微分可能な多様体の定義

２０２４年８月２１日（水）

 

　既に私のブログ

　　　微分可能な多様体の接ベクトル空間１　（２０２４年７月２４日）

　　　微分可能な多様体の接ベクトル空間２　（２０２４年７月２８日）

で微分可能な多様体をとりあげた。その際、「微分可能な多様体（可微分多様体）については、いずれ別の機会

に述べたい」と記述した。私の最も関心の深い多様体の話題を今後もブログで述べていくにあたって、やはり定

義をしっかりと示していきたいと思った。

　幾何学での定義は、確かに複雑である。一見したところ何を言っているのかわからない、と言うことが多い。

しかし、図（２次元であるが）などを利用して自分なりにイメージをしていくことによって、やがて理解できる

ようになるらしい。私もそのような方法で、ゆっくり理解してきた。

 

　境界のない多様体（例えば、球）と境界のある多様体（例えば、球体）について、定義を与えた。例示した球と

球体を境界面に制限したものとは、多様体として別のものである。考える点の近傍が違う。

　境界のない多様体の定義では、境界のある多様体は多様体でなくなる。そこで、改めて境界のある多様体の定義

をする必要があるわけである。

　そこらあたりの事情については、本文の定義をよく見比べていただきたい。

 

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）８月２０日（火）のFacebook投稿より

　学びの記録

　今日は、2週間ぶりに岐阜学習センターに出かけた。OKBふれあい会館の駐車場に着いたのが8時45分に到着、学

 

生控え室で別々に２人の学友と歓談した後、９時過ぎには視聴覚スペースに入室しました。

 

　まず最初に、いつものように『枕草子の世界’24』のラジオの授業第１０章「批評の論理と、季節の美学」を聴

 

講しました。昨日海津市の医師会病院に通院したとき、その待ち時間にこの章は読み終えていました。だから、ス

 

ムーズに学習ができました。この章の目標・ポイントについて、島内裕子先生は次のように書いておられます。

 

　「人間観察や季節の美意識について、清少納言の個人的な思いが『筆の遊び（すさび）』として、次々に連想さ

 

れて書き進められることに注目する。そこに「批評の論理」や『季節の美学』を読み取り、併せて「連続読み」が

 

有効性を発揮することを確認する。」

 

　この章のねらいがよくまとめ上げられていると思いました。

 

　１０時１５分頃にいったん休息して、再び視聴覚スペースに戻りました。そして『枕草子の世界’24』と同様に２

 

学期に履修する『教育社会学概論’19』の第３章「家族―初めての社会集団―」を視聴しました。実は、それまでに

 

自宅にて1章・2章は視聴済みです。内容は、省略します。教育社会学は、社会学のひとつであり教育事象を対象と

 

する学問です。

 

　１１時２０分から昼食のために、学習控え室に行きました。誰もいませんでしたので、コンビニ弁当を食しまし

 

た。

 

　１２時４５分頃に聴覚スペースに戻りました。今度は『世界の学校’24』の第１章「ドイツの学校教育」を聴講し

 

ました。気楽に聞き流していました。印刷教材は、視聴覚スペース備えつきの本を使いました。実は題材が面白そう

 

でしたので、メルカリで購入してありましたが、今日は持って行きませんでした。

 

　１３時３０分には、岐阜学習センターを後にしました。

 

 

値が同じ2つの定積分(置換積分） ～２０２４年度前期日程の香川大学医学部入試問題より

２０２４年度８月１９日（月）

 

　高校数学（数学Ⅲ）の積分計算の重要な方法は、置換積分と部分積分である。置換積分は、

　　　∫f(x)dx   で　x=g(t) 　とおく。

すると、

　　　dx=g'(t)dt

となるから、

　　　∫f(g(t)) g'(t)dt

と計算する方法である。本ブログの計算は、この置換積分で計算する方法である。ただし、上の場合は不定積

分の場合であるが、定積分の場合は積分範囲も変換する必要がある。

　部分積分は、

　　　∫f’(x)g(x)dx  =f(x)g(x)－∫f(x)g'(x)dx

を計算する方法である。これは、２つの関数の積の微分公式から導くことができる。すなわち、

　　{f(x)g(x)}'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)

