【ラッセルの逆理】とは、その名の通りにアメリカの哲学者(アメリカ人哲学者なんて表現矛盾だという笑い話も有ったが・・)ラッセルによって集合論の無定見な適用によって論理が破綻することが見出されたとするもので、多くのの者が解決を諦めている未解決難問の一種です。
自分自身を要素として含む集合をⅠ類として含まない集合をⅡ類だと定義します!
Ⅰ類集合の存在は非自明ですが、自然数全体の集合などがそうであるようにⅡ類集合は存在しますから「Ⅱ類集合の全体」と定義した集合を与えることが可能です。この定義された集合をZとしますと、ZはⅠ類でしょうか?それとも、Ⅱ類でしょうか?
この最後の下りが次のようにパラドクスになるというのです!
1)ZがⅠ類だと仮定したらZ自身を要素として含むはずですから定義と矛盾します。
2)ZがⅡ類だと仮定したらZ自身を要素として含みませんがそれも定義と矛盾します。
どうですか?難しいようでしたら秋の夜長にパズルとして解読してみてください・・。ちょうどイイように省略しておきましたから答は要らないでしょう。今までのところ、誰も「Zを自網自縛の自己認知症地獄?から救ってやれない」ことから【数学の危機】を叫ばれたほどの大問題ですから、いくら「自惚れを栄養」にして「毒喰らわば皿まで」のヤケクソな心境で「天地創造の大事業」に勤しんでいる私ことbuturikyouikuにしたところで歴史上解決の第一声を放つには気が引けます。
いや、だけど次のように考えたら確かにラッセルの逆理から矛盾が消えるのです!
なにをかいわんやということですがどういうことなんでしょうか、私自身にも自分が自分自身を含んだ集合であるかどうか・・、コホン!いや、その、つまり自己理解に苦しみますが、どうしても不合理が見つかりません。それにはこうするんです。任意のⅡ類集合をAとして、前提としてA={A}を仮定する、すると次のように解決します。
① {A}は自分自身を含んでいるからⅠ類集合である。
② Aは自分自身を含んでいないからⅡ類集合である。
これらは矛盾するから前提であるA={A}は否定されてA≠{A}である。
ダカラどうしたんだ、とか思う人も多いでしょう・・。{A}は「任意のⅡ類集合を含む集合」だから意味としては「Ⅱ類集合のすべて」を網羅しているはずです。これはAそのものとは異なることが証明されましたから{A}はⅡ類集合のままだと確定するんです・・。ここから先は病的に考察するには及びません!A≠{A}から言えるんだと信じてください。{A}の要素はAなんですから両者がイコールで結ばれないならば自分自身を含んでいることになんかナラナイんです。論理規則によって否定されますから安心していてくださいね。基本的には「任意」と「すべて」とは良く似ているんだが微妙に異なっているということ。そして今回ハッキリしたのは「すべて」は意訳であり「俗語としての機能しかない」と考えるのが正しいということでした。「任意の自然数よりも大きな自然数」の「任意」を「すべて」に置換えたらワカルでしょ?それとⅠ類集合とは「最小要素が自ら集合と名乗った場合」に出現するんです・・、あっけないでしょ?
悔しいからって酔っ払って私に絡まないでくださいよ、お願いしておきます・・。
自分自身を要素として含む集合をⅠ類として含まない集合をⅡ類だと定義します!
Ⅰ類集合の存在は非自明ですが、自然数全体の集合などがそうであるようにⅡ類集合は存在しますから「Ⅱ類集合の全体」と定義した集合を与えることが可能です。この定義された集合をZとしますと、ZはⅠ類でしょうか?それとも、Ⅱ類でしょうか?
この最後の下りが次のようにパラドクスになるというのです!
1)ZがⅠ類だと仮定したらZ自身を要素として含むはずですから定義と矛盾します。
2)ZがⅡ類だと仮定したらZ自身を要素として含みませんがそれも定義と矛盾します。
どうですか?難しいようでしたら秋の夜長にパズルとして解読してみてください・・。ちょうどイイように省略しておきましたから答は要らないでしょう。今までのところ、誰も「Zを自網自縛の自己認知症地獄?から救ってやれない」ことから【数学の危機】を叫ばれたほどの大問題ですから、いくら「自惚れを栄養」にして「毒喰らわば皿まで」のヤケクソな心境で「天地創造の大事業」に勤しんでいる私ことbuturikyouikuにしたところで歴史上解決の第一声を放つには気が引けます。
いや、だけど次のように考えたら確かにラッセルの逆理から矛盾が消えるのです!
