今日のテーマは、割合に関する特殊算の三番手「混合算」の５回目最終回です。
混合算を家庭でどう指導したらよいのか、そのポイントをタイプ別に４回伝授しました。
今日はしっかりと条件を整理しないと、式を立てることができない問題を取り扱います。
今回の問題程度を家庭で指導することは、少し難しいのですが、ヒントを与えながらチャレンジしてみてください。
前回までの混合算は、以下のようなタイトルで説明しましたので参考にご覧下さい。
『混合算…1回目・まず始めに知っておくべきこと』……混合算導入指導
『混合算…その２・中学入試問題《慶應義塾中等部》』……最も基本的なタイプ
『混合算…その３・中学入試問題《中央大学附属中学校》』……ちょっと工夫するタイプ
『混合算…その４・中学入試問題《東京女学館中学校》』……面積図を使って解く問題
実際に入試に出題された混合算を解く場合、与えられた条件を分かり易く書き抜いて、問題の構造を理解することが大切です。
今日使う入試問題は、今年の春に出題された灘中学校の問題です。
灘中学校の算数１日目は、比較的小問形式の問題１３題で構成されていて、６０分のテスト時間です。
２日目は、大問５題構成で、同じく６０分のテスト時間です。
今回扱う問題は、２日目の【１】の問題で、小問３題に分かれています。
問題自体は、さほど難しい問題ではありません。
しかし、単に混合算の公式を覚えているだけでは、なかなか解けません。
混合算の公式の基本にある割合の考え方をしっかりと理解していることが、問題を解くヒントとなります。
そうした基本を踏まえ、与えられた条件を書き出し、問題条件を整理することが充分にできたなら、比較的解きやすい問題となっています。
中堅校以上の学校では、今回伝授する問題の類似問題程度は充分に出題される可能性があります。
こうしたレベルの問題を解く力を付けるためには、日常学習するときに、与えられた条件をノートに分かり易くまとめる作業をすることが大切です。
上位校の問題は、すぐに式をたてることができるほど、甘くはありません。
条件を整理し、論理的に問題を解く習慣を付けておきましょう。
教室の窓から眺めると…うろこ雲が秋の到来を感じさせる
巻うろこ雲は積雲のことで、他に鰯（いわし）雲、さば雲などとも呼ばれる
上空高くに浮かび、雲を構成する粒は氷の結晶からできている
【問題１】
Ａ，Ｂ，Ｃの３つの容器に、同じ重さの食塩をそれぞれ入れ、さらに水を加えて食塩水を作りました。ただし、加えた水は同じ重さとは限りません。こうしてできた食塩水について、次のことが分かっています。
①ＡとＢの食塩水全部を混ぜると、Ｃの食塩水と同じ濃さになる。
②ＢとＣの食塩水全部を混ぜると、Ａの食塩水の２倍の濃さになる。
（１）Ａの食塩水の重さとＢの食塩水の重さの和は、Ｃの食塩水の重さの□倍です。
（２）Ａの食塩水の重さは、Ｃの食塩水の重さの□倍です。
（３）Ｂの食塩水にさらに６００ｇの水を加えると、ＡとＣの食塩水全部を混ぜてできる食塩水と同じ濃さになりました。Ｃの食塩水の重さを求めなさい。
【ヒント】
食塩水の問題は、そこに含まれる食塩の重さを考えていくことが重要です。
食塩水の問題は割合の問題として考えますが、食塩の量がくらべる量で、食塩水全体の量がもとにする量として考えます。
①の条件文に出ている要点を、自分なりに分かり易く図示しましょう。
すると、以下のような問題の構造が分かってきます。
上の図解では、各容器に初めに入っていた食塩の重さを①とし、食塩水全体の重さをそれぞれＡｇ、Ｂｇ、Ｃｇと置きます。
すると、ＡとＢを混ぜた食塩水の重さは（Ａ＋Ｂ）ｇで、入っている食塩の重さは②、Ｃの容器にはＣｇの食塩水に食塩が①入っていることが分かります。
