「かかし掛け算」について述べます。
覚えておくと非常に２桁掛け算が簡素化する場合が多々あり、便利です。
計算の方法としては、２項の掛け算を
その 中間の値の２乗 と 中間との差の２乗 の 差に置き換える という方法です。
は。。
例えば ５６ × ６４ なら
その 中間の数 ６０ の２乗 から 中間との差（「開き」） ４ の２乗 を 引けば良い、とういものです。
これを４つの四角形で表してみると以下の通りになります。
ここで、５６ は ６０ と （－４）に分解します。６０は５６と６４の中間の数です。
そうなると 左上は６０×６０、左下と右上は相殺されて０、右下は ４×（－４）となります。
結果、３６００－１６ で良い、ということになります。
６４ の方は ６０ と ４ に分けてありますが、これはもちろん、１０の位と１の位で分けてあるわけではなく、
６０ が中間の数であることによります。
これを、大人は何となく、そうか、と思うかもしれませんが、この説明を小学生に行う場合は、多少難しいところがありますね。
というのも、４つの四角形を使った考え方は、方眼紙を使ってマスの数を数えてその対応を理解させたように、あくまでも正の数を扱うことが前提です。
しかし、ここではマイナスの数を辺の長さにあてたり、実際にマイナスの数を掛けたりと、小学生の算数の世界ではありえないことをします。
よって、小学生にこの計算法を教えるときには、「こうすれば答えがでるのだよ」とやり方のみを納得させるしかないかもしれません。
何故そうなるのか、ということの理解については、何年か先になるかも知れませんが、それはそれで良いと考えます。
この計算法に慣れるためには、以下のことを念頭に置きながら、実際の例を見てみるのが早いでしょう。
１． 二つの数の中間の数をすぐに発見出来るかどうか。
２． 中間の数２乗、開きの数の２乗はすぐ浮かぶか。
３. 「開き」の２乗の数は大きすぎず、「中間」の２乗から引きやすい数かどうか？
そこで先ず、中間の数が １０の倍数 の場合を考えます。
例として中間は ７０、「開き」を１ずつ増やしながら実際の計算を見てみます。
少し、丁寧に自分でも計算しながら追いかけてみて下さい。
スタート
： ７０ × ７０＝ ４９００
１： ６９ × ７１＝ ４９００ － １ ＝ ４８９９
２： ６８ × ７２＝ ４９００ － ４ ＝ ４８９６
３： ６７ × ７３＝ ４９００ － ９ ＝ ４８９１
４： ６６ × ７４＝ ４９００ － １６ ＝ ４８８４
５： ６５ × ７５＝ ４９００ － ２５ ＝ ４８７５
６： ６４ × ７６＝ ４９００ － ３６ ＝ ４８６４
７： ６３ × ７７＝ ４９００ － ４９ ＝ ４８５１ （５０を引いて１を足す）
８： ６２ × ７８＝ ４９００ － ６４ ＝ ４８３６
９： ６１ × ７９＝ ４９００ － ８１ ＝ ４８１９
１０： ６０ × ８０＝ ４９００ － １００ ＝ ４８００
１１： ５９ × ８１＝ ４９００ － １２１ ＝ ４７７９
１２： ５８ × ８２＝ ４９００ － １４４ ＝ ４７５６ （１５０を引いて６を足す）
１４： ５６ × ８４＝ ４９００ － １９６ ＝ ４７０４ （２００を引いて４を足す）
２２： ４８ × ９２＝ ４９００ － ４８４ ＝ ４４１６ （５００を引いて１６を足す）
うーん、こんなにも簡単に計算できてしまうのか、という感じですね。
そこれ、一つ例として以上の ７０ を中心とした「かかし掛け算」に慣れておけば、
他の中心が１０の倍数の計算に関しても、スムースに計算出来ると思います。
例えば、「開きが１４」の場合、「２００を引いて４を足す」と覚えておけば、
６４×３６ など 中心は５０、開き１４ と見て、
２５００－２００＋４ ＝ ２３０４ と計算できます。
