76-3+3) ×  76 + (-3)×(+3
  76:  -3   +3
               = 76 × 76 + (-3) × 3
               = 5776 - 9
               = 5767

最初の基準の数をかける部分は、差分同士が相殺されて、結局 基準の数の2乗 すなわち 中間の数の2乗 になります。
その後、差分同士の掛け算になりますが、片方が正で片方が負となりますので、すなわち2乗を引くということになります。

  

最後に、二桁掛け算の範囲で、この差分の掛け算が最も使い出がある場合を紹介します。
これまでの内容は忘れてしまっても、むしろここだけは押さえたいです。
それは、100に近い数同士の掛け算です。すなわち基準が100になる場合です。
分配法則でくくる部分が ×100 となるので、あとの差分同士の積の足し算は、
その積の結果をそのまま下二桁の数に出来るのです。

       97 × 94 =  (100-3-6) ×  100 + (-3)×(-6
 100:  -3   -6
               = 91 × 100 + (-3) ×(-6)
               = 9100 +18
               = 9118

これは、速算法 ですね。是非、慣れましょう。

 

ちなみに、息子にこの掛け算の方法を教える時、「ディフ掛け算」と呼びました。
差分⇒ディファレンス だからです。

「ディフ掛け算」は124×102 などという掛け算もできます。
126×100+24×2 で 12648 です。

12の2乗を暗記している人なら、112の2乗だって出来ちゃいます。12544です。

ちょっだけ凄いですね。

次回、差分による計算法(2) として、補足としてこの計算法を4つの四角形を使って考えます。

 
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2桁の数の2乗 ちょっとした応用

2012-05-04 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2乗の数をせっかく暗記しましたという前提で、
平方数の積を持つ2桁掛け算をいくつか挙げてみました。
一応、見ておくと良いと思いました。

   6 × 24 =   144  (12 × 12)   
   7 × 28 =   196  (14 × 14)   
   8 × 32 =   256  (16 × 16)   
   9 × 36 =   324  (18 × 18)   

  11 × 44 =   484  (22 × 22)   
  12 × 48 =   576  (24 × 24)   
  13 × 52 =   676  (26 × 26)   
  14 × 56 =   784  (28 × 28)   

  16 × 64 =  1024  (32 × 32)   
  17 × 68 =  1156  (34 × 34)   
  18 × 72 =  1296  (36 × 36)   
  19 × 76 =  1444  (38 × 38)   

  21 × 84 =  1764  (42 × 42)   
  22 × 88 =  1936  (44 × 44)   
  23 × 92 =  2116  (46 × 46)   
  24 × 96 =  2304  (48 × 48)

   6 × 54 =   324  (18 × 18)
   7 × 63 =   441  (21 × 21)
   8 × 72 =   576  (24 × 24)
   9 × 81 =   729  (27 × 27) 
  11 × 99 =  1089  (33 × 33)


欲張らずに、片方が3桁になってしまうものは含めませんでした。

掛ける数 が 掛けられる数 の4倍、あるいは9倍になっていますが、
4倍または9倍であることにちょっと気がつきにくいとかな、
と思われるものに色を付けました。

ある数を4倍する練習、9倍する練習をしておくとピンと来やすくなるかもしれません。

応用としては、本当にちょっとしていますね。

また、9×81 などは逆にここから 27×27 を計算する
手掛りになる事例でしょう。


   
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2桁の数の2乗 暗記法 その7 個別の数 トピック

2012-05-03 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2桁の数の2乗、暗記法もこれで最終回となります。