なにをかいわんやということですがどういうことなんでしょうか、私自身にも自分が自分自身を含んだ集合であるかどうか・・、コホン!いや、その、つまり自己理解に苦しみますが、どうしても不合理が見つかりません。それにはこうするんです。任意のⅡ類集合をAとして、前提としてA={A}を仮定する、すると次のように解決します。
① {A}は自分自身を含んでいるからⅠ類集合である。
② Aは自分自身を含んでいないからⅡ類集合である。
これらは矛盾するから前提であるA={A}は否定されてA≠{A}である。
ダカラどうしたんだ、とか思う人も多いでしょう・・。{A}は「任意のⅡ類集合を含む集合」だから意味としては「Ⅱ類集合のすべて」を網羅しているはずです。これはAそのものとは異なることが証明されましたから{A}はⅡ類集合のままだと確定するんです・・。ここから先は病的に考察するには及びません!A≠{A}から言えるんだと信じてください。{A}の要素はAなんですから両者がイコールで結ばれないならば自分自身を含んでいることになんかナラナイんです。論理規則によって否定されますから安心していてくださいね。基本的には「任意」と「すべて」とは良く似ているんだが微妙に異なっているということ。そして今回ハッキリしたのは「すべて」は意訳であり「俗語としての機能しかない」と考えるのが正しいということでした。「任意の自然数よりも大きな自然数」の「任意」を「すべて」に置換えたらワカルでしょ?それとⅠ類集合とは「最小要素が自ら集合と名乗った場合」に出現するんです・・、あっけないでしょ?
悔しいからって酔っ払って私に絡まないでくださいよ、お願いしておきます・・。
「多くのの者が解決を諦めている未解決難問の一種」
とは(一般には)思われていないと思います。
このように書くと、さもみんなが解決したがっているという風に感じを与えてしまい、知らない人が誤解してしまいます。
あと、
任意のⅡ類集合をAとする
A={A} とする
としても、そこから
{A}は「任意のⅡ類集合を含む集合」
は結論できません。
公理だって証明できるんですねえ~?
また、
“任意の”を証明途中に使って結論は“あらゆる”で行く、という方針で今のところ不都合ゴザイマセン!
「あまり論理的でないコメントに困惑しています 」、の方についてコメントします。
まず、
Aを任意のⅡ類集合とする
と言ったとき、これは、
AをⅡ類集合のどれかとする
というのと、同じ意味です。
(少なくとも、数学者、論理学者の常識では)
例を出します。
Xを任意の「1から3までの整数」とする
からは、
X = {1,2,3}
は結論されません。導かれるのは、
X={1} or X={2} or X={3}
です。
次に、
>ここで「すべて」と「任意」とが微妙に
>(というのも反数学的な言い回しですが・・)
>異なっているというのも論理的でない判断だと
>判定したまでのことです・・。
については、すいませんよく意味がわかりませんでした。。
主語と述語はなんですか?
>からは、
> X = {1,2,3} は結論されません
ええ、僕だって最近まで、そう考えていましたよ!しかし、論理学徒が「任意とすべてとは同義」だと言うので考察を続けていたら、こう変わったんだ・・。
それに、X={1,2,3}は間違いだと思いますよ。正しくは{X}={1,2,3}・・。これだと私の論証に問題は生じないです。
Xを任意の「1から3までの整数」とする
から
{X} = {1,2,3}
が結論されるとの主張ですが、最後の命題は(左右の濃度が違うので明らかに)矛盾していますね。次のように簡単に矛盾を証明することができます。
(証明はじめ)
{X} = {1,2,3} とする。 … ①
これより、
{X} ⊃ {1,2,3} … ②
いま、当たり前に({1,2,3}の定義から)
{1,2,3} ∋ 1 … ③
②③より
{X}∋1
よって、
X=1
これと①から、
{1} = {1,2,3}
これは矛盾。
(証明終わり)
結局、buturikyouikuさんは
Xを任意の「1から3までの整数」とする
という命題は矛盾している、と主張していることになります。
「任意」という言葉について、独特の使い方をしていると主張されてるようですが、このような(直感に反した)主張を導く使い方には、私は賛成できません。
また、蛇足ですが、「任意」や「すべて」が何を意味するかに関する曖昧さを排除したいのであれば(私はそこに曖昧さがあるとは思いませんが)、命題を論理記号(∀∃など)を用いて記述することをお勧めします。
私の考えでは集合論の方に「集合の要素は集合でなくてなならない」と「数字は集合ではない」という二つの命題を付け加える事によって防ぐことができました!
先のコメントの証明には、濃度概念は使われていません。濃度概念が使われていると主張するのであれば、証明のどの部分に使われているのかについて言及していただけますか?
カントル数学に反逆するのは大いに結構です(ただ、私にはその言葉が何を意味するのかよくわかりません)。
私はbuturikyouikuさんの(独自の)考えの内容について聞きたいと思い、コメントをしているのです。
(カントル集合に反逆しているという)あなたの考えでは、
{X} = {1,2,3}
という命題は、真ですか?偽ですか?
とりあえず、理解のために、まずそれについて教えていただきたいと思います。
ならば、
{X}={X|Xは1から3までの任意の整数}={1,2,3}ですねえ!