微分方程式の近似 (2)

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微分方程式 v '(t) = f(t, v(t)) ( v(t) = (x(t), y(t))^T ) の１段の陰的ルンゲ-クッタ法では

    k₁ = f(t_n + h c₁, v_n + h a₁k₁)
    v_n+1 = v_n + h w₁ k₁

によって v_n を計算します．したがって x '(t) = - y(t), y '(t) = x(t) のときの v_n+1 と v_n の関係は上図のようになります．ここで w₁ = 2 a₁ とおくと

    v_n+1 = v_n + h a₁ A(v_n+1 + v_n)

ですから，

    (I - h a₁ A)v_n+1 = (I + h a₁ A)v_n
    | I - h a₁ A | = | I + h a₁ A |

が成立し，∥v_n+1∥=∥v_n∥であることが分かります．すなわち，この場合は n → ∞ でも振幅は変わりません．Excel での計算結果を次に示します．

                      

蛇足： I は単位行列，∥v_n∥は v_n の大きさ．