とは言え、今回はこれまでと比べて、全く緊張感がない内容となります。非常に気楽です。

  ふぅーっ。。。

2乗の掛け算を記憶する際に多少の補足的なこと、思い付きを並べます。
かなりどうでも良いことを含みます。

どうでも良いことであっても、何か引っかかって記憶の補助になるかも知れない。

そんな主旨です。


1.2乗すると下二桁の数がもとの数と同じになるもの
→ 25 と 76

  25×25= 625
  76×76=5776

  → ちなみに 625 は2乗すると 390625 となり、
    下三桁に再び 625 が出てくる。
   

2. ぞろ目 下3桁 
→ 38 のみ
   
  38×38 = 1444
  

3. ぞろ目 下二桁 4がそろう場合あり 
   
  12×12 =  144
  38×38 = 1444
  62×62 = 3844
  88×88 = 7744


4. ぞろ目 百の位と十の位: 1,2,4,7,8 がそろう
  
  46×46 = 211

  15×25 =  22
  35×35 = 122
  65×65 = 422
  85×85 = 722

  21×21 =  44
  38×38 = 144

  76×76 = 577

  83×83 = 688


5. ぞろ目 千の位と百の位

  34×34 = 1156
  47×47 = 2209
  58×58 = 3364
  67×67 = 4489
  88×88 = 7744
  94×94 = 8836

  
6. ぞろ目キング(00は除く)

  キング: 88×88 = 7744 
  
  次点:  38×38 = 1444

  ※順番、どっちにしようか迷いましたが、やはりその数自身もぞろ目というのが
   キングの名に値すると判断しました。


7. 元の数の2つの数字が2乗の数の数字のどこか含まれる
  
  25×25
  × =  
  63×63 = 3969
  64×64 = 4096
  74×74 = 5476
  95×95 = 9025
  96×96 = 9216


8. 26の2乗には、6が2回出てくる。
  
  26×26 = 676  (だからなに。。)


9. もとの数の数字を足した合計と、2乗の数の数字の合計が等しい

  18×18=  324
  19×19=  361

  45×45= 2025
  46×46= 2116

  55×55= 3025
  90×90= 8100

  99×99= 9801


10. 2 の倍数だらけ (偶数兄弟!)

  22×22 =  484
  68×68 = 4624 (しかも真ん中の 6 と 2 を一緒にすると 484)

11. 3 の倍数だらけ

  63×63 = 3969  (これはすごい。。アホになりそう)


12. 両脇の数字が同じ
  
  22×22 =  
  68×68 = 62 (また、偶数兄弟)

  39×39 = 52
 (40×40 = 1600)
  41×41 = 68 

  75×75 = 5625
  97×97 = 9409


13. 元の数を含めて6つの数字が登場

  53×53
  54×54
  57×57
  59×59 

  72×72 = 5184
  79×79 = 6241
  84×84 = 7056


14. 数字が昇順で登場 (昇り龍!)

  13×13 = 169
  16×16 = 256
  17×17 = 289
  37×37 = 1369 4桁ではこれのみ

15. 数字が降順で登場

  29×29 = 841
  31×31 = 961

16. 逆にすると2乗も逆になる組み合わせ

  12×12 = 144
  21×21 = 441

  13×13 = 169
  31×31 = 961


17. 同じ数字が現れる組み合わせ

  ダブル

  32×32 = 1024
  49×49 = 2401

  35×35 = 1225
  39×39 = 1521

  19×19 =  361
  56×56 = 3136

  34×34 = 1156
  81×81 = 6561

  64×64 = 4096
  98×98 = 9604

  37×37 = 1369
  44×44 = 1936

  7が割り込む!
  24×24 =  576
  76×76 = 5776
  
  9が割り込む!
  23×23 =  529
  77×77 = 5929

  両脇が入れ替わる!
  42×42 = 1764
  69×69 = 4761 

  トリプル

  12×12 =  144
  21×21 =  441
  38×38 = 1444

  13×13 =  169
  14×14 =  196
  31×31 =  961

  36×36 = 1296
  54×54 = 2916
  96×96 = 9216

  16×16 =  256
  25×25 =  625
  75×75 = 5625

18. 暗記する上で、隣り合わせでややこしい。

  36×36 = 1296
  37×37 = 1369  
    ⇒ 14のトピックも合わせて覚えて間違えないようにしましょう。

  
 

以上、が「2乗の数の暗記法」となります。
最悪、ゴロ合わせもある程度ご紹介いたしましたので、御参考になさって下さい。
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2桁の数の2乗 暗記用リスト(3)

