2017年3月のブログ記事一覧-＜数学＞さくら教育研究所（SKREDU）

■解法のパターン暗記で、校内模試は何とかなるのですが・・・

「解法のパターン暗記で、校内模試は何とかなるのですが本番になると駄目なのです」という相談をよく耳にします。到達度を計る試験とは違い、大学入試では、読解力、発想力、論理的思考力、記述力等を調査するから、当然と言えます。

実は、教科書レベルのことが分かっていれば、ほんの少し考えるだけで、ほとんどの問題が解けるのです。しかし教わることに馴れすぎ考える機会を与えられなかった人は「考える」ことがどういうことか分からないでしょう。そこで、今回は東大の主に文系・文理共通問題（一部、京大等の問題も含む）を用いて「発想のしかた・考え方」の具体例を紹介します。

■対象者

少しひねられるとお手上げの受験生
どんな勉強法をしたらよいか悩んでいる高校生

＊問題が呼びかける受験生へのメッセージを実感すれば自ずと戦略は明確になります。

中学入試が終わったから、ホッと一息ついていると・・・

2017-03-12 | 日記

　中学受験を目指す皆さんは、今は当然中学受験で合格することを目的に勉強されているはずです。

　そして、できればもちろん第一志望校合格のために、頑張っているわけです。

　でも・・・・・その第一志望校で、どのような教材を使用しているのか？

　また・・・・・どのようなレベルの学習をしているのか？

　入学後に・・・・・・どのくらいの生徒が落ちこぼれていくのか？

　実は、ここを本当に良くわかっている塾の先生や御父母のみなさんは少ないといえます。

　「体系数学」について。

　「体系数学」という教科書は、数研出版が中高一貫校用に編集した教科書で、一般的な中学生や高校生が学習するカリキュラムとは違う順序で学習カリキュラムが組まれています。ここ数年で、これを教科書として採用する中高一貫校はすごく増えてきています。

　現時点で採用している学校は・・・・・豊島岡女子、早稲田、本郷、東邦大東邦、江戸川取手、芝浦工大柏、茗渓学園、都立白鴎などが挙げられます。

　「チャート式　数学」という名前をご存知の御父母も多いと思いますが・・・・・・数学については定評のある数研出版が中高一貫校向けに開発した教材ですから・・・・・すぐれたところも非常に多いのですが・・・・・問題もあります。

　一例を挙げると、中１・２年生用の「体系数学１　代数編」の第４章で学習する「不等式」は通常なら高１で学習する数Ⅰの範囲です。また、中２・３年生用の「体系数学２　幾何編」の半分以上が、高１で学習する数Ａの範囲と学習指導要領外の範囲です。

　なぜこうなるのか？

　現在の文部科学省のカリキュラムに従わずに、お父さんやお母さんが現役の学生だったころのカリキュラムに近い形に並べなおすと、こうなるのです。

　つまり、数学という科目の学習順序としては適当なカリキュラムとなっているわけですが・・・・・大学入試センター試験「数学」の試験範囲を考えた場合には、困る生徒も出てくるわけです。

　なぜ困るか？

　中１や中２で学習した範囲が、センター試験でバリバリに出題されるのですから・・・・・中学生のうちからしっかりと数学に取り組んでいない生徒は・・・・・後でメチャメチャ苦労するか、数学が苦手なために私立文系志望確定になるわけです。

　つまり、中学受験が終了してすぐに、大学受験に必要な単元を学習し始めることになるわけですから・・・・・中学入試が終わったから、ホッと一息ついていると・・・・・とんでもないことになります。

　お父さんやお母さんたちは自分の経験をもとに考えてしまいがちですから・・・・・中学生のうちは・・・・・と油断しているうちに、落とし穴にハマル羽目になります。

　ですから・・・・・中高一貫校の進度についていっていないと少しでも感じたら、即、手を打ちましょう。後になって泣きを見ないように・・・・。

戦略で学ぶ数学：大学受験・高校受験

2017-03-10 | 日記

■戦略で学ぶ数学

普通の人が素直に勉強すれば東大や京大、医学部くらい受かりますよ。

東大や京大の問題って見たことあります？手がつけられないような難問や、マニアックな知識を問うような奇問はほとんど出ません。基本がちゃんとわかっていれば、あとは常識的な判断力と自然な思考力で解けるような問題ばかりです。

