第二不完全性定理のパラドクスを解消すると数学体系の無矛盾性が外部から証明できました

第二不完全性定理のパラドクスとは、

Ｇが証明できたと仮定するとＧ∧￢Ｇが出てくる、ということは「Ｇが証明できたと仮定するとＧ∧￢Ｇが証明できる」ということだ、ここから進展させられることはナイだろうか？

１）Ｇ∧￢Ｇは矛盾だから「Ｇが証明できた」というのは否定され「Ｇは証明できない」

２）Ｇ「Ｇは証明できない」であるからＧが証明された。

３）「Ｇが証明できた」と仮定すると「Ｇが証明できた」のだから￢Ｇは真である。

４）Ｇは証明できたが真であるとは限らない。

５）ゆえに￢Ｇが真だと証明できた。

６）数学の無矛盾性は証明できる！

７）ホンマかいな？


なお、命題Ｇ（ゲーデル命題）とは「この命題は証明できない」という意味を持った存在であり、ゲーデルによって「数学体系の内部において数学の無矛盾性と同値だということが証明されている命題」なのであります。


ところが、


最初の仮定を「Ｇが証明できた」ではなく「数学の無矛盾性、すなわちＧ」に変更いたしますと、

８）数学体系にＧを仮定すると「Ｇは証明できない」

９）ゲーデルの証明によればＧは「数学体系の無矛盾性」と同値であり、Ｇが証明されない限りＧ⇒Ｇであるから（Ｇが証明できたらＧ⇒￢Ｇ）数学体系内においてＧは無矛盾である、すなわち「数学体系の無矛盾性が数学体系内で証明されない限り数学体系は無矛盾である」

１０）この命題は反証されないから命題集合Ｙ（山野命題）の一員であり「真」と決定する。

１１）ゆえに「ゲーデル命題は決定不能ではない」


と、論証できまして、


１２）数学体系に￢Ｇを仮定すると「Ｇは証明できる」

１３）ゆえにＧ∧￢Ｇとなり、ゲーデルの証明によれば￢Ｇは「数学体系の矛盾性」と同値であるから、Ｇ∧￢Ｇは矛盾の一形態であるだけで数学全域においての不合理ではない。「数学体系の無矛盾性が数学体系内のおいて証明できる限りは数学体系は矛盾している」

１４）この命題は途中に反証を含んでいてaltenativeであるので命題集合￢Ｙ（反山野命題）の一員であり「偽」と決定する。

１５）ゆえに「数学を矛盾しているというのは偽（いつわり）である」

１６）これで数学体系の無矛盾性が（外部から）証明できた。


以上より、数学体系の無矛盾性は内部からは証明できないが、外部からは証明できる、ただし、その場合には命題論理学の無矛盾証明の基準を用いなくてはナラナイ・・・ｗ）