マッキーの算数指導法：記数法（Ｎ進法）の教え方

 
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今日のテーマであり、今週小５の算数で取り上げた学習内容である「記数法」（Ｎ進法）の指導法を伝授する前に、ちょっと脇道にそれますが、それと関連した授業についてお話ししましょう。

来週、私は江東区の小学校で２年生の算数を指導しますが、塾では無論指導経験がありますが、公立小学校の２年生指導は今まで経験が無く、とても楽しみにしています。 

学習項目は「１０００より大きい数」で、生徒がどのような反応を示すか興味深く、授業では、さまざまなアプローチで生徒の好奇心を引きだし、楽しい学習時間にしたいと考えています。

Ｂ４プリント２枚の教材を作成しそれを使う予定ですが、そのプリントの【１】と【２】の問題が、今日取り上げる記数法に関連しますので、ちょっと取り上げてみます。

【小学２年算数の教材プリント】

【１】すべての数は、（　　　）から（　　　）までの、（　　　）この数字をくみあわせて、作ることができます。

【２】私たちが、算数でも学習しているような、ひごろ使っている数のあらわしかたのほかに、あなたはとくべつな数のあらわしかたを知っていますか。
（この質問の意図が小２では理解できないので、少し問題の意図を解説する必要があります。）

【１】は、お分かりのように、０から９までの１０個の数字を組み合わせて、日ごろ私たちが使っている数を表記します。

このように、１が１０個集まると十の位に１がたち、１０が１０個集まると、くり上がって百のくらいに１がたつような数の表し方を、「十進法」または「十進数」と呼んでいます。

【２】の問いかけに対しては、「十進法」の他にさまざまな記数法があることを身の回りから見つけることを主眼とします。

例えば、鉛筆を数えるときに使う１２本で１ダース、１２ダースで１グロスという表し方がありますし、欧米では長さの単位に、１フィートが１２インチとなるように、現在でも「十二進法」を使う場合もあります。

また、６０秒で１分、６０分で１時間、２４時間で１日、１２ヶ月で１年というように時間の単位には、「六十進法」・「十二進法」も存在します。

コンピュータは、磁極のＮＳの変化を用いるために、十進法ではなく「二進法」を使っています。

このようなことを、小学２年生が答えると言うよりは、興味が湧くように簡単に説明してみたいと思います。


小学生が取り扱う記数法は、「十進法」の数字を指定された「Ｎ進法」に直したり、「Ｎ進法」で表記された数値を、「十進法」に直すことが基本です。

ただし、単に数字が与えられていて、記数法による数値の変換といった問題ではなく、まずその問題が、（１）「記数法」の問題であること、（２）その問題が「何進法」であるかを見抜くことからスタートするような問題設定となっています。

この記数法は、最も代表的な「十進法」の構造が理解できれば、他のＮ進法にその考え方を適用することにより、比較的簡単に子どもに理解させることができます。

そこで、最初に十進法の構造をしっかりと理解させるために、次のような初歩的な指導を行います。

まず、ノートに１１１１と、四桁の「十進法」の数字を書かせます。

ミスしやすいポイントは、四桁目の千の位は１０が３回かけられた数字となっていることです。

式で表せば、１１１１＝１０×１０×１０×１＋１０×１０×１＋１０×１＋１×１、となります。

 これが「三進法」の１１１１（３）ならば、以下のような構造表になります。

よって、三進法の１１１１（３）を十進法に直すには、下のような式を書いて求めます。
１１１１（３）＝３×３×３×１＋３×３×１＋３×１＋１×１＝４０

私は記数法の問題が出たら、まず何進法かを調べ、何進法かが分かったら、初心者には必ず上のような構造表を書いてから解かせます。

では、もう少し問題を解いてみましょう。

【問題１】五進法の２０３４（５）を十進法に直しなさい。

まず基本に戻りますが、五進法は、０から４までの５つの数字を用い、無論５という数字は使いません。・・・ここの所をミスしないように！


（下の１こ・１こは書かないで、かけた数の１２５・２５を書いても良い。）

この構造表を書いて、これを見ながら式を立てます。

２０３４（５）＝５×５×５×２＋５×５×０＋５×３＋１×４＝２６９・・・答
（数字が０の位も、ちゃんと式に書いておきます。）


では、上の表を使って、今度は十進法を五進法に直してみましょう。

【問題】３３３を五進法で表しなさい。

まず、表を見ながら３３３の中には、５×５×５＝１２５が２つ入っていることが分かります。

３３３－１２５×２＝８３

次に、８３の中に、５×５＝２５が３つ入っているので、

８３－２５×３＝８

８の中に、５が１つ入っているので、　８－５×１＝３、３＝１×３。

この計算から、３３３＝５×５×５×２＋５×５×３＋５×１＋１×３
よって５進法で表すと、２３１３（５）・・・答　（二三一三の五進法と言います。）

十進法をＮ進法に直す便利な筆算方法がありますが、まずは上記の基本的な記数法の理解から発した解法をしっかりと定着させましょう。


最後に、Ｎ進法の考え方を用いる出題形式の例を挙げましょう。

【問題】白４個は赤１個と等しく、赤４個は青１個と等しく、青４個は緑１個と等しいとします。

（１）緑１個は、白何個と等しくなりますか。

（２）｛緑緑青赤赤赤｝は、白何個と等しくなりますか。

（３）白２２５個を、できるだけ少ない記号で（２）のように表しなさい。

この系統の問題は、見てすぐ分かることは、ある種の規則性の問題ということです。

そして、この問題のくり上がり方を見て、４進法の問題であることが分かれば、解くキーを得たことになります。

そこで、まず４進法の４ケタの構造表を書きます。



（１）緑１個は、４進法で表すと１０００（４）となります。

この緑１個を白何個と等しくなるかという問題は、４進法を１０進法に直す問題です。

１０００（４）＝４×４×４×１＋４×４×０＋４×０＋１×０＝６４（個）・・・答え

（２） ）｛緑緑青赤赤赤｝を４進法で表すと、２１３０（４）となります。

この問題は、４進法で表された数値を、１０進法で表す問題です。

したがって、４進法の構造表を見ながら、
４×４×４×２＋４×４×１＋４×３＋１×０＝１５６（個）

（３）今度は十進法で表された数値を、４進法に直す問題です。

白２２５個ですから、まず２２５の中に６４が何個入っているか計算します。

２２５÷６４＝３あまり３３

次に３３の中に１６が幾つ入っているか計算します。

３３÷１６＝２あまり１

１の中に４は、入ってなく、あまりは１となります。

よって、２２５＝４×４×４×３＋４×４×２＋４×０＋１×１

この４進法を色で表せば、｛緑緑緑青青白｝が答えとなります。

記数法の指導で大切なことは、日頃使っている１０進法の表記方法の構造を理解させること、それを応用してＮ進法に変換したり、Ｎ進法を１０進法に変換する練習をすることです。

そのときに 、Ｎ進法の構造表を書きそれを参孝にして問題を解くようにすると、Ｎ進法の理解がしっかり出来るでしょう。