2012-05-02 00:00:00 | 平方数 2乗の数

 << 1 の列 >>
   1つ少ない10の倍数 の2乗 に その数の2倍 を 足して 1 を足す。
 基準の数
  10:  11×11 =  100 +  20 + 1 =  121
  20:  21×21 =  400 +  40 + 1 =  441
  30:  31×31 =  900 +  60 + 1 =  961
  40:  41×41 = 1600 +  80 + 1 = 1681
  50:  51×51 = 2500 + 100 + 1 = 2601
  60:  61×61 = 3600 + 120 + 1 = 3721
  70:  71×71 = 4900 + 140 + 1 = 5041
  80:  81×81 = 6400 + 160 + 1 = 6561
  90:  91×91 = 8100 + 180 + 1 = 8281
 
 << 2 の列 >>
   2つ少ない10の倍数 の2乗 に その数の4倍 を 足して 4 を足す。
 基準の数
  10:  12×12 =  100 +  40 + 4 =  144
  20:  22×22 =  400 +  80 + 4 =  484
  30:  32×32 =  900 + 120 + 4 = 1024
  40:  42×42 = 1600 + 160 + 4 = 1764
  50:  52×52 = 2500 + 200 + 4 = 2704
  60:  62×62 = 3600 + 240 + 4 = 3844
  70:  72×72 = 4900 + 280 + 4 = 5184
  80:  82×82 = 6400 + 320 + 4 = 6724
  90:  92×92 = 8100 + 360 + 4 = 8464
 
 << 3 の列 >>
   3つ少ない10の倍数 の2乗 に その数の6倍 を 足して 9 を足す。
 基準の数
  10:  13×13 =  100 +  60 + 9 =  169
  20:  23×23 =  400 + 120 + 9 =  529
  30:  33×33 =  900 + 180 + 9 = 1089
  40:  43×43 = 1600 + 240 + 9 = 1849
  50:  53×53 = 2500 + 300 + 9 = 2809
  60:  63×63 = 3600 + 360 + 9 = 3969
  70:  73×73 = 4900 + 420 + 9 = 5329
  80:  83×83 = 6400 + 480 + 9 = 6889
  90:  93×93 = 8100 + 540 + 9 = 8649
 
 << 4 の列 >>
   1つ多い5の倍数 の2乗 から その数の2倍 を 引いて 1 を足す。
 基準の数
  15:  14×14 =  225 -  30 + 1 =   196
  25:  24×24 =  625 -  50 + 1 =   576
  35:  34×34 = 1225 -  70 + 1 =  1156
  45:  44×44 = 2025 -  90 + 1 =  1936
  55:  54×54 = 3025 - 110 + 1 =  2916
  65:  64×64 = 4225 - 130 + 1 =  4096
  75:  74×74 = 5625 - 150 + 1 =  5476
  85:  84×84 = 7225 - 170 + 1 =  7056
  95:  94×94 = 9025 - 190 + 1 =  8836
 
 << 5 の列 >>
   10の位の数×(その数+1) が 千の位と百の位 下2桁は 25
 
  15×15 =  1 × 2 × 100 + 25 =   225
  25×25 =  2 × 3 × 100 + 25 =   625
  35×35 =  3 × 4 × 100 + 25 =  1225
  45×45 =  4 × 5 × 100 + 25 =  2025
  55×55 =  5 × 6 × 100 + 25 =  3025
  65×65 =  6 × 7 × 100 + 25 =  4225
  75×75 =  7 × 8 × 100 + 25 =  5625
  85×85 =  8 × 9 × 100 + 25 =  7225
  95×95 =  9 ×10 × 100 + 25 =  9025
 
