可算無限と非可算無限とは集合の大きさの違いでは無かった

無限と有限とを分かつモノの一つとして、無限小数と有限小数の違いが挙げられましょう・・。

トリック問題として“区間(０,１)の実数を数えつくす方法”という手順がございまして、有限小数を枝分かれに合わせて丁寧(ていねい)に数えてゆけば、いまに区間におけるすべての実数をも数えつくされるだろう、とばかりに考案したのですが、そして話し相手(大阪市大の助手)は言下に否定するばかりだったのですが、自覚する形で分かったのは「その手法ではいつまでたっても無限小数の一つも出てこないので実数を数えたことにならない」「これでは１/３を一つの数として数える日も来ない」という次第です。

それにしてもそのぐらいちゃんと自分の口で指摘しろよな、市大助教！

教訓として、いろいろでさまざまなことが出てきましたが、大別すれば二つのこと、一つには自然数は無限ではないのじゃないかという問題、もう一つは可算と非可算とは量的な問題じゃないのではないかという問題です。チキン頭になってしまった数学基礎論の専門家などは「ωは非標準的な整数であり、大きさは有限だ」などと仰(おっしゃ)いますが、ここまでの考察より「ωはあらゆる有限な自然数よりも真に大なる無限数である」が正しいんです。比べたら、自然数集合とは《可延長有限》という言葉が似つかわしくなることと存じます・・。

これで桁数の非常に大きな無理数はω＋ｎ桁だという真実が出てきました！

無限数ωと自然数の桁数ｎとは明確に異なるでしょ？

すなわち

従来からの意味における可算無限とは

「自然数と超現順序数によって１：１対応が付く集合」という意味だったのです・・。

ところが、ここに、カントル順序列というモノがありまして、

１＜２＜・・＜ｎ＜・・＜ω＜ω＋１＜ω＋２＜・・＜ω＋ｎ＜・・＜２ω＜・・＜ｎω＜・・＜ω^2＜・・＜ω^n＜・・＜ω^ω・・

なんですけれど、これがいわゆる《可算無限》の世界なんです！

ところが区間(０,１)の実数集合の個数は、ωを無限小数の桁数と定義するとた易く計算できて、２^ωだということになるでしょ？

すると、

カントルの対角線論法によって実数は非可算であるにもかかわらず可算集合よりも小さくできるのですよ・・。

だって、

２^ω＜ω^ω

じゃありませんか？