フーリエ変換

情報伝送における周波数特性の分析のために、フーリエ変換を復習していたら類似の変換同士の関係で理解が不足していた部分が見つかった。信号解析においてはフーリエ変換は連続時間フーリエ変換と呼ぶこともあるらしい。

入力が周期的であるとは限らない場合。時間領域が無限。
アナログ信号入力：連続時間フーリエ変換
デジタル信号入力：離散時間フーリエ変換(DTFT)

入力が周期的である場合。時間領域が有限。窓関数は矩形。
アナログ信号入力：フーリエ係数
デジタル信号入力：離散フーリエ変換(DFT)

後者である、入力が周期的で時間領域は有限の場合は、時間領域が無限の関数に対して時間領域を切り出す窓関数を掛けてからフーリエ変換したものと見ることができ、このときの窓関数は矩形である。窓関数は時間の関数で、中央で1、範囲外で0に収束する任意のものであれば、短時間フーリエ変換(STFT)と呼ばれる。結果は周波数だけでなく時間の関数にもなる。

窓関数は時間の関数で、中央で1、範囲外で0に収束する任意のもの。
アナログ信号入力：連続短時間フーリエ変換
デジタル信号入力：離散短時間フーリエ変換

窓関数を使ったこれらの手法は、周波数、時間それぞれの分解能の両立に難があり、ウェーブレット変換が開発された。ウェーブレット変換はまたこれから勉強します。