 << 6 の列 >>
   1つ少ない5の倍数 の2乗 に その数の2倍 を 足して 1 を足す。
 基準の数
  15:  16×16 =  225 +  30 + 1 =   256
  25:  26×26 =  625 +  50 + 1 =   676
  35:  36×36 = 1225 +  70 + 1 =  1296
  45:  46×46 = 2025 +  90 + 1 =  2116
  55:  56×56 = 3025 + 110 + 1 =  3136
  65:  66×66 = 4225 + 130 + 1 =  4356
  75:  76×76 = 5625 + 150 + 1 =  5776
  85:  86×86 = 7225 + 170 + 1 =  7396
  95:  96×96 = 9025 + 190 + 1 =  9216
 
 << 7 の列 >>
   3つ多い10の倍数 の2乗 から その数の6倍 を 引いて 9 を足す。
 基準の数
  20:  17×17 =  400 - 120 + 9 =   289
  30:  27×27 =  900 - 180 + 9 =   729
  40:  37×37 = 1600 - 240 + 9 =  1369
  50:  47×47 = 2500 - 300 + 9 =  2209
  60:  57×57 = 3600 - 360 + 9 =  3249
  70:  67×67 = 4900 - 420 + 9 =  4489
  80:  77×77 = 6400 - 480 + 9 =  5929
  90:  87×87 = 8100 - 540 + 9 =  7569
 100:  97×97 =10000 - 600 + 9 =  9409
 
 << 8 の列 >>
   2つ多い10の倍数 の2乗 から その数の4倍 を 引いて 4 を足す。
 基準の数
  20:  18×18 =  400 -  80 + 4 =   324
  30:  28×28 =  900 - 120 + 4 =   784
  40:  38×38 = 1600 - 160 + 4 =  1444
  50:  48×48 = 2500 - 200 + 4 =  2304
  60:  58×58 = 3600 - 240 + 4 =  3364
  70:  68×68 = 4900 - 280 + 4 =  4624
  80:  78×78 = 6400 - 320 + 4 =  6084
  90:  88×88 = 8100 - 360 + 4 =  7744
 100:  98×98 =10000 - 400 + 4 =  9604
 
 << 9 の列 >>
   1つ多い10の倍数 の2乗 から その数の2倍 を 引いて 1 を足す。
 基準の数
  20:  19×19 =  400 -  40 + 1 =   361
  30:  29×29 =  900 -  60 + 1 =   841
  40:  39×39 = 1600 -  80 + 1 =  1521
  50:  49×49 = 2500 - 100 + 1 =  2401
  60:  59×59 = 3600 - 120 + 1 =  3481
  70:  69×69 = 4900 - 140 + 1 =  4761
  80:  79×79 = 6400 - 160 + 1 =  6241
  90:  89×89 = 8100 - 180 + 1 =  7921
 100:  99×99 =10000 - 200 + 1 =  9801
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2桁の数の2乗 暗記法 その6 第3の計算法

2012-05-01 00:00:00 | 平方数 2乗の数
2乗の数を出すための 第三 の計算法 ということで話を進めます。

まだ、あるんですか、という感じですが、実際自分が暗算するときに無意識にやっていた方法があって、
それも実際捨てがたたく、ご紹介したくなった次第です。


その方法ですが、例えば 79 の2乗を考える際に、例のごとく「4つの四角形」をつかって考えます。
その時、少し工夫をして 80 の2乗から入るのですね。



上図の様に、全体は 80×80 で 6400 なんですが、79×79 と 
それ以外のところに分解、79×79 以外の部分を取り去ってしまえば、答えが出ます、という発想なんです。

しかしその時に、ご丁寧に 
   79×1 の部分を引いて、
   1×79の部分を引いて、
   1×1 の部分を引いて、
   はい、答えです、という手順を踏むのではなく、

 80を2回引いてしまえ、そのあと、引きすぎた 1 を戻そう

という計算をするのです。



計算式にすれば、

 79×79 = 80×80 - 80 - 80 + 1
       = 6400 - 160 + 1
       = 6241

となります。

80を2回引く、というのは 頭の中のイメージ であって、もちろん計算上は、

 79×79 = 80×80 - 80 × 2 + 1
       = 6400 - 160 + 1
       = 6241

これで、良いと思います。

但し、私の場合は、この計算をするときに上記のような図を頭の中に強烈にイメージし、
実際に 下側、右側、これを「トル」、そしてカドのコマを「戻す」ということをやっているので、
どうしても「80を2回引く」という発想になってしまいます。