なにせ、理屈から言って下二桁の数は変わってこないですからね。慣れると速いです。
では次に、中心の数が１０の倍数以外、どうするかですね。
これは、２乗の数を暗記しないことには即算が出来ないということになります。
その気になれば簡単に覚えられる、という方もいらっしゃいますが、なかなか、そうもいかないのが現実ですね。
以前の記事でゴロ合わせなるものも紹介しましたが、出来れば数字そのものとして覚えたほうが、計算自体は早くなると考えています。
（というか、自分がそうなんです。ゴロで考えるとそこで計算する頭が一旦止まる感じがするのです。）
この２乗の数の暗記のコツに関しては別途ご紹介申し上げることといたしまして、先ずは計算の実例を見てみましょう。
中心は、７８ としましょう。今回は面倒ですので、ざっと見てください。
スタート
： ７８ × ７８ ＝ ６０８４
１： ７７ × ７９ ＝ ６０８４ － １ ＝ ６０８３
２： ７６ × ８０ ＝ ６０８４ － ４ ＝ ６０８０
３： ７５ × ８１ ＝ ６０８４ － ９ ＝ ６０７５
４： ７４ × ８２ ＝ ６０８４ － １６ ＝ ６０６８
５： ７３ × ８３ ＝ ６０８４ － ２５ ＝ ６０５９
６： ７２ × ８４ ＝ ６０８４ － ３６ ＝ ６０４８
７： ７１ × ８５ ＝ ６０８４ － ４９ ＝ ６０３５ （５０を引いて１を足す）
８： ７０ × ８６ ＝ ６０８４ － ６４ ＝ ６０２０
９： ６９ × ８７ ＝ ６０８４ － ８１ ＝ ６００３
１０： ６８ × ８８ ＝ ６０８４ － １００ ＝ ５９８４
１２： ６６ × ９０ ＝ ６０８４ － １４４ ＝ ５９４０ （１５０を引いて６を足す）
１４： ６４ × ９２ ＝ ６０８４ － １９６ ＝ ５８８８ （２００を引いて４を足す）
２０： ５８ × ９８ ＝ ６０８４ － ４００ ＝ ５６８４
以上、開きが ２０ までの場合を見ましたが、中心が一般の整数の場合は、
せいぜい開きが ５ ぐらいまでが「かかし掛け算」の対象でしょうか。
あまり中心を探すのに考えてしまったり、引き算が面倒だったりすると、
「クロス掛け算」を行った方が結局は早いです。
ただし、開きが ７ の場合（→４９を引く＝５０を引いて１を足す）や、
開きが１０、２０、または３０の場合は、それと気がつけば「かかし掛け算」の対象でしょう。
例１： ３２×４６ 中心 ３９ 開き ７ → １５２１－ ４９ ＝ １４７２
例２： ７８×９８ 中心 ８８ 開き １０ → ７７４４－１００ ＝ ７６４４
例３： ４２×８２ 中心 ６２ 開き ２０ → ３８４４－４００ ＝ ３４４４
例４： １６×７６ 中心 ４６ 開き ３０ → ２１１６－９００ ＝ １２１６
いずれにせよ、２乗の掛け算を暗記していることが前提ですが、暗記が完璧になっていれば、
例えば、例２で、「１００引けばよい」などというのは見た瞬間に答えが出ているようなものです。
是非マスターしましょう。
その他、留意点としては、この掛け算は「偶数同士」または「奇数同士」の掛け算でなければ使えないということですね。
そうでないと中心の数が整数で出てこないからですね。
しかし、たとえ「奇数×偶数」であっても、以下の通り計算すれば当然計算可能です。
８７×８４ ＝ ８６×８４＋８４ ＝ ７２２５－１＋８４ ＝ ７３０８ という
しかし、これをやる位でしたら、初めから「クロス掛け算」を行った方が個人的には頭が疲れないし、
速い、と思います。
以上、「かかし掛け算」について見てきました。
これが理解できると、例えば、
６４８×５５２ なんて言う掛け算も。。。
→ ６００×６００－４８×４８ ＝ ３６００００－２３０４ ＝ ３５７６９６
なんて、出来ますね。（あまり嬉しくありませんが）
次回、２乗計算の暗記のコツについて述べます。
