リーマン予想と素数の謎､”１の１”(20/7/22更新)〜リーマンゼータ関数の門出とディリクレの貢献

　”その1”(シーズン1)のプロローグを紹介し終えた所で､”1の1”に入ります。
　リーマンゼータの新たなる旅立ちです。ゆっくりと慌てずに､難しい所は､飛ばしても構いません。とにかく大体のイメージを描いて下さいね。

　”リーマンゼータ関数の全ての非自明な零点の実部は1/2であろう”と､主張されたリーマン予想。
　言い換えると､ゼータ関数の零点(解)は､実根(負の偶数)と”実部が1/2の複素数である”虚根に分けられるという予想です。余りにも有名過ぎて､こればかりが独り歩きしてますね。

　でも今回の主役は､このリーマンの”予想”ではなく､リーマンの”ゼータ関数”です。
　そこで､ゼータ関数の紹介から始めます。殆どの人がリーマン予想から入り､素数の謎で躓き､撤退したという人も多いでしょうか。
　つまり､ゼータ関数を知らない限りは､素数の謎の先へは進めないと。

リーマンのゼータ関数と解析接続

　ゼータ関数ζ(s)は1以外の複素数で定義された関数で､特に実部R(s)が1以上の複素数sにては､ζ(s)=Σₙ［1,∞］1/nˢ=1+1/2ˢ+1/3ˢ+•••､と美しい無限級数の形で表現されます。
　これを､リーマン(が名付けた)ゼータ関数と云います。因みにゼータはζというギリシャ語です。

　このリーマンゼータ関数ζ(s)は､R(s)>1の時に収束し､s=1の時､調和級数となり発散します。故に､s=1は一位の極(特異点)となります。
　このゼータ関数は､リーマン独自の”解析接続”により､sが1以外の全ての複素数にて､正則な有理型関数(微分可能な複素関数)に拡張されます。

　因みに解析接続とは､ゼータ関数の定義域を全複素平面上に拡張する事ですが。
　この解析接続こそが､リーマン予想の主題であり､ゼータ関数と素数の謎の解明の大きな鍵となります。
　後でも詳しく述べますが､リーマン予想=解析接続とも言えますかね。　

　元々､このゼータ関数はオイラーが発見したものですが。1937年に､同じくオイラーが発見したオイラー積”Πₚ1/(1−1/pˢ)”とゼータ関数を結び付けたのが始まりです。
　つまり､ζ(s)=Σₙ［1,∞］1/nˢ=Πₚ1/(1−1/pˢ)という等式の誕生です。
　故に､ゼータ関数は”全ての素数pにわたる積”とも言われ､”無限和=無限積”という奇跡の無限級数であるとされます。

　事実､リーマンが1859年に提出した論文「与えられた大きさ以下の素数の個数にて」では､前述の”オイラーの積公式”とオイラーの積分表示(1768)を変形した”第一積分表示”のζ(s)=1/Γ(s)∫ₜ［0,∞］tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dt､Re(s)>1から出発し､ゼータ関数の全複素領域への解析接続を行います。

ディリクレの貢献とリーマンの考察

　序文では､師であるガウスとディクリレの素数研究について触れ､リーマンの論文は素数研究に向かいます。
　リーマンはζ(s)の2通りの解析接続(第一及び第二積分表示)を行い､ζ(s)を零点と極に関する積に分解し､x以下の素数の個数であるπ(x)の明示公式(素数定理)を示します。　

　かつてオイラーが発見した､ゼータ関数の定義域は整数に限られてたが故に､オイラーゼータ関数とリーマンゼータ関数で区別する向きもありますが。
　リーマンゼータがオイラーゼータを包み込む形となってるので､今やゼータ関数と言えば､リーマンゼータ関数で統一されてます。
　つまり､ゼータの”創始者”がオイラーなら､ゼータの”確立者”がリーマンです。そして､その間を取り持ったのがディリクレ(ディリクレ級数)ですかね。

　因みにディリクレも､リーマンと同様に”オイラー積”を元にした仕事をしてます。
　この仕事でのディリクレの大きな貢献は､彼を有名にした”算術級数の素数定理”がある。これは､p≡m(mod n)を満たすp(素数)が無限に存在する事の画期的な証明でした。
　ディリクレは､リーマンと同じく素数の分布にも興味を持ったんですが、目立った成果は得られなかった。
　しかし､ディリクレはリーマンの師であり､リーマンは論文の最初の段階でディリクレの仕事を参照してます。故に､リーマンがオイラー積を用いた事は､明らかにディリクレによる影響でした。
　そのディリクレはオイラーとは異なり､ゼータ関数を実変数の領域として用い､全てのs>1の実数で”ゼータ関数=オイラー積”を証明します。
　一方､リーマンは複素関数論の創始者の1人であり､複素変数のゼータ関数を考察するのもごく自然の事ですね(「ゼータ関数とリーマン予想」より一部抜粋)。

最後に〜リーマン予想とオイラー積

　リーマンゼータ関数が素数の分布と密接に関係するのは､論文の最初に持ってきた”オイラー積表示”による所が大きいですね。
　つまり､ζ(s)と素数との関係の核心は､オイラーの積表示にあったんです。
　事実リーマンは､この”オイラー積”の対数をとり､更にフーリエ変換を使い､ζ(s)を自ら定義した離散関数J(x)で表示し､J(x)を主要公式に結びつけます。
　その後､メビウス変換を使い､π(x)をJ(x)で表し､不完全ながらも､明示公式(リーマンの強い素数定理)に繋げます。　

　この明示公式が証明されるには､「リーマン予想」”ゼータの(虚)零点がRe(s)=1/2上にある”の完全決着が必要だったんです。
　しかし素数定理に関して言えば､”0<Re(s)<1で零点を持つ”でも十分でした。

　故に､リーマン予想と同じく､リーマンの1859年の僅か8頁の論文は､ずっと先を行くものだったんですね。

　因みに､この過程が非常に困難で､説明するのにとても苦慮します。故に”その1”(全12話)では､リーマンの解析接続を中心に述べたいと思います。