まぁ、それが解けないってことは、きっと間違った参考書や問題集を良書だと信じ込まされてやらされているからでしょう。いろんな物に手を出して中途半端で終わるのはあとで後悔するから「戦略で学ぶ数学」できちんと数学を勉強すればいい。

円周を12等分する12個の点から3点をとって3角形を作るとき、直角三角形は何個できるか。

2017-03-02 | 日記

4人の投手。2人の捕手、5人の内野手、5人の外野手のいる野球チームがある。
この中から、1人の投手、1人の捕手、4人の内野手、3人の外野手を選ぶ方法は何通りあるか。

りんご9個、みかん3個がある。A,B,Cの3人にこの果物を4個ずつ分ける分け方は何通りか。

2直線l,m（l//m）上にそれぞれ4個、3個の点がある。これら7個の点のうちの3個を頂点とする3角形はいくつあるか。

円周を12等分する12個の点から3点をとって3角形を作るとき、直角三角形は何個できるか。

円周を6等分する6個の点から3点をとって3角形を作るとき、鈍角三角形は何個できるか。

円に内接する正6角形がある。6つの頂点と円の中心Ｏの7つの点のうち、2点以上を通る直線の個数を求めよ。

ｎ角形の対角線の数を求めよ。対角線の数が44本であるような多角形は何角形か。

3,5,7,9の4個の数字から、2個の数字を選んで2けたの整数を作るとき、できた整数の総和を求めよ。

5枚のカード1.2.3.4.5から3枚を取り出して3けたの整数を作るとき、各位の数の和が3の倍数となるものは何個できるか。

5枚のカード1.2.3.4.5から3枚を取り出して3けたの整数を作るとき、できた異なる整数の総和を求めよ。

6枚のカード1.2.3.4.5.6から4枚を取り出して4けたの整数を作るとき、小さい順で160番目にくる整数を求めよ。

3本のくじのうちで2本が当たりくじである。この3本から2本をひくとき、2本とも当たる確率を求めよ。

赤、白、黒の玉がそれぞれ3,2,4個入った袋から3個取り出すとき、赤、白、黒が1個ずつである確率を求めよ。

赤、白、黒の玉がそれぞれ4,3,5個入った袋から3個取り出すとき、3玉とも同色である確率を求めよ。

2つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が7になる確率と、目の和が8になる確率は、どちらが大きいか。

2つのサイコロを同時に投げるとき、出る目の数の差が2となる確率を求めよ。

2つのサイコロを同時に投げるとき、出る目の数が違う確率を求めよ。

1から20までの番号をつけた正20面体のサイコロ2個を投げたとき、番号が両方とも素数になる確率を求めよ。

Ａ,Ｂ2人がサイコロを同時に投げ、目の数が大きい方を勝ちとする。
サイコロの目は、Ａ＝1～6、Ｂ＝3～8である。1回で勝負が決まらず、2回目にＡが勝つ確率を求めよ。

2つの正6面体のサイコロＡ,Ｂがある。Ａの目は、1,2,2,3,3,3、Ｂの目は、1,2,3,4,5,6となっている。
2つのサイコロを同時に投げるとき、Ｂの目がＡの目より大きくならない確率を求めよ。

赤，白2つの正四面体がある。それぞれの正四面体の各面には、1,2,3,4の数字が1つずつ書き込まれている。
この2つの正四面体を投げるとき、側面の数の和が、底面の数の和の3倍以上となる確率を求めよ。

3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに赤，白，緑の3個の玉を入れる。1つの箱だけが空き箱となる確率を求めよ。

1袋の予算が200円以内で、ガムとチョコレートを入れた袋詰めを作る。
ただし、ガムは1個30円、チョコレートは1個40円で、1袋にはガムもチョコレートも最低1個ずつは、入れることにする。1袋をもらったとき、チョコレートが2個入っている確率を求めよ。

2x^2－y^2＝9 を満たす整数 x,y は3の倍数であることを証明せよ

2017-03-01 | 日記

2x^2－y^2＝9 を満たす整数 x,y は3の倍数であることを証明せよ。
21x^2－10y^2＝9 を満たす整数 x,y は存在しないことを証明せよ。

数列11,1001,100001,10000001,…について、この数列の項はみな11の倍数であることを証明せよ。
数列11,1001,100001,10000001,…について、この数列の中の7の倍数を一般的に表せ。

