1/a+1/b+1/7+1/c+1/d=1
a＜b＜7＜c＜d＜30
整数a,b,c,dを見つけよ。
1～100までの整数のうち合成数が続く最長区間はどこからどこまで？
18=5+6+7 18=3+4+5+6 2005= ?
7^100の1の位の数字は？
30! は最後に0がいくつ並ぶか？
ある4桁の整数を9倍するとその数字を逆に並べた整数になる。この整数を求めよ。
素数は無限個あることを証明せよ。
(素数の積)＋1 は素数ですか？
4n+3の形の素数は無限個あることを証明せよ。
3n+2の形の素数は無限個あることを証明せよ。
pは3より大きな素数で、p+2も素数である。
このとき、p+(p+2)は、12で割り切れることを証明せよ。
すべてが合成数であるような8個の連続する整数を見つけよ。
a,d は自然数で 0＜d＜2000 とする。
a,a+d,・・・,a+nd がすべて素数ならば、n≦100 であることを証明せよ。
連続する3つの奇数がすべて素数になるのは？
140と385の最大公約数は？
1128と1636の最大公約数は？
899と2494の最大公約数Ｇを求めて、Ｇをこの2つの数の整数倍の和として表せ。
13581358、21342134のような同じ4桁の整数を2回並べた形の8桁の整数の中で、20687で割り切れる最大のものを求めよ。
2つの自然数で、その和が4984、最小公倍数が162540であるものを求めよ。
x,y が整数であるとき、 x/15 + y/20 の形に表される最小の正の有理数は何か。
ここに、13cm 幅の長い紙がある。この紙にまず、22本の黒い平行線を等間隔にひき23等分する。
次に、同じ向きに33本の赤い平行線を等間隔にひき34等分する。
黒い平行線と赤い平行線の最短の距離は、いくらか。
7x+5y=1 を満たす整数解は存在する？
7x+5y=3 を満たす整数解は存在する？
6x+15y=1 を満たす整数解は存在する？
6x+15y=5 を満たす整数解は存在する？
91x+221y=13 を満たす整数解は？
15x+7y=210 を満たす自然数解の個数は？
7x+8y=n が9個の非負整数解をもつ最小の自然数ｎは？
13x+11y=300 を満たす自然数解は？
いま手元に長さ5cmと9cmの竹ひごが、たくさんある。
これらをつなぎ合わせて、長さ n cmの棒を作ろうとしたところ、無理であった。
n は自然数で、27以上であることが分かっている。n を求めよ。
3816の正の約数は全部で何個か？
また、それらのすべての和はいくらか？
10!の正の約数は全部でいくつあるか？
また、それらのすべての和はいくらか？
11!の正の約数は全部でいくつあるか？
また、それらのすべての和はいくらか？
13!の正の約数は全部でいくつあるか？
また、それらのすべての和はいくらか？
1～100までのそれぞれの約数の個数の和は？
ちょうど2つの正の約数しかもたない自然数は、どのような整数か？
ちょうど3つの正の約数しかもたない自然数は、どのような整数か？
ちょうど4つの正の約数しかもたない自然数は、どのような整数か？
12で割り切れて、ちょうど22個の正の約数をもつ自然数を求めよ。
43より小さくて、43と互いに素な自然数の個数は？
49より小さくて、49と互いに素な自然数の個数は？
60より小さくて、60と互いに素な自然数の個数は？
80より小さくて、80と互いに素な自然数の個数は？
100より小さくて、100と互いに素な自然数の個数は？
120より小さくて、120と互いに素な自然数の個数は？
12より小さくて、12と互いに素な自然数の個数は？
47880より小さくて、47880と互いに素な自然数の個数は？
nより小さくて、nと互いに素な自然数の個数は、偶数か？
nより小さくて、nと互いに素な自然数の個数がn－2であるnは？
60より小さくて、60と互いに素なすべての自然数の和は？
80より小さくて、80と互いに素なすべての自然数の和は？
120より小さくて、120と互いに素なすべての自然数の和は？
100より小さくて、100と互いに素なすべての自然数の和は？
7桁の数 1x540y4 が、72で割り切れるような x,y は？
8桁の数 25x22341 が、11で割り切れるような x は？
6桁の整数を前3桁と後3桁の数に分けて、その差が7で割り切れるときに、元の整数も7で割り切れることを示せ。
2003^2003 を7で割ったときの余りは？
2^37－1 は 223 で割り切れることを示せ。
7^102 のおわりの2つの数字を求めよ。
p が3以外の素数であるとき、p^2＋2 は素数ではないことを示せ。
p^2－1 と p^2＋1 がともに10で割り切れないような、5より大きな素数ｐは存在するか？
2から始まって順にｎ番目までの素数の積に1たした数は、平方数になりえないことを示せ。
最初のｎ個の奇素数の積の2乗に1たした数は、立方数でないことを示せ。
連続する3個の自然数の立方の和は、つねに9の倍数であることを示せ。
2^32＋1 が 641 で割り切れることを示せ。
x^2－2y^2＝10 を満たす整数x,y を求めよ。
5x≡1（mod 12）を満たすx を求めよ。
5x≡2（mod 12）を満たすx を求めよ。
5x≡3（mod 12）を満たすx を求めよ。
5x≡4（mod 12）を満たすx を求めよ。
6x≡5（mod 12）を満たすx を求めよ。
3x≡9（mod 12）を満たすx を求めよ。
11x≡8（mod 2003）を満たすx を求めよ。
99x≡4（mod 455）を満たすx を求めよ。
519x≡311（mod 2003）を満たすx を求めよ。
7x≡4（mod 97）を満たすx を求めよ。
自然数で、3で割っても5で割っても7で割っても余りが4となる10以上のｎで最小のものを求めよ。
自然数ｎで、3で割ると2余り、5で割ると3余り、7で割ると5余るもののうち最小のものを求めよ。
7で割ると1余り、11で割ると2余り、13で割ると3余る整数で、2000と4000の間にあるものをすべて求めよ。
自然数 n で、n/2 が平方数、n/3 が立方数、n/5 が5乗数となる最小のものを求めよ。
(11－1)!≡－1（mod 11）を示せ。
58!を61で割ったときの余りを求めよ。
58!≡?（mod 61）
28!を899で割ったときの余りを求めよ。
28!≡?（mod 899）
3^190 を37で割ったときの余りは？
77^186 を187で割ったときの余りは？
4444^3333+3333^4444 を7で割ったときの余りは？
999・・・99 のように各位の数が9である整数の中に、7で割り切れるものはあるか？
2でも5でも割り切れない整数を4乗すると、その1の位の数字は1であることを示せ。
p は素数であるとする。
このとき、2^p＋1 が p で割り切れるようなｐを求めよ。
496の約数のうち、496自身を除いた他のすべての正の約数の和を求めよ。
「2^n－1 が素数ならば、 2^n-1(2^n－1) は完全数である」ことを証明せよ。
