高木貞治とその時代”その2”〜ガウスの代数的整数論と､その歴史

　前回｢その1｣では､高木貞治氏の研究の中核をなす”類体論”と､その基本定理である｢高木の存在定理｣について述べました。
　自分では､結構掘り下げて書いたつもりですが､見れば見る程に穴がある。寄せられたコメントにも､それらを補足するものが目立つ。
　そこで､前回のおさらいを兼ねて､｢数の概念｣と｢近世数学史談｣(共に高木貞治著)の解説を参考にし､類体論とその｢存在定理｣を振り返ってみます。

前回の補足〜高木類体論とその｢存在定理｣

　高木氏が｢存在定理｣を発見･証明したのは第2次世界大戦中の1915年の事で､国際数学会議で発表したのは1920年の事でした。
　一方で､｢アルティンの相互法則｣が確立されたのが1924〜30年の事だから､｢高木の存在定理｣を補間し､結果的には2つの定理が類体論の完成に導いた事になる。
　因みに類体論とは､”一般化されたイデアル類群とアーベル拡大は1対1に対応する”と要約できるが､一方で､｢高木の存在定理｣とは､アーベル拡大と合同イデアル群の1対1対応を主張し､”代数体K=Q(α)の任意の合同イデアル群Hに対し､H=Hₘ(L/K)なる様なアーベル拡大Lが存在する”との定理でした。

　この｢存在定理｣を含む､高木類体論の論文の正式名は｢相対アーベル数体に対する一般論｣である。故に､厳密には(一般ではない)特殊なケースが存在する。
　つまり､類体論の存在定理の特殊な場合では､一般化されたイデアル類群はKのイデアル類群であり､"Kの拡大体L/KがKの全ての素因子で不分岐である様なKのイデアル類群に同型なガロア群G(L/K)を持つアーベル拡大Lが一意に存在"する。こうした拡大を”ヒルベルト類体”(=絶対類体)と呼ぶが､フルトヴェングラーが1907年に証明していた。
　この特別な性質は”元々の代数体Kのイデアルはヒルベルト類体へ引き戻すと主イデアル(単項イデアル)となる”というもので､これもフルトヴェングラーとアルティンにより証明されていた。

　因みに､ヒルベルトは”類体は不分岐だ”と予想したが､高木氏はもし”類体が分岐であったら”との類体の一般論に置き換えた。
　つまり､ヒルベルトの類体論から”不分岐”を捨て去った結果､”任意のアーベル体は類体なり”という｢存在定理｣の発見に繋がったのだ。
　確かに､不分岐の場合はフルトベンクラーが証明してたから､その影響もあったのだろう。だが､一般の代数体に対し特別な性質を持つアーベル拡大体で､類体と呼ばれるものを定義したH･ヴェーバーの影響も大きかった。
　その直後､ヒルベルトはヴェーバーの類体の中で特別なものを取り上げ､”ヒルベルト類体”と呼ぶ主要な性質を予想した。その1つが”絶対類体は代数体K上不分岐”である。

　一方で高木氏は､”アーベル拡大＝類体”という類体論の基本定理､つまり(特殊ではない)一般的な｢存在定理｣に到達したが､この存在定理にアルティンの｢一般相互法則｣を使えば､”一般化されたイデアル類群(Iₘ/H)とガロア群G(L/K)がアルティン写像により同型となる様な代数体Kのアーベル拡大が存在する”と精密化出来る。
　今では､｢高木の存在定理｣は類体論の中の1つの定理とみなされてるが､｢ヒルベルト類体｣という特殊なケースを一般化したら､類体論の基本定理に帰着したという皮肉である。
　因みに､高木氏の類体は(一部の精密化を除き)､ウェーバーと基本的には同じである。が､技法的には､一意性定理→存在定理(同型定理を含む)→分解法則を順に証明し､最後に自身が”基本定理”と名付けた｢存在定理｣へと辿り着く。
　まず､一意性定理とは”Kの合同イデアル群H=Hₘ(L/K)を1つ与えた時､Hに対するK上の類体は唯一に限る”との事だ。次に､(同型定理を含む)存在定理とは”代数体Kの任意の合同イデアル群Hに対し､K上の類体Lが存在する”事で､その中の同型定理とは”Kの法mの合同イデアル群Hに対するK上の類体Lに対し､ガロア群G(L/K)は合同イデアル類群Aₘ/Hと同型になる”との事です。
　更に分解法則ですが､”Kの素イデアルがHに対する類体L上では､どの様な形に素イデアル分解されるのか”を示す定理で､その分解のタイプは合同イデアル類群(剰余群)Aₘ/Hの各剰余類に含まれる全ての素イデアルに対し､同じ形になる。この事から”類体”という名が生じたとされる。
　但し､以下でも触れるが､整数環Oのイデアルmの素因子を含まない”分数イデアル”(≠0)全体が作るAの部分群をAₘ(⊃H)とする。故に､Aₘ/Hは剰余群になる。
　最後に､｢高木の存在定理｣である”代数体Kの任意のアーベル拡大体Lは､Kのある合同イデアル群H=Hₘ(L/K)に対する類体である”との結論に達します。