２次方程式 x^2＋(m－11)x＋m＝0 が自然数の解を持つような整数mの値をすべて求めよ。

２次関数 f(x)＝ax^2＋bx がある。
ある整数kに対してf(k－1),f(k),f(k＋1)が整数となるとき、すべての整数nに対してf(n)は整数であることを示せ。

関数 f(x)＝(x^2＋3x＋9)/(x^2－3x＋9) の値が整数となるxの値を求めよ。

方程式 [x]＝[x^2/2] の解を求めよ。

10円、50円、100円の硬貨でちょうど400円を支払う場合の数を求めよ。
10円、50円、100円の硬貨でちょうど10000円を支払う場合の数を求めよ。

5x＋4y≦200,x≧0,y≧0 を満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。

nを3以上の自然数とする。n!－1の1より大きい約数はnより大きいことを示せ。
nを3以上の自然数とする。n＜p＜n! を満たす素数pが存在することを示せ。

3で割ると2余る素数は無限に存在することを証明せよ。

素数pおよび自然数nに対し、N＝1＋p＋p^2＋…＋p^nとおく。
(1) N＜p^(n+1)を示せ。
(2) n以下の自然数kに対し、集合{1,2,…,N}に属する数の中、p^kの倍数であるものの個数m(k)を求めよ。
(3) p^mがN！の約数であるような最大の整数mを求めよ。

1個20円のみかんと1個70円のりんごをあわせて、ちょうど400円になるように買いたい。

2017-03-01 | 日記

150×n がある自然数の2乗になるような最小の自然数ｎを求めよ。

100から200までの自然数のうち、3でも4でも割り切れないものは、全部で何個あるか。

12との最小公倍数が36であるような自然数をすべて求めよ。

2つの自然数m,nを13で割った余りがそれぞれ11,12である。このとき、積mnを13で割ると余りはいくらか。

3つの整数147,124,77を自然数nで割ったとき、余りがそれぞれ3,4,5になるという。このようなnは何個あるか。

2つの自然数がある。その最大公約数は7、最小公倍数は168、差は35である。この2つの自然数を求めよ。

1から100までの整数で、3で割れば2余り、8で割れば5余る数の、総和を求めよ。

自然数Ｎが3の倍数でないとき、Ｎ^2を3で割った余りは1であることを証明せよ。

0から1までの間の数で、分母が21の既約分数の個数を求めよ。

1から5までの間の数で、分母が21の既約分数の個数を求めよ。

105/52をかけても、280/39をかけても整数になるような正の分数B/Aのなかで最も小さい数を求めよ。

Ａは4捨5入すると22.0になり、Ｂは4捨5入すると17.3になるという。Ａ－Ｂの値の範囲は。

不等式abcd＞0、a＜c＜d、abc＜0 がなりたつとき、4つの数a,b,c,dはそれぞれ正か負か。

a＞0、b＞0 のとき、5つの数 a＋b,a－b,a,b,2a－b を大きい順に並べよ。

不等式1＜x＜2a＋1 を満たすxのうちで、整数値は2だけであるとするとき、aのとる値の範囲を求めよ。

連続する3つの整数がある。一番大きい数と一番小さい数との積は、残りの数の3倍より3だけ大きい。この3つの整数を求めよ。

1冊100円のノートと1冊75円のノートをあわせて12冊以上買って、ちょうど1000円になる買い方は何通りあるか。

1個20円のみかんと1個70円のりんごをあわせて、ちょうど400円になるように買いたい。どのような買い方があるか。

1000円の予算内で、1本30円の鉛筆と、1本50円のペンを買うのに、鉛筆がペンより10本多くなるようにしたい。
ペンは最大何本買えるか。

1個60円の菓子と1個40円の菓子とをあわせて30個買い、50円の箱代も含めて代金を1500円以内にしたい。
60円の菓子は最大何個買えるか。

100円、50円、10円の切手を合計45枚買い、ちょうど900円支払った。この中の50円切手は何枚か。

石がある。これを正方形に並べると15個余る場合と、4個不足する場合ができた。石の数を求めよ。

Ａ，Ｂ，Ｃの3人が共同で家を建て、Ａは土地代、Ｂは建築費、Ｃは設計料を支払ったが、
あとで、全費用を平等に分担することになり、ＣはＡに240万円、Ｂに90万円返した。
土地代は設計料の5倍と建築費の和に等しかった。土地代、建築費、設計料を求めよ。