覚えておくと非常に２桁掛け算が簡素化する場合が多々あり、便利です。
計算の方法としては、２項の掛け算を
その 中間の値の２乗 と 中間との差の２乗 の 差に置き換える という方法です。
は。。例えば ５６ × ６４ なら
その 中間の数 ６０ の２乗 から 中間との差（「開き」） ４ の２乗 を 引けば良い、とういものです。
これを４つの四角形で表してみると以下の通りになります。
ここで、５６ は ６０ と （－４）に分解します。６０は５６と６４の中間の数です。
そうなると 左上は６０×６０、左下と右上は相殺されて０、右下は ４×（－４）となります。
結果、３６００－１６ で良い、ということになります。
６４ の方は ６０ と ４ に分けてありますが、これはもちろん、１０の位と１の位で分けてあるわけではなく、
６０ が中間の数であることによります。
これを、大人は何となく、そうか、と思うかもしれませんが、この説明を小学生に行う場合は、多少難しいところがありますね。
というのも、４つの四角形を使った考え方は、方眼紙を使ってマスの数を数えてその対応を理解させたように、あくまでも正の数を扱うことが前提です。
しかし、ここではマイナスの数を辺の長さにあてたり、実際にマイナスの数を掛けたりと、小学生の算数の世界ではありえないことをします。
よって、小学生にこの計算法を教えるときには、「こうすれば答えがでるのだよ」とやり方のみを納得させるしかないかもしれません。
何故そうなるのか、ということの理解については、何年か先になるかも知れませんが、それはそれで良いと考えます。
この計算法に慣れるためには、以下のことを念頭に置きながら、実際の例を見てみるのが早いでしょう。
１． 二つの数の中間の数をすぐに発見出来るかどうか。
２． 中間の数２乗、開きの数の２乗はすぐ浮かぶか。
３. 「開き」の２乗の数は大きすぎず、「中間」の２乗から引きやすい数かどうか？
そこで先ず、中間の数が １０の倍数 の場合を考えます。
例として中間は ７０、「開き」を１ずつ増やしながら実際の計算を見てみます。
少し、丁寧に自分でも計算しながら追いかけてみて下さい。
スタート
： ７０ × ７０＝ ４９００
１： ６９ × ７１＝ ４９００ － １ ＝ ４８９９
２： ６８ × ７２＝ ４９００ － ４ ＝ ４８９６
３： ６７ × ７３＝ ４９００ － ９ ＝ ４８９１
４： ６６ × ７４＝ ４９００ － １６ ＝ ４８８４
５： ６５ × ７５＝ ４９００ － ２５ ＝ ４８７５
６： ６４ × ７６＝ ４９００ － ３６ ＝ ４８６４
７： ６３ × ７７＝ ４９００ － ４９ ＝ ４８５１ （５０を引いて１を足す）
８： ６２ × ７８＝ ４９００ － ６４ ＝ ４８３６
９： ６１ × ７９＝ ４９００ － ８１ ＝ ４８１９
１０： ６０ × ８０＝ ４９００ － １００ ＝ ４８００
１１： ５９ × ８１＝ ４９００ － １２１ ＝ ４７７９
１２： ５８ × ８２＝ ４９００ － １４４ ＝ ４７５６ （１５０を引いて６を足す）
１４： ５６ × ８４＝ ４９００ － １９６ ＝ ４７０４ （２００を引いて４を足す）
２２： ４８ × ９２＝ ４９００ － ４８４ ＝ ４４１６ （５００を引いて１６を足す）
うーん、こんなにも簡単に計算できてしまうのか、という感じですね。
そこれ、一つ例として以上の ７０ を中心とした「かかし掛け算」に慣れておけば、
他の中心が１０の倍数の計算に関しても、スムースに計算出来ると思います。
例えば、「開きが１４」の場合、「２００を引いて４を足す」と覚えておけば、
６４×３６ など 中心は５０、開き１４ と見て、
２５００－２００＋４ ＝ ２３０４ と計算できます。
