フェルマーの最終決着”ちょっと休憩編”

　｢フェルマーの最終決着｣の記事ですが､クンマーの理想数で頓挫し､昨年7月末の”4の1”で中断して､なかなか先へ進めません。
　事実､フェルマーの大予想はクンマーの死闘も虚しく､大きな壁に阻まれてしまいます。

　足立恒雄氏の｢フェルマーの大定理｣は整数論から眺めたフェルマー予想であり､理解するにとても苦しみます。逆に､同じ足立氏の｢フェルマーの大定理が解けた｣は楕円曲線論から眺めたもので､直感で理解できる部分があり､そこそこわかりやすい。
　事実､アンドレ･ヴェイユ(仏)は(フェルマー予想は)”代数的整数論というよりは数論的曲線論の先駆けと見るべきだ”と述べてます。
　しかし､フェルマー予想の証明の基盤となったのは19世紀の整数論であり､その大きな源流がなかったら､20世紀の(楕円)曲線論にバトンタッチされる事はなかったろうと思います。

　ただ､難解すぎるクンマーの偉大な仕事もですが､もう少し簡単にフェルマー予想の歴史を紹介できないかと､｢小説･フェルマーの最終定理｣(日沖桜皮 著)という本に出会いました。

　ライト感覚な恋愛小説風で､数学的知識がなくてもスーッと読み通せます。そんな私もこんな軽いノリで数学史上の難題を紹介したいんですが､当然限界があります。
　そこで､もう少し判り易くこれまでの全5話の｢フェルマーの最終予想｣を数学的な記述を使わずに､ライトな感覚で振り返ってみたいと思います(多分､無理)。

 

 

序章〜フェルマーという人

　1630年代に､本職は弁護士であるピエールフェルマー(1607-1665､仏)が提唱した予想こそが､後にフェルマーの最終定理(Fermat's Last Theorem=FLT)と呼ばれる､世界中の多くの(アマチュアを含む)数学者を虜にした予想でした。
　フェルマーは趣味で数学を始めたんですが､やがては近代代数論の基礎を作り上げ､今では”数論の始祖”と呼ばれるようになる。
　360年間も世界の数学者を悩ませ続けたこの大予想とは(整数論的に言えば)､”xⁿ+yⁿ=zⁿ,n≥3を満たす自然数(x,y,z)は存在しない”という”不可能の予想”でした。
　ただ､(曲線論的に)”n≥2ならば､xⁿ+yⁿ=zⁿを満たす方程式は自然数解(x,y,z)を持たない”と言い換えれば､見通しはずっと明るくなりますね。

　フェルマー自身はn=3の時に成立する事を(証明はせずに)自身の予想(FLT)を主張してたが､n=4の時は不完全ではありながらも証明してました。
　”驚くべき証明を見つけたが､この余白は書くには狭すぎる”という彼の言葉は有名ですね。
　フェルマーの死後から約100年､”数学界の超新星”であるオイラーがn=3とn=4の倍数の時のFLTを同時に証明した(1770年)事で､”nが素数pの時だけを証明すればいい”という所まで強引に推し進めました(さすがオイラー)。
　つまり､FLT(n)はFLT(p)の世界に突入します。
　19世紀に入ると､ある一人の裕福な出の天才令嬢がこの難題に果敢に参戦します。
　もう1人の”数学の巨人”であるガウスを救ったソフィー･ジェルマン嬢(仏)ですが､彼女は1823年に､”p(素数)≤100の条件付きでFLT(p)が成り立つ”事を発見した。
　彼女は､xyzが奇素数(3以上の素数)で割り切れる時と割り切れない場合に分け､FLT(p)が成立しないとすれば､”(前者の)割り切れる場合に限る”と示した。
　その後は､4人のフランス人数学者が挑みます。まずは､ディリクレとルジャンドルがn=5の時を(1825年)､ラメとルベーグがn=7の時を証明した(1839年)。
　一方で､ソフィー嬢は憧れのガウスに手紙を書き､FLT(p)の証明に助け舟を求めますが､”証明も反証も出来ない予想なんて(数論の世界では)幾らでも書き出せる”と相手にしません。　
　事実､誰にも理解できて現在の未解決問題というのは整数論には幾らでもある。更に､”フェルマーの大定理が数学の進歩に重要であるという問題ですらない”と足立氏も述べてます。

ソフィーからクンマーへ

　ソフィー嬢の悲運の死後､1847年に前述のラメが”全ての素数で証明できた”と衝撃の発表をします。
　つまり､全ての数が素数の積で(一意的に)表せるから､xⁿ+yⁿを素数の積に(一意的に)分解できると勘違いしてしまった。しかし､同じ時期にコーシー(仏)も同じ事を主張し､大きな論争を巻き起こす。
　しかし学友のリュービルから､ラメのやり方は間違ってると指摘。実は､リュービルもクンマーも､ディリクレから”全ての数は素数の積で一意的に表す事は不可能だ”という助言を頂いていたからだ。
　つまり､虚数iがネックになるんですね。例えば､15=3×5だが､虚数を使えば､(1+√(14)i)×(1−√(14)i)も存在し､一意的ではなくなる。

