二重誤り訂正符号 (5)

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５．シンドロームの計算

生成多項式が G(x) = M₁(x) M₂(x)で， M₁(α) = 0，M₂(α³) = 0 とします．受信した符号語の多項式が W(x) のときのシンドロームは

        (W(α), W(α³))

で定義され，

        W(x) = Q₁(x) M₁(x) + R₁(x)，R₁(x) = W(x) mod M₁(x)

とおくと W(α) = R₁(α) と表せます．同様に W(α³) = R₂(α³) ( R₂(x) = W(x) mod M₂(x) ) です．また，一般に W(α²ⁱ) = W(αⁱ)² が成立します．
W(α³) の計算例として

        W(x) = F(x) + E(x) = (1 + x + x⁴) (1 + x + x² + x³ + x⁴) + x² + x¹¹

のときの R₂(x) = W(x) mod M₂(x) を求めると，x⁵ mod M₂(x) = 1 ですから

     

となり，R₂(α³) = α³ + α⁶ = α² が得られます．これは

        h₂ = (α⁰  α³  α⁶ α⁹  α¹²  α⁰  α³  α⁶  α⁹  α¹²  α⁰  α³  α²  α⁹  α¹²)

とおいたときのシンドローム (1  0  1  0  1  0  1  1  1  0  0  1  0  0  0) h₂^T と一致しているはずです．