       ∫ {f(x)g(x)}' dx= ∫ f'(x)g(x)dx+∫ f(x)g'(x)

　　∴　∫ f'(x)g(x)dx＝f(x)g(x)－∫ f(x)g'(x)

となるわけである。

　数学Ⅲの積分計算は、この２つの方法――置換積分と部分積分とが使えるようにしておくことが大切である。

 

   

 

 

 

ちょっと休息

（１）８月１７日（土）のFacebook投稿より

放送大学の単位認定試験

　放送大学の単位認定試験について、ひと言触れておきます。

　放送大学の単位認定試験は、一部の記述式の科目を除いてWEB試験で実施されています。そして、その問題と

 

正解は成績発表と同じ日にWEB上で公開されます。

 

　今回は時間的余裕がなくて、自分の解答を記録しておくことはしませんでした。しかし、１学期は自分の解答

 

を記録して公表された正解と付き合わせてみました。すると、あっている答えが合格点に達していませんでした。

 

しかし、成績の方は非常によい結果となっています。どうしてだろうかと、ずっとと思っていました。コンピュー

 

タによる採点であるから、普通間違うはずがない・・・疑問でした。

 

　その疑問が、今回放送大学学生のFacebookでの交流の場である「放送大学バーチャルキャンパス」の書き込み

 

で、ようやく理解できました。それによると、単位認定試験の不正を防ぐために、科目によってはある問題の選択

 

肢の順番を受験者個人でランダムに変えて出題しているとのことです。したがって、自分の解答を写しておいて、

 

公表された解答と付き合わせても、そもそも選択肢の順番が違うので意味がないとのことです。自分の出した解答

 

が公表されている解答と違っていて合格点に達していない場合でも、いい成績がつくことがあるのは当然と言えば

 

当然なのです。

 

　公正なWEB試験を目指して、放送大学もいろいろ考えているのでしょう。受験者の少ない大学院の単位認定試験に

 

ついては、来学期からWEBカメラによる本人確認と不正監視がなされるとのことです。学部の単位認定試験も、何れ

 

そうなることでしょう。

 

 

放送大学の２０２４年度１学期の成績発表と２学期の科目登録について

２０２４年８月１７日（土）

 

２０２４年度１学期の成績発表

　放送大学の８月１５日（木）の１０：００から全科履修生、１４：００から選科履修生や科目履修生等の

２０２４年度１学期の成績発表がシステムWAKABA上で行われた。私は、選科履修生なので、この日の１４：

００過ぎに成績を確認した。単位修得の可否だけならば、いわゆる教務システムWAKABAの裏技で放送授業の

『樋口一葉の世界'23』について合格していることがわかっていた。また、面接授業の『精神医学の基礎』に

ついても、「所属コース変更・カリキュラム移行シミュレーション」から偶然に合格していることがわかった。

だから、気楽に成績発表を見ることができた。

　私はそれほど成績にこだわっていないので、ここに公表しておこう。

　感想として、単位認定試験が「できた」と言う感じがしなかった『樋口一葉の世界'23』の単位が修得でき、

Ⓐであったことにおおいに満足している。あせって時間がなくなり、勘に頼ることが多かった受験であった。

ただこれまで、放送授業を最終講義まで２回視聴していたし、印刷教材もよく読んでいた。関心があったこと

もあって、私なりに一生懸命学習した科目であった。直観で出した解答が多かったとは言え、それまでの学習

がプラスに働いたことは事実であろう。今まで『人間と文化』コースの国文学関連の科目の成績はすべてⒶ で

あったが、それが維持できたことになる。

　面接授業については、そのときどきの好きな科目・関心のある科目をとっているので、受講することに意義

を見いだしている。『精神医学基礎編』の受講は、大変有意義であった。『地球科学概論』は、宇宙科学は得

意であるが、苦手な地球科学を学習しようと思って履修した科目であった。岩石学を含めてだいぶ理解できる

ようになってきた。プレートテクトニクスについては、本当によく理解できた。２学期も、同じ先生の地球科

学関係の面接授業を履修する。

　全体に,非常に満足できる成績であった。

 

