＜問題＞
＜類題＞
２次関数 f(x)＝ax^2＋bx がある。
ある整数kに対してf(k－1),f(k),f(k＋1)が整数となるとき、すべての整数nに対してf(n)は整数であることを示せ。
＜コメント＞
今年１番難しい整数の難問だが上の類題の経験があれば解ける。
少し難易度の高い「有名問題を研究」して「数学的素養」を深めておけば良いことがある京大らしい問題です。
a,b,c,d,eを正の実数として整式
f(x)＝ax^2＋bx＋c
g(x)＝dx＋e
を考える。
すべての正の整数ｎに対してf(n)/g(n)は整数であるとする。
このとき、f(x)はg(x)で割り切れることを示せ。 （京大・理系）
a,b,c,d,eを正の有理数として整式
f(x)＝ax^2＋bx＋c
g(x)＝dx＋e
を考える。
すべての正の整数ｎに対してf(n)/g(n)は整数であるとする。
このとき、f(x)はg(x)で割り切れることを示せ。 （京大・文系）
＜問題＞
＜ヒント＞
＜コメント＞
典型問題の解法パターン暗記が通用しない出題なので、
日頃から「数学そのものに強くなる学習」「問題の数学的特徴を深く考える学習」を心掛けておきたい。
2^(1/2) と 3^(1/3) が無理数であることを示せ。
p,q,2^(1/2)p＋3^(1/3)q がすべて有理数であるとする。そのとき、p＝q＝0であることを示せ。
＜問題＞
＜類題＞
戦略で学ぶ数学・数と式 数学の発想のしかた
スカイプ無料体験授業：整数
＜コメント＞
文系の数学としてはかなり難易度が高い。整数と確率の問題は毎年出題されているので、十分な対策が必要である。
思考力、計算力を演習を通してバランスよく鍛えたい。
800までの正の整数で、800と互いに素なものは何個あるか？
ｎを2以上の整数とする。ｎ以下の正の整数のうち、ｎとの最大公約数が1となるものの個数をＥ(n)で表す。
Ｅ(2)＝1、Ｅ(3)＝2、Ｅ(4)＝2、・・・、Ｅ(10)＝4、・・・、Ｅ(1024)、Ｅ(2015)を求めよ。
＜問題＞
＜類題＞
戦略で学ぶ数学・数と式 数学の発想のしかた
スカイプ無料体験授業：整数
＜コメント＞
典型的な問題が中心の出題であるが、整数分野など論証力を要するものも出題される。医学部では、標準レベル以上の思考力が必要である。
k,m,nを自然数とする。2^kを7で割った余りが4であるとする。このとき、ｋを3で割った余りは2であることを示せ。
k,m,nを自然数とする。4m＋5n が3で割り切れるとする。このとき、2^mnを7で割った余りは4ではないことを示せ。
＜問題＞
＜ヒント＞
＜コメント＞
基本事項の単純な組み合わせで解決できるような問題は少ない。
日頃の学習に於いて、単に問題を解くことに満足せず、高度な知識を身につけることや、
柔軟な発想、表現の意味や問題の背景にある数学的内容を確認することなどに留意して学習して欲しい。
実数 x,y が －1≦x,y≦1 を満たすとき、不等式 0≦x^2＋y^2－2x^2y^2＋2xy√(1－x^2)√(1－y^2)≦1 が成り立つことを示せ。
＜問題＞
＜解答＞
＜対策＞
東大理系数学：整数・図形問題を中心に考える習慣をつけると共に、数学３の計算力を鍛えておくことが大切です。
東大文系数学：見慣れた型の問題の解法をマスターするための学習も大切であるが、何故このような解法になるのか、問題をどのような切り口で見たら解決につながるのか、というところまで日常から研究しておくことが大切です。
正の実数ａに対して、座標平面上で次の放物線を考える。
Ｃ：y＝ax^2＋(1－4a^2)/4a
ａが正の実数全体を動くとき、Ｃの通過する領域を図示せよ。