類体と合同イデアル群と分数イデアル

　因みに､前回｢その1｣で説明を飛ばした”合同イデアル群H=Hₘ(L/K)”ですが､類体との関係について少し触れる事にする。
　まず代数体Kにおける”分数イデアル”とは､Kの整数環Oの整イデアルIを､Kのある元μ≠0で割ったM=I/μの形の集合の事で､分数イデアルの全体はイデアルの積により可換群Aを作る。
　また､分数イデアルは整数環Oの整イデアルIの商(分数)として表せるから､デデキントの(素イデアル分解の一意性を満たす)基本定理より､素イデアルの(正又は負の)べきの積として一意的に表される。これは”全ての分数イデアルが単項イデアルである”事を意味する。
　但し､分数イデアルとは”分母が許されたイデアル”の様なもので､ここでは通常のイデアルを分数イデアルと区別する為に”整イデアル”とする。

　一方､単項イデアル全体の作るAの部分群Sによる剰余群A/Sは有限群である。
　これを一般化するのだが､まずKの整数環Oのイデアルmを1つ定め､mの素因子を含まない分数イデアル(≠0)全体の作るAの部分群をAₘとする。そして､α∈Kをα=β/γ､β,γ∈Oと書く時､β−γ∈mとなる様なαに対する単項イデアル(α)全体の作るAₘの部分群をSₘとする。つまり､単項イデアル(α)とは元αを含む最小のイデアルとなる。
　この時､Aₘ⊃H⊃Sₘなる任意の部分群Hをmを法とする”合同イデアル群”と呼び､剰余群Aₘ/Hを”合同イデアル類群”と呼ぶ。但し､Aₘ/Hは有限アーベル群である。
　いま､代数体Kの整イデアルmを法とする合同イデアル群を1つ与えた時､Kの有限次拡大体Lが次の条件を満たす時､ヴェーバーは”LはHに対するK上の類体である”と定義した。但し､その条件とは”Aₘに含まれる素イデアルPの絶対次数が1の時､Lの素イデアルPIₓが相異なる1次素イデアルの積となる為の必十条件はP∈Hとなる”事である。

　勿論､これだけでは何を言ってるのか？サッパリである。
　まず類体とは､あるイデアルm∈OがH=Hₘ(L/K)となる様な拡大体L/Kであり､素イデアルの分解がmで割った”余り”による類別から判る様な拡大体の事である。但し､”余りによる類別”とは(以下で述べる)平方剰余の相互法則による分類となる。
　更に､｢高木の存在定理｣により､類体はアーベル拡大体となる。つまり､L/Kは類体となるが､LはK上の類体とも言う。
　ここら辺は少し専門的になりますが､”合同イデアル群”という言葉は､類体論でしばし登場する。勿論､それら詳しい概念を知らずに話を進めるのも気が引けるが､イデアル論に関しては以下でも説明しますので､ここでは大まかな理解と確認をです。

ガウスと代数的整数論の歴史

　元々高木氏の研究の中心は､代数的整数論の中の類体論､又は”相対アーベル体論”と呼ばれるものだ。学位論文の虚数乗法論は相対アーベル体を構成する問題を扱うのだが､類体論を説明する前に､まず整数論の歴史を振り返る事にする。
　まず代数的整数論とは､代数的な方法で整数論を研究するのではなく､”代数的整数”を対象とする研究である。この代数的整数というのは､通常の整数:0,±1,±2,...(区別する為に”有理整数”とも呼ぶ)を拡張したもので､この有理整数を係数とする代数方程式で最高次の項の係数が1となる方程式の解となる複素数(実数を含む)の事である。
　例えば､2つの代数的整数α,βの和,差,積は代数的整数となるが､商はそうとは限らない。これは､商α/βは整係数代数方程式の解となるが､最高次係数は1とは限らないからだ。
　1つの代数的整数αの有理係数分数式の全体Q(α)は､(0で割る以外の)四則演算で閉じている。このQ(α)の形の集合Kを代数体といい､Kに含まれる代数的整数全体の集合をOとする。つまり､代数的整数論で研究するのは､この代数体K=Q(α)と整数環Oの性質である。　
　この様な研究を最初に始めたのはガウスだが､自著｢整数論研究｣の主要テーマの1つは平方剰余法則であったが､ガウスは更に4次剰余相互法則を考える為に､”ガウス整数”と呼ぶm+ni(m,n:有理整数Q)の形の複素数を導入した。 この時､K=Q(i)となり”ガウス数体”と呼ぶ。だが､i(=√(−1))は1の4乗根(1=i⁴)であり､有理整数Qには属さないので､K=Q(i)では4次剰余相互法則を上手く説明できないのだ。
　因みに､以下で述べるが､ガウス整数全体の集合をガウス整数環と呼び､Z(i)={m+ni|m,n:有理整数環Z}で表す。故に､Z(i)はガウス数体Q(i)の整数環Oであり､典型的な代数体である円分体や2次体の1種なので､ガウス整数環は代数的整数論における最も基本的な対象の1つとなる。