　元々､フェルマーの大定理には興味がなかったアーネスト･クンマー(独)だが(専門分野の整数論の立場から)､”理想の素数”を導入し､”正則素数に関してはフェルマー予想は正しい”事を証明します。
　更に､100以下の素数を再検証するも､p=37,59,67は(非正則素数が故に)問題が発生する。しかしクンマーは､気の遠くなる様な計算の結果､p=37,59,67の時を個別に証明し､p≤100の全ての素数でFLT(p)が成立する事をも証明します。
　因みに､この理想数はデデキント(独)により一般化され､イデアル論に発展する。
　また正則素数とは､円のp分体(円のp等分点を有理数体に添加した体)のイデアル類群の位数(要素の個数)である類数を”割り切らない”素数の事で､逆に類数を割り切る素数を非正則素数といいます。
　このクンマーの正則素数を使った手法ですが､イデアル類群の構造(類数定理)を使う事で､フェルマー予想の解決に(条件付きではありますが)成功したんですね。

　お陰でラメもコーシーも諦め､論争は静まったかに思えた。が､クンマーの”理想数”(理想の素数=正則素数)を持ってしても､フェルマーの完全証明には程遠く､ガウスが言う様に整数論の領域だけでは歯が立たなかったのだ。
　事実､このクンマーの理論をスパコンで極める事で､1994年には400万以下の自然数でフェルマー大予想は正しいとされます。しかし数学とは無限を扱う学問で､無限に比べたら400万なんて数は2や3と何ら変わりはないのである。
　しかし､この挫折の結果はフェルマーの完全決着に向け､大きな成果と意味を持つ様になります。
　この1840年代〜60年代のクンマーの死闘編が一番ややこしいのですが､それまでの過程を大まかに説明しました。

　ただ､フェルマーの大予想の解決はクンマーの代数的整数論から数論的(楕円)曲線論にバトンタッチされるんですが､その触りの部分だけを述べて､この休憩編は終りにしたいと思います。


新たなる発見と進歩

　20世紀に入ると､裕福な出の数学者ヴォルフスケール(独)は失恋で心を病み､自殺を考えますが､自殺する数時間前に(偶然にも)クンマーの著書が目に入る。
　”クンマーの理論には欠点がある。ひょっとしたらフェルマー予想が解けるかもしれない”
　そう閃いた彼は自殺を思い留まり､研究に没頭するも自らの勘違いに気付き､1906年に死去する。
　しかし(驚く事に)､”フェルマーの大定理を解いた者には(当時の貨幣価値で)10億円をやる”という遺言が(それを管理してた)ゲッチンゲン大学から公表された(1908年)。
　だが､当時の数学界では”(10億を出されても)無理なものは無理”という風潮にあったので､(いたずら好きな素人を除き)色めく数学者はいなかった。
　確かに､オイラーでもガウスでも無理なのだから・・・という気持ち判りますね。
　但し､1994年にワイルズにより証明された時は500万ほどの価値にまで下がってたとか・・・(悲)
　
　実は､10億の遺言が公表される4年前､ポアンカレがある予想を立てました。｢ポアンカレの奇悲劇｣でも書いたんですが､ポアンカレ予想とは”宇宙の形をめぐる仮説”とも言われ､”単連結な三次元閉多様体は三次元球体と同相である”というものでした。
　つまり､”ロープをどの様に掛けても無理なく外せる物体(多様体)は球(三次元球体)に変形できる”という事。

　例えば､ドーナツの様に穴が空いた物だとどんなに変形しても掛けたロープは引っ掛かって戻ってこない。つまり､ドーナツ状の風船を針で刺しても1点で収束しない。逆を言えば､(単連結な三次元閉)多様体という風船を針で刺した時､1点で収束する事を証明すればいいのだが､世界の数学者をとことん悩ませたんですね。
　このシンプルな概念こそがトポロジー(位相幾何学)で､貫通穴がない物体を位相0の多様体､つまり穴がn個の多様体を位相nと考える。
　従来の幾何学(微分幾何学)では”形”や”量”に注目してたが､トポロジーでは”質”を問う。
　つまり､モノの本質をシンプルに捉え､複雑なものを単純化して考察するというポアンカレの発見のお陰で､その後の数学に絶大なる影響を与えます。
　このポアンカレ予想と同様に､フェルマーの最終定理も様々な分野の天才が挑戦し､跳ね返され､21世紀を迎えていく。　
　ペレルマン(露)はポアンカレ予想をトポロジーではなく”固くて古臭い数学”と退けられた微分積分学を使って解決した。

　”発想を変えなければ､世紀の難問は解けない”
　フェルマーの最終定理も20世紀半ばに入り､同じ様な局面に迎えるが､その伏線こそがポアンカレが生み出した”モジュラー形式”という､周期性と対称性を持つ関数でした。
　因みに､三角関数の様に(2πの)周期でズラせば(変換すれば)元に戻る性質を”型を保つ”事から”保型形式”と言い､その保型形式を拡張したのが”モジュラー形式”です。
　が､このモジュラー形式は非ユークリッド幾何学が支配する4次元空間で考える必要があり､三角関数の様に図や式で表す事の出来ない超難解な関数とされます。
　一方で､モジュラー形式(関数)は”お行儀のいい関数”とも呼ばれ､一般に正則(微分可能で連続)な関数を扱うが､非連続である素数の性質に深い関係があるのも､(このモジュラー形式こそが)異なる2つの世界を繋ぐ架け橋として見れば､ユニークな事実を提示している。
　オイラーやソフィー嬢やクンマーらが考えたように､”フェルマーの大定理と素数には密な繋がりがある”事は周知の事実になる。
　そこで､従来の視点とは異なった方法で素数を捉える事が重要になったのだが・・・

　そして舞台は､ヨーロッパから我が日本に移ります。