2種類の金属Ａ，Ｂでできている重さ120ｇの合金がある。水中ではかると、合金は109ｇあり、重さ15ｇの金属Ａは2ｇ軽くなり、重さ35ｇの金属Ｂは3ｇ軽くなる。合金に含まれる金属Ａ，Ｂのそれぞれの重さを求めよ。

10％の食塩水1360ｇに食塩を加えて15％以上20％以下の食塩水を作りたい。加える食塩の量の範囲を求めよ。

濃度12.5％の食塩水10kgから、ｘkg取り出し、残りに水を入れ、元通り10kgにする。
次によくかき混ぜてから、またｘkg取り出し、残りに水を入れて10kgにしたら、濃度4.5％の食塩水になった。ｘの値を求めよ。

3％,5％,8％の食塩水がある。この3種の食塩水からそれぞれ、xｇ,yｇ,zｇをとり、混ぜ合わせたところ、6％の食塩水が120ｇできた。ｚのとりうる値の範囲を求めよ。

濃度の異なる2種類の食塩水Ａ，Ｂを混ぜて9％の食塩水360ｇを作るつもりであったが、ＡとＢの量を取り違えたために13％の食塩水ができた。Ａの濃度を7.4％としてＡの正しい量を求めよ。

Ａが5歩で進む距離をＢは3歩で進み、Ａが5歩行く時間にＢは4歩行く。いま、Ａが20歩進んだとき、ＢがＡの後を追うとすれば、Ｂは何歩で追いつくか。

りんご9個、みかん3個がある。A,B,Cの3人にこの果物を4個ずつ分ける分け方は何通りか。

2直線l,m（l//m）上にそれぞれ4個、3個の点がある。これら7個の点のうちの3個を頂点とする3角形はいくつあるか。

円周を12等分する12個の点から3点をとって3角形を作るとき、直角三角形は何個できるか。

円周を6等分する6個の点から3点をとって3角形を作るとき、鈍角三角形は何個できるか。

円に内接する正6角形がある。6つの頂点と円の中心Ｏの7つの点のうち、2点以上を通る直線の個数を求めよ。

ｎ角形の対角線の数を求めよ。対角線の数が44本であるような多角形は何角形か。

3,5,7,9の4個の数字から、2個の数字を選んで2けたの整数を作るとき、できた整数の総和を求めよ。

5枚のカード1.2.3.4.5から3枚を取り出して3けたの整数を作るとき、各位の数の和が3の倍数となるものは何個できるか。

5枚のカード1.2.3.4.5から3枚を取り出して3けたの整数を作るとき、できた異なる整数の総和を求めよ。

6枚のカード1.2.3.4.5.6から4枚を取り出して4けたの整数を作るとき、小さい順で160番目にくる整数を求めよ。

3本のくじのうちで2本が当たりくじである。この3本から2本をひくとき、2本とも当たる確率を求めよ。

赤、白、黒の玉がそれぞれ3,2,4個入った袋から3個取り出すとき、赤、白、黒が1個ずつである確率を求めよ。

赤、白、黒の玉がそれぞれ4,3,5個入った袋から3個取り出すとき、3玉とも同色である確率を求めよ。

2つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が7になる確率と、目の和が8になる確率は、どちらが大きいか。

2つのサイコロを同時に投げるとき、出る目の数の差が2となる確率を求めよ。

2つのサイコロを同時に投げるとき、出る目の数が違う確率を求めよ。

1から20までの番号をつけた正20面体のサイコロ2個を投げたとき、番号が両方とも素数になる確率を求めよ。

3つの箱Ａ,Ｂ,Ｃに赤，白，緑の3個の玉を入れる。1つの箱だけが空き箱となる確率を求めよ。

x,y,zの最小公倍数が108で、5x－3y＋7z＝0、x＝4zという関係式が成り立つとき、x,y,zの値を求めよ。

1/a＋1/b＋1/c＝1となるような自然数a,b,cの組をすべて求めよ。ただし、a≧b≧cとする。

1234567891011121314…のように自然数を並べて書いたとき、最初から数えて1986番目の数字は何か。

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