　そこで､ガウスの記事でも書いたが､平方剰余や相互法則を簡単におさらいする。
　まず､1つの整数m≠0を決めた時､2の整数a,bの差a−bがmで割り切れる時､”aとbはmを法(mod)として合同”といい､”a≡b mod(m)”と記す。更に､整数n>0,aと素数pに対し､”xⁿ≡a mod(p)”を満たす整数xが存在する時､”aは法pのn次剰余”となる。
　例えば､n=2の時､ルジャンドル記号(a/p)=1の時､aは法pの”平方剰余”で､(a/p)=−1の時､aは法pの”非平方剰余”を用いると､平方剰余の相互法則は､p,qを互いに異なる任意の奇素数とすると､(q/p)(p/q)=(−1)^{(p-1)/2)(q-1)/2)}が成立する。
　故に､qが法pの平方剰余かどうかは､逆にpは法qの平方剰余か？否か？で直ちに判る。
　例えば､p,qも4n−1の形の時､(p-1)/2も(q-1)/2も奇数で､(q/p)(p/q)=−1となる。ここで､p,qが相異なる奇素数より､(q/p)=1又は−1となり､(q/p)²=1を(q/p)(p/q)=−1の両辺に掛けると､(p/q)=−(q/p)を得る。また､その他の時は(q/p)(p/q)=1となり､同様にして(p/q)=(q/p)を得る。従って､平方剰余の相互法則は､(p/q)=(q/p)又は−(q/p)と書き換える事が出来る。

最後に〜数学は帰納的であるべきだ

　前回のおさらいのつもりでしたが､長くなりすぎたので､ここまでにします。
　次回も整数論から類体論へと繋がる歴史の流れとして､ガウスを受け継いだクンマーとデデキント､更にクロネッカーを受け継いだ高木氏の類体論へと話を進めます。

　因みに､｢近世数学史談｣の解説を杉浦光男氏が担当されてるが､難しい事を非常にシンプルに纏めてあるのは嬉しい限りである。
　高木氏が語る様に､数学は難しいだけの学問であり､数学史は正確な記録ではあるが無味乾燥な読み物である。が､数学史論は各人様々で､面白い議論であるべきだ。
　つまり､数学が難しいだけではなく面白い学問である為には､それを紹介する数学者が個性溢れるユニークな人間であるべきである。
　そういう意味では､｢近世数学史談｣は私の数学のバイブルと言っていい。故に､読むほどに色んな味わいや情景を与えてくれる。

　例えば､ガウスは”数学は帰納的であるべきだ”と言い､”特殊から一般ヘ”はその標語となった。更に”数学が演繹的であるというのは当り前の事だが､既成の数学のみに通用する事であり､演繹のみから新しいものは生まれてこないのも当り前の事だろう・・・我々は空虚なる一般論に囚われてないで､帰納の一途に精進すべきではないか”と語った。
　事実ガウスは､1951年にコーシーが到達した関数の基本定理｢コーシーの積分定理｣を40年も前に秘蔵していた。つまり､ガウスは帰納的手法で､この基本定理を発見していたのである。　
　また､レムニスケート関数s(u)をs(u)=P(u)/Q(u)とテータ関数の商(分数)に書く時､P(u)やQ(u)は無限積で表せるが､ガウスは無限積を無限級数に書き直した。
　無限積を無限級数に変形する方法は､現今の楕円方程式論で容易に導けるとされるが､ガウスは最初は”数値計算により帰納的に発見したのでは？”と高木氏は推測する。
　勿論､面倒な証明を理解するのは演繹的理解である。だが､元となる公式は最初は数値計算により得られたのではないか。
　つまり､数学の世界では､証明やその理解よりも､発見や予測の方がずっと重要なのであろうか。

　ガウスにより初めて発見された楕円関数においても､高木氏は”アーベルの方法は着想において極めて単純である。それはオイラーが三角関数にて成し得たものを､最も自然に楕円関数の上に拡張したのものであり､ガウスやヤコビの様な難渋なる帰納や模索の痕跡もなく､全てがスラスラと進行する。これはアーベルの非凡なる天才に因る”と語り､若くして夭逝したアーベルやガロアの肖像の鮮やかさは見事という他ない。
　また､ガウスとフーリエの比較論も非常にユニークで､”フーリエの計算には随分と真剣に(まるで自然界征服の為の如く)考えられた長い数字の羅列が散見するが､ガウスの場合は娯楽として羅列された数字の様にも見える”と皮肉たっぷりである。