ＡとＢを混ぜた食塩水と、Ｃの食塩水の濃さが等しくなるためには、それぞれに入っている食塩の重さ②：①＝２：１の比と、食塩水全体の重さの比が等しいことが必要であることが分かりますか。…ここがポイント！
よって、食塩水全体の重さの比は、（Ａ＋Ｂ）：Ｃ＝２：１となります。
このことから、食塩水の重さの文字の式 Ａ＋Ｂ＝Ｃ×２……（１）が得られます。
次に、同様に②の条件式から、以下のような条件整理の図を書くことができます。
Ａの容器には食塩が①、食塩水がＡｇ入っています。
ＢとＣを混ぜた食塩水には、食塩が②、食塩水が（Ｂ＋Ｃ）ｇ入っています。
ＡおよびＢとＣを混ぜた食塩水では、食塩の重さの比が１：２になっています。
するとＢとＣを混ぜた食塩水が、Ａの食塩水の濃さの２倍になるためには、食塩水全体の重さが等しければよい…ここがポイント！
このことから、Ａ＝Ｂ＋Ｃ……（２）という式が得られます。
条件を整理して得られた（１）と（２）の文字の式から、食塩水の重さＡとＢとＣの比を出すことができます。
問題（３）は、問題（１）と（２）を求めることにより、出すことができます。
秋近しを感じさせる木の実
【問題１・解答】
（１）
ヒントで得られた文字の式、Ａ＋Ｂ＝Ｃ×２……（１）から、答えは簡単に出ます。
ＡとＢの食塩水の重さの和は、Ｃの食塩水の重さの２倍…答え
（２）
ヒントで得られた二つの文字の式から、ＡとＢとＣの食塩水の重さの比を求めます。
Ａ＋Ｂ＝Ｃ×２……（１）
Ａ＝Ｂ＋Ｃ……（２）
小４や小５で習う、消去算の手法でこの２つの文字の式から比を求める必要があります。
（２）の式を（１）に代入します。
すなわち（１）の式のＡの代わりに、同じ大きさのＢ＋Ｃを代入します。
（Ｂ＋Ｃ）＋Ｂ＝Ｃ×２
Ｂ×２＋Ｃ＝Ｃ×２
Ｃを右辺に移すと、Ｂ×２＝Ｃ
この式より、Ｂ：Ｃ＝１：２という比を出すことができます。
次に、Ａ＝Ｂ＋Ｃ……（２）の式にＢ＝１，Ｃ＝２を代入すると、Ａ＝３という値が得られます。
よって、Ａ：Ｂ：Ｃ＝３：１：２となり、Ａの食塩水の重さ３は、Ｃの食塩水の重さ２の１．５倍……答え
（３）
（３）の問題文から、条件を書き出して図示してみましょう。
ＡとＣを混ぜた食塩水と、Ｂの食塩水に含まれる食塩の重さの比は、２：１
ＡとＣを混ぜた食塩水と、Ｂに６００ｇの水を加えた食塩水の重さの比は、
（Ａ＋Ｃ）：（Ｂ＋６００）
ところで、条件ではこの２つの食塩水の濃さが等しくなったということですから、食塩水の重さの比が、食塩の重さの比２：１と一致していればよいことになります。…ここがポイント！
前の問題で出した食塩水の重さの比から、Ａ：Ｂ：Ｃ＝３：１：２ですから、上の式にＡに③を、Ｂに①を、Ｃに②を代入します。
（③＋②）：（①＋６００）＝⑤：（①＋６００）＝２：１
上の式より①＋６００＝マル２．５（○の中に数値２．５が入る）
６００（ｇ）＝マル１．５
よって①＝４００ｇ
（マルイチ算的な手法）
Ｃの食塩水の重さは②ですから、４００×２＝８００（ｇ）…答え
ベランダ菜園のオクラ
クーラー室外機のファンの熱風にもめげず元気に育ちました
今回の問題は、与えられた条件を、単に頭の中で処理するのではなく、分かり易く図示して考える必要があります。
また、条件を文字の式で整理することも、特に比を利用する場合大切です。
日頃、ノートに問題条件を素早く分かり易くまとめることを心掛けている生徒は、今回の問題を比較的簡単に解くことができるでしょう。
家庭で子どもを指導する場合、答えを出すことよりも、問題条件をどのように整理するかということに留意して指導することが大切です。