2^n－1 のnに2から8までの値を代入して、その値が素数か否かを確認せよ。
そこから得られる完全数をすべて書き出せ。
ａとｎはともに1より大きな自然数とする。
このとき a^n－1 が素数ならば、ａ＝2 かつ ｎは素数でなければならないことを証明せよ。
メルセンヌ数 2^11－1 を割り切る素数を、22ｋ+1 の形の数の中から見つけて、2^11－1 が素数でないことを示せ。
メルセンヌ数 2^17－1, 2^19－1, 2^29－1 について、それぞれが素数であるかどうかを判定せよ。
偶数の完全数はすべて、一の位の数字が6か8である。このことを合同式で証明せよ。
ピタゴラス数（x,y,z）において
x,y の少なくとも一方は3で割り切れる
x,y の少なくとも一方は4で割り切れる
x,y,z の少なくとも1つは5で割り切れる
4で割ったときに3余る自然数は、2つの平方数の和として表すことができないことを、合同式を利用して証明せよ。
1×3×5×7×9×11×13×…×95×97×99＝3^n×m（m,n は自然数で、m は 3 で割り切れない）と表すと、n は？
800までの正の整数で、800と互いに素なものは何個あるか？
1998の約数の個数は？ 約数の和は？ ただし、正の整数ａの約数には1とａを含めるものとする。
2桁の正の整数のうち、約数がちょうど10個あるものの中で、最大なものの約数の和は？
a,b,c,d が正の整数で ad－bc＝1 が成り立つとき、a＋c と b＋d が互いに素であることを示せ。
13で割ると余りが2である自然数Ａと13で割ると余りが8である自然数Ｂがある。
このとき、Ａ－Ｂを13で割った余りは？ Ａ＋Ｂを13で割った余りは？
A^2－B^2を13で割った余りは？ A^2＋B^2を13で割った余りは？
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 5 で割った余りは？ また、7^7001 を 48 で割った余りは？
3^121 の 1 の位の数字は？
どのような整数 n に対しても、n^2＋n＋1 は 5 で割り切れないことを示せ。
4けたの数abcdは、a－b＋c－d が11の倍数のとき、11の倍数であることを示せ。
5で割ると2余り、7で割ると4余る200以下の自然数の和を求めよ。
6x＋7y＝9 を満たす整数 x,y の中で |x＋y| を最小にする x,y を求めよ。
1/m＋1/n＝1/8（m≦n）を満たす自然数の組（m,n）をすべて求めよ。
7x＋7y＝4xy を満たす自然数の組（x,y）をすべて求めよ。
2つの条件 a^2＋ab＋b^2＝7 . a＞|b| を満たす整数の組（a,b）を求めよ。
|2x－3|＝[x] を満たす x を求めよ。ただし、[x] は x を超えない最大の整数を表す。
xに関する不等式 x^2－px＋1＜0 が 3個以上4個以下の整数値の解xを持つような整数値pを求めよ。
x,y,z を負でない整数とする。x＋2y＋4z＝8 を満たす (x,y,z) の組の個数を求めよ。
x,y,k を負でない整数とする。x＋2y＝4k を満たす (x,y) の組の個数を求めよ。
x,y,z,n を負でない整数とする。x＋2y＋4z＝4n を満たす (x,y,z) の組の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2x＋y≦5n , x－2y≦0 , x≧0 を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2^2≦x＜2^3 , 0＜y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2^n≦x＜2^(n+1) , 0＜y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2^1≦x＜2^(n+1) , 0＜y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
x,y,n を負でない整数とする。x/3＋y≦n を満たす (x,y) の組の個数を求めよ。
(1)(3,5)(7,9,11,13)(15,17,19,21,23,25,27,29)(31,33,・・・ のとき、第n番目の群の、項数と初項を求めよ。
(2)(4,6)(8,10,12)(14,16,18,20)・・・ のとき、100は第何群の何番目の項であるか。
2014^10 の十の位の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9＝40353607、7^10＝282475249 を用いてもよい。
2014^10 の十万の位の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9＝40353607、7^10＝282475249 を用いてもよい。
2014^10 の上３桁の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9＝40353607、7^10＝282475249 を用いてもよい。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 16 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 13 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 12 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 11 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 10 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 9 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 8 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 7 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 6 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 5 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 4 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 3 で割った余りを求めよ。
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 2 で割った余りを求めよ。