　話題が変わる。前からも最近もSNSでよく話題になるのは、次のことである。このことに触れたい。

（１）放送大学での単位修得は、難しいか？

（２）放送大学は、卒業しやすい大学か？難しい大学か？

　私は、２０２３年度２学期までに１０年間放送大学に在籍した。現在は学位授与機構への学位の申請のため

に、選科履修生になっている。その１０年間に選科履修生に４年、全科履修生に３コース２年ずつ６年在籍し

た。それまでに編入学での認定単位数６２単位を除いて、１４４単位修得している。登録科目で単位を落とし

た科目はない。そのうち,放送授業で再試験となったのが１科目（再試験で合格）、後はすべて最初の単位認定

試験で合格している。コロナ禍前はそれぞれの学習センターなどで同一科目全国一斉に単位認定試験が実施さ

れていた。印刷教材・ノートの持ち込み可の試験もあったが、持ち込み不可の試験が多かった。コロナ禍のと

き、それ以降は自宅試験ですべての科目が印刷教材・ノートの持ち込み可である。また、放送大学の単位認定

試験はほとんどが択一式である。

　そうしたことから、総合的に判断して私は放送大学での単位修得は、易しいとは言えないがそれほど困難で

ないと思っている。単位認定試験の前提となる通信課題もほとんどの科目が問題も択一式で、提出することに

意義があるという感じで、聞いている他大学の通信課題に比べると容易に感じる。私は通信制大学に選科履修

生として玉川大学通信教育部に籍を置いた（数学科目の履修）のが遙か昔の５０年以上前になるが、そのとき

の通信課題・単位認定試験に比べると両方とも放送大学の方が容易だと思っている。（玉川大学の当時のテキ

スト・通信課題・試験問題が最近偶然に見つかり、現在保持している。なつかしい。）

（１）について着実に学習していれば単位修得自体は、他大学の通信制大学に比べて易しい方と言っておきた

い。ただし、放送大学の授業科目の内容は、大学教育にふさわしく相当高度である。

（２）について。毎年の卒業者を新規入学者数で割った数値を卒業率と見なすと、大体５０％弱ぐらいである。

この数字が高いか低いかは議論の余地がある。それよりも、放送大学の全科履修生にははじめから卒業を目指

さない人も多い。現に私が所属しているサークルの人は、ほぼ卒業など意識していない。それにもかかわらず、

卒業を目指す全科履修生として入学する理由は、長期（最高１０年）に在籍する場合に全科履修生が一番入学

金（２４０００円）がかからないからである。（選科履修生だと、１年ごとに９０００円必要である。）

　私は前述したように、全科履修生として２年ごとに３コース卒業した。私の経験から、最初の卒業は確か年

数がかかる（私自身は、再入学であった）。再入学でない場合、４年で卒業することはおそらく難しいと思う。

しかし、学生の中には１０年かけて卒業した人もみえる。（２）の「放送大学は、卒業しやすい大学か？難し

い大学か？」の答は、本人の学習に対するモチベーション次第であろう。放送大学の学習は、一人で学ぶこと

が大部分であるからである。あえて言えば、卒業する意思さえあれば、卒業することが他の通信制大学に比べ

て決して難しい大学でないと思う。

 

２０２４年度２学期の科目登録

　今学期は、①成績発表、②継続入学申請・科目登録申請、単に認定試験の解答広報がすべて同一の８月１５

日（木）となった。成績発表の後、これを見て②の手続きを行うのが常識であり、今学期はその通りとなった。

私は選科履修生であるので、この日の１４時過ぎに成績発表を見てから２学期の科目登録申請を行った。登録

した科目は、私のブログ、　

　　　　放送大学の２０２４年度２学期の履修予定科目　（２０２４年６月２５日）

に記した科目のうち、１科目変更することにした。結局、履修登録した科目は、以下の表の通りである。

　  『樋口一葉の世界'23』の単位が修得できたので、学習の負担を考える必要がなくなった。予定どおり、放送

授業２科目・面接授業１科目を申請した。ただし、『日本の教師論'22』については、２０２５年度１学期以降の

履修にしようと思った。その理由は、放送大学の学長である岩永雅也先生の『教育社会学概論‘19』がこの２学期

で閉講になるからである。私は、かって岩永先生の講演を岐阜県立図書館で聞いたことがあったが、非常に興味

深く拝聴させていただいた。そのこともあって、閉講前に聴講しておこうという気になったので、履修科目をブ

ログ書いた科目から変更したわけである。

　ここで、『教育社会学概論‘19』について、印刷教材と講義内容を掲載しておこう。

 