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混合算を家庭でどう指導したらよいのか、そのポイントをタイプ別に４回伝授しました。
今日はしっかりと条件を整理しないと、式を立てることができない問題を取り扱います。
今回の問題程度を家庭で指導することは、少し難しいのですが、ヒントを与えながらチャレンジしてみてください。
前回までの混合算は、以下のようなタイトルで説明しましたので参考にご覧下さい。
『混合算…1回目・まず始めに知っておくべきこと』……混合算導入指導
『混合算…その２・中学入試問題《慶應義塾中等部》』……最も基本的なタイプ
『混合算…その３・中学入試問題《中央大学附属中学校》』……ちょっと工夫するタイプ
『混合算…その４・中学入試問題《東京女学館中学校》』……面積図を使って解く問題
実際に入試に出題された混合算を解く場合、与えられた条件を分かり易く書き抜いて、問題の構造を理解することが大切です。
今日使う入試問題は、今年の春に出題された灘中学校の問題です。
灘中学校の算数１日目は、比較的小問形式の問題１３題で構成されていて、６０分のテスト時間です。
２日目は、大問５題構成で、同じく６０分のテスト時間です。
今回扱う問題は、２日目の【１】の問題で、小問３題に分かれています。
問題自体は、さほど難しい問題ではありません。
しかし、単に混合算の公式を覚えているだけでは、なかなか解けません。
混合算の公式の基本にある割合の考え方をしっかりと理解していることが、問題を解くヒントとなります。
そうした基本を踏まえ、与えられた条件を書き出し、問題条件を整理することが充分にできたなら、比較的解きやすい問題となっています。
中堅校以上の学校では、今回伝授する問題の類似問題程度は充分に出題される可能性があります。
こうしたレベルの問題を解く力を付けるためには、日常学習するときに、与えられた条件をノートに分かり易くまとめる作業をすることが大切です。
上位校の問題は、すぐに式をたてることができるほど、甘くはありません。
条件を整理し、論理的に問題を解く習慣を付けておきましょう。
教室の窓から眺めると…うろこ雲が秋の到来を感じさせる
巻うろこ雲は積雲のことで、他に鰯（いわし）雲、さば雲などとも呼ばれる
上空高くに浮かび、雲を構成する粒は氷の結晶からできている
【問題１】
Ａ，Ｂ，Ｃの３つの容器に、同じ重さの食塩をそれぞれ入れ、さらに水を加えて食塩水を作りました。ただし、加えた水は同じ重さとは限りません。こうしてできた食塩水について、次のことが分かっています。
①ＡとＢの食塩水全部を混ぜると、Ｃの食塩水と同じ濃さになる。
②ＢとＣの食塩水全部を混ぜると、Ａの食塩水の２倍の濃さになる。
（１）Ａの食塩水の重さとＢの食塩水の重さの和は、Ｃの食塩水の重さの□倍です。
（２）Ａの食塩水の重さは、Ｃの食塩水の重さの□倍です。
（３）Ｂの食塩水にさらに６００ｇの水を加えると、ＡとＣの食塩水全部を混ぜてできる食塩水と同じ濃さになりました。Ｃの食塩水の重さを求めなさい。
【ヒント】
食塩水の問題は、そこに含まれる食塩の重さを考えていくことが重要です。
食塩水の問題は割合の問題として考えますが、食塩の量がくらべる量で、食塩水全体の量がもとにする量として考えます。
①の条件文に出ている要点を、自分なりに分かり易く図示しましょう。
すると、以下のような問題の構造が分かってきます。
上の図解では、各容器に初めに入っていた食塩の重さを①とし、食塩水全体の重さをそれぞれＡｇ、Ｂｇ、Ｃｇと置きます。
すると、ＡとＢを混ぜた食塩水の重さは（Ａ＋Ｂ）ｇで、入っている食塩の重さは②、Ｃの容器にはＣｇの食塩水に食塩が①入っていることが分かります。
