1,2,4,8,11,13,16,17,19,22,23,26,29,・・・について、第何項で初めて105を超えるか。初項から第100項までの和を求めよ。
自然数Ｎのすべての正の約数の和は、60であるという。このようなＮは何個あるか。
Ｎ＝100！とするとき、Ｎの末尾には0がいくつ並ぶか。
Ｎ＝100！とするとき、Ｎの桁数は100桁より多く、200桁以下であることを示せ。
Ｎ＝100！とするとき、Ｎと50^100のどちらが大きいか。
「ｎを2より大きい自然数とするとき、x^n＋y^n＝z^n を満たす整数解 x,y,z (xyz≠0) は存在しない。」
というのはフェルマーの最終定理として有名である。しかし多くの数学者の努力にも関わらず一般に証明されていなかった。
ところが1995年にこの定理の証明がワイルスの100ページを超える大論文と、テイラーとの共著論文により与えられた。
当然 x^3＋y^3＝z^3 を満たす整数解 x,y,z (xyz≠0) は存在しない。
フェルマーの定理を知らないものとして、次を証明せよ。
x,y,zを0でない整数とし、もしも等式 x^3＋y^3＝z^3 が成立するならば、x,y,z のうち少なくとも1つは3の倍数である。
実数x,y について、x＋y,xy が共に偶数とする。自然数ｎに対して、x^n＋y^n は偶数となることを示せ。整数以外の実数の組(x,y)の例を示せ。
5x－11y＝1 を満たす自然数の組(x,y)のうち、xの値が0に近いほうから9番目の組を求めよ。
37x＋23y＝1 を満たす整数の組(x,y)のうち、yの値が40に最も近い組を求めよ。
ｎを正の整数とするとき、不等式 4|x|＋3|y|≦12n を満たす組(x,y)のうち、xとyが共に整数である組の総数を求めよ。
3つの箱に3個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱に赤，白，緑の3個の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに3個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに赤，白，緑の3個の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱に6個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱に6色の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6個の赤玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6色の玉を入れる。玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱に6個の赤玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱に6色の玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6個の赤玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。
3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに6色の玉を入れる。どの箱にも少なくとも1個の玉を入れるとき、玉の入れ方は何通りあるか。
