「おてこ」は「手伝い」や「補助」や「助手」の意。
例１
「おてこに へーる」＝「手伝いに入る」
「おてこを やとう」＝「助手を雇う」
「おてこに つく」＝「助手として仕事を手伝う」
例文２
※豊臣秀吉と織田信長は幼馴染と言う仮定での会話
織田信長 「とよちゃ やねあさって だが せー
おらー の みせ めずらしく
よやくで いっぱい に なっちまった もんで
わるい けんど おてこで あらいば の しごとに
へーって もらえね かいねー。」
豊臣秀吉 「あー いいんね。
どーせ ひまで てれび みてる だけ だで
いっくら でも てつだう じー。」
織田信長 「いいかい そりゃー ありがとう ござんした。
いそがしい とこ きゅうで
もうしわけ ねーが じゃー よろしく たのむ わい。」
豊臣秀吉 「いいどこじゃねー。」
例文２の標準語（？）訳
織田信長 「豊臣秀吉さん、明々後日ですが
私のお店が珍しく
予約で一杯になってしまったものですから
悪いのですが、お手伝いで洗い場の仕事に
入ってもらえないでしょうか。」
豊臣秀吉 「あー 良いですよ。
どーせ暇でテレビを見ているだけですから
いくらでも（何回でも）お手伝いしますよ。」
織田信長 「よろしいですか、それは有難うございます。
忙しいところ急なお願いで
申し訳ありませんが、それではよろしくお願いします。」
豊臣秀吉 「いいですとも。」
この言葉は知りませんでした。
安曇方面では使われていなかったのでは？
梓川・・川ひとつ隔てているだけでも
いろいろ違うものなのですね。
「おてこ」で検索しますと「江戸時代の大名お抱えの火消し人夫。（御手子）」と出てきます。
このあたりが語源である可能性があるのかなーと思っています。
この「おてこ」が方言なのだという事を私は最近まで恥ずかしながら知りませんでした。
昔は川に架けられる橋はそう多くは無く、水量が多く流れの速い川で行き来が物理的に制限されたりしていたのではないかと思います。
人の移動が制限されるという事は、言葉の移動も制限されていたのではないかと思います。
今すぐには出てこないのですが、職場に安曇出身の方がいますが、私が一度も使った事の無い方言をいくつか使って話しています。