ＡとＢを混ぜた食塩水と、Ｃの食塩水の濃さが等しくなるためには、それぞれに入っている食塩の重さ②：①＝２：１の比と、食塩水全体の重さの比が等しいことが必要であることが分かりますか。…ここがポイント！
よって、食塩水全体の重さの比は、（Ａ＋Ｂ）：Ｃ＝２：１となります。
このことから、食塩水の重さの文字の式 Ａ＋Ｂ＝Ｃ×２……（１）が得られます。
次に、同様に②の条件式から、以下のような条件整理の図を書くことができます。
Ａの容器には食塩が①、食塩水がＡｇ入っています。
ＢとＣを混ぜた食塩水には、食塩が②、食塩水が（Ｂ＋Ｃ）ｇ入っています。
ＡおよびＢとＣを混ぜた食塩水では、食塩の重さの比が１：２になっています。
するとＢとＣを混ぜた食塩水が、Ａの食塩水の濃さの２倍になるためには、食塩水全体の重さが等しければよい…ここがポイント！
このことから、Ａ＝Ｂ＋Ｃ……（２）という式が得られます。
条件を整理して得られた（１）と（２）の文字の式から、食塩水の重さＡとＢとＣの比を出すことができます。
問題（３）は、問題（１）と（２）を求めることにより、出すことができます。
秋近しを感じさせる木の実
【問題１・解答】
（１）
ヒントで得られた文字の式、Ａ＋Ｂ＝Ｃ×２……（１）から、答えは簡単に出ます。
ＡとＢの食塩水の重さの和は、Ｃの食塩水の重さの２倍…答え
（２）
ヒントで得られた二つの文字の式から、ＡとＢとＣの食塩水の重さの比を求めます。
Ａ＋Ｂ＝Ｃ×２……（１）
Ａ＝Ｂ＋Ｃ……（２）
小４や小５で習う、消去算の手法でこの２つの文字の式から比を求める必要があります。
（２）の式を（１）に代入します。
すなわち（１）の式のＡの代わりに、同じ大きさのＢ＋Ｃを代入します。
（Ｂ＋Ｃ）＋Ｂ＝Ｃ×２
Ｂ×２＋Ｃ＝Ｃ×２
Ｃを右辺に移すと、Ｂ×２＝Ｃ
この式より、Ｂ：Ｃ＝１：２という比を出すことができます。
次に、Ａ＝Ｂ＋Ｃ……（２）の式にＢ＝１，Ｃ＝２を代入すると、Ａ＝３という値が得られます。
よって、Ａ：Ｂ：Ｃ＝３：１：２となり、Ａの食塩水の重さ３は、Ｃの食塩水の重さ２の１．５倍……答え
（３）
（３）の問題文から、条件を書き出して図示してみましょう。
ＡとＣを混ぜた食塩水と、Ｂの食塩水に含まれる食塩の重さの比は、２：１
ＡとＣを混ぜた食塩水と、Ｂに６００ｇの水を加えた食塩水の重さの比は、
（Ａ＋Ｃ）：（Ｂ＋６００）
ところで、条件ではこの２つの食塩水の濃さが等しくなったということですから、食塩水の重さの比が、食塩の重さの比２：１と一致していればよいことになります。…ここがポイント！
前の問題で出した食塩水の重さの比から、Ａ：Ｂ：Ｃ＝３：１：２ですから、上の式にＡに③を、Ｂに①を、Ｃに②を代入します。
（③＋②）：（①＋６００）＝⑤：（①＋６００）＝２：１
上の式より①＋６００＝マル２．５（○の中に数値２．５が入る）
６００（ｇ）＝マル１．５
よって①＝４００ｇ
（マルイチ算的な手法）
Ｃの食塩水の重さは②ですから、４００×２＝８００（ｇ）…答え
ベランダ菜園のオクラ
クーラー室外機のファンの熱風にもめげず元気に育ちました
今回の問題は、与えられた条件を、単に頭の中で処理するのではなく、分かり易く図示して考える必要があります。
また、条件を文字の式で整理することも、特に比を利用する場合大切です。
日頃、ノートに問題条件を素早く分かり易くまとめることを心掛けている生徒は、今回の問題を比較的簡単に解くことができるでしょう。
家庭で子どもを指導する場合、答えを出すことよりも、問題条件をどのように整理するかということに留意して指導することが大切です。
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