バックギャモンはダイスを使うゲームのため運によって勝敗が大きく左右されます。ただし長い目で見れば運は全ての人に平等であり、トータルでは強い人が多く勝ちます。
今日はこの運に関する問題です。
ＡさんとＢさんが1ポイントマッチをするとします。1ゲームの間にＡさんは10%勝率を落とし、Ｂさんは20%勝率を落とします。単純に考えればＡさんの勝率は50-10+20=60%と求まりますが、運は平等という観点からもう少し冗長に求めてみましょう。
ゲームの開始時にはお互いの勝率は50%ですが、勝負が終わった時にはそれが0%か100%になり、50%がエラーと運で変動します。二人の犯すエラーの差が10%なので、Ａさんが勝つ時は40%の運を、Ｂさんが勝つ時は60%の運を得ます。
これではBさんの方がラッキーなように思えますが、これは二人の間の勝率の違いによって補われます。長い目で見て二人の得る運が平等になるためには、AさんとBさんの勝率が6対4である必要があります(6×40＝4×60より)。したがってAさんの勝率は60%でBさんの勝率は40%となります。
ところでコンピュータでマッチの解析を行うと、何%の勝率を運によって得られたかが計算されます。コンピュータの解析も厳密には正確ではないので多少の誤差はありますが、このＬuckの推定値も実は平等になるようにできています。
コンピュータが一手以上先読みして局面評価する時、ダイスをロールする前の期待値は36通りの目が出た後のそれぞれの期待値の平均で求められます。
またダイスの目によって変動する期待値がＬuckに相当します。
したがってコンピュータの局面評価が正確か不正確かに関わらず、Ｌuckの期待値は必ず0となります。
それでは人間のＣさんとコンピュータが対戦する場合を考えてみましょう。
コンピュータの手はコンピュータで解析すると勝率を1%も落としません（解析に用いる評価器は対戦の時と全く同じとします）。一方Ｃさんの手はコンピュータと全く同じ手を選ばない限り、解析によれば何%か勝率を落としてしまいます。仮にｘ%落とすとしましょう。
すると解析によれば、Ｃさんが勝つ時は(50＋x)%のＬｕｃｋを得て、コンピュータが勝つ時は(50ーx)%のＬuckを得ます。
またＣさんとコンピュータが得られるＬuckの期待値は先ほど述べたように双方必ず0になります。長い目で見てＬuckが0になるために、Ｃさんとコンピュータの勝率はそれぞれ(50ーx)%、(50＋x)%になります。xは0以上の数字なので、したがってＣさんはコンピュータに対して勝率で上回ることは決してできません。
問題： 上の文章から得られた結論は明らかに誤りですが、一体どこに論理的な欠陥があるのでしょうか?
今日はこの運に関する問題です。
ＡさんとＢさんが1ポイントマッチをするとします。1ゲームの間にＡさんは10%勝率を落とし、Ｂさんは20%勝率を落とします。単純に考えればＡさんの勝率は50-10+20=60%と求まりますが、運は平等という観点からもう少し冗長に求めてみましょう。
ゲームの開始時にはお互いの勝率は50%ですが、勝負が終わった時にはそれが0%か100%になり、50%がエラーと運で変動します。二人の犯すエラーの差が10%なので、Ａさんが勝つ時は40%の運を、Ｂさんが勝つ時は60%の運を得ます。
これではBさんの方がラッキーなように思えますが、これは二人の間の勝率の違いによって補われます。長い目で見て二人の得る運が平等になるためには、AさんとBさんの勝率が6対4である必要があります(6×40＝4×60より)。したがってAさんの勝率は60%でBさんの勝率は40%となります。
ところでコンピュータでマッチの解析を行うと、何%の勝率を運によって得られたかが計算されます。コンピュータの解析も厳密には正確ではないので多少の誤差はありますが、このＬuckの推定値も実は平等になるようにできています。
コンピュータが一手以上先読みして局面評価する時、ダイスをロールする前の期待値は36通りの目が出た後のそれぞれの期待値の平均で求められます。
またダイスの目によって変動する期待値がＬuckに相当します。
したがってコンピュータの局面評価が正確か不正確かに関わらず、Ｌuckの期待値は必ず0となります。
それでは人間のＣさんとコンピュータが対戦する場合を考えてみましょう。
コンピュータの手はコンピュータで解析すると勝率を1%も落としません（解析に用いる評価器は対戦の時と全く同じとします）。一方Ｃさんの手はコンピュータと全く同じ手を選ばない限り、解析によれば何%か勝率を落としてしまいます。仮にｘ%落とすとしましょう。
すると解析によれば、Ｃさんが勝つ時は(50＋x)%のＬｕｃｋを得て、コンピュータが勝つ時は(50ーx)%のＬuckを得ます。
またＣさんとコンピュータが得られるＬuckの期待値は先ほど述べたように双方必ず0になります。長い目で見てＬuckが0になるために、Ｃさんとコンピュータの勝率はそれぞれ(50ーx)%、(50＋x)%になります。xは0以上の数字なので、したがってＣさんはコンピュータに対して勝率で上回ることは決してできません。
問題： 上の文章から得られた結論は明らかに誤りですが、一体どこに論理的な欠陥があるのでしょうか?
（１）試行結果しての勝率と（２）勝率の期待値をいずれも勝率と表記しています。どちらも人間Ｃは(50-X+Y）%、コンピュータは（50+X-Y)%で表せますが、（２）ではYが必ず0になります。
「勝率で上回ることは決してできません。」はだから、（２）の意味では正しいです。結果としての勝率は、XとYの大小関係によっては人間がコンピューターを上回りることもあり得ます。
関連して言えば、コンピューターに近づこうとしている人のPR５点と、コンピューターの言うことなんて気にしないよという人のPR５点では後者のほうが強いと思います。それは、真のエラーレートは後者のほうが良いからです。
確かにあるポジションだけに着目してロールする前後で得られるＬuckとその直後のムーブのエラーの値は独立な関係にあります。しかし、一局を通したときのＬuckの総和とエラーの総和だと話は別だと思います。
すいません後半の説明はよくわかりませんでした。（2）の勝率の期待値とはコンピュータが見積もった双方の勝率、という解釈であってますか?
論理の欠陥を見つけるゲームとしては、コンピュータの完全性は論点にならないのだろうと考えました。
to kubochu
＞（2）の勝率の期待値とは
”コンピュータが見積もった”とは特に考えなかったけど、長い目で見たときに推定される、エラーだけに影響を受ける双方の勝率ということです。コンピュータの見積もりと一致すると思います。
確かに、エラーと運はその発生においては独立だけど、そのような依存関係はありますね。