概

　『教育社会学概論'19』の印刷教材

 

　『教育社会学概論'19』の講義内容

 

　現在、私は１学期から『枕草子の世界'24』を学習をはじめていたこともあって、第９章まで放送授業を聴講し

ている。『教育社会学概論'19』については、どんな講義の雰囲気なのかを知るために第１章を視聴した。面接授

業はセミナーの講師小嶋智先生による１学期の続きの地球科学の授業である。

　今後、ゆっくり学習していきたい。

 

２０２４年度前期の単位認定試験の解答の公表

　成績発表の８月１５日（木）に、システムWAKABA 上で２０２４年度前期の単位認定試験の解答が公表された。

問題は、既に８月１日に公表済みであった。

　私は、ノートに問題と同じの場所に解答を貼り付けて整理した。単位認定試験の学習の際に、過去問を解くなど

して今までも役立ててきた。今後履修する予定の科目も、ノートに整理している。

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）８月１５日（木）のFacebook投稿より

　待望の雨が夕方に、そして１９時２０分頃に降りました。２１日ぶりだそうです。

　草木も弱っていましたので、恵みの雨になりました。

 

x→∞のときの関数 x/e^x の極限値に関する話題

２０２４年８月１５日（木）

 

　高校数学（数学Ⅲ）でもよく登場してくる関数x/(e^x)のx→∞の極限値を求める問題である。直観的

にxが無限大になる早さとe^x が無限大になる早さと比べれば、後者の方が遙かに早いということがわか

る。したがって、

　　　　x/(e^x)→0　(x→∞）

が理解できる。

　このことをいろいろな方法で証明することが、本ブログの主題である。まず、２０１９年の和歌山大学

の入試問題を解くことで証明する。次に高校数学を離れて、マクローリン展開を用いる方法で示す。

　なお、ロピタルの定理を用いれば直ちに証明できるが、ロピタルの定理が適用できる条件をきちんと明

記しておくことが必要である。

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）８月１３日（火）のFacebook投稿より

　２～３日前に、居間のテレビのリモコンが全く効かなくなりました。電池交換してもだめでした。入れっぱ

なしの電池から、液が漏れていました。テレビの方の故障かリモコンの故障かはっきりわかりませんでしたが、

リモコンの故障と見当を付けて代替え品を探すことにしました。

　８月９日（金）にEDION大垣店に行ったとき、いくつかのリモコンが展示してありました。どのリモコンで

 

テレビが映るのか全くわかりませんので、リスクを避けるために一番安いシンプルなリモコンを５５０円で購

 

入しました。だめもとです。

 

　家に帰って電池を入れて確かめて見たら、きちんと動くようになりました。いちいちテレビのボタンを操作

 

しなくてもよくなりましたので、大変便利になりました。

多項式の除法に関する問題 ～２０２４年度前期日程の香川大学数学必須・選択学部・学科の入試より

２０２４年８月１１日（日）

 

　多項式の除法についての標準的な入試問題を、香川大学の入試問題からとりあげた。基本は多項式

f(x)を多項式g(x)で割ったときの商Q(x)、余りとするとき、

　　　f(x)=g(x)Q(x)+R(x)   

　　　　　　 ただし、deg f(x)＞deg g(x)  deg g(x)＞deg R(x)とする

と表すことができることである。本問は、この基本的な等式から（解法）していくことになる。

 

 

 

 

ちょっと休息

（１）８月１０日（土）のFacebook投稿より

　学びの記録

　今日は１０時からお盆のお参りを自宅で行う予定でしたので、それまでの間、放送授業の『枕草子の世界'24』

 

の第９章「多様化する文体」を聴講しました。この章のシラバスには、以下のように記述されています。

 

　「定子に仕える女房たちの大内裏･内裏の散策、清少納言の住まいの美学、雪に触発された宮廷の情景などの記

 

述から、清少納言の初出仕の思い出が語られるまで、『枕草子』執筆の機微と自然な展開性に注目する。」

 

　印刷教材を見ながら、集中して聴講することができました。