雑談：ゲーデルの不完全性定理

ゲーデルの不完全性定理
私はゲーデルの不完全定理を素人として勉強中である。

この定理を山に例えるなら私は未だその裾野にさえ到達していない。果たして裾野さえ到達できるか全然自信はないのだが、幸いにも、この定理について日常語で語ってくれている偉人たちがいる。それを以下に紹介しよう。

以下の日常語での、この定理の解説さえ理解するのは難しい。
しかし、この大定理の微かな香りでも感ぜられればそれで私は充分だ。
下記のvon Neumannは20世紀での最高の数学者の一人だ。
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・ゲーデルの不完全性定理について(竹内外史、「現代集合論入門」より抜粋)
1. Oppenheimer
(ゲーデルの)仕事は数学的議論の論理的構造をはかりしれぬほど深め、また豊かにしたのみならず、人間の理性一般における限界というものの役割を明らかにした。

2. von Neumann
ゲーデルはつぎのことを証明した最初の人である。
現在までに承認された数学の厳密な方法では証明することも、否定することもできないものがある。
換言すれば、彼は決定不能な数学的命題の存在を証明したのである。
彼はさらに重要な特別な命題が決定不能であることを証明した：すなわち数学がその内部に矛盾を含まないという命題がそうなのである。
この結果は”自己否定的”逆理的な性格においていちじるしい。
すなわち数学が矛盾を含まないということを確認することは数学的には不可能なのである。
重要なことは、このことは哲学的原理や疑わしい知的方針ではなくて、極度に学問的な厳密な数学的証明の結果である。
私がここに述べた表現は粗っぽい表現であり、厳密に表現したときのみごとな性質を抹殺してしまうものであるが、しかし、記号論理学のむつかしい技術的な表現を避けて定理をのべようと思えば、これができうる最善に近いかと思うのである。