なにせ、理屈から言って下二桁の数は変わってこないですからね。慣れると速いです。
では次に、中心の数が１０の倍数以外、どうするかですね。
これは、２乗の数を暗記しないことには即算が出来ないということになります。
その気になれば簡単に覚えられる、という方もいらっしゃいますが、なかなか、そうもいかないのが現実ですね。
以前の記事でゴロ合わせなるものも紹介しましたが、出来れば数字そのものとして覚えたほうが、計算自体は早くなると考えています。
（というか、自分がそうなんです。ゴロで考えるとそこで計算する頭が一旦止まる感じがするのです。）
この２乗の数の暗記のコツに関しては別途ご紹介申し上げることといたしまして、先ずは計算の実例を見てみましょう。
中心は、７８ としましょう。今回は面倒ですので、ざっと見てください。
スタート
： ７８ × ７８ ＝ ６０８４
１： ７７ × ７９ ＝ ６０８４ － １ ＝ ６０８３
２： ７６ × ８０ ＝ ６０８４ － ４ ＝ ６０８０
３： ７５ × ８１ ＝ ６０８４ － ９ ＝ ６０７５
４： ７４ × ８２ ＝ ６０８４ － １６ ＝ ６０６８
５： ７３ × ８３ ＝ ６０８４ － ２５ ＝ ６０５９
６： ７２ × ８４ ＝ ６０８４ － ３６ ＝ ６０４８
７： ７１ × ８５ ＝ ６０８４ － ４９ ＝ ６０３５ （５０を引いて１を足す）
８： ７０ × ８６ ＝ ６０８４ － ６４ ＝ ６０２０
９： ６９ × ８７ ＝ ６０８４ － ８１ ＝ ６００３
１０： ６８ × ８８ ＝ ６０８４ － １００ ＝ ５９８４
１２： ６６ × ９０ ＝ ６０８４ － １４４ ＝ ５９４０ （１５０を引いて６を足す）
１４： ６４ × ９２ ＝ ６０８４ － １９６ ＝ ５８８８ （２００を引いて４を足す）
２０： ５８ × ９８ ＝ ６０８４ － ４００ ＝ ５６８４
以上、開きが ２０ までの場合を見ましたが、中心が一般の整数の場合は、
せいぜい開きが ５ ぐらいまでが「かかし掛け算」の対象でしょうか。
あまり中心を探すのに考えてしまったり、引き算が面倒だったりすると、
「クロス掛け算」を行った方が結局は早いです。
ただし、開きが ７ の場合（→４９を引く＝５０を引いて１を足す）や、
開きが１０、２０、または３０の場合は、それと気がつけば「かかし掛け算」の対象でしょう。
例１： ３２×４６ 中心 ３９ 開き ７ → １５２１－ ４９ ＝ １４７２
例２： ７８×９８ 中心 ８８ 開き １０ → ７７４４－１００ ＝ ７６４４
例３： ４２×８２ 中心 ６２ 開き ２０ → ３８４４－４００ ＝ ３４４４
例４： １６×７６ 中心 ４６ 開き ３０ → ２１１６－９００ ＝ １２１６
いずれにせよ、２乗の掛け算を暗記していることが前提ですが、暗記が完璧になっていれば、
例えば、例２で、「１００引けばよい」などというのは見た瞬間に答えが出ているようなものです。
是非マスターしましょう。
その他、留意点としては、この掛け算は「偶数同士」または「奇数同士」の掛け算でなければ使えないということですね。
そうでないと中心の数が整数で出てこないからですね。
しかし、たとえ「奇数×偶数」であっても、以下の通り計算すれば当然計算可能です。
８７×８４ ＝ ８６×８４＋８４ ＝ ７２２５－１＋８４ ＝ ７３０８ という
しかし、これをやる位でしたら、初めから「クロス掛け算」を行った方が個人的には頭が疲れないし、
速い、と思います。
以上、「かかし掛け算」について見てきました。
これが理解できると、例えば、
６４８×５５２ なんて言う掛け算も。。。
→ ６００×６００－４８×４８ ＝ ３６００００－２３０４ ＝ ３５７６９６
なんて、出来ますね。（あまり嬉しくありませんが）
次回、２乗計算の暗記のコツについて述べます。
