京大・数学・文系・理系・共通問題：整数

＜問題＞

＜類題＞

２次関数 f(x)＝ax^2＋bx がある。
ある整数kに対してf(k－1),f(k),f(k＋1)が整数となるとき、すべての整数nに対してf(n)は整数であることを示せ。

 

＜コメント＞

今年１番難しい整数の難問だが上の類題の経験があれば解ける。
少し難易度の高い「有名問題を研究」して「数学的素養」を深めておけば良いことがある京大らしい問題です。

 

a,b,c,d,eを正の実数として整式
f(x)＝ax^2＋bx＋c
g(x)＝dx＋e
を考える。
すべての正の整数ｎに対してf(n)/g(n)は整数であるとする。
このとき、f(x)はg(x)で割り切れることを示せ。 （京大・理系）

 

a,b,c,d,eを正の有理数として整式
f(x)＝ax^2＋bx＋c
g(x)＝dx＋e
を考える。
すべての正の整数ｎに対してf(n)/g(n)は整数であるとする。
このとき、f(x)はg(x)で割り切れることを示せ。 （京大・文系）