もっとスマートに計算出来る方なら、初めから「80×2」でいいと思います。

他の例を見ます:  67×67

もちろん、四角形としては 70×70 を考えます。
但し、前回の場合と違い、70 と 67 の差は 3 あります。



そこで、私のイメージの中では、上記の様ように、67×1 が 縦横 3本ずつ、計六本 出てきます。
右下の「コマ」の中には点線が入っていて、9コマに分かれているというイメージです。

そして、これを70として 6本分、4900 から取っ払う、という感じです。



最後に 9 を戻して計算終了、ということですが、もちろん式としては

67×67 = 70 × 70 - 70 × 6 + 9
      = 4900 - 420 + 9
      = 4480 + 9
      = 4489
となります。

慣れてくれば、四角をイメージしつつも一発で、

67×67 = 4900 - 420 + 9
      = 4489

と計算できるようになると思います。

なんだ、最初に紹介した4角形の計算方法と大して変わらないじゃないか、と思われるかも知れませんが、
それほど、4角形をイメージするという手法は、基本であり、応用が効くのだと思います。

以上、例を見た数字は、下一桁が9、7、と10に近い数でした。
もちろん、これが逆に0に近ければ、



より大きな数を考えて、トル、というのではなく、
順当に10の位 と 1の位 で分けた4角形を考えて積み上げるということで良いと思います。

 (この場合は、私は 10×3 のイメージでOKなんです 

ただ、ここでもう一つ計算例を出したいと思います。
例えば 36×36 これを (35+1)×(35+1)と考えます。



そこで、35×35 の部分は 速算が効いて 1225 とすぐに判りますから、これを使おうという発想です。

36×36 = 35×35 + 35×2 + 1
      = 1225 + 70 + 1
      = 1295 + 1
      = 1296

これを (30+6)×(30+6)として計算すると、

36×36 = 30×30 + 180×2 + 36
      = 900 + 360 + 36
      = 1260 + 36
      = 1296

となりますね。出来ないこともないですが、前者と比べるとやや忙しいでしょうか。


同様に、34×34なら、35×35を使って、

36×36 = 35×35 - 35×2 + 1
      = 1225 - 70 + 1
      = 1155 + 1
      = 1156

と計算出来ます。これは例としてあげました。



色々な計算方法をあげています。もちろん、どの計算方法が一番良いのか、ということはないと思います。
一つの計算を様々な方法で行うこと自体、面白いな、と感じますし、
新たな見かたをすることによって、違った発見があることがあります。


例えば、今回紹介した計算方法により 27×27 を計算します。

まず 30 という数字を考え、30×30 を踏まえて、

 900 から 30 を 6 回引く これに 9 を足す、だな、という形になります。

すると、900-30×6 つまり 900-180=720、プラス 9 となります。

こういう風に入って行くと、27×27=729 という暗記も何となくスムースに行きませんでしょうか。
何か、100の位の10の位の 72 というのが何か必然的に見えてきました。

そもそも 27 は 9 の倍数なので、27 の 2乗 も 9 の倍数であり、下一桁が 9 なので、
残りの720の部分も 9 の倍数、ということもありましょうが、
何と、900-180 という求め方がある、と考えたら、覚えやすいですよね。

こういう風にああでもない、こうでもないと考えていると、27の2乗は、729 以外にあり得ない
そう思えてきます。

そんなこと言ったら、どんな数だって2乗の数は決まっていて、それ以外にあり得ないのですが、ともかくも、
そういう風に思えてくるということです。

次回にこの計算方法を用いた暗記リストを提示します。
数字の動きを見ることによって、上記の 27 の例の様に、何か引っかかる部分が出てくると思います。
それが以外に暗記の役にたつのでは、と考えます。

 
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